第 10 章：完备性与 Banach 空间的基本定理
第二章的有界扩张定理用到值域完备：输入的逼近序列产生一个输出的 Cauchy 序列，必须保证输出极限仍在值域。
§ 01完备性到底替我们做了什么
本章主要使用定义域完备。我们会将无穷多个局部信息拼成一个向量，或者从可数个闭集合中找出有内点的一个。缺少完备性，拼出的向量可能落在空间外，整个结论就失效。
要解决的三个问题可以写得很具体：
- 每个输入上，一族连续算子的输出都有界，能否统一控制算子范数？
- 连续线性方程对每个右端都有解，解能否按照右端大小受到控制？
- 只知道“输入和输出同时收敛时极限仍满足方程”，能否推出算子连续？
它们依次对应一致有界原理、开映射定理、闭图像定理。
§ 02一致有界原理：把逐点估计升级为统一估计
定理 2.1一致有界原理（Banach–Steinhaus）
设 \(X\) 是 Banach 空间，\(Y\) 是赋范空间，\(\mathcal T\subset\mathcal B(X,Y)\)。若
则 \(\sup_{T\in\mathcal T}\|T\|<\infty\)。
注意：逐点界可以依赖 \(x\)，定理给出与 \(T\)、\(x\) 都无关的常数 \(C\)，使 \(\|Tx\|\le C\|x\|\)。这里不要求 \(Y\) 完备。
2.1 滑动驼峰证明
“驼峰”的含义是给一个向量不断添上很小的修正，使某个算子在新增修正上产生很大输出；再让后续修正足够小，不破坏已经造出的峰。
直接构造一个导致矛盾的输入
反设算子范数没有统一上界。令 \(r_1=1\)。在第 \(n\) 步，由范数无界可选 \(T_n\in\mathcal T\) 和 \(v_n\)，使
设此前部分和为 \(s_{n-1}\)。\(T_n(s_{n-1}+v_n)\) 与 \(T_n(s_{n-1}-v_n)\) 中至少一个的范数不小于 \(\|T_nv_n\|\)，否则二者之差的范数会小于 \(2\|T_nv_n\|\)。改变 \(v_n\) 的符号，便可保证 \(\|T_ns_n\|>4n\)。
再取
因 \(\sum_n\|v_n\|<\infty\) 且 \(X\) 完备，\(x=\sum_nv_n\) 属于 \(X\)。后续尾项满足
所以 \(\|T_nx\|>4n-n/2\to\infty\)，与这个固定 \(x\) 上的逐点有界性矛盾。
这个证明指出了完备性的具体位置：它让精心构造的级数和仍是一个合法输入。
2.2 Baire 纲定理证明
定理 2.2Baire 纲定理
在非空完备度量空间中，可数个稠密开集的交仍然稠密。等价地，若空间是可数个闭集合的并，至少一个闭集合有非空内点。
嵌套小球
设 \(G_n\) 稠密且开，从任意非空开集 \(U\) 出发。依次选取非空闭球 \(\overline B(x_n,r_n)\)，使第一只球包含于 \(U\cap G_1\)，后续球包含于前一只球的内部与 \(G_n\) 的交，并使 \(r_n\le2^{-n}\)。稠密性保证交非空，开性保证可放入一个足够小的闭球。
球嵌套且半径趋零，故 \((x_n)\) 是 Cauchy 序列。完备性给出极限 \(x\)，闭球性质给出 \(x\) 属于每只球，因而 \(x\in U\cap\bigcap_nG_n\)。这就证明了稠密性。
由 Baire 推出一致有界原理
定义闭集合
它闭，是因为它是全部闭集合 \(\{x:\|Tx\|\le m\}\) 的交。逐点有界保证 \(X=\bigcup_{m\ge1}E_m\)。Baire 定理给出 \(B(x_0,r)\subset E_m\)。
若 \(\|h\|\le r/2\)，则 \(x_0\) 和 \(x_0+h\) 都在 \(E_m\) 中，所以 \(\|Th\|\le2m\)，对所有 \(T\) 成立。缩放得到 \(\|T\|\le4m/r\)。
两种证明各有作用：滑动驼峰适合追踪失败机制，Baire 证明揭示了一整组基本定理的共同来源。
2.3 怎样正确使用它
定理 2.3逐点收敛的连续算子
若 \(X,Y\) 均为 Banach 空间，\(T_n\in\mathcal B(X,Y)\)，且每个 \(x\) 上 \(T_nx\) 都收敛，则 \(Tx=\lim_nT_nx\) 定义有界线性算子，且 \(\sup_n\|T_n\|<\infty\)。
证明
每个收敛序列 \(T_nx\) 有界，先用一致有界原理得统一算子范数界 \(C\)。极限保留线性，且 \(\|Tx\|=\lim_n\|T_nx\|\le C\|x\|\)。
这里假设 \(Y\) 完备方便保证逐点 Cauchy 序列有极限；若题目已明确给定 \(Y\) 中的逐点极限，就无需另加 \(Y\) 完备。
特别地，检验算子强收敛时常用“稠密子空间上收敛 + 统一范数界”。前者控制方便的输入，后者把控制扩张到全空间。
弱收敛序列与弱-* 收敛序列
任意赋范空间中的弱收敛序列 \((x_n)\) 都范数有界：将 \(Jx_n\) 看作 Banach 空间 \(X^*\) 上的泛函，使用 \(\|Jx_n\|=\|x_n\|\) 和一致有界原理。
\(X^*\) 中弱-* 收敛序列 \((f_n)\) 的范数有界，则需要前对偶 \(X\) 完备，才能在 \(X\) 上直接使用一致有界原理。一般赋范前对偶下结论会失败，见下面的 \(c_{00}\) 例子。
例 2.4从全部测试函数推出可积性
在 \(\sigma\)-有限测度空间上，设有限值可测函数 \(f\) 满足：对每个 \(u\in L^q\)，都有 \(fu\in L^1\)，其中 \(1<q<\infty\)，\(1/p+1/q=1\)。则 \(f\in L^p\)。
证明
取递增有限测度集合 \(F_n\) 覆盖空间，令 \(E_n=F_n\cap\{|f|\le n\}\)，定义 \(T_nu=f\mathbf1_{E_n}u\)。Hölder 不等式与达到等号的测试函数给出
对每个固定 \(u\)，\(\|T_nu\|_1\le\|fu\|_1\)。一致有界原理给出右侧算子范数的统一界，再由单调收敛得到 \(\int|f|^p<\infty\)。
§ 03开映射定理：可解性怎样产生稳定估计
定理 3.1开映射定理
Banach 空间之间的有界线性满射 \(T:X\to Y\) 是开映射。等价地，存在 \(C>0\)，使每个 \(y\in Y\) 都有一个原像 \(x\) 满足 \(\|x\|\le C\|y\|\)。
第二种表述不说原像唯一，也不说能够选出一个有界线性的右逆；它给出的是解的范数控制。
第一步：Baire 给出近似解
写 \(B_X=\{x:\|x\|\le1\}\)。满射性给出 \(Y=\bigcup_{n\ge1}T(nB_X)\)，因此也是其闭包的并。由 \(Y\) 完备，某个 \(\overline{T(nB_X)}\) 含球 \(B(y_0,r)\)。
对 \(\|y\|<r\)，\(y_0+y\) 与 \(y_0\) 都可由 \(T(nB_X)\) 逼近，相减得 \(y\in\overline{T(2nB_X)}\)。缩放后存在 \(\delta>0\)，使
这一步只给近似解，不能直接删掉闭包符号。
第二步：把近似解加成精确解
对 \(\|y\|<\delta/2\)，利用缩放后的闭包包含关系，选 \(\|x_1\|\le1/2\) 使 \(\|y-Tx_1\|<\delta/4\)。再选 \(\|x_2\|\le1/4\) 使新残差小于 \(\delta/8\)，依此类推。
得到 \(\|x_j\|\le2^{-j}\) 和残差趋零。由 \(X\) 完备，\(x=\sum_jx_j\) 属于 \(X\)，\(\|x\|\le1\)；由 \(T\) 连续，\(Tx=y\)。
因此 \(B(0,\delta/2)\subset T(B_X)\)。再缩小一半可令原像范数严格小于 \(1\)，即 \(B(0,\delta/4)\subset T(B_X^\circ)\)。平移和缩放即得开映射。按 \(\|y\|\) 缩放也得到定理中的常数 \(C\)。
此处 \(Y\) 完备用于 Baire，\(X\) 完备用于求和，两者各有任务。
定理 3.2有界逆定理
Banach 空间之间的有界线性双射，其逆也是有界线性算子。
证明
开映射定理给出每个 \(y\) 有范数受控的原像；双射性使原像恰为 \(T^{-1}y\)，所以 \(\|T^{-1}y\|\le C\|y\|\)。
3.1 与商空间、闭值域的关系
对闭子空间 \(M\subset X\)，商空间范数定义为
闭性保证范数为零恰好意味着 \(x\in M\)。
Banach 空间的闭子空间商仍完备
取商空间中的 Cauchy 序列，可抽子列使相邻商范数差小于 \(2^{-j}\)。按商范数定义，给每个相邻差选一个 \(X\) 中代表 \(v_j\)，使 \(\|v_j\|<2^{1-j}\)。
从子列第一项的一个代表出发，加上 \(\sum_jv_j\)。级数在 \(X\) 中收敛，其商类就是子列极限；原序列 Cauchy，所以也收敛到同一商类。
定理 3.3闭值域的稳定性刻画
若 \(X,Y\) 是 Banach 空间，\(T\in\mathcal B(X,Y)\)，则 \(\operatorname{Ran}T\) 闭当且仅当存在 \(C>0\) 使
证明
若值域闭，则 \(X/\ker T\) 与 \(\operatorname{Ran}T\) 都是 Banach 空间。诱导算子 \(\widetilde T(x+\ker T)=Tx\) 是有界双射，用有界逆定理即得估计。
反之，若 \(Tx_n\to y\)，估计使商类 \(x_n+\ker T\) 是 Cauchy 序列。商空间完备给出极限 \(x+\ker T\)，由诱导算子连续得到 \(Tx=y\)。因此值域闭。
这正是第八章 Fredholm 理论中“去掉核以后仍有稳定估计”的抽象形式。
§ 04闭图像定理：把极限相容性变成连续性
定理 4.1闭图像定理
设 \(X,Y\) 是 Banach 空间，线性算子 \(T:X\to Y\) 在整个 \(X\) 上定义。若图像
在 \(X\times Y\) 中闭，则 \(T\) 有界。
闭图像条件等价于：\(x_n\to x\) 且 \(Tx_n\to y\) 时，有 \(y=Tx\)。它没有预先保证 \(Tx_n\) 一定收敛。
证明
赋予乘积空间范数 \(\|(x,y)\|=\|x\|+\|y\|\)。闭子空间 \(G(T)\) 是 Banach 空间。投影
是有界线性双射；定义域是整个 \(X\)，保证这里满射。由有界逆定理，\(P^{-1}\) 有界，故
所以 \(T\) 有界。
为什么第六章的无界闭算子不矛盾
微分算子通常只在 \(D(T)\subsetneq X\) 上定义。图像投影的像是 \(D(T)\)，并非整个 Banach 空间 \(X\)，因而不满足本定理的满射条件。
给 \(D(T)\) 加图范数 \(\|x\|_T=(\|x\|^2+\|Tx\|^2)^{1/2}\) 后，它确实是 Banach 空间，且 \(T:(D(T),\|\cdot\|_T)\to Y\) 有界。无界性说的是原来的 \(X\) 范数不能控制 \(Tx\)。
§ 05条件少一个会怎样
例 5.1不完备定义域上的逐点有界族
在有限支撑序列空间 \(c_{00}\) 上用 \(\ell^2\) 范数，定义 \(T_nx=nx_n\)。每个 \(T_n\) 连续，\(\|T_n\|=n\)；对每个固定 \(x\in c_{00}\)，\(T_nx\) 最终为零，所以逐点有界，甚至逐点趋零。
但 \(c_{00}\) 不完备，无法使用一致有界原理。这也给出其对偶中一个弱-* 收敛到零、范数却无界的序列。
例 5.2单射不等于稳定可逆
令 \(T:\ell^2\to\ell^2\)，\(Te_n=n^{-1}e_n\)。它有界、单射且像稠密，但不是满射。例如 \(y=(1/n)\) 属于 \(\ell^2\)，其形式原像 \((1,1,\ldots)\) 不属于 \(\ell^2\)。
值域上的逆满足 \(T^{-1}(n^{-1}e_n)=e_n\)，所以不连续。输入噪声只有 \(1/n\)，恢复出的解变化却为 \(1\)。这是不适定反问题中误差放大的一个完整模型。
例 5.3闭算子不意味着能对所有输入求导
\(D=-i\,d/dx\) 的周期自伴实现定义在 \(H^1\) 中满足周期边界条件的函数上。它在 \(L^2\) 中闭，但 \(L^2\) 的一般函数没有 \(L^2\) 弱导数，不能把定义域改成整个 \(L^2\) 后继续使用原表达式。
§ 06完备性定理的精确条件
以下 \(V,W\) 为赋范空间。除特别说明外，算子均处处定义。对“开映射”须区分映到整个值域与映到实际像空间的相对拓扑。
完备性使逐点有界变成统一界
单个向量上的有界性还没有给出共同算子范数。滑动驼峰将越来越坏的方向合成一个向量，Baire 则从可数闭集覆盖中取得有内部的集合；完备性是两条证明的共同前提。
定理 6.1一致有界原理
若 \(V\) 完备，算子族 \(T_\alpha\in\mathcal L(V,W)\) 的范数无统一上界，则存在单个 \(v\in V\)，使 \(\sup_\alpha\|T_\alpha v\|=\infty\)。等价地，逐点有界蕴含算子范数一致有界；不要求 \(W\) 完备。
证明 10.2.1
假设算子范数无界。递归选修正 \(v_n\) 和算子 \(T_n\)，使 \(\|v_n\|\leq r_n\)、\(\|T_nv_n\|>4n\)。对此前部分和 \(s_{n-1}\)，\(T_n(s_{n-1}+v_n)\) 与 \(T_n(s_{n-1}-v_n)\) 中至少一个范数不小于 \(\|T_nv_n\|\)；选择符号后令 \(s_n=s_{n-1}+v_n\)，便有 \(\|T_ns_n\|>4n\)。
随后选 \(r_{n+1}\leq\min(r_n/2,n/(4\|T_n\|))\)。几何衰减使 \(\sum\|v_n\|<\infty\)，完备性让 \(v=\sum_nv_n\) 留在 \(V\)。又有 \(\|T_n(v-s_n)\|\leq\|T_n\|\sum_{j>n}r_j\leq n/2\)，所以 \(\|T_nv\|>7n/2\)，产生所需固定输入。
等价表述也可由 Baire 证明：逐点有界时，闭集 \(E_m=\{v:\sup_\alpha\|T_\alpha v\|\leq m\}\) 覆盖 \(V\)。某个 \(E_m\) 含球 \(B(v_0,r)\)；相减并缩放，得到全部 \(\|T_\alpha\|\leq4m/r\)。两种证明都只要求定义域完备。
推论 6.2SOT 收敛序列有界
若 \(V\) 完备，\(T_n:V\to W\) 对每个向量的像在范数下收敛，则 \(\sup_n\|T_n\|<\infty\)。一般网不能仅凭收敛就断言整个指标族一致有界。
证明 10.2.4
对固定 \(v\)，收敛序列 \((T_nv)\) 有界。因此对算子族 \((T_n)\) 应用一致有界原理，得到 \(\sup_n\|T_n\|<\infty\)。一个收敛网的早期指标集合可能无限且无界，不能把序列的“有限头部加有界尾部”论证原样套到任意网。
定理 6.3Hilbert 空间的闭图像定理
Hilbert 空间间处处定义的闭线性算子有界。
证明 10.2.7
用极分解 \(T=U|T|\)，有 \(D(|T|)=D(T)=H\)、\(\|T\xi\|=\||T|\xi\|\)。只须证明处处定义的正自伴 \(|T|\) 有界。
若其谱不有界，可递归选互不交的有界谱区间 \(I_k\subset[2^k,\infty)\)，使 \(E(I_k)\ne0\)。在各谱子空间内取单位向量 \(e_k\)，令 \(\xi=\sum_k2^{-k}e_k\)。正交性使此和在 \(H\) 中收敛，但谱域判据给出
因此 \(\xi\notin D(|T|)\)，与处处定义矛盾。谱遂包含于某个 \([0,R]\)，谱演算给出 \(\||T|\|\leq R\)，从而 \(T\) 有界。这条证明直接看见了无界谱如何产生不属于算子域的输入。
推论 6.4Hellinger–Toeplitz 结论
Hilbert 空间上处处定义的线性 \(T\) 若满足 \(\langle\xi,T\eta\rangle=\langle T\xi,\eta\rangle\)，则 \(T\) 有界，因而是有界自伴算子。
证明 10.2.8
对称稠密定义算子可闭。这里它处处定义，所以闭包的定义域只能仍为 \(H\)；任何扩张与它在每个向量上的作用相同，故闭包就是 \(T\) 本身。定理 10.2.7 使 \(T\) 有界，原对称关系此时等价于 \(T=T^*\)。
从近似原像取得真正原像
满射首先给出可数个像球的覆盖，Baire 使某个像球闭包含邻域。随后以几何递减误差逐步修正，原空间完备性让原像级数收敛，才得到开映射所需的精确包含。
命题 6.5映到像空间的开性
有界 \(T:V\to W\) 的以下条件等价：\(T:V\to\operatorname{ran}T\) 为开映射；单位球的像在像空间中包含零的邻域；存在 \(\delta>0\) 使 \(\|Tv\|\geq\delta\operatorname{dist}(v,\ker T)\) 对全部 \(v\) 成立。
证明 10.3.1
线性映射开当且仅当某个零邻域的像包含像空间的零邻域，平移和缩放把局部条件推广到全部开集。
若 \(B_{\operatorname{ran}T}(0,\delta)\subset T(B_V(0,1))\)，对任意 \(v\)，缩放 \(Tv\) 可得范数任意接近 \(\|Tv\|/\delta\) 的原像。原像间相差 \(\ker T\)，所以 \(\operatorname{dist}(v,\ker T)\leq\|Tv\|/\delta\)。
反过来，假设此下界成立。若 \(\|y\|<\delta r\)，取任意原像 \(v\)；其到核距离小于 \(r\)，故可减去某个核向量，得到范数小于 \(r\) 的同一原像。因此 \(B(0,\delta r)\cap\operatorname{ran}T\subset T(B_V(0,r))\)，得到开性。
命题 6.6开像的完备性
若 \(V\) 完备，\(T\) 映到自身像时为开映射，则 \(\operatorname{ran}T\) 完备，特别在 \(W\) 中闭，即使 \(W\) 本身不完备。
证明 10.3.2
核闭，\(V/\ker T\) 在商范数下完备。下界与有界性共同说明诱导映射 \(\widetilde T:V/\ker T\to\operatorname{ran}T\) 及其逆有界，所以像空间与一个完备空间等价范数同构，因而完备。
若像中一个序列在 \(W\) 中收敛，它必为 Cauchy 序列；像空间完备给出像内极限，而 \(W\) 中极限唯一，二者相同，所以像闭。证明不要求整个 \(W\) 完备。
推论 6.7商映射与商空间完备性
闭子空间 \(U\) 的商映射 \(\pi_U:V\to V/U\) 开；若 \(V\) 完备，则商空间在商范数下完备。
证明 10.3.3
商范数的定义给出 \(\pi(B_V(0,r))=B_{V/U}(0,r)\)：商范数小于 \(r\) 就有范数小于 \(r\) 的代表元。因此商映射开。
对商空间的 Cauchy 序列，抽子列使相邻商距离小于 \(2^{-n}\)，再递归选择代表元 \(v_n\)，使 \(\|v_{n+1}-v_n\|<2^{1-n}\)。完备性让这些代表元收敛于 \(v\)，投影后子列趋于 \(v+U\)；原序列 Cauchy，所以整个序列同趋此值。闭性保证商半范数确为范数。
推论 6.8有限维满射为开映射
有界满射 \(T:V\to W\) 若 \(W\) 有限维，则开，不要求 \(V\) 完备。
证明 10.3.4
取 \(W\) 的基 \(e_1,\ldots,e_n\)，为它们选原像 \(v_1,\ldots,v_n\)，定义 \(S(\sum a_je_j)=\sum a_jv_j\)。有限维坐标泛函连续，所以 \(S\) 有界，且 \(TS=I\)。于是每个小右端 \(y\) 都有范数不超过 \(\|S\|\|y\|\) 的原像，单位球像包含零邻域，得到开性。此构造未使用 \(V\) 完备。
定理 6.9开映射定理
若 \(V\) 和 \(\operatorname{ran}T\) 都完备，则有界 \(T:V\to W\) 映到自身像时为开映射。特别，Banach 空间间的有界满射为开映射。
证明 10.3.5
把值域换为完备的实际像 \(Y=\operatorname{ran}T\)。满射使 \(Y=\bigcup_{n\geq1}\overline{T(nB_V)}\)。Baire 给出其中某个闭集含开球；相减并缩放得 \(B_Y(0,\delta)\subset\overline{T(B_V)}\)。
这只有近似解，下一步要去掉闭包。对 \(\|y\|<\delta/2\)，逐次选 \(\|v_j\|\leq2^{-j}\)，使减去前 \(j\) 个像后的残差小于 \(\delta2^{-j-1}\)。每一步由缩放后的近似像球完成。定义域完备使 \(v=\sum_jv_j\) 存在且 \(\|v\|\leq1\)；连续性及残差趋零给出 \(Tv=y\)。再缩小目标球即可把原像放入开单位球，故 \(T\) 开。两种完备性分别用于 Baire 和级数求和。
定理 6.10有界逆定理
Banach 空间间的有界线性双射有有界逆。
证明 10.3.6
开映射定理使双射 \(T\) 将零邻域映为零邻域，这就是 \(T^{-1}\) 在零点连续。线性映射在零点连续等价于有界，所以逆有界。也可由原像估计 \(\|v\|\leq C\|Tv\|\) 直接取得逆范数界。
定义 6.11赋范直和与图像
\(V\oplus W\) 取范数 \(\|(v,w)\|=(\|v\|^2+\|w\|^2)^{1/2}\)；处处定义线性 \(T\) 的图像为 \(G(T)=\{(v,Tv):v\in V\}\)，是直和中的线性子空间。
定理 6.12Banach 空间的闭图像定理
若 \(V,W\) 完备且处处定义的线性 \(T:V\to W\) 图像闭，则 \(T\) 有界。
证明 10.3.8
直和 \(V\oplus W\) 完备；闭图像 \(G(T)\) 因此是 Banach 空间。第一坐标投影 \(P:G(T)\to V\) 有界且双射，有界逆定理给出 \(\|P^{-1}v\|\leq C\|v\|\)。其逆正是 \(v\mapsto(v,Tv)\)，所以 \(\|Tv\|\leq C\|v\|\)，得到 \(T\) 有界。
定理 6.13Baire 纲定理
非空完备度量空间不能被可数个闭且无内部的集合覆盖；这些集合的并也无内部。等价地，可数个稠密开集的交稠密。
证明 10.3.10
设 \(G_n\) 为稠密开集，要证明其交碰到任意非空开集 \(U\)。在 \(U\cap G_1\) 内选闭球 \(\overline B(x_1,r_1)\)；递归在上一球内部与 \(G_{n+1}\) 的交中选下一闭球，半径小于 \(2^{-n}\)。稠密性保证交非空，开性保证能放入小球。
中心序列 Cauchy，完备性给出极限 \(x\)。每个闭球包含所有充分晚的中心，故也包含 \(x\)；于是 \(x\in U\cap\bigcap_nG_n\)。因此交稠密。取补集得到闭无内部集可数并无内部的等价表述。
命题 6.14有限个闭无内部集
任意拓扑空间中，两个闭且无内部的集合之并仍无内部；归纳得到有限并的同一结论。
证明 10.3.11
若 \(F_1,F_2\) 闭且无内部，任取非空开集 \(U\)。\(U\) 不全包含于 \(F_1\)，所以 \(U\setminus F_1\) 为非空开集；它又不全包含于 \(F_2\)，故其中存在不在二者并集中的点。因此并集不包含任何非空开集。逐个归纳得到有限并结论。
推论 6.15Banach 空间没有可数无限 Hamel 基
无限维 Banach 空间不可能由可数集合在线性代数意义下张成，即不能将每个向量都写成同一可数族的有限线性组合。
证明 10.3.12
若 \(V=\operatorname{span}\{v_1,v_2,\ldots\}\)，令 \(E_n=\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_n\}\)。每个 \(E_n\) 有限维而闭；因 \(V\) 无限维，它是真子空间，内部为空。否则含某个开球，平移到零后再缩放就会包含全部向量。于是 \(V=\bigcup_nE_n\) 是可数个闭无内部集的并，与 Baire 定理矛盾。
商映射、开像与闭图像
商映射将半径 \(r\) 的开球映成商空间中同半径开球，因为商范数小于 \(r\) 时存在范数小于 \(r\) 的代表元。商空间 Cauchy 序列可取误差逐次小于 \(2^{-n}\) 的子列，并选取代表元使相邻差的范数至多为 \(2^{1-n}\)；绝对收敛级数在 \(V\) 中产生极限，投影后恢复商极限。
开像条件等价于商空间诱导映射 \(\widetilde T:V/\ker T\to\operatorname{ran}T\) 的逆有界。原空间完备使商完备，因此有界双向同构让像完备。有限维像时选取一组基及其原像，得到一个有界线性右逆，直接证明开性。
对闭图像，\(G(T)\) 为 Banach 空间，投影 \(G(T)\to V\) 有界且双射。有界逆定理给出 \(\|(v,Tv)\|\leq C\|v\|\)，从而 \(T\) 有界。处处对称 \(T\) 若 \(v_n\to v\)、\(Tv_n\to w\)，对任意 \(u\) 以对称性取极限得到 \(\langle u,w\rangle=\langle u,Tv\rangle\)，故图像闭，得到 Hellinger–Toeplitz 结论。
可数线性张成为何与完备性矛盾
假设 \(V=\operatorname{span}\{v_1,v_2,\ldots\}\)，令 \(E_n=\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_n\}\)。每个 \(E_n\) 有限维而闭，且因空间无限维而为真子空间。真线性子空间若含开球，平移并放缩就得到全空间，所以其内部为空。\(V=\bigcup_nE_n\) 与 Baire 定理矛盾。
§ 07练习
习题 7.1弱收敛为何范数有界
对赋范空间 \(X\) 中弱收敛序列 \(x_n\)，写出一致有界原理的定义域、值域和算子族。这里是否需要 \(X\) 完备？
解
定义域是 \(X^*\)，它总是 Banach 空间；值域是标量域；算子是 \(Jx_n:f\mapsto f(x_n)\)。弱收敛给出对每个 \(f\) 的逐点有界性，Hahn–Banach 给出 \(\|Jx_n\|=\|x_n\|\)，所以范数有界。不需要 \(X\) 完备。
习题 7.2图范数完备性
设 \(X,Y\) 是 Banach 空间。证明线性算子 \(T:D(T)\subset X\to Y\) 闭，当且仅当 \(D(T)\) 在范数 \(\|x\|+\|Tx\|\) 下完备。
解
图范数 Cauchy 序列使 \(x_n\) 与 \(Tx_n\) 分别在 \(X,Y\) 中收敛。若 \(T\) 闭，极限属于图像，便给出图范数极限。反过来，若图像中序列在乘积空间收敛，它在图范数下 Cauchy，完备性给出图像中的极限；乘积空间极限唯一，所以图像闭。
习题 7.3严格正与统一正下界
在 \(\ell^2\) 上令 \(Ae_n=n^{-1}e_n\)。证明 \(\langle x,Ax\rangle>0\) 对每个 \(x\ne0\) 成立，但不存在 \(\alpha>0\) 使 \(\langle x,Ax\rangle\ge\alpha\|x\|^2\) 对全部 \(x\) 成立。为什么不能据此直接使用 Lax–Milgram？
解
\(\langle x,Ax\rangle=\sum_n|x_n|^2/n\)，非零输入给出正值。代入 \(e_n\)，统一下界将要求 \(1/n\ge\alpha\)，不可能。Lax–Milgram 要求的强制性是统一正下界，它同时控制存在性与解的稳定性。
有界性控制误差，完备性承接极限，紧性提供可提取的极限，凸性与对偶性则帮助判断极限是否仍满足约束。
完
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