数分
参考书：梅加强
注：本文仅作为本人复习笔记，大部分的简单定义并不会给出，不能用作初学者的教材。
确界定理 设 \(A\subset \mathbb{R}\) 非空，若 \(A\) 有上界，则 \(A\) 有上确界，记为 \(\sup A\)；若 \(A\) 有下界，则 \(A\) 有下确界，记为 \(\inf A\)。
确界的刻画 设 \(A\subset \mathbb{R}\) 非空，若 \(A\) 以 \(\beta\) 为上界，则 \(\beta=\sup A\) 当且仅当对任意正整数 \(n\)，存在 \(a_n\in A\) 满足 \(a_n>\beta-\frac{1}{n}\)；若 \(A\) 以 \(\alpha\) 为下界，则 \(\alpha=\inf A\) 当且仅当对任意正整数 \(n\)，存在 \(a_n\in A\) 满足 \(a_n<\alpha+\frac{1}{n}\)。
Cauchy列 设 \(\{a_n\}\) 为数列，如果任给 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(N=N(\varepsilon)\)，当 \(m,n>N\) 时，有
则称 \(\{a_n\}\) 为 Cauchy 列。
Cauchy 准则 数列 \(\{a_n\}\) 收敛当且仅当 \(\{a_n\}\) 为 Cauchy 列。
区间套 设 \(\{I_n\}\) 为一列区间，如果 \(I_1\supset I_2\supset I_3\supset \cdots\)，则称 \(\{I_n\}\) 为区间套，当 \(\{I_n\}\) 均为闭区间时，称为闭区间套。
闭区间套定理(Cantor) 设 \(\{[a_n,b_n]\}\) 为闭区间套，如果 \(\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0\)，则这些区间有一个唯一的公共点。
开集 设 \(U\subset \mathbb{R}\)，如果对任意 \(x\in U\)，存在 \(\varepsilon=\varepsilon(x)>0\)，使得 \((x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset U\)，则称 \(U\) 为 \(\mathbb{R}\) 中的开集。
闭集 如果一个集合在 \(\mathbb{R}\) 中的补集是开集，则称该集合为 \(\mathbb{R}\) 中的闭集。
Heine-Borel 设 \(\left\{U_\alpha\right\}_{\alpha \in \Gamma}\) 为 \(\mathbb{R}\) 中的开集族，如果 \([a,b]\subset \bigcup_{\alpha \in \Gamma} U_\alpha\)，则存在有限子集 \(\left\{U_{\alpha_1}, U_{\alpha_2}, \ldots, U_{\alpha_n}\right\}\) 使得 \([a,b]\subset \bigcup_{i=1}^{n} U_{\alpha_i}\)。
Bolzano 有界数列必有收敛子列。
Heine 设函数 \(f\) 在 \(x_0\) 的一个空心开邻域内有定义，则 \(f\) 在 \(x_0\) 处的极限为 \(\alpha\) 当且仅当对空心开邻域中任何收敛于 \(x_0\) 的数列 \(\{x_n\}\)，都有 \(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\alpha\)。
Cauchy 设 \(f\) 在 \(x_0\) 的空心开邻域中有定义，则 \(f\) 在 \(x_0\) 处有极限当且仅当任给 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得当 \(x,y\in V(x_0,\delta)\) 时，有 \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\)。
振幅 设 \(f\) 为区间 \(I\) 中的有界函数，记
称为 \(f\) 在 \(I\) 中的振幅。设 \(x_0\in I\)，当 \(n\) 为正整数时，记
显然，数列 \(\left\{\omega_n(f;x_0)\right\}\) 单调递减且有界，其极限记为 \(\omega(f;x_0)\)，称为 \(f\) 在 \(x_0\) 处的振幅。
最值定理 设 \(f\in C^0[a,b]\)，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 中必定取到最大值和最小值，即存在 \(x_*,x^*\in[a,b]\)，使得
零值定理 设 \(f\in C^0[a,b]\)，如果 \(f(a)f(b)\le 0\)，则存在 \(\xi \in [a,b]\)，使得 \(f(\xi)=0\)。
介值定理 设 \(f\in C^0[a,b]\)，如果 \(f(a)<\mu <f(b)\)，则存在 \(\xi \in (a,b)\)，使得 \(f(\xi)=\mu\)。
Cantor 闭区间中的连续函数是一致连续的。
积分中值定理 设 \(f,g\in C^0[a,b]\)。如果 \(g\) 不变号，则存在 \(\xi\in [a,b]\)，使得
Weierstrass 逼近定理 设 \(f\in C^0[a,b]\)，则任给 \(\varepsilon>0\)，存在多项式 \(P(x)\)，使得 \(|P(x)-f(x)|<\varepsilon\) 在 \([a,b]\) 中处处成立。
4.2.13 设 \(f\in C^0[a,b]\)，如果 \(f\) 在 \((a,b)\) 中左导数存在且恒为零，证明 \(f\) 恒为常数。
证明： 引理： 设 \(f\in C^0[a,b]\)，如果 \(f\) 在 \((a,b)\) 中左导数存在且定号，则 \(f\) 在 \((a,b)\) 上单调。
不妨 \(f'_-(x)>0\)。若不然，存在 \(x_1<x_2\)，使得 \(f(x_1)> f(x_2)\)。考虑
则 \(S\) 非空，由 \(f\) 连续得到 \(S\) 是闭集，因而 \(c=\inf S\in S\)。由 \(f(c)\le f(x_2)<f(x_1)\)，故 \(c\in (x_1,x_2]\)。因此
矛盾！由引理，考虑 \(f+\epsilon x\) 和 \(f-\epsilon x\)，可知 \(f\) 恒为常数。
Wallis \(I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\mathrm{d}x\)，则 \(I_{2n}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{\pi}{2}\)，\(I_{2n+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\)。
Euler 替换 可以考虑 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+t, tx+\sqrt{c}, t(x-\alpha)\) 换元，其中 \(\alpha\) 为 \(ax^2+bx+c=0\) 的实根。
4.4.6 设 \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上可微，且满足条件
证明 \(f\) 为次数不超过 2 的多项式。
4.4.7 设 \(f\) 在 \((0,+\infty)\) 中可导且 \(2f(x)=f(x^2)\)，证明 \(f(x)=c\ln x\)。
4.4.8 设 \(p,q\) 为连续函数，\(f\) 在 \([a,b]\) 上满足方程 \(f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=0\)，且 \(f(a)=f(b)=0\)，证明 \(f\equiv 0\)。
Fermat 设 \(x_0\) 是函数 \(f\) 在 \(I\) 中的极值点，如果 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导，且 \(x_0\) 为 \(I\) 的内点，则 \(f'(x_0)=0\)。
5.1.10 设连续函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 中有唯一的极值点，则该极值点为最值点。
Darboux 设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可导，则 \(f'\) 可以取到介于 \(f'_+(a)\) 和 \(f'_-(b)\) 之间的任意值。
反函数定理 设 \(f\) 在 \(I\) 中可导，如果 \(f'\) 处处非零，则函数 \(f:I\to f(I)\) 可逆，且其反函数也可导。
Rolle 设 \(f\in C^0[a,b]\)。如果 \(f\) 在 \((a,b)\) 中可导且 \(f(a)=f(b)\)，则存在 \(\xi\in(a,b)\)，使得 \(f'(\xi)=0\)。
Lagrange 设 \(f\in C^0[a,b]\)。如果 \(f\) 在 \((a,b)\) 中可导，则存在 \(\xi\in(a,b)\)，使得
Cauchy 设 \(f,g\in C^0[a,b]\) 且在 \((a,b)\) 中可导。如果 \(g'\) 在 \((a,b)\) 中处处非零，则存在 \(\xi \in (a,b)\)，使得
凸函数 设 \(f\) 为区间 \(I\) 中定义的函数，如果任给 \(a\neq b\in I\) 以及 \(t\in(0,1)\)，都有
则称 \(f\) 为 \(I\) 中的凸函数，不等式反号时称为凹函数。
Jensen 设 \(f\) 为区间 \(I\) 中的凸函数，任给 \(\left\{x_i\right\}_{i=1}^{n}\subset I\)，当 \(\lambda_i\ge 0\) 且 \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1\) 时，有
Taylor 设 \(f\) 为 \(n\) 阶可导函数，则
其中 \(\xi=x_0+\theta(x-x_0),\zeta=x_0+\theta'(x-x_0)\)，且 \(0<\theta,\theta'<1\)。