实分析 Part 4 of 6

04

第 4 章：抽象测度空间

至此，我们对测度的讨论都在 \({\mathbb{R}^d}\) 上，下面我们考虑更一般的空间 \(X\) 上的测度。

发布于 2025-11-19 更新于 2026-10-15 2,562 字 · 约 7 分钟

§ 01Boolean 代数

定义 1.1

设 \(X\) 为任意集合。\(X\) 上的Boolean 代数 为 \(X\) 的子集族 \(\mathcal{B}\) 满足：

• \(\emptyset\in \mathcal{B}\)。
• 若 \(E\in \mathcal{B}\)，则 \(E^c:=X\setminus E\in\mathcal{B}\)。
• 若 \(E,F\in \mathcal{B}\)，则 \(E\cup F\in \mathcal{B}\)。

例 1.2Atomic algebra

将空间 \(X\) 分成不交的集合 \(\bigcup_{\alpha\in I} A_\alpha\)，这里 \(A_\alpha\) 称作 原子(atom)。这些集合生成 Boolean 代数 \(\mathcal{A}:=\left\{\bigcup_{\alpha\in J} A_\alpha\Big| J\subset I\right\}\)，称作原子代数。

命题 1.3

设 \((\mathcal{B}_\alpha)_{\alpha\in I}\) 为 \(X\) 的一族 Boolean 代数，则 \(\land_{\alpha\in I} \mathcal{B}_\alpha:=\bigcap_{\alpha\in I} \mathcal{B}_\alpha\) 也为 Boolean 代数。

定义 1.4

令 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 的子集族，定义 \(\left<\mathcal{F}\right>_{\text{bool}}\) 为所有包含 \(\mathcal{F}\) 的 Boolean 代数的交。称之为 \(\mathcal{F}\) 生成的 Boolean 代数。

§ 02\(\sigma-\)代数和可测空间

定义 2.1\(\sigma-\)代数

设 \(X\) 为任意集合。\(X\) 上的 \(\sigma-\)代数 为 \(X\) 的子集族 \(\mathcal{B}\) 满足：

• \(\emptyset\in \mathcal{B}\)。
• 若 \(E\in \mathcal{B}\)，则 \(E^c:=X\setminus E\in\mathcal{B}\)。
• 若 \(E_1,E_2,\cdots\in \mathcal{B}\)，则 \(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\in \mathcal{B}\)。

命题 2.2

设 \((\mathcal{B}_\alpha)_{\alpha\in I}\) 为 \(X\) 的一族 \(\sigma-\)代数，则 \(\land_{\alpha\in I} \mathcal{B}_\alpha:=\bigcap_{\alpha\in I} \mathcal{B}_\alpha\) 也为 \(\sigma-\)代数。

定义 2.3

令 \(\mathcal{F}\) 为 \(X\) 的子集族，定义 \(\left<\mathcal{F}\right>\) 为所有包含 \(\mathcal{F}\) 的 \(\sigma-\)代数的交。称之为 \(\mathcal{F}\) 生成的 \(\sigma-\)代数。

定义 2.4

令 \(X\) 为度量空间，由 \(X\) 中所有开集生成的 \(\sigma-\)代数称为 \(X\) 的 Borel \(\sigma\)-代数，记作 \(\mathcal{B}[X]\)，其中的元素称为 Borel 可测的。

命题 2.5

\(\mathcal{B}[{\mathbb{R}^d}]\) 是由下任意一者生成的 \(\sigma-\)代数：

• \({\mathbb{R}^d}\) 中的开集；
• \({\mathbb{R}^d}\) 中的闭集；
• \({\mathbb{R}^d}\) 中的紧集；
• \({\mathbb{R}^d}\) 中的开球；
• \({\mathbb{R}^d}\) 中的长方体；
• \({\mathbb{R}^d}\) 中的简单集合。

\((X,\mathcal{B})\) 称为可测空间(measurable space)。

§ 03可数可加测度和测度空间

定义 3.1

设 \(\mathcal{B}\) 是空间 \(X\) 上的 Boolean 代数，一个 \(\mathcal{B}\) 上的(无符号)有限可加测度(finitely additive measure) \(\mu\) 为映射 \(\mu:\mathcal{B}\rightarrow [0,+\infty]\) 满足：

• \(\mu(\emptyset)=0\)。
• 对不交的 \(E,F\in \mathcal{B}\)，\(\mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)\)。

定义 3.2

设 \(\mathcal{B}\) 是空间 \(X\) 上的 Boolean 代数，一个 \(\mathcal{B}\) 上的(无符号)可数可加测度(countably additive measure) \(\mu\) 为映射 \(\mu:\mathcal{B}\rightarrow [0,+\infty]\) 满足：

• \(\mu(\emptyset)=0\)。
• 对不交的 \(E_1,E_2,\cdots\in \mathcal{B}\)，\(\mu(\bigcup_{n=1}^\infty E_n)=\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)\)。

\((X,\mathcal{B},\mu)\) 称为测度空间(measure space)。

命题 3.3

设 \((X,\mathcal{B})\) 是可测空间。

• 若 \(\mu\) 是 \(\mathcal{B}\) 的可数可加测度，\(c\in [0,+\infty]\)，则 \(c\mu\) 也是可数可加测度。
• 若 \(\mu_1,\mu_2,\cdots\) 是 \(\mathcal{B}\) 的可数可加测度，则 \(\sum_{n=1}^\infty \mu_n:E\rightarrow \sum_{n=1}^\infty \mu_n(E)\) 也是可数可加测度。

命题 3.4

设 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 是测度空间。

• (可数次可加性)对 \(E_1,E_2,\cdots\in \mathcal{B}\)，\(\mu(\bigcup_{n=1}^\infty E_n)\le\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)\)。

• (向上单调收敛)若 \(E_1\subset E_2\subset \cdots\) 是 \(\mathcal{B}-\)可测的，则

  \[ \mu(\bigcup_{n=1}^\infty E_n)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mu(E_n)=\sup_n \mu(E_n) \]

• (向下单调收敛)若 \(E_1\supset E_2\supset \cdots\) 是 \(\mathcal{B}-\)可测的，且至少一个 \(\mu(E_n)<\infty\)，则

  \[ \mu(\bigcap_{n=1}^\infty E_n)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mu(E_n)=\inf_n \mu(E_n) \]

定义 3.5

测度空间 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 中测度为零的 \(\mathcal{B}-\)可测集称为零测集(null set)。零测集的子集称为子零测集(sub-null set)。一个测度空间称为完备的(complete)，若任意子零测集都是零测集。

命题 3.6

测度空间 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 存在唯一的完备测度空间 \((X,\overline{\mathcal{B}},\overline{\mu})\)。事实上，

\[ \overline{\mathcal{B}}=\left\{B\setminus N\Big| B\in \mathcal{B},N \text{ 为 }\mathcal{B}-\text{子零测}\right\} \]

命题 3.7

Lebesgue 测度空间 \(({\mathbb{R}^d},\mathcal{L}[{\mathbb{R}^d}],m)\) 是 Borel 测度空间 \(({\mathbb{R}^d},\mathcal{B}[{\mathbb{R}^d}],m)\) 的完备。

§ 04测度空间上的可测函数与积分

定义 4.1

设 \((X,\mathcal{B})\) 为可测空间，\(f:X\rightarrow [0,+\infty]\) 或 \(f:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为无符号或复值函数。称 \(f\) 是可测的若任意开集 \(U\subset [0,+\infty]\) 或 \(\mathbb{C}\)，\(f^{-1}(U)\) 是 \(\mathcal{B}-\)可测的。

命题 4.2

设 \((X,\mathcal{B})\) 是可测空间。

• \(f:X\rightarrow [0,+\infty]\) 可测当且仅当对任意 \(\left\{x\in X\Big| f(x)>\lambda\right\}\) 是 \(\mathcal{B}-\)可测的。
• 示性函数 \(1_E\) 可测当且仅当 \(E\) 是 \(\mathcal{B}-\)可测。
• \(f:X\rightarrow [0,+\infty]\) 或 \(f:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为无符号或复值函数，\(f\) 是可测的当且仅当任意 Borel-可测集 \(E\subset [0,+\infty]\) 或 \(\mathbb{C}\)，\(f^{-1}(E)\) 是 \(\mathcal{B}-\)可测的。
• \(f:X\rightarrow \mathbb{C}\) 是可测的当且仅当实部和虚部都是可测的。
• \(f:X\rightarrow \mathbb{R}\) 是可测的当且仅当 \(f_+\) 和 \(f_-\) 都是可测的。
• 若 \(f_n:X\rightarrow [0,\infty]\) 是一列可测函数逐点收敛于 \(f:X\rightarrow [0,+\infty]\)，则 \(f\) 可测。将 \([0,+\infty]\) 改成 \(\mathbb{C}\) 命题也成立。
• \(f:X\rightarrow [0,+\infty]\) 是可测函数，\(\phi:[0,+\infty]\rightarrow [0,+\infty]\) 连续，则 \(\phi\circ f\) 是可测函数。将 \([0,+\infty]\) 改成 \(\mathbb{C}\) 命题也成立。
• 证明两个 \([0,+\infty]\) 或 \(\mathbb{C}\) 上的可测函数的和或积还是可测函数。

定理 4.3Egorov 定理

令 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 为有限测度空间，\(f_n:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为一列可测函数几乎处处逐点收敛于 \(f:X\rightarrow \mathbb{C}\)，对任意 \(\epsilon>0\)，存在可测集 \(E\)，\(\mu(E)\le \epsilon\) 满足 \(f_n\) 在 \(E\) 外一致收敛于 \(f\)。

定义 4.4

可测空间 \((X,\mathcal{B})\) 上的 简单函数 \(f:X\rightarrow [0,+\infty]\) 为可测函数且取值 \(a_1,\cdots,a_k\) 有限。定义积分

\[ \mathrm{Simp} \int_X f\mathrm{d} \mu:=\sum_{j=1}^k a_j \mu(f^{-1}(\left\{a_j\right\})) \]

命题 4.5

设 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 为测度空间，\(f,g:X\rightarrow [0,+\infty]\) 是简单函数。

• 若 \(f\le g\)，则

  \[ \mathrm{Simp}\int_X f\mathrm{d} \mu\le \mathrm{Simp} \int_X g\mathrm{d} \mu \]

• 对任意 \(\mathcal{B}-\)可测集 \(E\)，有

  \[ \mathrm{Simp} \int_X 1_E\mathrm{d} \mu =\mu(E) \]

• 对任意 \(c\in [0,+\infty]\)，有

  \[ \mathrm{Simp} \int_X cf\mathrm{d} \mu=c\times \mathrm{Simp} \int _X f\mathrm{d} \mu \]
• \[ \mathrm{Simp} \int_X (f+g)\mathrm{d} \mu =\mathrm{Simp} \int_X f\mathrm{d} \mu +\mathrm{Simp} \int_X g\mathrm{d} \mu \]

• 若 \((X,\mathcal{B}',\mu')\) 是 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 的加细，即 \(\mathcal{B}'\supset \mathcal{B}\) 且 \(\mu'\big|_\mathcal{B}=\mu\)，则

  \[ \mathrm{Simp} \int_X f\mathrm{d} \mu=\mathrm{Simp} \int _X f\mathrm{d} \mu' \]

• 若 \(f,g\) 在测度 \(\mu\) 意义下几乎处处相等，则

  \[ \mathrm{Simp} \int_X f\mathrm{d}\mu =\mathrm{Simp} \int _X g\mathrm{d} \mu \]

• \(\mathrm{Simp} \int_X f\mathrm{d} \mu<\infty\) 当且仅当 \(f\) 几乎处处有限且支集测度有限。

• \(\mathrm{Simp} \int_X f\mathrm{d} \mu=0\) 当且仅当 \(f\) 几乎处处为 \(0\)。

定义 4.6

令 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 是测度空间，\(f:X\rightarrow [0,+\infty]\) 可测，则我们定义

\[ \int_Xf\mathrm{d} \mu=\sup_{\substack{0\le g\le f\\ g \text{ 简单函数}}} \mathrm{Simp} \int_X g\mathrm{d} \mu \]

命题 4.7

令 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 是测度空间，\(f,g:X\rightarrow [0,+\infty]\) 是可测函数。

• 若 \(f=g\) 几乎处处成立，则

  \[ \int_X f\mathrm{d} \mu =\int_X g\mathrm{d} \mu \]

• 若 \(f\le g\) 几乎处处成立，则

  \[ \int_X f\mathrm{d} \mu \le\int_X g\mathrm{d} \mu \]

• 对任意 \(c\in [0,+\infty]\)，有

  \[ \int_X cf\mathrm{d} \mu=c\times \int _X f\mathrm{d} \mu \]
• \[ \int_X (f+g)\mathrm{d} \mu\ge \int_X f\mathrm{d}\mu +\int_X g\mathrm{d}\mu \]

• 若 \(f\) 是简单函数，则

  \[ \mathrm{Simp} \int_X f\mathrm{d} \mu =\int _X f\mathrm{d} \mu \]

• (Markov 不等式)对任意 \(0<\lambda <\infty\)，有

  \[ \mu\left(\left\{x\in X\Big| f(x)\ge \lambda \right\}\right)\le \frac{1}{\lambda}\int_X f\mathrm{d} \mu \]

• \(\int_X f\mathrm{d} \mu<\infty\) 当且仅当 \(f\) 几乎处处有限且支集测度有限。

• \(\int_X f\mathrm{d} \mu=0\) 当且仅当 \(f\) 几乎处处为 \(0\)。

• \[ \lim_{n\rightarrow \infty}\int_X \min(f,n)\mathrm{d} \mu=\int_X f\mathrm{d} \mu \]

• 设 \(E_1\subset E_2\subset\cdots\) 是 \(\mathcal{B}-\)可测集，则

  \[ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_X f1_{E_n}\mathrm{d} \mu=\int_X f1_{\bigcup_{n=1}^\infty E_n}\mathrm{d} \mu \]

• 设 \(Y\) 是 \(X\) 的可测子集，则

  \[ \int_X f1_X\mathrm{d}\mu=\int_Y f\big|_Y \mathrm{d} \mu\big|_Y \]

定理 4.8

令 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 是测度空间，\(f,g:X\rightarrow [0,+\infty]\) 是可测函数。则

\[ \int_X(f+g)\mathrm{d} \mu=\int_X f\mathrm{d} \mu+\int_X g\mathrm{d} \mu \]

定义 4.9

从一个可测空间 \((X, \mathcal{B})\) 到另一个可测空间 \((Y, \mathcal{C})\) 的可测态射(measurable morphism) \(f\) 为一个函数 \(f: X \to Y\)，满足对每个 \(\mathcal{C}\)-可测集 \(E\)，原像 \(f^{-1}(E)\) 是 \(\mathcal{B}\)-可测的。

命题 4.10

令 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 是测度空间，\(\phi:X\rightarrow Y\) 是可测态射，定义 \(\phi\) 对 \(\mu\) 的拉回 \(\phi_*\mu :\mathcal{C}\rightarrow [0,+\infty]\) 为 \(\phi_*\mu(E):=\mu(\phi^{-1}(E))\)。

• \(\phi_*\mu\) 是 \(\mathcal{C}\) 上的测度，即 \((Y,\mathcal{C},\phi_*\mu)\) 是测度空间。

• 若 \(f:Y\rightarrow [0,+\infty]\) 可测，则

  \[ \int_Y f\mathrm{d} \phi_*\mu=\int_X(f\circ \phi)\mathrm{d} \mu \]

定义 4.11

令 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 是测度空间，可测函数 \(f:X\rightarrow \mathbb{C}\) 称为绝对可积的，若

\[ \left\|f\right\|_{L^1(X,\mathcal{B},\mu)}:=\int_X\left|f\right|\mathrm{d} \mu \]

有限，并用 \(L^1(X,\mathcal{B},\mu),L^1(X),L^1(\mu)\) 表示绝对可积函数空间。

若 \(f\) 是实值且绝对可积的，则其积分 \(\int_X f(x) \, \mathrm{d} \mu\) 定义为

\[ \quad \int_X f(x) \, \mathrm{d} \mu := \int_{X} f_+(x) \, \mathrm{d} \mu - \int_{X} f_-(x) \, \mathrm{d} \mu, \]

若 \(f\) 是复值且绝对可积的，则其积分 \(\int_{X} f(x) \, \mathrm{d} \mu\) 定义为

\[ \int_{X} f(x) \, \mathrm{d} \mu := \int_{X} \operatorname{Re} f(x) \, \mathrm{d} \mu + i \int_{X} \operatorname{Im} f(x) \, \mathrm{d} \mu, \]

§ 05收敛定理

定理 5.1单调收敛定理

令 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 是测度空间，\(0\le f_1\le f_2\le \cdots\) 为 \(X\) 上的单调不减的无符号可测函数列，则我们有

\[ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_X f_n \mathrm{d} \mu =\int_X \lim_{n\rightarrow \infty} f_n\mathrm{d} \mu \]

推论 5.2

令 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 是测度空间，\(f_1,f_2,\cdots:X\rightarrow [0,+\infty]\) 为一列无符号可测函数，则

\[ \int_X \sum_{n=1}^\infty f_n \mathrm{d} \mu=\sum_{n=1}^\infty \int _X f_n \mathrm{d} \mu \]

推论 5.3Borel-Cantelli lemma

令 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 是测度空间，\(E_1,E_2,\cdots\) 为一列 \(\mathcal{B}-\)可测集满足

\[ \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)<\infty \]

则几乎所有的 \(x\in X\) 仅被包含于有限个 \(E_n\) 中。

推论 5.4Fatou's lemma

令 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 是测度空间，\(f_1,f_2,\cdots:X\rightarrow [0,+\infty]\) 为一列无符号可测函数，则

\[ \int_X \liminf_{n\rightarrow \infty} f_n\mathrm{d} \mu \le \liminf_{n\rightarrow \infty } f_n \mathrm{d} \mu \]

定理 5.5控制收敛定理

令 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 是测度空间，\(f_1,f_2,\cdots:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为一列可测函数且几乎处处逐点收敛于可测函数 \(f:X\rightarrow \mathbb{C}\)。设存在无符号绝对收敛函数 \(G:X\rightarrow [0,+\infty]\) 满足对任意 \(n\)，\(\left|f_n\right|\le G\) 几乎处处成立，则我们有

\[ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_X f_n\mathrm{d} \mu=\int_X f\mathrm{d} \mu \]

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完

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