第 9 章：Noether 模与 Artin 模
定义 1
\(R-\)模 \(M\) 称为 Noether 模，若其满足升链条件：\(M_1\subset M_2\subset \cdots\Longrightarrow \exists k,M_k=M_{k+1}=\cdots\)。
\(R-\)模 \(M\) 称为 Artin 模，若其满足链降条件：\(M_1\supset M_2\supset \cdots\Longrightarrow \exists k,M_k=M_{k+1}=\cdots\)。
定义 2
环 \(R\) 称为 Noether/Artin 环若它对自身是 Noether/Artin 模。
例 3
有限群看作 \(\mathbb{Z}-\)模既是 Noether 也是 Artin 模。
例 4
- \(\mathbb{Z}\) 是 Noether 的但不是 Artin 的；
- 任一域既是 Noether 也是 Artin 的；
- 任一 PID 是 Noether 的。
例 5
\(k[x]\) 是 Noether 的但不是 Artin 的，\(k[x_1,x_2,\cdots]\) 既不是 Noether 也不是 Artin 的。
例 6
Noether/Artin 环的子环不一定是 Noether/Artin 环，如 \(k[x_1,x_2,\cdots]\) 的分式域是域。
后文中我们会证明任一 Artin 环均为 Noether 环。
命题 7
\(M\) 是 Noether 的当且仅当任意 \(M\) 的子模都是有限生成的。
证明
“\(\Longrightarrow\)”：令 \(N\) 是 \(M\) 的子模，若 \(N\) 不是有限生成的，设 \(x_1\in N,x_2\in N\setminus Rx_1,x_3\in N\setminus (Rx_1+Rx_2),\cdots\)，则我们有升链：
由于 \(M\) 是 Noether 的，故存在 \(n\)，\(Rx_1+Rx_2+\cdots+Rx_n=Rx_1+\cdots+Rx_{n+1}\)，矛盾！
“\(\Longleftarrow\)”：对任意 \(M_1\subset M_2\subset \cdots,M=\bigcup M_i\) 由一些 \(x_1,\cdots,x_n\) 生成，则存在 \(a_i\)，\(x_i\in M_{a_i}\)，取 \(m=\max a_i\)，则 \(M_m=M\)。
命题 8
令 \(0\rightarrow M'\overset{f}{\rightarrow}M\overset{g}{\rightarrow}M''\rightarrow 0\) 是短正合列。则 \(M\) 是 Noether/Artin 的当且仅当 \(M',M''\) 均为 Noether/Artin 的。特别的，由于 \(0\rightarrow M'\rightarrow M'\oplus M''\rightarrow M''\rightarrow 0\) 是正合的，故 Noether/Artin 模的直和也是 Noether/Artin 的。
证明
下次再补。
命题 9
\(R\) 是 Noether/Artin 环，\(M\) 是有限生成 \(R-\)模，则 \(M\) 是 Noether/Artin 模。令 \(I\) 是 \(R\) 的理想，则作为 \(R-\)模 \(R/I\) 是 Noether/Artin 的。
证明
设 \(M\) 是 \(R^n\) 的商模，则我们有正合列
由命题 2.30，我们有正合列 \(0\rightarrow I\rightarrow R\rightarrow R/I\rightarrow 0\)，故 \(R/I\) 是 Noether/Artin 的。
定义 10
一个 \(R-\)模 \(M\) 称为单模，若它没有非平凡的子模。一个合成列是一列子模
其中 \(M_i/M_{i+1}\) 是单模。\(n\) 称为这个合成列的长度。
命题 11
合成列的长度相同。
证明
对 \(R-\)模 \(M\)，记 \(l(M)\) 为其合成列中最小的长度。我们断言若 \(N\subsetneqq M,l(M)<\infty\)，则 \(l(M)>l(N)\)。
若该断言成立，则对任意序列 \(M=M_0\supsetneqq M_1 \supsetneqq M_2 \supsetneqq\cdots \supsetneqq M_n=0\)，我们有 \(l(M)>l(M_1)>\cdots>l(M_n)=0\)，故 \(l(M)\ge n\)，但由定义 \(l(M)\le n\)，故 \(n=l(M)\)。
现在我们来证明这个断言。取 \(M\) 的一个合成列，\(M=M_0\supset M_1 \supset M_2\supset \cdots \supset M_l=0\)，其中 \(l=l(M)\)。则
是 \(N\) 的合成列，这是因为 \(M_i\cap N/M_{i+1}\cap N\subset M_i/M_{i+1}\) 是单的，故 \(M_i\cap N=M_{i+1}\cap N\) 或 \(M_i\cap N/M_{i+1}\cap N=M_i/M_{i+1}\)。若第一种情况发生了，则我们可以删去一些项，这表示 \(l(N)<l(M)\)。否则我们可以归纳得到 \(M_i=M_i\cap N\)，这表明 \(M=N\)。
命题 12
\(M\) 有合成列当且仅当 \(M\) 既是 Noether 又是 Artin 的。
证明
“\(\Longleftarrow\)”：对全体子模用升链条件我们有极大子模 \(M_1\subset M\)，\(M/M_1\) 是单的。类似的得到 \(M_1\supset M_2\supset \cdots\)，\(M_i/M_{i+1}\) 是单的。再利用降链条件得到这个序列有限。
“\(\Longrightarrow\)”：设 \(M\) 有合成列，对任意 \(M_1\supset M_2\supset \cdots\)，\(l(M_1)\le l(M_2)\le \cdots\le l(M)\) 有限，故存在 \(k\)，\(l(M_k)=l(M_{k+1})=\cdots\)，即 \(M_k=M_{k+1}=\cdots\)，故是 Noether 的。Artin 同理。
注：若 \(l(M)<\infty\)，则任意序列 \(M=M_0\supsetneqq M_1 \supsetneqq\cdots \supsetneqq M_n=0\) 可通过将 \(M_i/M_{i+1}\) 拆开扩张成合成列。
命题 13
定义在有限长度的 \(R-\)模上的 \(l(M)\) 是加性函数。即对任意正合列 \(0\rightarrow M'\overset{f}{\rightarrow}M\overset{g}{\rightarrow}M''\rightarrow 0\) 我们有 \(l(M)=l(M')+l(M'')\)。
证明
对任意 \(M'\) 的合成列，\(M'=M'_0\supset M'_1\supset \cdots \supset M'_m=0\)，任意 \(M''\) 的合成列，\(M''=M''_0\supset M''_1\supset \cdots \supset M''_n=0\)，我们有
是 \(M\) 的长度为 \(m+n\) 的合成列。
推论 14
若环 \(R\) 满足 \((0)=\mathfrak{m}_1\cdots \mathfrak{m}_n\)，其中 \(\mathfrak{m}_i\) 是极大理想，则 \(R\) 是 Noether 的当且仅当 \(R\) 是 Artin 的。
证明
由于 \(0\rightarrow \mathfrak{m}_1\rightarrow R\rightarrow R/\mathfrak{m}_1\rightarrow 0\) 是正合列，\(R\) 是 Noether 的当且仅当 \(\mathfrak{m}_1\) 和 \(R/\mathfrak{m}_1\) 是 Noether 的，且 \(R/\mathfrak{m}_1\) 在 \(R\) 上是 Noether 的当且仅当它在 \(R/\mathfrak{m}_1\) 上是 Noether 的。类似的 \(\mathfrak{m}_1\) 是 Noether 的当且仅当 \(\mathfrak{m}_1/\mathfrak{m}_1\mathfrak{m}_2\) 在 \(R/\mathfrak{m}_2\) 上是 Noether 的且 \(\mathfrak{m}_1\mathfrak{m}_2\) 在 \(R\) 上是 Noether 的。继续这样下去我们有 \(R\) 是 Noether 的当且仅当对任意 \(i\)，\(\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_{i-1}/\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_i\) 在 \(R/\mathfrak{m}_i\) 上是 Noether 的。对 Artin 的讨论可以得到类似的结果。而由于 \(R/\mathfrak{m}_i\) 是域，故我们可以将 Noether 替换成 Artin，便完成了证明。
§ 01诺特环
命题 1.1
\(R\) 是 Noether 环。
- 同态 \(f:R\rightarrow R'\)，\(R'\) 是有限生成 \(R-\)模，则 \(R'\) 是 Noether 的。特别的，若 \(f\) 是满射，则 \(R'\) 是 Noether 的；
- \(S\subset R\) 是乘性子集，则 \(S^{-1}R\) 是 Noether 的。特别的 \(R_\mathfrak{p}\) 是 Noether 的。
证明
\((1)\) \(f(R)\cong R/\ker f\) 是 Noether 的。\(R'\) 是有限生成 \(f(R)-\)模，故是 Noether \(f(R)-\)模。因此 \(R'\) 是 Noether 的。
\((2)\) 注意到 \(S^{-1}R\) 中的理想均为扩张的，故升链条件显然成立。
例 1.2
数域所包含的全体代数整数形成的环是诺特环。
定理 1.3Hilbert basis theorem
若 \(R\) 是 Noether 的，则 \(R[x]\) 是 Noether 的。
证明
由于 \(R\left\lbrack { {X}_{1},\ldots ,{X}_{n + 1}}\right\rbrack \simeq R\left\lbrack { {X}_{1},\ldots ,{X}_{n}}\right\rbrack \left\lbrack {X}_{n + 1}\right\rbrack\)，断言化约到 \(n = 1\) 亦即环 \(R\left\lbrack X\right\rbrack\) 的情形。给定理想 \(\mathfrak{a} \subset R\left\lbrack X\right\rbrack\)，我们将指出如何递归地构造一列元素 \({f}_{1},\ldots ,{f}_{m} \in \mathfrak{a}\) 使之 生成 \(\mathfrak{a}\) 进而导出 \(R\left\lbrack X\right\rbrack\) 为 Noether 环。
对任意 \(f = \mathop{\sum }\limits_{ {k = 0}}^{n}{a}_{k}{X}^{k} \in R\left\lbrack X\right\rbrack ,{a}_{n} \neq 0\)，定义其领导系数为
取 \({f}_{1} \in \mathfrak{a} \setminus \{ 0\}\) 使得 \(\deg {f}_{1}\) 最小。今假设已选取 \({f}_{1},\ldots ,{f}_{k} \in \mathfrak{a}\)，倘若 \(\mathfrak{a} = \left\langle { {f}_{1},\ldots ,{f}_{k}}\right\rangle\) 则构造终止，否则选择 \({f}_{k + 1} \in \mathfrak{a}\) 使得 (i) \({f}_{k + 1} \in \mathfrak{a} \setminus \left\langle { {f}_{1},\ldots ,{f}_{k}}\right\rangle\)；(ii) 在前述条件下 \(\deg {f}_{k + 1}\) 取最小可能的值. 置 \({\alpha }_{i} \mathrel{\text{:=}} \operatorname{in}\left( {f}_{i}\right)\)。由 \(R\) 的升链条件，理想 \(\left\langle { {\alpha }_{1},\ldots }\right\rangle\) 有一族生成元 \({\alpha }_{1},\ldots ,{\alpha }_{m}\)。倘若上述构造可以走到第 \(m + 1\) 步，则有
根据前 \(m\) 步的选取，对 \(i = 1,\ldots ,m\) 皆有 \({d}_{i} \mathrel{\text{:=}} \deg {f}_{m + 1} - \deg {f}_{i} \geq 0\)。显见
的次数严格小于 \(\deg {f}_{m + 1}\) ,此与 \({f}_{m + 1}\) 的选取矛盾。
注：反复使用该定理我们有 \(R[x_1,\cdots,x_n]\) 是 Noether 的。对任意有限生成 \(R-\)代数 \(R'\)，存在满射 \(R[x_1,\cdots,x_n]\rightarrow R'\)，故 \(R'\) 也是 Noether 的。
命题 1.4
\(R\subset R'\subset R''\)，\(R\) 是 Noether 的，\(R''\) 是有限生成 \(R-\)代数，也是有限生成 \(R'-\)模，则 \(R'\) 是有限生成 \(R-\)代数。
证明
我们来构造这样的 \(R_0\)：\(R\subset R_0\subset R'\subset R''\) 使得 \(R''\) 是有限生成 \(R_0-\)模，\(R_0\) 是有限生成 \(R-\)代数。这样由 Hilbert 基定理就有 \(R_0\) 是 Noether 的，故 \(R''\) 是 Noether \(R_0-\)模，因此 \(R'\) 是有限生成 \(R_0-\)模。由于 \(R_0\) 是有限生成 \(R-\)代数，\(R'\) 也是有限生成 \(R-\)代数。
我们这样来构造 \(R_0\)：设 \(R''\) 作为 \(R-\)代数由 \(x_1,\cdots,x_m\) 生成，作为 \(R-\)模由 \(y_1,\cdots,y_n\) 生成，则我们有
令 \(R_0=R[a_{ij},a_{ijk}]\)，这是一个有限生成 \(R-\)代数。对任意 \(m\in R''\) 我们可以将它写成 \(y_i\) 的系数在 \(R_0\) 中的多项式，且由上关系可以将其写成 \(y_i\) 的线性表达式，即 \(R''\) 是有限生成 \(R_0-\)模。
推论 1.5First part of Hilbert's Nullstellensatz
\(k\) 是域，\(R\) 是有限生成 \(k-\)代数。若 \(R\) 是域，则也是 \(k\) 的有限扩张。
证明
设 \(R\) 作为 \(k-\)代数由 \(a_1,\cdots,a_n\) 生成，若 \(R\) 不是有限生成的，我们可以找到 \(a_1,\cdots,a_r\) 在 \(k\) 上是代数不相关的，\(a_{r+1},\cdots,a_n\) 在 \(R'=k(a_1,\cdots,a_r)\cong k(x_1,\cdots,x_r)\) 是代数的。则 \(R\) 是 \(R'\) 的有限扩张。由于 \(R\) 是有限生成 \(R,k-\)模，由上命题我们有 \(R'\) 在 \(k\) 上是有限生成的。
设 \(R'\) 由 \(\frac{f_1}{g_1},\cdots,\frac{f_m}{g_m}\) 生成，其中 \((f_i,g_i)=1\)，令 \(h\in k[x_1,\cdots,x_r]\)，满足 \((h,g_1,g_2,\cdots,g_m)=1\)，则 \(\frac{1}{h}\) 不在 \(k[\frac{f_1}{g_1},\cdots,\frac{f_m}{g_m}]\) 中，矛盾！
§ 02准素分解
定义 2.1
\(R\) 是环，理想 \(\mathfrak{q}\) 称为准素的(primary)，若 \(\mathfrak{q}\neq (1)\) 且若 \(xy\in \mathfrak{q}\)，则 \(x\in \mathfrak{q}\) 或 \(y^n \in \mathfrak{q}\) 对某个 \(n>0\)。等价的定义是 \(R/\mathfrak{q}\neq 0\) 且其中零因子均幂零。
例 2.2
在 \(\mathbb{Z}\) 中，\((0),(p^n)\) 是准素的。
在 \(k[x,y]\) 中，\((x^2,y)\) 是准素的，这是因为 \(k[x,y]/(x^2,y)\cong k[x]/(x^2)\) 且 \((x^2)\) 在 \(k[x]\) 中是准素的。
命题 2.3
设 \(\mathfrak{q}\) 是准素的，则 \(r(\mathfrak{q})\) 是包含 \(\mathfrak{q}\) 的极小素理想。
证明
Check directly by definition.
若 \(r(\mathfrak{q})=\mathfrak{p}\)，则称 \(\mathfrak{q}\) 是 \(\mathfrak{p}-\)准素的。
例 2.4
\((x,y^2)\subset k[x,y]\)，\(r(x,y^2)=(x,y)\)。
例 2.5
考虑 \(R=k[x,y,z]/(xy-z^2)\)，\(\mathfrak{p}=(\bar{x},\bar{z})\)，\(r(\mathfrak{p}^2)=\mathfrak{p}\)，但 \(\mathfrak{p}^2\) 不是准素的，因为 \(\bar{x}\bar{y}=\bar{z}^2\)，但 \(\bar{x}\neq \mathfrak{p}^2\)，\(\bar{y}\neq r(\mathfrak{p})=\mathfrak{p}\)。
命题 2.6
若 \(r(\mathfrak{q})\) 是极大的，则 \(\mathfrak{q}\) 是准素的。特别的，对任意极大理想 \(\mathfrak{m}\)，\(\mathfrak{m}^n\) 是准素的。
证明
\(R/\mathfrak{q}\) 的幂零根是极大的，故 \(R/\mathfrak{q}\) 有唯一的素理想，因此任意 \(R/\mathfrak{q}\) 中的元素要么是单位的，要么是幂零的。
定义 2.7
\(I\) 的一个准素分解(primary decomposition)为 \(I=\bigcap_{i=1}^n \mathfrak{q}_i\)，其中 \(\mathfrak{q}_i\) 是准素的，此时 \(I\) 称作可分解的(decomposible)。这样的分解称为极小的，若对任意 \(i\neq j\)，\(r(\mathfrak{q}_i)\neq r(\mathfrak{q}_j)\) 且 \(\bigcap_{k\neq i}\mathfrak{q}_k\) 不包含于 \(\mathfrak{q}_i\)。
引理 2.8
若 \(\mathfrak{q}_1,\mathfrak{q}_2\) 是 \(\mathfrak{q}-\)准素的，则 \(\mathfrak{q}_1\cap \mathfrak{q}_2\) 是 \(\mathfrak{p}-\)准素的。
证明
首先 \(r(\mathfrak{q}_1\cap \mathfrak{q}_2)=r(\mathfrak{q}_1)\cap r(\mathfrak{q}_2)\)。若 \(xy\in \mathfrak{q}_1\cap \mathfrak{q}_2\)，\(x\notin \mathfrak{q}_1\cap \mathfrak{q}_2\)，不妨 \(x\notin \mathfrak{q}_1\)，则 \(y\in r(\mathfrak{q}_1)=r(\mathfrak{q}_1\cap \mathfrak{q}_2)\)，即 \(\mathfrak{q}_1\cap \mathfrak{q}_2\) 是准素的。
由该引理我们知道准素分解总能化简为极小分解，然而下面给出的例子表明极小分解并不唯一。
例 2.9
\(R=k[x,y]\)，\(I=(x^2,xy)=(x)\cap (x,y)^2=(x)\cap (x^2,y)\)。
定理 2.10
\(I\) 是可分解的理想，\(I=\bigcap_{i=1}^n\mathfrak{q}_i\) 是一个极小分解，设 \(\mathfrak{p}_i=r(\mathfrak{q}_i)\)，则
由 \(I\) 唯一确定。
证明
首先我们有 \(r(I:x)=r(\bigcap_{i=1}^n\mathfrak{q}_i:x)=\bigcap_{i=1}^nr(\mathfrak{q}_i:x)\)，为了计算 \(r(\mathfrak{q}_i:x)\)，我们需要如下引理：
引理 2.11
\(\mathfrak{q}\) 是 \(\mathfrak{p}-\)准素理想，则
- 若 \(x\in \mathfrak{q}\)，则 \((\mathfrak{q}:x)=(1)\)；
- 若 \(x\notin \mathfrak{q}\)，则 \((\mathfrak{q}:x)\) 是 \(\mathfrak{p}-\)准素的；
- 若 \(x\notin \mathfrak{p}\)，则 \((\mathfrak{q}:x)=\mathfrak{q}\)。
证明
\((1)\) 和 \((3)\) 是显然的。对于 \((2)\)，\(y\in (\mathfrak{q}:x)\Longrightarrow xy\in \mathfrak{q}\Longrightarrow y\in r(\mathfrak{q})=\mathfrak{p}\)，由于 \(\mathfrak{q}\subset (\mathfrak{q}:x)\)，故只能 \(r(\mathfrak{q}:x)=\mathfrak{p}\)。若 \(yz\in (\mathfrak{q}:x),y\notin (\mathfrak{q}:x)\)，则 \(xyz\in \mathfrak{q},xy\notin \mathfrak{q}\)，故 \(z\in r(\mathfrak{q})=r(\mathfrak{q}:x)\)，即 \((\mathfrak{q}:x)\) 是准素的。
由引理，\(r(\mathfrak{q}:x)=\begin{cases} R,&x\in \mathfrak{q}_i;\\ \mathfrak{p}_i,&x\notin \mathfrak{q}_i. \end{cases}\) 故 \(\bigcap_{i=1}^n r(\mathfrak{q}_i:x)=\bigcap_{x\notin \mathfrak{q}_i} \mathfrak{p}_i\)。
一方面由于这个分解是极小的，我们可以找到 \(x,x\notin \mathfrak{q}_i\)，\(x\in \bigcap_{j\neq i} \mathfrak{q}_j\)，则 \((I:x)=\mathfrak{p}_i\)。另一方面当 \(r(I:x)\) 是素的，若 \(r(I:x)\neq \mathfrak{p}_i\)，我们可以取出 \(y_i\notin r(I:x),y_i\in \mathfrak{p}_i\)，则 \(\prod y_i\in \bigcap \mathfrak{p}_i\)，但因为 \(r(I:x)\) 是素的，\(\prod y_i\notin r(I:x)\)，矛盾！
上面的 \(\mathfrak{p}_i\) 称作与 \(I\) 相伴的(associated)，\(\left\{\mathfrak{p}_i\right\}\) 中的最小元称作 \(I\) 的伴随素理想(isolated prime ideals)。
例 2.12
\(I\) 是准素的当且仅当只有一个伴随素理想。
命题 2.13
设 \(I\) 为可分解理想，则对任意素理想 \(\mathfrak{p}\supset I\)，\(\mathfrak{p}\) 包含一个伴随素理想。
证明
设 \(\mathfrak{p}\supset I=\bigcap_{i=1}^n \mathfrak{q}_i\) 是一个极小分解，\(r(\mathfrak{q}_i)=\mathfrak{p}_i\)，则 \(\mathfrak{p}=r(\mathfrak{p})\supset r(\bigcap_{i=1}^n \mathfrak{q}_i)\supset \bigcap_{i=1}^n r(\mathfrak{q}_i)=\bigcap_{i=1}^n \mathfrak{p}_i\)，故 \(\mathfrak{p}\supset \mathfrak{p}_i\)，对某个 \(i\)。
命题 2.14
设 \(I=\bigcap_{i=1}^n \mathfrak{q}_i\) 是一个极小准素分解，则 \(\left\{\mathfrak{q}_i\Big| r(\mathfrak{q}_i\text{是极小的})\right\}\) 唯一确定。
证明
详见 Atiyah。
现在我们来看 Noether 环的准素分解。
定义 2.15
理想 \(I\) 称为不可约的(irreducible)，若 \(I=I_1\cap I_2\)，则 \(I=I_1\) 或 \(I=I_2\)。
例 2.16
\(I\) 是不可约的当且仅当 \((0)\) 在 \(R/I\) 中不可约，任意素理想都是不可约的。
命题 2.17
对 Noether 环 \(R\)：
- 任意理想是有限个不可约理想的交；
- 任意不可约理想是准素理想；
- 任意理想有准素分解。
证明
\((1)\)：设 \(\Sigma=\left\{\text{不是有限个不可约理想的交}\right\}\)，由 Noether 环的性质对每个升链都有上界，故由 Zorn 引理存在 \(\Sigma\) 的极大元 \(I\)。由于 \(I\) 是可约的，\(I=I_1\cap I_2,I_1,I_2\notin \Sigma\)，这是一个矛盾！
\((2)\)：考虑商环，需要证明 \((0)\) 是不可约的。若 \(xy=0,y\neq 0\)，我们有升链
由 Noether 环的性质知存在 \(n\)，\(\mathrm{Ann}(x^n)=\mathrm{Ann}(x^{n+1})=\cdots\)。
对于 \(a\in (x^n)\cap (y)\)，设 \(a=x^nb=cy\)，则 \(ax=cxy=0=x^{n+1}b\)，故 \(b\in \mathrm{Ann}(x^{n+1})=\mathrm{Ann}(x^n)\)，即 \(a=0\)。由于 \(y\neq 0,x^n=0\)，\((x^n)\cap (y)=(0)\)。
\((3)\) 由 \((1)\) 和 \((2)\) 直接推出。
命题 2.18
\(R\) 是 Noether 环，\(I\) 是 \(R\) 的理想，则 \(I\) 包含一个 \(r(I)\) 的幂。特别的，\(R\) 的幂零根是幂零的。
证明
设 \(r(I)\) 由 \(x_1,\cdots,x_n\) 生成，其中 \(x_i^{k_i}\in I\)。令 \(k=\sum_{i=1}^n (k_i-1)+1\)，则 \(r(I)^k\in I\)。
推论 2.19
\(R\) 是 Noether 环，\(\mathfrak{m}\) 是 \(A\) 的极大理想，则下述命题等价：
- \(\mathfrak{q}\) 是 \(\mathfrak{m}-\)准素的；
- \(\mathfrak{m}^n\subset \mathfrak{q}\subset \mathfrak{m}\)，对某个 \(n>0\)；
- \(r(\mathfrak{q})=\mathfrak{m}\)。
证明
\((1)\Longrightarrow (2)\) 由上命题即得。
\((2)\Longrightarrow (3)\) 是因为 \(\mathfrak{m}=r(\mathfrak{m}^n)\subset r(\mathfrak{q})\subset r(\mathfrak{m})=\mathfrak{m}\)。
\((3)\Longrightarrow (1)\) 由命题 2.38即得。
命题 2.20
\(R\) 是 Noether 环，\(I\neq(1)\)，则伴随素理想=\(\left\{(I:x)\right\}_{x\in R}\) 的素理想。
证明
我们已证明伴随素理想是 \(r(I:x)\) 中的素理想。另一方面，若 \((I:x)\) 是素理想，则 \(r(I:x)=(I:x)\) 是相伴的。反过来，我们需要证明任意相伴的素理想 \(\mathfrak{p}\) 对应的 \(\mathfrak{q}\) 形如 \((I:y)\)，其中 \(y\in R\)。
回忆对极小分解，\(\mathfrak{p}=r(I:x)=\bigcap r(\mathfrak{q}_i:x)=\bigcap_{x\notin \mathfrak{q}_i} r(\mathfrak{q}_i)\)。对任意 \(x\notin I\)，\(x\in \bigcap_{\mathfrak{q}_i\neq \mathfrak{q}} \mathfrak{q}_i=I'\)，则 \(r(I:x)=\mathfrak{p}\)。由命题 2.42知，存在 \(n\)，\(\mathfrak{p}^n\subset \mathfrak{q}\)。则 \(I'\mathfrak{p}^n\subset I'\cap \mathfrak{q}=0\) 取这样最小的 \(n\)，则存在 \(0\neq y\in I'\mathfrak{p}^{n-1},y\mathfrak{p}=0\)，即 \((I:y)\supset \mathfrak{p}\)。因此 \(\mathfrak{p}=(I:y)\)，我们完成了证明。
§ 03Artin 环
命题 3.1
若 \(R\) 是 Artin 环，则任意素理想均是极大的，即幂零根与Jacobson根相等。
证明
考虑 Artin 整环 \(R'=R/\mathfrak{p}\)，对任意 \(0\neq x\in R'\)，我们有 \((x)\supset (x^2) \supset \cdots\)，存在 \(n\)，\((x^n)=(x^{n+1})\)，即存在 \(y\in R'\)，\(x^n=x^{n+1}y\)，故 \(x^n(xy-1)=0\)，由于
定义 3.2
环 \(R\) 的 Krull 维数为素理想升链 \(\mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \cdots \subsetneq\mathfrak{p}_n\) 长度 \(n\) 的最大值。
由上命题，若 \(R\) 是 Artin 的，则 \(\dim R=0\)。
命题 3.3
Artin 环只有有限个极大理想。
证明
考虑 \(\Sigma=\left\{ \text{极大理想的有限交}\right\}\)，由 Artin 环的降链条件这个集合有极小元，记为 \(I=\mathfrak{m}_1\cap \cdots \cap \mathfrak{m}_n\)。则对任意其他极大理想 \(\mathfrak{m}\)，\(\mathfrak{m}\cap I=I\)，故存在 \(i\)，\(\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_i\)，取法有限。
命题 3.4
在 Artin 环中，幂零根是幂零的。
证明
设 \(\Re\) 是幂零根，由 Artin 环的升链条件存在 \(n\)，\(\Re^n=\Re^{n+1}=\cdots\)，记为 \(I\)，我们来证明 \(I=0\)。若 \(I\neq 0\)，设 \(\Sigma=\left\{J\Big|ideal \\ J,I\cdots J\neq 0\right\}\)，则 \(I\in \Sigma\)。由 Artin，\(\Sigma\) 有极小元，记为 \(I'\)，对任意 \(x\in I',xI\neq 0\)，\((x)\subset I'\)，故 \(I'=(x)\)。\((xI)I=xI^2=xI\neq 0\)，故 \(xI\in \Sigma\)，这表明 \(xI=(x)\)。故存在 \(y\in I\subset \Re\)，\(xy=x\)。故存在 \(k\)，\(y^k=0\)，\(x=xy^k=0\)，矛盾！
定理 3.5
\(R\) 是 Artin 的当且仅当 \(R\) 是 Noether 的且 \(\dim R=0\)。
证明
“\(\Longrightarrow\)”：设 \(R\) 是 Artin 的，则幂零根 \(\Re=\bigcap_{i=1}^n \mathfrak{m}_i\)。由上一个命题存在 \(k\)，\(\prod_{i=1}^n \mathfrak{m}_i^k\subset (\bigcap_{i=1}^n \mathfrak{m}_i)^k=\Re^k=0\)，由推论 2.18知 \(R\) 是 Noether 的。
“\(\Longleftarrow\)”：设 \(R\) 是 Noether 的，\((0)\) 有准素分解 \((0)=\cap \mathfrak{q}_i\)。由于存在 \(n_i\)，\(r(\mathfrak{q}_i)^{n_i}\subset \mathfrak{q}_i\)，我们可以找到 \(n\)，\((0)=(\cap r(\mathfrak{q}_i))^n\)。再由 \(\dim R=0\) 与 \(r(\mathfrak{q}_i)\) 是素的知其均为极大理想，结合推论 2.18知 \(R\) 是 Artin 的。
上面定理说明了 Artin 环都是 Noether 环，但是 Artin 模不一定是 Noether 模。
例 3.6
考虑 \(G\subset \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) 作为 \(\mathbb{Z}-\)模，取素数 \(p\)，\(G={\frac{q}{p^n}}\)，其所有子模为 \((0)\subset \mathbb{Z}\subset \frac{\mathbb{Z}}{p}\subset \frac{\mathbb{Z}}{p^2}\subset \cdots\)，故 \(G\) 是 Noether 模但不是 Artin 模。
例 3.7
设 \(R\) 是 Artin 局部环，极大理想为 \(\mathfrak{m}\)，则 \(\mathfrak{m}\) 是幂零的，故 \(x\in R\) 要么是单位，要么是幂零的。
例 3.8
\(R\) 是 Noether 局部环，极大理想为 \(\mathfrak{m}\)，若存在 \(n\)，\(\mathfrak{m}^n=\mathfrak{m}^{n+1}\)，由于 Noether 环的理想均有限生成，利用 Nakayama 引理，\(\mathfrak{m}^n=0\)。对任意素理想 \(\mathfrak{p}\)，\(\mathfrak{m}^n\subset \mathfrak{p}\)，故 \(\mathfrak{m}\subset r(\mathfrak{m}^n)\subset r(\mathfrak{p})\subset \mathfrak{p}\)，即 \(\mathfrak{m}=\mathfrak{p}\)。因此 \(\mathfrak{m}\) 是唯一的素理想，由上定理，\(R\) 是 Artin 的。另外若 \(R\) 不是 Artin 的，则对任意 \(\mathfrak{m}\)，\(\mathfrak{m}^n\neq \mathfrak{m}^{n+1}\)。
例 3.9
维数为 \(0\) 的局部环不一定是 Noether 或者 Artin 的。考虑 \(R=k[x_1,x_2,\cdots]/(x_1,x_2^2,x_3^3,\cdots)\)，有唯一的素理想 \(\mathfrak{p}=(\bar{x}_2,\bar{x}_3,\cdots)\)，但 \((\bar{x}_1)\subset (\bar{x}_1,\bar{x}_2)\subset \cdots\) 不是稳定的。
定理 3.10Artin 环的结构定理
任意 Artin 环 \(R\) 是有限个 Artin 局部环的直积，此直积在同构意义下是唯一的。
为了证明这个定理，我们需要介绍如下定义：
定义 3.11
环 \(R\) 的两个理想 \(I_1,I_2\) 称为互素的(coprime)，若 \(I_1+I_2=(1)\)。
引理 3.12
设 \(I_1,\cdots,I_n \subset R\) 是理想，我们有自然同态 \(\phi:R\rightarrow \prod R/I_i\)，则：
- 若对任意 \(i\neq j\)，\(I_i\) 与 \(I_j\) 互素，则 \(\cap I_i=\prod I_i\)；
- \(\phi\) 是满射当且仅当对任意 \(i\neq j\)，\(I_i\) 与 \(I_j\) 互素；
- \(\phi\) 是单射当且仅当 \(\cap I_i=(0)\)。
证明
\((1)\)：设结论对 \(n-1\) 成立，即 \(I=\cap_{i=2}^n I_i=\prod_{i=2}^n I_i\)。我们来证明 \(I_1\) 与 \(I\) 互素。事实上对任意 \(2\le i\le n\)，我们可以找到 \(a_i\in I_1,b_i\in I_i,a_i+b_i=1\)。故 \(I\ni \prod b_i=\prod(1-a_i)\in 1+I_1\)，故 \(1\in I+I_1\)。于是我们只需证明 \(n=2\) 的情形。事实上，我们有
故 \(I_1\cap I_2=I_1\cdot I_2\)。
\((2)\)：“\(\Longrightarrow\)”：\(R\rightarrow R/I_1\times R/I_2\) 是满射，故存在 \(a\)，\(a\in I_i,a\in 1+I_j\)，即 \(I_i+I_j=1\)。
“\(\Longleftarrow\)”：同 \((1)\)，\(I_1+\cap_{i=2}^n I_i=(1)\)，故对任意 \(r_1\in R/I_1\)，我们可以找到 \(a_1\)，\(\phi(a_1)=(r_1,0,\cdots,0)\)。则对任意 \(r=(r_1,\cdots,r_n),\phi(a_1+\cdots+a_n)=r\)，故 \(\phi\) 是满射。
\((3)\)：由 \(\ker \phi=\cap I_i\) 显然。
定理 2.9 的证明
存在性：我们有极小分解 \((0)=\mathfrak{q}_1\cap \cdots\cap \mathfrak{q}_n\)，\(r(\mathfrak{q}_i)\neq r(\mathfrak{q}_j)\) 是极大理想。故 \(r(\mathfrak{q}_i)+r(\mathfrak{q}_j)=(1)\)。则 \(\mathfrak{q}_i+\mathfrak{q}_j=(1)\)，故由上引理我们有同构
唯一性：设 \(R\cong \prod R_i\)，其中 \(R_i\) 是 Artin 局部环。我们有自然投影 \(\pi_i:R\rightarrow R_i\)。令 \(I_i=\ker \pi_i\)，则 \((0)=\cap I_i\)。我们希望这是一个极小分解。
首先 \(r(I_i)=\pi_i^{-1}(r(0))\)，其中 \(r(0)\) 是 \(R_i\) 唯一的极大理想，因此 \(r(I_i)\) 是极大的，故 \(I_i\) 是准素的。由上引理对任意 \(i\neq j\)，\(I_i+I_j=(1)\)，故 \(r(I_i)+r(I_j)=(1)\)，这表明 \(r(I_i)\neq r(I_j)\)。由于 \(I_i+\cap _{j\neq i}I_j=(1)\)，\(\cap_{j\neq i}I_j\) 不包含于 \(I_i\)。
于是 \((0)=\cap I_i\) 是极小分解，由于任意素理想是极大的，故均为极小素理想。由命题 2.40知唯一。
命题 3.13
\(R\) 是 Artin 局部环且不是域，则如下条件等价：
- \(R\) 是 PID；
- 极大理想 \(\mathfrak{m}\) 是主理想；
- \(\dim_{R/\mathfrak{m}} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=1\)。
证明
\((1)\Longrightarrow(2)\Longrightarrow(3)\) 是显然的。下假设 \((3)\) 成立。
由推论 2.2知 \(\mathfrak{m}\) 是主理想，设为 \((x)\)。由命题 2.46知存在 \(r\)，\(I\subset \mathfrak{m}^r\) 但不被包含于 \(\mathfrak{m}^{r+1}\)，故存在 \(y\in I,y=ax^r,a\notin \mathfrak{m}\)。则 \(a\) 是 \(R\) 中的单位，故 \((x^r)\subset I\)，即 \(I=(x^r)\) 是主理想。
完
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