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Chapter 9: Vortex Stretching, Analytic Tubes, and Overlap Estimates
This chapter studies the vortex-stretching term in the enstrophy identity for three-dimensional Navier–Stokes: resolve a frequency shell into angular sectors and thinner boxes, ide...
Chapter 8: Anisotropic Littlewood–Paley Theory and Vortex Stretching
We work on \(\mathbb R^3\) , initially with Schwartz functions, and use the Fourier convention of Chapter 5 with \(d=3\) :
神话学引论随笔
这学期选了一门神话学。前五讲大致是这样走的：第一讲问什么是神话，第二讲看闻一多怎样研究神话，第三讲从神话走到社会，读王斯福的《帝国的隐喻》；第四讲到陕北白云山的庙会上看神话怎样被「做」出来，第五讲回到研究者自己，讲田野调查和民族志写作。五讲的落脚点各不相同，但有一个共同的意思： 神话从来不只是书里的故事 。它刻在砖石上，在庙会上唱出来，在庙里烧成纸钱，也由研...
Chapter 7: Square Functions, the Heat Flow, and Paraproducts
This chapter has two aims: to recover an \(L^p\) norm from its frequency pieces, and to organize the interactions of these pieces in a nonlinear equation. The first is the square functi...
Chapter 1: Local Theory and Loss of Regularity
An evolution equation has the schematic form
Chapter 2: Stability and Lyapunov Functions
Let \(F\in C^1(\mathbb R^n;\mathbb R^n)\) and consider
Chapter 3: The Klein–Gordon Equation and Local Well-Posedness
Consider a real-valued solution on \(\mathbb R^3\) of
Chapter 4: Global Existence and Scattering
We use the local theory from Chapter 3.
Chapter 5: Littlewood–Paley Theory and Function Spaces
The scattering criterion in Chapter 4 uses the norm \(L_t^3L_x^6\) because
Chapter 6: Restriction, Wave Packets, and Kakeya Geometry
For a dispersive linear equation, the solution is a superposition of Fourier modes with time-dependent phases. Oscillation can reduce concentration and weaken nonlinear interaction...
Rayleigh–Bénard 学习笔记
上下两块水平板之间充满流体，下板热、上板冷。计算区域为
附录 A：选择公理与存在性方法
泛函分析中常见两种存在性步骤：从许多非空集合中各取一个元素，或从所有允许的对象中取得一个极大对象。选择原则使这些步骤能够在任意指标集上实施；它保证对象存在，但通常不给出计算公式。
第零章：泛函分析的主线与记号
在线性代数中，我们求解 \(Ax=b\) ，未知量是有限维向量。对于微分方程，未知量却是一整个函数。若我们把函数视作向量，就会得到一个无穷维的线性空间。但是只有线性结构还不够：我们还需要描述误差、收敛和稳定性。
第一章：拓扑、测度与函数逼近
后面我们会遇到两类极限：一类是函数或算子在某种拓扑下的极限，另一类是有限和变成积分的极限。前者需要拓扑与紧性，后者需要测度与函数逼近。本章把这些工具放在同一条线索里。
第二章：赋范空间与对偶空间
考虑实值能量
第三章：内积空间与 Hilbert 空间
范数给出误差大小，但只凭范数未必能谈正交方向。对于最小二乘、Fourier 展开和能量方法，我们还需要角度与投影。内积把这些几何工具带入函数空间，而完备性保证正交展开和最佳逼近的极限存在。
第四章：多项式矩问题与谱理论的起源
给定实数 \(c_0,c_1,\ldots\) ，我们希望寻找正测度 \(\mu\) ，使
第五章：有界自伴与正规算子的谱理论
有限维自伴矩阵有 \(T=\sum_j\lambda_jP_j\) 。但在 \(L^2[0,1]\) 上，乘法算子
第六章：无界算子、定义域与自伴扩张
在 \(L^2\) 中，位置算子 \(u(x)\mapsto xu(x)\) 和动量表达式 \(-i\,\mathrm{d}/\mathrm{d}x\) 通常无界。高频函数的导数可以很大，而函数自身的 \(L^2\) 范数不变。它们仍然是重要的算子，但不能定义在所有 \(L^2\) 元素上。
第七章：自伴算子、能量形式与 Fourier 分析
上一章告诉我们自伴性是谱定理的入口。但遇到一个微分表达式，怎样实际构造自伴算子？本章使用两条路线：由正能量构造闭形式及其算子；由连续的酉演化构造自伴生成元。Fourier 变换会把二者连起来。
第八章：紧算子、Fredholm 二择一与 PDE
在 \((0,1)\) 上， \(-u''=f\) 、 \(u(0)=u(1)=0\) 的逆算子具有 Green 核
第九章：弱拓扑、凸集分离与自反空间
第二章中，稠密测试函数上的有界数据唯一决定泛函。若测试空间 \(M\subset X\) 不稠密，泛函在其闭包上仍唯一，但在整个 \(X\) 上可能有不同扩张。
第十章：完备性与 Banach 空间的基本定理
第二章的有界扩张定理用到 值域完备 ：输入的逼近序列产生一个输出的 Cauchy 序列，必须保证输出极限仍在值域。
Autograd 源码学习系列总览
用过自动微分之后，很自然会想知道：输入仍然是一段普通 Python 程序，梯度究竟是在什么时刻、由哪些对象算出来的？这个系列沿 HIPS/autograd 的实际调用链，把数学里的链式法则接到 Box、primitive、局部 VJP 和运行时状态上。
Autograd 源码学习（一）：自动微分与计算图
会用链式法则，并不意味着已经知道一段 Python 程序如何得到梯度。计算图把这个过程拆成了可以逐步检查的局部操作：先算出值，再沿依赖反向传回贡献。
Autograd 源码学习（二）：JVP、VJP 与两种自动微分模式
上一篇把导数沿计算图传播的过程拆开了。面对向量输入和向量输出，接下来的问题是：我们究竟要得到整个 Jacobian，还是只需要知道它对某个方向的作用？
Autograd 源码学习（三）：从 grad 开始追踪完整调用链
现在已经知道 grad 最终要做一次 VJP 查询，但 grad(f)(3.0) 中还夹着参数适配、装箱、primitive 调用和图节点创建。只看最后两行反向代码，很容易漏掉这些对象是从哪里来的。
Autograd 源码学习（四）：tracer.py 与动态计算图
上一篇已经走完 grad 的调用链，这里把镜头停在 primitive 收到 Box 的时刻。一个普通数值调用，要增加哪些状态，才能让后面的求导继续知道依赖来自哪里？
Autograd 源码学习（五）：Reverse Mode 的核心实现
上一篇已经看到 primitive 如何产生 VJPNode。这里从 forward 留下的 end node 开始，检查局部规则怎样接到输出 seed，又怎样把贡献交给同一个输入。
Autograd 源码学习（六）：NumPy Primitive 与 VJP
通用 reverse engine 已经知道怎样调用 node.vjp(g) ，但它并不知道 sin、exp 或乘法的导数。数学语义来自 NumPy 集成中为每个 primitive 登记的局部规则。
Autograd 源码学习（七）：Broadcasting 的反向传播
上一篇的 binary VJP 总会出现 unbroadcast_f 。即使局部导数的每个数字都算对了，若返回的 shape 不属于原输入空间，整个规则仍然是错的。
Autograd 源码学习（八）：Forward Mode 与 JVPNode
到这里，reverse mode 的保存、等待和反向遍历已经完整了。换成 forward mode 后，tracer 仍然可用，但一个 operation 在创建节点时就已经拿到了所有 parent tangents。
Autograd 源码学习（九）：为什么机器学习偏爱 Reverse Mode
两种模式都能正确使用链式法则，差别在一次查询能得到多少导数信息。机器学习常见的输入是大量参数，输出却只有一个 loss，这个维度关系决定了 reverse mode 的优势。
Autograd 源码学习（十）：高阶自动微分与 Nested Tracing
求完一阶导数后，Autograd 执行过的是一段由 VJP operations 组成的程序。若这段程序本身还能被追踪，就可以继续对它求导。
Autograd 源码学习（十一）：Jacobian、Hessian 与算子组合
有了 JVP、VJP 和 nested tracing，再看 jacobian、hessian、make_hvp，就不需要假设它们各自隐藏着一套求导引擎。它们主要改变查询方向、组织结果，或对导数程序再次求导。
Autograd 源码学习（十二）：Numerical Gradient Checking
源码中的局部规则写得简洁，并不能替代独立验证。有限差分只使用函数值，为 AD 的方向、符号和 shape 提供了另一条检查路线。
Autograd 源码学习（十三）：自定义 Primitive
如果一个计算已经被声明为 primitive，Autograd 就把它当作原子调用。原函数能算出值，并不意味着框架已经知道如何把 cotangent 拉回输入。
Autograd 源码学习（十四）：Mini Autograd：实现与源码对读
最后回到一个可以完整掌握的标量引擎。教材已有的 Mini Autograd 把值、父引用和梯度放在 Value 中，正好可以与 HIPS 中分开的 Box、VJPNode 和 outgrads 对照。
人工智能博士资格考试复习资料
覆盖机器学习理论、深度学习与强化学习、人工智能中的优化方法和自然语言处理，可用于系统复习、证明训练与历年真题准备。
计算与应用数学博士资格考试复习资料
覆盖误差分析、逼近论、非线性问题、线性代数、常微分方程、偏微分方程、渐近分析与优化，可用于系统复习与历年真题准备。
概率论与数理统计博士资格考试复习资料
覆盖概率论基础与极限定理、随机过程和数理统计，可用于系统复习、证明训练与历年真题准备。
附录：算法说明
本附录记录前面分析中需要用到的状态布局、轮函数和参数。玩具算法用于验证分析方法，不用于实际保密；标准算法的生产实现应使用经过审计的密码库。
第一章：密码分析学概述
密码学主要分为密码设计学和密码分析学。前者致力于设计安全高效的密码算法，后者则试图发现算法的安全缺陷，打破设计者宣称的安全界限，恢复明文或密钥。新的分析方法催生更完善的设计，新的设计又激发新的分析，二者的博弈推动着密码学发展。
第二章：恩尼格玛密码机的破解
频率分析、重合指数等技术的出现，说明单表代换或密钥流周期较短的密码已不能满足安全通信的需求。恩尼格玛 (Enigma) 密码机由德国发明家 Scherbius 于 1918 年设计，通过线路接线板与扰频器的随机排列可以产生高达 \(1.59\times10^{20}\) 种密钥，后来成为德军无线电秘密通信的主要手段。图灵在 Rejewski 等人工作的基础上，结合德军的语言习惯和 Enigma...
第三章：分组密码的差分分析及相关分析方法
差分分析利用满足特定输入差分 \(\Delta X\) 的明文对，经过若干轮加密后输出差分 \(\Delta Y\) 分布的不均匀性来构造区分器，进而恢复密钥。本章的几种方法都是这个思路的变形：截断差分把单个差分值放宽为集合；飞去来器与矩形攻击把两条短轮数的高概率差分“错位”拼接起来；不可能差分则反其道而行之，利用概率为 \(0\) 的差分。最后讨论相关密钥差分。
第四章：分组密码的线性分析及相关分析方法
线性分析由 Matsui 在 1993 年欧密会 (EUROCRYPT) 上提出，首次应用于 DES 的理论分析；此前 Matsui 与 Yamagishi 开发的早期变种已在 EUROCRYPT 1992 上用于 FEAL。如今它和差分分析一样，是分组密码最有力的分析方法之一。本章先讲经典线性分析，再讨论它的几种推广：多重线性、多维线性、零相关线性、差分-...
第五章：积分分析
这一章介绍对称密码中的另一种分析方法： 积分分析 (integral cryptanalysis) 。差分分析考虑两个明文之差的传播，积分分析关注的则是 多个明文之和 （即积分）在算法中的传播。从这个意义上说，积分分析与差分分析是一种耦合关系。
第六章：中间相遇攻击
中间相遇攻击 (meet-in-the-middle attack) 最早由 Diffie 和 Hellman 在 1977 年提出，用于分析二重 DES 和三重 DES。通过猜测明文加密到中间状态 \(x\) 的密钥、密文解密到 \(x\) 的密钥，分别求得 \(x\) 的值，若相等就是正确密钥的候选。为降低猜测的密钥量，可以只在 \(x\) 的部分比特上相遇，即 部分匹配技术...
第七章：分组密码的其他攻击方法
前几章的差分、线性、积分分析都是统计分析方法。这一章介绍另外两类攻击：一是 代数攻击 ，它是确定性的，利用算法内部的代数结构；二是 滑动攻击 ，它利用算法的自相似性，与轮数无关。
第八章：分组密码各种分析方法的等价性
前面几章学了多种分组密码的分析方法，随之而来的问题是：这些方法之间有没有联系？答案是肯定的。研究它们之间的联系，能加深对方法本身的理解；同时可以借助分析方法之间的（条件）等价性，从一种区分器得到另一种区分器，进一步评估算法的安全性。
第九章：区分器的自动化搜索
前几章的区分器都是手工构造的：差分路线一轮一轮地推，积分特性一个组件一个组件地传。对 AES 这样的小规模例子还行，但真实算法一轮就可以拆成成百上千个基本操作，手工搜索既慢又容易漏。近年来大量工作把区分器搜索转化为求解器问题，常见的有：
第十章：分组密码工作模式的攻击概述
分组密码的功能是高度简单的：根据一个 7 字节 (DES) 或 16～32 字节 (AES) 的密钥，把 8 字节 (DES) 或 16 字节 (AES) 的明文变成“不易识别的”密文。但日常需要的密码功能是复杂的： 加密方案 (encryption scheme) 要把任意长度的明文变成不易识别的密文， 消息认证码 要为任意长度的明文产生一个与之唯一对应的...
第十一章：序列密码的经典安全性分析技术
序列密码 (stream cipher) ，又称流密码，是最早使用的密码学技术之一，广泛应用于军事、外交和政府等关键应用的保密通信中。序列密码是一种对数据流进行加密的对称密码，一般说的序列密码加密算法指的是 密钥流生成算法 。许多序列密码逻辑实现简单、占用面积小、速度快，尤其适用于硬件资源受限的环境。
第十二章：序列密码的立方攻击
第十一章介绍了在 LFSR 的基础上增加非线性滤波函数来引入非线性。另一种办法是把移位寄存器的反馈函数改为非线性函数，这就是 非线性反馈移位寄存器 (NFSR) 。经过多轮非线性迭代后，输出是关于输入的高次非线性方程，直接求解很困难。 立方攻击 (cube attack) 通过对高次变量集合求和，得到密钥的低次（如线性）方程，从而恢复密钥信息。
杂凑函数的安全性分析概述
设
消息认证码的安全性分析概述
消息认证码由密钥生成、标签生成和验证三个算法组成：
侧信道分析概述
传统分析通常只观察明文、密文与规定的接口输出。真实设备还会产生执行时间、电流、电磁辐射和缓存访问等额外信息，这些信息可能依赖秘密中间状态。
Markov Chains
A sequence of random variables \(\left\{X_n\right\}\) is a Markov process with state space \(S\) and transition probabilities \(P\) if for all \(n\ge 0\) and all sequences \(x_0,\ldots,x_n,x_{n+1}\in S\) , we have that
Conditional Expectation
Theorem Let \(X\in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) and let \(\mathcal{A}\subset\mathcal{F}\) be a sub- \(\sigma\) -field. Then there exists a unique random variable \(Y\) such that:
第一章：常微分方程基础
一个 \(n\) 阶微分方程具有如下形式
第二章：差分方程
差分方程的研究基于离散微积分概念，旨在总结其求解的基本方法。其常用于计算递归定义的量，例如：Taylor 级数或 Fourier 展开的第 \(n\) 项系数，通过余子式展开的 \(n \times n\) 矩阵的行列式。在数值分析中，差分方程频繁出现于用离散系统逼近连续系统的场景。
第三章：线性微分方程的局部分析：常点与正则奇点
当精确解无法获得或过于复杂时，需采用近似方法。局部分析是基础步骤，旨在用初等函数在单点邻域内近似表示解。这些局部结果可通过全局分析拼接，形成解在整个区间上的均匀近似，为困难方程提供了实用且高效的初步处理工具。
第四章：线性微分方程的局部分析：非正则奇点与渐近关系
引入两个新符号以描述函数相对行为：
第五章：渐近级数
在本节中，我们用严谨的数学分析语言叙述前文所用到的渐进方法。
第六章：凸优化
我们只考虑 \(\mathbb{R}^n\) 空间上的优化问题。 所有的向量约定为列向量。 \('\) 表示转置。 \(x'y\) 为 \(\sum_{i=1}^{n}\) 表示 \(x\) 和 \(y\) 的内积。 \(||x||_2 = (x'x)^{1/2}\) 为 \(x\) 的欧几里得范数。
第七章：PDE 数值解
我们考虑一般形式的二阶PDE：
PDE 数值解大作业
Helmholtz 方程是数学物理中描述波动现象的基本方程，在声学、电磁学、量子力学等领域有广泛应用。本报告研究二维 Helmholtz 特征值问题的数值解法，包括数学推导、有限差分离散化、基础求解器实现（幂法和反迭代法）、高级方法（Lanczos 算法和 Rayleigh 商迭代）以及数值实验分析。
ICBS 2024 课程报告
Andrew Wiles
数学史论文（二）：费马大定理
本文是数学史论文系列的第二篇。
数学史论文（三）：从手算到超算——偏微分方程数值解的演变史
本文是数学史论文系列的第三篇。
数学史论文
第二篇论文《费马大定理》已整理为网页版，文末附 PDF 预览与下载。
Law of Large Numbers
Let \((X_n)_{n\ge 1}\) be i.i.d. random variables with finite mean \(m\) , and set
Central Limit Theorem
For a real random variable \(X\) with law \(\mu\) , its characteristic function is
GTM295 Chapter 8
Exercise 8.1 Consider a population of \(n\) individuals and \(r \in \{1,\ldots,n-1\}\) .
GTM295 Chapter 9
Exercise 9.1
GTM295 Chapter 10
Exercise 10.1 In this exercise, to emphasize the dependence on the underlying probability measure, we speak of convergence in \(\mathbb{P}\) -probability instead of convergence in probability....
GTM295 Chapter 11
Exercise 11.1 (Bayes Formula)
GTM295 Chapter 12
Exercise 12.1 Let \((X_n)_{n\in\mathbb{N}}\) be a sequence of independent real random variables. Set \(S_0=0\) and \(S_n=X_1+\cdots+X_n\) for every \(n\in\mathbb{N}\) , and consider the canonical filtration \((\mathcal{F}_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}\) of the process \((S_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}\) . Prove that:
GTM295 Chapter 13
Exercise 13.1 Let \(E\) and \(F\) be two countable sets and let \(f:E\to F\) be a surjective map. Let \((X_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}\) be a Markov chain on \(E\) with transition matrix \(Q\) . Assume that, for every \(a\in F\) , and every \(x,x'\in E\)...
GTM295 Chapter 14
In Exercises 14.1 to 14.11, \((B_t)_{t\ge0}\) is a one-dimensional Brownian motion with \(B_0=0\) , and \(S_t=\sup\{B_s:0\le s\le t\}\) .
Probability Space and Random Variables
A probability space is a triplet \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) consisting of:
Convergences
参考书：吴昊老师的讲义
Principles of Data Reduction
A sufficient statistic for a parameter \(\theta\) is a statistic that, in a certain sense, captures all the information about \(\theta\) contained in the sample. Any additional information in the...
Point Estimation
A point estimator is any function \(W(X_1, \cdots, X_n)\) of a sample; that is, any statistic is a point estimator.
Hypothesis Testing
A hypothesis is a statement about a population parameter.
Probability Theory
样本空间(sample space) The set \(S\) of all possible outcomes of a particular experiment is called the sample space.
Transformation and expectation
Transformation Let \(X\) be a random variable with cdf \(F_X(x)\) and pdf (or pmf) \(f_X(x)\) . Let \(Y = g(X)\) , where \(g\) is a one-to-one function, mapping the original sample space of \(X\) , \(\mathcal{X}\) , to a new sam...
Common Families of Distributions
discrete uniform (1,N) distribution
Multiple Random Variables
An \(n\) -dimensional random vector is a function from a sample space \(S\) into \(\mathbb{R}^n\) , \(n\) -dimensional Euclidean space.
Properties of a Random Sample
The random variables \(X_1,\cdots,X_n\) are called a random sample of size \(n\) from the population \(f(x)\) if \(X_1,\cdots,X_n\) are mutually independent and the marginal pdf or pmf of each \(X_i\) is \(f(x)\) . Alternatively, \(X_1,\cdots,X_n\)...
数分
参考书：梅加强
电动力学期末cheatsheet
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俄语 1 笔记
:---: :---: :---: :---: :---: :---: :---: Аа Бб Вв Гг Дд Ее Ёё Жж Зз Ии Йй Кк Лл Мм Нн Оо Пп Рр Сс Тт Уу Фф Хх Цц Чч Шш Щщ ъ ы ь Ээ Юю Яя
周期积分方程
Consider heat/electrical problem. A single inclusion \(\Omega\) per unit cell. \(e_1\) and \(e_2\) are the basis of the lattice on \(\mathbb{R}^2\) . We working with unit square \(e_1 = (1,0)\) and \(e_2 = (0,1)\) for simplicity. Let
量子力学
一个复向量空间 \(V\) 称为 内积空间 ，如果其上定义了一个映射 \(\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{C}\) ，满足：
电动力学期中cheatsheet
\[\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn} = \begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{vmatrix}\]
Deep Learning Crash Course
Transformer 的本质是摒弃了 RNN 的时序递归，用极其暴力的全局矩阵乘法来实现特征交互。 假设输入序列为 \(X \in \mathbb{R}^{n \times d}\) （ \(n\) 是序列长度， \(d\) 是词向量维度）。首先，输入 \(X\) 会乘上三个不同的权重矩阵 \(W^Q, W^K \in \mathbb{R}^{d \times d_k}\) 和 \(W^V \in \mathbb{R}^{d \times d_v}\) ，将特征映射到不同的子空间：
Machine Learning Crash Course
--- 在监督学习中，我们有一个输入空间 \(\mathcal{X}\) （比如图片的像素特征）和一个标签空间 \(\mathcal{Y}\) （比如分类类别）。
Optimization Methods Crash Course
如果函数 \(f(x)\) 是 \(L\) -smoothness 的，意味着它的梯度是 \(L\) -Lipschitz 连续的。对于定义域内的任意 \(x, y\) ，满足： \[||\nabla f(x) - \nabla f(y)|| \le L ||x - y||\] 等价的二阶泰勒展开上限形式：
Asymptotic Analysis Exercises
\[u^{\prime\prime}+(\lambda+\epsilon f(x))u=0, \quad 0<x<1\]
Convex Optimization Exercises
\[\max_{x}\langle c,x\rangle \quad \text{s.t.} \quad Ax=b, \quad x\ge0\]
Numerical Algebra Exercises
1: find an upper Hessenberg matrix \(H_{0}\) and a unitary matrix \(U_{0}\) such that \(H_{0}=U_{0}^{H}AU_{0}\) .
Numerical Ode Exercises
\[\begin{array}{c|cc}
0 & 0 & \\
1 & 1 & 0 \\
\hline
& 1/2 & 1/2
\end{array}\]
Numerical Pde Exercises
\[u_{m}^{n+1}=\frac{1}{2}(u_{m+1}^{n}+u_{m-1}^{n})-\frac{1}{2}akh^{-3}(u_{m+2}^{n}-2u_{m+1}^{n}+2u_{m-1}^{n}-u_{m-2}^{n}),\]
Approximation Interpolation Exercises
Consider the Newton's method for finding a solution \(x_{*}\) to \(f(x)=0\) , where \(f\in C^{2}(a,b)\) , \(x_{*}\in(a,b)\) .
练习题集
函数逼近与插值练习题
Numerical Integration Exercises
--- Assume that \(f\) is a periodic function with period \(2\pi\) . Considering the integration \(I(f)=\int_{0}^{2\pi}f(x)dx\) , prove the following statements on the order of convergence of composite trapezoidal rule...
统计力学复习笔记
微正则系综 (Microcanonical Ensemble, E.V.N) 系统孤立，能量 \(E\) 、体积 \(V\) 、粒子数 \(N\) 固定。 玻尔兹曼熵公式 ：
大作业
本文的主要结果是在 Sum-of-Squares (SOS) 证明系统中，给出了 反向超压缩不等式（Reverse Hypercontractive Inequality） 的形式化表述及其证明。
大作业
暂无预览
习题 2
试引入适当的无量纲的空间和时间变量，将一维有限区域上均匀介质中无源热流运动在齐次 Dirichlet 边界条件下的初边值问题化为定义在 \((0,1) \times \mathbb{R}_+\) 上的标准形式的模型问题 \((2.2.1) \sim (2.2.3)\) 。
习题 1
设 \(\Omega\) 是一个 \(\mathbb{R}^n\) 中具有 Lipschitz 连续边界的有界开集， \(\partial \Omega_D\) 对应 Dirichlet 边界。在 \(\Omega\) 上定义网格，若最大步长 \(h_{max}\) 与最小步长 \(h_{min}\) 满足 \(\frac{h_{max}}{h_{min}}\le C\) ，则称该网格为拟一致网格。特别的若网格为均匀网格，则称该网格为一致网格。
Numerical Linear Algebra
Metric (度量) \(d(x, y)\) : 定义集合上的距离。映射 \(d: X \times X \to \mathbb{R}_{\ge 0}\) 满足： \(d(x, y) \ge 0\) 且 \(d(x, y) = 0 \iff x = y\) (非负性 & 唯一性) \(d(x, y) = d(y, x)\) (对称性) \(d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)\) (三角不等式)
第四章：有限元理论与有限元方法
1950s, 美国与德国 ：航空工程与机械工程领域。代表人物：Plantl 和 Coniant。 1950s, 苏联 ：基础数学与 Sobolev 空间。代表人物：Sobolev。 1965, 中国 ：基于变分原理的差分格式。代表人物：冯康（Kang Feng）。 他的十六字方针： 分整为零、裁弯取直、以简驭繁、化难为易 。
数据科学专题：集中不等式与熵方法
记录累积量生成函数（CGF）、尾部概率与集中不等式、二次型、Lipschitz 函数、熵方法及矩阵集中不等式。
凸分析
我们只考虑 \(\mathbb{R}^n\) 空间上的优化问题。 所有的向量约定为列向量。 \('\) 表示转置。 \(x'y\) 为 \(\sum_{i=1}^{n}\) 表示 \(x\) 和 \(y\) 的内积。 \(||x||_2 = (x'x)^{1/2}\) 为 \(x\) 的欧几里得范数。
凸多面体
一个 超平面(hyperplane) 是形如 \[H=\left\{ x\Big| a'x=b\right\}\] 的集合，其中 \(a\in \mathbb{R}^n,b\in \mathbb{R}\) 且 \(a\neq 0\) 。
凸优化
对任意 \(f:\mathbb{R}^n\rightarrow [-\infty,+\infty]\) ，其 共轭凸函数(conjugate convex function) 定义为 \[f^*(y)=\sup_{x\in \mathbb{R}^n} (x'y -f(x)), \forall y\in \mathbb{R}^n.\]
几何对偶框架
设 \(M\) 是 \(\mathbb{R}^{n+1}\) 的非空子集。 最小公共点问题(minimum common point problem) ：寻找点 \((x,w)\in M\) 使得 \(w\) 最小化。
凸优化课程作业
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第三章：双曲型方程的有限差分法
线性双曲型偏微分方程：输运方程、波动方程、特征线。 线性混合方程：对流扩散方程、拟线性双曲型方程。 双曲守恒律：通量、总变差减小、激波、Godunov 方法、ENO / WENO 格式、黎曼求解器。
第二章：抛物型方程的有限差分法
我们考虑带有初值和 Dirichlet 边界条件的一维热方程：
Chapter1
首先我们给出推广的定义。考虑高维 PDE
Chapter0
我们考虑一般形式的二阶PDE：
第一章：域
\((F,+,\cdot)\) 称为 域(field) ，若满足：
第二章：尺规作图与分裂域
在本节中我们讨论尺规作图问题。
第三章：可分扩张与正规扩张
域 \(F\) ， \(f(x)\in F[x]\) 称为 可分多项式(separable polynomial) 若 \(f(x)\) 的每个不可约因子在 \(f(x)\) 的分裂域中均无重根。
第四章：Galois 扩张与 Galois 对应
一个有限正规可分域扩张 \(E/F\) 称为 Galois 扩张 。
第五章：有限域、分圆域与 Kummer 理论
\(\forall n>0\) ，存在同构意义下唯一的域 \(F\) 满足 \(\left|F\right|=p^n\)
第六章：根式可解性
有限扩张 \(E/F\) 称为 根式扩张(radical extension) ，若存在一个 根塔(root tower) ： \(F=F_1\subset F_2\subset \cdots \subset F_r=E\) ，其中 \(F_{i+1}=F_i(d_i),d_i^{n_i}\in F\) 。
第七章：环与模
\((R,+,\cdot)\) 称为 环(ring) ，若满足：
第八章：局部化与整相关性
给定环 \(R\) ，乘性子集 \(S\subset R\) 使得 \(1\in S\) 且若 \(a,b\in S\) 则 \(ab\in S\) 。我们定义 \(R\times S\) 上的等价关系： \((a,s)~(b,t)\leftrightarrow \exists u\in S,(at-bs)u=0\) 。由该等价关系导出的等价类记为 \(S^{-1}R\) 称为 \(R\) 对 \(S\) 的 分式环(ring of fractions) 。
第九章：Noether 模与 Artin 模
\(R-\) 模 \(M\) 称为 Noether 模，若其满足升链条件： \(M_1\subset M_2\subset \cdots\Longrightarrow \exists k,M_k=M_{k+1}=\cdots\) 。
第十章：Dedekind 整环与完备性
我们在前文讨论了维数为 \(0\) 的 Noether 环。在本节中，我们来讨论维数为 \(1\) 的 Noether 整环.即任意非零素理想都是极大的。
交换代数
环与环同态
第一章：表示
我们回忆一些代数的基本知识。 \(k[x_1,\cdots,x_n]\) 是关于 \(x_1,\cdots,x_n\) 的多项式构成的代数， \(k\left<x_1,\cdots,x_n\right>\) 是 自由代数 ， \(k[G]\) 是由基 \(\left\{a_g,g\in G\right\}\) 生成的 群代数 。一个代数称为 交换的 若 \(ab=ba\) 对任意 \(a,b\in A\) 。
第二章：表示理论的一般结论
设 \(A\) 是代数。
第三章：有限群的表示：一些基本结论
设 \(G\) 是有限群， \(k\) 是域且 \(\mathrm{char}k\nmid \left|G\right|\) ，则：
第四章：有限群的表示：一些进阶结论
设 \(G\) 为有限群， \(V/\mathbb{C}\) 为 \(G\) 的不可约表示。
第五章：对称群 S_n 的表示
一个 划分(partition) 为任意(有限或无限)非负整数序列 \(\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots)\) 满足 \(\lambda_1\ge \lambda_2\ge \cdots\) 且仅含有限多个非零元。有时我们将 \(\lambda\) 记作 \((1^{m_1}2^{m_2}\cdots)\) ，其中 \(m_i=\#\left\{j\Big| \lambda_{j}=i\right\}\) 。仅当两个划分仅相差末尾的 \(0\) 时，称这两个划分相等，例如 \((3,1)=(3,1,0)=(3,1,0,0,\cdots)\)
第六章：GL₂(𝔽_q) 与 SL₂(𝔽_q) 的表示
群 \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)\) （即元素取自有限域 \(\mathbb{F}_q\) 的可逆 \(2 \times 2\) 矩阵群，其中 \(q\) 是素数的幂）及其子群 \(\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_q)\) （由行列式为 1 的矩阵组成）构成了另一类重要的有限群。商群 \(\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_q) = \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)/\mathbb{F}_q^*\) 是有限射影直线 \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\) 的自同构群。商群 \(\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) = \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_q)/\{\pm 1\}\) 在 \(q \neq 2, 3\) 时是单群。本节将概述这些群的表示理论。
第七章：箭图表示
设 \(\Gamma\) 是以 \(I=\left\{1,2,\cdots,N\right\}\) 为顶点， \(E\) 为边的图。本节中约定 \(\Gamma\) 是联通的，且不含自环。
第八章：Okounkov–Vershik 对 S_n 表示的新方法
动机： \(\left\{1\right\}=S_1\subseteq S_2 \subseteq S_3\subseteq \cdots \subseteq S_{n-1}\subseteq S_n\subseteq \cdots\) ，其中 \(S_k\) 可以视作 \(S_{k+1}\) 的子群（固定 \(k+1\) ）。
第一章：微分流形与切向量
设 \(M\) 是一个第二可数的 Hausdorff 空间，满足对任意 \(p\in M\) ，都存在包含 \(p\) 的开集 \(U\) ，使得 \(U\) 与 \(\mathbb{R}^n\) 中的开集同胚，则称 \(M\) 是一个 \(n\) 维拓扑流形 。
第二章：特殊函数构造、向量场与李群
\(C\subset \mathbb{R}^n\) 闭， \(K\subset \mathbb{R}^n\) 紧， \(K\cap C=\emptyset\) ，那么存在 \(C^\infty\) 函数 \(\rho:\mathbb{R}^n\rightarrow [0,1],\left.\rho\right|_K\equiv 1,\left.\rho\right|_C\equiv 0\)
第三章：微分形式及流形上的积分
约定 \(V\) 为 \(n\) 维实线性空间，如果映射 \(f:V\rightarrow \mathbb{R}\) 满足
第四章：微分形式的应用
设 \(D\) 为一个 \(r\) 维分布，设局部存在 \(\theta_a,a=1,2,\cdots,n-r\in A^1(\text{局部})\) ，使得在局部上
第五章：流形上的微积分
接下来我们来考虑流形上的定向、流形上的积分、带边流形上的积分，介绍 Stokes 定理与高斯绝妙定理。
第六章：曲线的微分几何
\(M\) 上的一条 参数化曲线 \(C\) 为一个光滑映射，
第七章：ℝ³ 中曲面的微分几何
一个 参数化曲面 为一个光滑映射：
第一章：前言：Jordan 测度与 Riemann 积分
在 Jordan 测度前，我们先考虑更简单的情形，即简单集合。
第二章：Lebesgue 测度
Jordan 测度的问题在于，当一个集合内部的空隙太多时，如 \([0,1]^2\setminus \mathbb{Q}^2\) ，内测度与外测度就不相等，这是我们希望改进的。同时无限交和无限并不能保持 Jordan 可测性。我们通过 Jordan 外测度的定义来引出 Lebesgue 外测度的定义：
第三章：Lebesgue 积分
本章中，我们将通过 Lebesgue 测度定义函数 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\cup \left\{\infty\right\}\) 的 Lebesgue 积分
第四章：抽象测度空间
至此，我们对测度的讨论都在 \({\mathbb{R}^d}\) 上，下面我们考虑更一般的空间 \(X\) 上的测度。
第五章：收敛模式
称序列 \(f_n\) 逐点收敛(pointwise) 到 \(f\) ，若对每个 \(x \in X\) ，有 \(f_n(x)\) 收敛到 \(f(x)\) 。换言之，对任意 \(\varepsilon > 0\) 和 \(x \in X\) ，存在 \(N\) ，使得当 \(n \geq N\) 时，
第六章：外测度、预测度和积测度
令 \(X\) 为集合， 抽象外测度(abstract outer measure) 为映射 \(\mu^*:2^X\rightarrow [0,+\infty]\) 满足：
中级微观经济学
写在前面