计算与应用数学 Part 3 of 7

第 3 章：线性微分方程的局部分析：常点与正则奇点

当精确解无法获得或过于复杂时，需采用近似方法。局部分析是基础步骤，旨在用初等函数在单点邻域内近似表示解。这些局部结果可通过全局分析拼接，形成解在整个区间上的均匀近似，为困难方程提供了实用且高效的初步处理工具。

发布于 2026-07-07 更新于 2026-10-15 6,726 字 · 约 19 分钟

§ 01线性微分方程的近似解法

1.1 齐次线性方程的奇点分类

本章沿用第一章的齐次线性微分方程形式：

\[ y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_1(x)y'(x) + p_0(x)y(x) = 0, \tag{3.1.1} \]

其中 \(y^{(k)}(x) = d^k y/dx^k\)。下述分类方案要求系数函数 \(p_0, \cdots, p_{n-1}\) 在复平面上有定义。

定义 1.1

若系数函数 \(p_0(x), \cdots, p_{n-1}(x)\) 均在复平面点 \(x_0 \neq \infty\)的邻域解析，则称 \(x_0\) 为 (3.1.1) 的常点(ordinary point)。

Fuchs (1866) 证明了在常点邻域内(3.1.1) 的所有 \(n\) 个线性无关解均解析。进一步，若在常点 \(x_0\) 将解展为Taylor级数 \(y(x) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i (x - x_0)^i\)，则收敛半径至少等于复平面上距最近系数函数奇点的距离。解的奇点位置必与某系数函数奇点重合。

例 1.2

方程 \((x^2 + 1)y' + 2xy = 0\) 以 \(0\) 为常点。解 \(y = (x^2 + 1)^{-1}\) 的Taylor级数收敛半径为 \(1\)，恰为 (3.1.1) 形式下系数奇点 \(x = \pm i\) 到常点的最小距离。

定义 1.3

若系数 \(p_0(x), \cdots, p_{n-1}(x)\) 不全解析，但函数 \((x - x_0)^n p_0(x)\), \((x - x_0)^{n-1} p_1(x), \cdots\), \((x - x_0) p_{n-1}(x)\) 均在 \(x_0\neq \infty\)邻域解析，则称 \(x_0\) 为 (3.1.1) 的正则奇点(regular singular point)。

(3.1.1) 的解在正则奇点可能解析；若非解析，其奇性必为极点、代数或对数支点。Fuchs 证明：至少存在一个形式如下的解：

\[ y = (x - x_0)^\alpha A(x), \tag{3.1.2} \]

其中 \(\alpha\) 为指标指数(indicial exponent)，\(A(x)\) 在 \(x_0\) 解析，且其Taylor级数收敛半径至少等于复平面上距最近系数奇点的距离。

例 1.4

方程 \(y' = y / \sinh x\) 在 \(0\) 处有正则奇点。解 \(y(x) = c \tanh (x/2)\)在 \(x=0\) 解析，但在 \(x = \pm i\pi\) 有极点。故 \(y(x)\) Taylor展开的收敛半径为 \(\pi\)，即系数函数 \(1/\sinh x\) 奇点到常点的最小距离。

若 (3.1.1) 阶数 \(n \geq 2\)，则存在第二个线性无关解，形式为以下两种之一：

\[ y = (x - x_0)^\beta B(x) \tag{3.1.3} \]

或

\[ y = (x - x_0)^\alpha A(x) \ln (x - x_0) + C(x)(x - x_0)^\gamma. \tag{3.1.4} \]

(3.1.3) 和 (3.1.4) 是 Euler 方程解在指标指数无重根和有重根情形的推广。\(A(x)\) 与 (3.1.2) 中函数相同，\(B(x)\) 和 \(C(x)\) 为新解析函数，收敛半径同样受限于最近系数奇点距离。

一般地，每个新线性无关解对应一个新解析函数，并伴有一个新指标指数或额外的 \(\ln (x - x_0)\) 幂次。因此，第 \(n\) 个解的最复杂形式为：

\[ y(x) = (x - x_0)^\delta \prod_{i=0}^{n-1} [\ln (x - x_0)]^i A_i(x), \tag{3.1.5} \]

所有函数 \(A_i(x)\) 均在 \(x_0\) 解析。反之，Fuchs 证明，若所有 \(n\) 个解均具有 (3.1.2) 至 (3.1.5) 的形式，则 \(x_0\) 至多为方程的正则奇点。

定义 1.5

若点 \(x_0 \neq \infty\)既非常点也非正则奇点，则称为 (3.1.1) 的非正则奇点(irregular singular point)。

虽无完备理论，但可断言在非正则奇点处，至少存在一个解不满足(3.1.2) 至 (3.1.5) 的形式。

至此有限复平面内的点分类已完成，对于无穷远点 \(x_0 = \infty\)，通过反演变换

\[ x = \frac{1}{t}, \quad \frac{d}{dx} = -t^2 \frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = t^4 \frac{d^2}{dt^2} + 2t^3 \frac{d}{dt}, \tag{3.1.6} \]

将无穷远点解析映射至原点，再对 \(t=0\) 分类。

定义 1.6

若 \(t=0\) 分别为常点、正则奇点或非正则奇点，则对应称 \(x_0 = \infty\) 为常点、正则奇点或非正则奇点。

以下示例展示解在常点、正则奇点及非正则奇点附近的行为。

例 1.7常点、正则奇点与非正则奇点对比

考虑方程：

\[ \frac{dy}{dx} - \frac{1}{2}y = 0, \tag{3.1.7} \]

\[ \frac{dy}{dx} - \frac{1}{2x}y = 0, \tag{3.1.8} \]

\[ \frac{dy}{dx} - \frac{1}{2x^2}y = 0. \tag{3.1.9} \]

变换 \(x = 1/t\) 得新方程：\(dy/dt + y/2t^2 = 0\), \(dy/dt + y/2t = 0\), \(dy/dt + y/2 = 0\)。

(3.1.7) 除 \(\infty\)（非正则奇点）外均为常点。解 \(y(x) = e^{-x/2}\) 解析，但在 \(x=\infty\) 有本性奇点。

(3.1.8) 除 \(0\) 和 \(\infty\)（正则奇点）外均为常点。解 \(y(x) = x^{-1/2}\) 解析，但在 \(x=0\) 和 \(x=\infty\) 有支点。

(3.1.9) 除 \(0\)（非正则奇点）外均为常点。解 \(y(x) = e^{1/(2x)}\) 在扩充复平面解析，但在 \(x=0\) 有本性奇点。

例 1.8常点处的Taylor级数

方程 \(y' + y/(x-1) = 0\) 在 \(1\) 和 \(\infty\) 有正则奇点。解 \(y(x) = (x-1)^{-1}\) 在 \(x=1\) 有极点，在 \(\infty\) 解析。解在 \(x=0\) 的Taylor级数 \(y(x) = \sum_{k=0}^{\infty} x^k\) 收敛半径为 \(1\)（距正则奇点 \(x=1\) 的距离）。

例 1.9收敛范围超越最近奇点的Taylor解

方程 \((x-1)(2x-1)y'' + 2xy' - 2y = 0\) 在 \(1/2, 1, \infty\) 有正则奇点。一解 \(y(x) = 1/(x-1)\) 在常点 \(x=0\) 的Taylor展开可超越最近奇点 \(x=1/2\)，但在 \(|x|=1\) 处发散。线性无关解 \(y(x) = x\) 在 \(x=0\) 的Taylor级数对所有 \(x\) 收敛。

例 1.10非正则奇点附近的本性奇性

方程 \(y' + 3y/2x + y/4x^3 = 0\) 在 \(0\) 有非正则奇点，在 \(\infty\) 有正则奇点。两线性无关解为 \(y(x) = \sin x^{-1/2}\) 和 \(y(x) = \cos x^{-1/2}\)。前者在原点有本性奇点（含 \(x=0\) 和 \(x=\infty\) 的支点），后者无支割线且在 \(x=\infty\) 解析。

例 1.11奇点附近的解析解

在正则或非正则奇点处，一个甚至多个线性无关解可能解析。

方程 \(y'' + (1-x)y'/x - y/x^2 = 0\) 在 \(0\) 有正则奇点，在 \(\infty\) 有非正则奇点。解 \(y(x) = (e^x-1-x)/x\) 在 \(x=0\) 解析，但在 \(\infty\) 有本性奇点；线性无关解 \(y(x) = (1+x)/x\) 在 \(x=0\) 有极点，在 \(\infty\) 解析。1.3 节例 1.10 的方程

\[ y'' - \frac{1+x}{x}y' + \frac{1}{x}y = 0, \tag{3.1.10} \]

在 \(0\) 有正则奇点，在 \(\infty\) 有非正则奇点。但两线性无关解

\[ y(x) = e^x, \quad y(x) = 1+x \tag{3.1.11} \]

均在 \(x=0\) 解析（前者在 \(\infty\) 有本性奇点，后者在 \(\infty\) 有极点）。一般地，所有线性无关解在正则奇点可能解析，但在非正则奇点至少有一解奇异。

例 1.12自变量变换消除奇点

方程 \(y' - 2x^{-1/2}y = 0\) 在 \(0\) 的非正则奇点可通过新自变量 \(t = x^{1/2}\) 消除。新方程 \(dy/dt - y = 0\) 在 \(t=0\) 为常点。

例 1.13因变量变换消除奇点

方程

\[ y'' + \frac{2}{x}y' - y = 0 \tag{3.1.12} \]

在 \(0\) 有正则奇点，在 \(\infty\) 有非正则奇点。变换 \(y(x) = w(x)/x\) 可消除 \(x=0\) 奇点，但新方程 \(w'' - w = 0\) 仍在 \(\infty\) 有非正则奇点。

例 1.14转换为线性系统消除奇点

(3.1.12) 的奇点可消除，因两解在 \(x=0\) 的奇性阶数相同：\(y \sim c_1/x, \, y \sim c_2 e^x / x\)。但对 (3.1.10)（解 \(y = e^x\) 和 \(y = 1+x\) 均在 \(x=0\) 解析），难以直接消除其正则奇点。唯一方法是转换为线性系统：

\[ y'(x) = a(x)y(x) + b(x)z(x), \quad z'(x) = c(x)y(x) + d(x)z(x). \tag{3.1.13} \]

若二阶微分方程通解在 \(x=0\) 解析，则存在形如 (3.1.13) 的等价齐次线性系统，其系数在 \(x=0\) 解析。(3.1.10) 的适当系统为 \(y' = y + z, \, z' = 0\)。能否找到另一系数解析的等价系统？

1.2 齐次线性方程常点附近的局部级数展开

当精确显式解未知时，为获得常点处的级数解，我们将Taylor级数 \(y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n\) 代入微分方程，并通过递推关系确定系数 \(a_n\).

例 1.15一阶微分方程的Taylor级数解

考虑初值问题 \(y' = 2xy\) [\(y(0) = 1\)]。因 \(x=0\) 是常点，设解 \(y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\)，则：

\[ \sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n-1} = 2x \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n= 2 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n-2} x^{n-1}. \]

由Taylor系数唯一性，得：

\[ n a_n = 0, \quad n=0,1; \]

\[ n a_n = 2a_{n-2}, \quad n=2,3,\cdots \]

由 \(n=0\) 知 \(a_0\) 为任意常数；由 \(n=1\) 知 \(a_1=0\)；解得 \(a_{2n} = a_0 / n!\) (\(n \geq 1\))，\(a_{2n+1} = 0\) (\(n \geq 1\))。故 \(y'=2xy\) 的通解为：

\[ y(x) = a_0 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} = a_0 e^{x^2}. \]

可代回方程验证。

例 1.16Airy 方程在 \(x=0\) 的局部分析

为求 Airy 方程 (1.4.8)\(y'' = xy\)在 \(x=0\) 附近的局部行为，代入级数 \(y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 得：

\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n n(n-1) x^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1}. \]

联立系数：

\[ a_n n(n-1) = 0, \quad n=0,1,2; \]

\[ a_n n(n-1) = a_{n-3}, \quad n=3,4,\cdots \]

\(n=0,1\) 时得 \(a_0, a_1\) 任意，\(a_2=0\)，解得：

\[ \begin{aligned} a_{3n} &= \frac{a_0}{3^n n! 3^n (n - \frac{1}{3})(n - 1 - \frac{1}{3}) \cdots (\frac{2}{3})} = \frac{a_0 \Gamma(\frac{2}{3})}{9^n n! \Gamma(n + \frac{2}{3})},\\ a_{3n+1} &= \frac{a_0}{3^n n! 3^n (n - \frac{1}{3})(n - 1 + \frac{1}{3}) \cdots (\frac{4}{3})} = \frac{a_1 \Gamma(\frac{4}{3})}{9^n n! \Gamma(n + \frac{4}{3})}.\\ a_{3n+2}&=0 \end{aligned} \]

定义 \(c_1 = a_0 \Gamma(\frac{2}{3})\), \(c_2 = a_1 \Gamma(\frac{4}{3})\)，则 Airy 方程通解为：

\[ y(x) = c_1 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n}}{9^n n! \Gamma(n + \frac{2}{3})} + c_2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n+1}}{9^n n! \Gamma(n + \frac{4}{3})}. \]

此通解可通过快速收敛的Taylor展开近似表示于所有有限 \(x\)。定义两个特解（Airy 函数）：

\[ \text{Ai}(x) \equiv 3^{-2/3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n}}{9^n n! \Gamma(n + \frac{2}{3})} - 3^{-4/3} \sum _{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n+1}}{9^n n! \Gamma(n + \frac{4}{3})}, \tag{3.2.1} \]

\[ \text{Bi}(x) \equiv 3^{-1/6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n}}{9^n n! \Gamma(n + \frac{2}{3})} + 3^{-5/6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n+1}}{9^n n! \Gamma(n + \frac{4}{3})}. \tag{3.2.2} \]

当 \(|x|\) 不大时，(3.2.1) 和 (3.2.2) 的Taylor级数仅需几项即可高精度逼近 Airy 函数（误差估计见问题 3.7）。

1.3 齐次线性方程正则奇点附近的局部级数展开

若尝试用 Taylor 级数表示解在正则奇点附近的局部行为，会发生什么？

例 1.17正则奇点处Taylor级数表示的失效

对方程 \(y'' + y/4x^2 = 0\) 在 \(x=0\) 处寻求Taylor级数解 \(y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n\)。代入方程并逐项微分后，得到关于 \(a_n\) 的方程组：\((n - \frac{1}{2})^2 a_n = 0\) (\(n = 0, 1, 2, \cdots\))。其解为 \(a_n = 0\)，仅得到平凡解 \(y(x) = 0\)。此方法无效。

上例中 Taylor 级数失效的原因是：Taylor级数不足以描述解在正则奇点附近的局部行为。但是 3.1 节 Fuchs 定理告诉我们解具有比Taylor级数更一般的结构：若 \(x_0\) 是齐次线性微分方程的正则奇点，则至少存在一个形如 (3.1.2) 的解：\(y(x) = (x - x_0)^\alpha A(x)\)，其中 \(A(x)\) 在 \(x_0\) 解析。若 \(\alpha\) 非整数，解在 \(x_0\) 有代数支点；若 \(\alpha\) 为负整数，则有极点；若 \(\alpha = 0, 1, 2, \cdots\)，则解在 \(x_0\) 解析。\(n\) 阶方程的其余 \(n-1\) 个线性无关解可能具有 (3.1.3)、(3.1.4) 或 (3.1.5) 的形式，故可能含对数支点。

因 \(A(x)\) 解析，故可展为Taylor级数：

\[ y(x) = (x - x_0)^\alpha A(x) = (x - x_0)^\alpha \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n. \tag{3.3.1} \]

称 (3.3.1) 右侧为 Frobenius 级数，\(\alpha\) 为 指标指数。通常假设 Frobenius 级数中 \(a_0 \neq 0\)（通过适当选择 \(\alpha\) 实现）。Taylor级数是 Frobenius 级数的特例。

例 1.18正则奇点处的局部分析

对上例的方程，在 \(x_0 = 0\) 处尝试 (3.3.1) 的 Frobenius 级数，得：

\[ \left[ (n+\alpha)(n+\alpha-1) + \frac{1}{4} \right] a_n = 0 \quad (n = 0, 1, 2, \cdots). \]

由 \(a_0 \neq 0\) 得：

\[ \alpha(\alpha-1) + \frac{1}{4} = 0 \implies \alpha = \frac{1}{2}. \]

代入 \(\alpha = \frac{1}{2}\) 后，其余方程给出 \(a_1 = a_2 = \cdots = 0\)。故 Frobenius 级数 \(y(x) = a_0 \sqrt{x}\)（\(a_0\) 任意），此为精确解。

由 1.4 节 Euler 方程的研究，知该方程的第二个解为 \(y(x) = b \sqrt{x} \ln x\)（不具有 (3.3.1) 形式）。一般理论仅保证存在一个 Frobenius 级数形式的解，其余解可能更复杂。

下面我们将详述 Fuchs 和 Frobenius 提出的系统方法，用于计算指标指数 \(\alpha\) 和展开系数 \(a_n\)。此方法亦可求解形如 (3.1.4) 和 (3.1.5) 的含对数解，方法的核心是判断其余解应取 (3.1.2)-(3.1.5) 中何种形式的准则。

1.4 二阶方程的 Frobenius 方法

若微分方程

\[ y'' + \frac{p(x)}{x-x_0}y' + \frac{q(x)}{(x-x_0)^2}y = 0 \tag{3.3.2} \]

在 \(x_0\) 有正则奇点，则 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 在 \(x_0\) 解析。故可将 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 展为 \(x_0\) 处的Taylor级数：

\[ p(x) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n (x - x_0)^n, \quad q(x) = \sum_{n=0}^{\infty} q_n (x - x_0)^n. \]

代入 (3.3.2) 并将 Frobenius 级数解 (3.3.1) 代入，对比系数得：

\[ \begin{align*} &(x-x_0)^{\alpha-2}: \quad [\alpha^2 + (p_0 - 1)\alpha + q_0]a_0 = 0,\tag{18} \\ &(x-x_0)^{\alpha+n-2}: \quad [(\alpha+n)^2 + (p_0-1)(\alpha+n) + q_0]a_n \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad = -\sum_{k=0}^{n-1} [(\alpha+k)p_{n-k} + q_{n-k}]a_k, \quad n=1,2,\cdots.\tag{19} \end{align*} \]

因 \(a_0 \neq 0\)，(18) 要求 \(\alpha\) 为指标多项式 \(P(\alpha)\) 的根：

\[ P(\alpha) = \alpha^2 + (p_0 - 1)\alpha + q_0. \tag{3.3.4} \]

对每个 \(\alpha\) 值，需由递推关系 (19) 解出 \(a_n\)（以 \(a_0\) 表示）。仅当 \(P(\alpha+n) \neq 0\) 时，(19) 可递推求解 \(a_n\)。若此条件对所有正整数 \(n\) 成立，则级数 (3.3.1) 的收敛半径至少等于 \(p(x)\) 或 \(q(x)\) 的最小复奇点距离。设 \(\alpha_1\) 和 \(\alpha_2\) 为指标多项式 \(P(\alpha)\) 的两根满足 \(\operatorname{Re} \alpha_1 \geq \operatorname{Re} \alpha_2\)。取 \(\alpha = \alpha_1\) 时，因 \(\alpha_2\) 是 \(P(\alpha)\) 的唯一另一根，故 \(P(\alpha_1 + n) \neq 0\)（\(n=1,2,\cdots\)），此即 Frobenius 级数解恒存在的原因。

例 1.19\(\nu\) 阶修正 Bessel 方程

修正Bessel方程

\[ y'' + \frac{1}{x}y' - \left(1 + \frac{\nu^2}{x^2}\right)y = 0 \tag{3.3.5} \]

在 \(x=0\) 有正则奇点。代入 Frobenius 级数 \(y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{\alpha+n}\) 得：

\[ \sum_{n=0}^{\infty} (\alpha+n)(\alpha+n-1)a_n x^{\alpha+n-2} + \sum_{n=0}^{\infty} (\alpha+n)a_n x^{\alpha+n-2} - \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{\alpha+n} - \nu^2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{\alpha+n-2} = 0. \]

将 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{\alpha+n}\) 改写为 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{\alpha+n-2}\)，联立 \(x\) 的幂次系数：

\[ \begin{aligned} &x^{\alpha-2}: \quad (\alpha^2 - \nu^2)a_0 = 0, \\ &x^{\alpha-1}: \quad [(\alpha+1)^2 - \nu^2]a_1 = 0, \\ &x^{\alpha+n-2}: \quad [(\alpha+n)^2 - \nu^2]a_n = a_{n-1}, \quad n=2,3,\cdots. \end{aligned}\tag{3.3.6} \]

由 \(a_0 \neq 0\)，\(\alpha\) 须满足指标方程 \(P(\alpha) = \alpha^2 - \nu^2 = 0\)，故 \(\alpha = \pm \nu\)。不妨设 \(\operatorname{Re} \nu \geq 0\)，则 \(\alpha_1 = \nu\)，\(\alpha_2 = -\nu\)。因 \(P(\alpha_1 + n) \neq 0\)（\(n=1,2,\cdots\)），可由 (3.3.6) 解得 \(a_1 = a_3 = \cdots = 0\)，

\[ a_{2n} = \frac{a_{2n-2}}{2^2 n(\nu + n)} = \frac{a_{2n-4}}{2^4 n(n-1)(\nu + n)(\nu + n - 1)} = \cdots = \frac{a_0 \Gamma(\nu + 1)}{2^{2n} n! \Gamma(\nu + n + 1)}. \tag{3.3.7} \]

故

\[ y(x) = a_0 \Gamma(\nu + 1) x^\nu \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x/2)^{2n}}{n! \Gamma(\nu + n + 1)}. \]

取 \(a_0 = 2^{-\nu} / \Gamma(\nu + 1)\)，即得修正Bessel函数 \(I_\nu(x)\) 的 Frobenius 级数：

\[ I_\nu(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x/2)^{2n + \nu}}{n! \Gamma(\nu + n + 1)}. \tag{3.3.8} \]

比值判别法表明级数收敛半径无穷，对应 (3.3.5) 在有限复平面仅 \(x=0\) 一个奇点。

当 \(\nu\) 非整数时，取 \(\alpha = -\nu\) 可得第二解。若 \(2\nu\) 亦非整数，则 \(P(-\nu + n) \neq 0\)（对所有正整数 \(n\)），故存在第二个 Frobenius 级数。只要 \(2\nu\) 非偶数，由 (3.3.7) 可确定 \(a_n\)，且 \(I_{-\nu}(x)\) 的级数 (3.3.8) 收敛。当 \(\nu\) 非整数时，因 \(I_\nu(x)\) 与 \(I_{-\nu}(x)\) 的首项幂次不同，二者线性无关。

故当 \(\nu \neq 0,1,2,3,\cdots\) 时，Frobenius 方法给出完备的线性无关解集。当 \(\nu\) 为整数时，求第二解较复杂，本节后续将阐明相应方法。

总的来说，对二阶方程 (3.3.2)，若指标指数差 \(\alpha_1 - \alpha_2\) 非整数，则取 \(\alpha = \alpha_1\) 和 \(\alpha = \alpha_2\) 可构造两个线性无关的 Frobenius 级数解。若 \(\alpha_1 = \alpha_2\)，则取 \(\alpha = \alpha_2\) 仅得与第一解成比例的解，需进一步分析求第二解。若 \(\alpha_1 - \alpha_2 = N\)为正整数，则当 \(n=N\) 时递推关系 (19) 化为：

\[ 0 \cdot a_N = -\sum_{k=0}^{N-1} [(\alpha + k)p_{N-k} + q_{N-k}]a_k. \tag{3.3.9} \]

此时有两种可能：

若 (3.3.9) 右端非零，则 \(a_N\) 不存在，需额外方法求第二线性无关解；
若 (3.3.9) 右端恰为零，则方程退化为恒等式 \(0=0\)，\(a_N\) 为任意常数。递推关系可越过 \(n=N\) 继续求解 \(a_{N+1}, a_{N+2}, \cdots\)，得到含两个任意常数 \(a_0\) 和 \(a_N\) 的第二线性无关解。

综上我们有分类：

I \(\alpha_1 \neq \alpha_2\) 且 \(\alpha_1 - \alpha_2\) 非整数：存在两个 Frobenius 级数解。
II \(\alpha_1 - \alpha_2 = N = 0,1,2,\cdots\)，分两子类：
- (a) \(\alpha_1 = \alpha_2\)：仅一个 Frobenius 级数解。
- (b) \(\alpha_1 - \alpha_2 = 1,2,3,\cdots\)，再分两情形：
  - (i) (3.3.9) 右端非零：仅一个 Frobenius 级数解。
  - (ii) (3.3.9) 右端为零：存在两个 Frobenius 级数解。

1.5 情形 II(b)(ii)

此情形由 (3.3.9) 右端为零刻画，确保存在指标指数 \(\alpha_2\) 的 Frobenius 级数解。

例 1.20常点处的 Frobenius 级数

在微分方程的常点 \(x_0\) 应用 Frobenius 理论。此时 \(p_0 = q_0 = 0\)，指标方程为 \(P(\alpha) = \alpha(\alpha-1) = 0\)，指标指数 \(\alpha_1=1\), \(\alpha_2=0\)。对应解：

\(\alpha_1=1\)：解为Taylor级数 \(y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^{n+1}\)，满足初值 \(y(x_0)=0\), \(y'(x_0)=a_0 \neq 0\)。

\(\alpha_2=0\)：存在形式 (3.3.1) 的第二解，亦为Taylor级数。

例 1.21半整数阶修正Bessel方程

修正Bessel方程 (3.3.5) 中取 \(\nu = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \cdots\)（半整数），则指标指数差 \(\alpha_1 - \alpha_2 = 2\nu = 1,3,5,\cdots\)。此处 \(p_0=1\), \(q_0=-\nu^2\)，其余 \(p_n=q_n=0\)（\(n \geq 1\)）。可证(3.3.9) 右端为零，故两解均有 Frobenius 级数展开，即 (3.3.8) 给出的 \(I_\nu(x)\) 和 \(I_{-\nu}(x)\)。

1.6 情形 II(a)

将 \(a_n\) 视为 \(a_0\) 和 \(\alpha\) 的函数，记所得 Frobenius 级数为：

\[ y(x,\alpha) = (x - x_0)^\alpha \sum_{n=0}^{\infty} a_n(\alpha) (x - x_0)^n. \tag{3.3.10} \]

注意：仅当 \(\alpha = \alpha_1\) 时 \(y(x,\alpha)\) 才是 (3.3.2) 的解。

定义微分算子：

\[ L \equiv \frac{d^2}{dx^2} + \frac{p(x)}{x-x_0} \frac{d}{dx} + \frac{q(x)}{(x-x_0)^2}. \]

(3.3.2) 的解满足 \(Ly(x) = 0\)。由构造，\(a_n(\alpha)\) 满足递推关系 (19)，故 \(y(x,\alpha)\) 在 \(\alpha \neq \alpha_1\) 时满足：

\[ Ly(x,\alpha) = a_0 (x - x_0)^{\alpha-2} P(\alpha). \tag{3.3.11} \]

取 \(\alpha = \alpha_1\) 时，(3.3.11) 右端为零，\(y(x,\alpha_1)\) 即为 Frobenius 级数解。但若对 (3.3.11) 关于 \(\alpha\) 求导后取 \(\alpha = \alpha_1\)，因 \(\alpha_1 = \alpha_2\) 时 \(P(\alpha) = (\alpha - \alpha_1)^2\)，右端仍为零。因此，\(\left. \frac{\partial}{\partial \alpha} y(x,\alpha) \right|_{\alpha=\alpha_1}\) 是 (3.3.2) 的新解：

\[ L \left[ \left. \frac{\partial}{\partial \alpha} y(x,\alpha) \right|_{\alpha=\alpha_1} \right] = 0. \]

对 (19) 关于 \(\alpha\) 求导，得新解形式：

\[ \left. \frac{\partial}{\partial \alpha} y(x,\alpha) \right|_{\alpha=\alpha_1} = y(x,\alpha_1) \ln (x - x_0) + \sum_{n=0}^{\infty} b_n (x - x_0)^{\alpha_1 + n}, \tag{3.3.12} \]

其中

\[ b_n = \left. \frac{\partial}{\partial \alpha} a_n(\alpha) \right|_{\alpha=\alpha_1}. \tag{3.3.13} \]

由此得到正则奇点附近两个线性无关解的级数展开，(3.3.12) 的收敛半径至少等于方程 (3.3.2) 的最近奇点距离。

例 1.22零阶修正Bessel方程

(3.3.5) 中取 \(\nu=0\)，指标多项式 \(P(\alpha)=\alpha^2\) 在 \(\alpha=0\) 有二重根。第一解 (3.3.8) 为：

\[ I_0(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x/2)^{2n}}{(n!)^2}. \tag{3.3.14} \]

线性无关解形如 (3.3.12)。由 (3.3.6)得：\(a_0(\alpha)=a_0\), \(a_{2k+1}(\alpha)=0\) (\(k=0,1,2,\cdots\))，且

\[ a_{2n}(\alpha) = \frac{a_0}{2^{2n} (\alpha + 2n)^2 (\alpha + 2n - 2)^2 \cdots (\alpha + 2)^2}, \quad n \geq 1. \]

故 \(b_0 = \left. \frac{\partial }{\partial \alpha}a_0(\alpha) \right|_{\alpha=0} = 0\)，\(b_{2k+1}=0\)，且

\[ b_{2n} = \left. \frac{\partial }{\partial \alpha} a_{2n}(\alpha)\right|_{\alpha=0} = -\frac{a_0}{2^{2n} (n!)^2} \left( 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \right), \quad n \geq 1. \]

代入 (3.3.12) 得 \(I_0(x)\) 的线性无关解：

\[ \left. \frac{\partial }{\partial \alpha}y(x,\alpha) \right|_{\alpha=0} = a_0 \ln x \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x/2)^{2n}}{(n!)^2} - a_0 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x/2)^{2n}}{(n!)^2} \left( 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \right). \]

取 \(a_0=-1\) 并加上\(\ln 2 - \gamma\) 倍的\(I_0(x)\)得特解 \(K_0(x)\)：

\[ K_0(x) = -(\ln \frac{x}{2} + \gamma) I_0(x) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x/2)^{2n}}{(n!)^2} \left( 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \right). \tag{3.3.15} \]

如此定义 \(K_0(x)\) 的原因是其在 \(x \to \infty\) 有优美的渐近行为，后文我们将提到。

1.7 情形 II(b)(i)

当 \(\alpha_1 - \alpha_2 = N\)且 (3.3.9) 右端非零时，尝试类似情形 II(a) 的方法。对 (3.3.11) 关于 \(\alpha\) 求导后取 \(\alpha = \alpha_1\)，得 \(\left. \frac{\partial}{\partial \alpha} y(x,\alpha) \right|_{\alpha=\alpha_1}\) 满足非齐次方程：

\[ L \left[ \left. \frac{\partial}{\partial \alpha} y(x,\alpha) \right|_{\alpha=\alpha_1} \right] = a_0 P'(\alpha_1)(x - x_0)^{\alpha_2 + N - 2}. \tag{3.3.16} \]

为构造齐次方程 (3.3.2) 的解，需先求 (3.3.16) 的第二个特解。可证存在标准 Frobenius 展开的特解：

\[ \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - x_0)^{\alpha_2 + n}. \tag{3.3.17} \]

代入 (3.3.16) 并联立 \((x - x_0)^{\alpha_2 + n - 2}\) 系数：

\[ \begin{align*} &(x - x_0)^{\alpha_2 - 2}: \quad P(\alpha_2)c_0 = 0, \tag{34}\\ &(x - x_0)^{\alpha_2 + n - 2}: \quad P(\alpha_2 + n)c_n + \sum_{k=0}^{n-1} [(\alpha_2 + k)p_{n-k} + q_{n-k}]c_k = 0, \quad n \neq 0,N,\tag{35} \\ &(x - x_0)^{\alpha_2 + N - 2}: \quad P(\alpha_2 + N)c_N + \sum_{k=0}^{N-1} [(\alpha_2 + k)p_{N-k} + q_{N-k}]c_k = a_0 P'(\alpha_1). \tag{36} \end{align*} \]

因 \(P(\alpha_2 + N) = 0\)，(36) 不决定 \(c_N\)，而给出约束：

\[ a_0 = \frac{1}{P'(\alpha_1)} \sum_{k=0}^{N-1} [(\alpha_2 + k)p_{N-k} + q_{N-k}]c_k. \tag{3.3.19} \]

构造 (3.3.2) 的第二解 \(y(x)\) 为两非齐次解之差：

\[ y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - x_0)^{\alpha_2 + n} - \left. \frac{\partial}{\partial \alpha} y(x,\alpha) \right|_{\alpha=\alpha_1}. \tag{3.3.20} \]

其中系数 \(c_n\) 满足 (35)；\(c_0\) 和 \(c_N\) 任意，(3.3.19) 决定 \(a_0\)。展开式 (3.3.20) 的收敛半径至少为 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 的最近奇点距离。

例 1.23整数阶修正Bessel方程（\(\nu=1\)）

当 \(\nu=1\) 时，(3.3.5) 的一解为 Frobenius 级数 \(I_1(x)\)。取 \(c_0=1\), \(c_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{\gamma}{4}\)，定义修正Bessel函数 \(K_1(x)\)：

\[ K_1(x) = \left( \gamma + \ln \frac{x}{2} \right) I_1(x) + \frac{1}{x} - \frac{x}{4} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x/2)^{2n}}{n! (n+1)!} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} + \frac{1}{2n+2} \right). \tag{3.3.21} \]

至此，我们完整叙述了二阶方程的 Frobenius 方法。

1.8 高阶方程的 Frobenius 级数

Frobenius 方法可推广至 \(n\) 阶齐次线性微分方程在正则奇点 \(x_0\) 的情形：

\[ \frac{d^n y}{dx^n} + \frac{q_{n-1}(x)}{x - x_0} \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + \frac{q_0(x)}{(x - x_0)^n} y = 0, \]

其中 \(q_0(x), \cdots, q_{n-1}(x)\) 在 \(x_0\) 解析。指标方程为：

\[ \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1) + q_{n-1}(x_0)\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+2) + \cdots + q_0(x_0) = 0. \]

若 \(n\) 个根 \(\alpha\) 的差非整数，则存在 \(n\) 个形如 (3.3.1) 的线性无关解，否则需推广至 (3.1.4) 或 (3.1.5) 的形式。

1.9 齐次线性方程非正则奇点处的局部级数展开

前两节方法的固化风格反映了理论的完备性，几乎没有想象性数学的空间。但从此处开始，风格转变。分析非正则奇点附近解的局部行为需发展全新数学工具，整体构成近似演算体系。

本节将看到，描述非正则奇点附近解局部行为的公式是 Frobenius 级数的推广，如同 Frobenius 级数是Taylor级数的推广。

首先我们来看 Frobenius 级数为何不足以描述非正则奇点附近行为。

例 1.24

微分方程 \(y' = x^{1/2} y\) 在 \(x=0\) 有非正则奇点。解 \(y(x)\) 可表为 \(x=0\) 处的收敛级数：

\[ y(x) = a_0 e^{2x^{3/2}/3} = a_0 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x^{3/2}/3)^n}{n!}, \]

此级数并非 Frobenius 级数。

例 1.25

微分方程

\[ x^3 y'' = y \tag{3.4.1} \]

若存在形式解 \(y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{\alpha+n}\)（\(a_0 \neq 0\)），则

\[ \sum_{n=0}^{\infty} (\alpha+n)(\alpha+n-1) a_n x^{\alpha+n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{\alpha+n}. \]

联立 \(x^\alpha\) 项系数得 \(a_0 = 0\)，矛盾！

例 1.26

方程

\[ x^2 y'' + (1 + 3x)y' + y = 0 \tag{3.4.2} \]

在 \(0\) 有非正则奇点。代入 \(y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{\alpha+n}\)：

\[ x^2 \sum_{n=0}^{\infty} (\alpha+n)(\alpha+n-1)a_n x^{\alpha+n-2} + (1+3x) \sum_{n=0}^{\infty} (\alpha+n)a_n x^{\alpha+n-1} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{\alpha+n} = 0. \]

联立 \(x\) 幂次系数：

\[ \begin{aligned} &x^{\alpha-1}: \quad \alpha a_0 = 0, \\ &x^{\alpha+n}: \quad (\alpha+n+1)a_{n+1} + (\alpha+n+1)^2 a_n = 0, \quad n=0,1,\cdots \end{aligned} \]

因 Frobenius 级数要求 \(a_0 \neq 0\)，指标方程为 \(\alpha=0\)。解得 \(a_{n+1} = -(n+1)a_n\)，故 \(a_n = (-1)^n n! a_0\)，解为：

\[ y(x) = a_0 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n n! x^n. \tag{3.4.3} \]

该级数收敛半径为零，对所有 \(x \neq 0\) 发散，矛盾！

发散级数 (3.4.3) 是应用数学中常见的级数展开——渐近级数。其虽发散，但可得到微分方程解的精确近似。

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完