第 1 章：域
§ 01域扩张
定义 1.1
\((F,+,\cdot)\) 称为域(field)，若满足：
- \(a+b=b+a, a \cdot b=b \cdot a;\)
- \((a+b)+c=a+(b+c),(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c) ;\)
- \((a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c ;\)
- \(\exists 0 \in F, \forall a \in F, 0+a=a ;\)
- \(\exists 0 \neq 1 \in F, \forall a \in F, 1 \cdot a=a ;\)
- \(\forall a \in F, \exists-a \in F, a+(-a)=0;\)
- \(\forall a \neq 0, \exists a^{-1} \in F, a \cdot a^{-1}=1 .\)
定义 1.2
\(E\) 是一个域，\(F\) 称为 \(E\) 的子域(subfield)，若 \(F\subset E\)，且对 \(E\) 中的运算构成域。称 \(E\) 是 \(F\) 的一个扩张(extension)。
设 \(F\) 是域，考虑自然同态 \(f:\mathbb{Z}\rightarrow F\)，则 \(\mathrm{ker}f\) 为 \((0)\) 或一个素理想 \((p)\)。
若 \(\mathrm{ker}f=(0)\)，称 \(F\) 的特征是 0 且有嵌入映射 \(\mathbb{Q}\rightarrow F\)，称 \(\mathbb{Q}\) 是 \(F\) 的素子域。
若 \(\mathrm{ker}f=(p)\)，称 \(F\) 的特征是 \(p\) 且有嵌入映射 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \rightarrow F\)，称 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 是 \(F\) 的素子域。
定义 1.3
设有域扩张 \(E/F\)，\(S\subset E\)，记 \(F(S)\) 为由 \(F\) 与 \(S\) 生成的子域，那么 \(F(S)/F\) 是一个域扩张。
若 \(S\) 只含一个元素 \(u\)，我们称 \(F(u)\) 是 \(F\) 的一个单扩张(simple extension)，称 \(u\) 为 \(F(u)\) 的本原元(primitive element)。
\(u\in E\)，考虑 \(F(u)=\left\{ \dfrac{f(u)}{g(u)}\Big| f,g\in F[x],g(u)\neq 0\right\}\)。
我们有同态 \(f:F[x]\rightarrow E,f(x)\mapsto f(u),f|_F=id_F\)。由于 \(F(u)\) 是一个域，故 \(\mathrm{ker}f=(0)\) 或 \((g(x))\)，其中 \(g(x)\) 是不可约多项式。
若 \(\mathrm{ker}f=(0)\)，则 \(F[x]\cong F[u]\)；若 \(\mathrm{ker}f=(g(x))\)，则 \(F(u)\cong F[u]\cong F(x)/(g(x))\)。
定义 1.4
\(u \in E\)，若不存在 \(h(x)\in F[x],h(u)=0\)，则称 \(u\) 是 \(F\) 上的超越元(transendental element)，否则称为代数元(algebraic element)。若首一的不可约多项式 \(g(x)\) 使 \(g(u)=0\)，则称之为 \(u\) 的极小多项式。
命题 1.5Kronecker's theorem
\(F\) 是一个域，\(h(x)\in F[x]\)，则存在域扩张 \(E/F\) 使得 \(h(x)\) 在 \(E\) 上有根。
证明
不妨设\(h(x)\) 是不可约多项式，则 \(F[x]/(h(x))\) 是满足条件的域扩张。
定义 1.6
设 \(E/F\) 是域扩张，若对 \(\forall u\in E\) 均为代数元，则称 \(E/F\) 是代数扩张(algebraic extension)。否则称为超越扩张(transendental extension)。
定义 1.7
设 \(E/F\) 是域扩张，我们可以将 \(E\) 视作 \(F\) 上的线性空间，我们将这个线性空间的维数称作 \(E/F\) 的度数(degree)，记作 \([E:F]\)。
若 \([E:F]=2,E=F(\alpha)\)，则存在 \(a,b,c\in F,a\alpha^2+b\alpha+c=0\)。由于 \(\alpha \notin F\)，故 \(a\neq 0\)。不妨 \(a=1.x^2+bx+c\) 是 \(\alpha\) 的极小多项式。假设 \(\mathrm{char}F\neq 2\)，则 \((\alpha+b/2)^2=b^2/4-c\in F\)。设 \(\alpha^\prime=\alpha+b/2\)，则
命题 1.8
\(E/F\) 是域扩张，代数元 \(u\in E\) 极小多项式为 \(g(x)\)，则 \([F(u):F]=\mathrm{deg} g\)。进一步若 \([F(u):F]<\infty\)，则 \(u\) 是 \(F\) 上代数元。
证明
设 \(n=\mathrm{deg} g\)，则 \(F(u)\cong F[x]/(g(x))=F(1,x,\cdots,x^{n-1})\)，故 \([F(u):F]=n=\mathrm{deg} g\)。
进一步设 \([F(u):F]=n\)，则存在 \(a_0,\cdots,a_n\in F\)，\(a_0+a_1u+\cdots+a_nu^n=0\)，故 \(u\) 是 \(F\) 上代数元。
推论 1.9
有限扩张都是代数扩张。
设域扩张 \(E/F\)，域 \(K\) 满足 \(E/K\) 和 \(K/F\) 都是域扩张，则称 \(K\) 为 \(E/F\) 的中间域(intermediate field)。
定理 1.10
设域扩张 \(E/K/F\)，则 \(E/F\) 是有限扩张当且仅当 \(E/K\) 和 \(K/F\) 均为有限扩张。事实上，\([E:F]=[E:K][K:F]\)。
证明
“\(\Longrightarrow\)” 是显然的。
“\(\Longleftarrow\)”：设 \(E/K\) 和 \(K/F\) 都是有限扩张。取 \(K/F\) 的一组基 \(u_1,\cdots,u_n\) 与 \(E/K\) 的一组基 \(v_1,\cdots,v_n\)，则 \(\forall a\in E\)，
即 \(E\) 是由 \(\left\{v_iu_j\right\}\) 生成的，且线性不相关。因此
推论 1.11
设域扩张 \(E/K/F\)，\([E:F]<\infty\)，则 \([E:F]\) 被 \([E:K]\) 与 \([K:F]\) 整除。特别的，若 \([E:F]\) 是素数，则 \(K=E\) 或 \(K=F\)。
定理 1.12Steinitz's theorem
\(E/F\) 是一个有限域扩张，则 \(E/F\) 是单扩张当且仅当它只有有限个中间域。
证明
“\(\Longrightarrow\)”：设 \(E=F(u)\)，\(K\) 是中间域，则 \(E=K(u)\)。设 \(u\) 在 \(K\) 上的极小多项式是 \(g(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0,a_i\in K\)。
令 \(K^\prime=F(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})\subset K\)，\(g^\prime(x)\) 是 \(u\) 在 \(K^\prime\) 上的极小多项式。
则 \(g^\prime(x)\mid g(x)\) 且
于是我们有 \(g'(x)=g(x),K=K'\)。
设 \(h(x)\) 是 \(u\) 在 \(F\) 上的极小多项式，则 \(g(x)\mid h(x)\)。注意到 \(K\) 由 \(g\) 唯一确定且 \(g\) 仅有有限个选择，因此 \(K\) 也只有有限个。
“\(\Longleftarrow\)”：我们先证明如下引理：
引理 1.13
\([E:F]<\infty\) 当且仅当 \(E=F(u_1,\cdots,u_n)\)，其中 \(u_i\) 是 \(F\) 上的代数元。
引理的证明
“\(\Longleftarrow\)”：
“\(\Longrightarrow\)”：取 \(u\notin F\)，\([F(u):F]\le [E:F]<\infty\)，故 \(u\) 是 \(F\) 上代数元。考虑 \(E/F(u)\)，有 \([E/F(u):F]<[E:F]\)，归纳得 \(E/F(u)=F(v_1,\cdots,v_m)\) 对某个 \(m\)，故 \(E=F(u,v_1,\cdot,v_m)\)。
§ 02代数扩张
定理 2.1
设域扩张 \(K/E/F\)，则 \(K/F\) 是代数扩张当且仅当 \(K/E\) 和 \(K/F\) 是代数扩张。
证明
“\(\Longrightarrow\)” 是显然的。
“\(\Longleftarrow\)”：对 \(u\in K\)，设 \(g(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_0\in E[x]\) 是 \(a\) 的极小多项式，则 \(u\) 是 \(F(a_0,\cdots,a_{n-1})\) 上的代数元，故
故 \(u\) 是 \(F\) 上的代数元。
定理 2.2
设域扩张 \(E/F\)，\(K\subset E\) 是 \(E\) 中所有代数元构成的集合，则 \(K\) 是域。
证明
对代数元 \(\alpha,\beta\in K\)，\(F(\alpha,\beta)/F(\alpha)/F\) 是代数的，故 \(F(\alpha,\beta)/F\) 是代数的。
即 \(\alpha\pm \beta,\alpha\cdot \beta,\alpha^{-1},\beta^{-1}\) 在 \(F\) 中都是代数元，进而 \(K\) 是域。
取 \(E=\mathbb{R}\)，\(F=\mathbb{Q}\)。注意到 \(x^n-2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约，取 \(z=2^{1/n}\)，则
由 \(n\) 的任意性，\([K:\mathbb{Q}]=\infty\)。
推论 2.3
若 \(u\) 是 \(K\) 上的代数元，则 \(u\in K\)。
证明
\(K(u)/K/F\) 是代数扩张，所以 \(K(u)/F\) 是代数扩张，这表示 \(u\) 是 \(F\) 上的代数元。
定义 2.4
设域扩张 \(E/K\)，若不存在域扩张 \(E/K'/K\) 使得 \(K'/K\) 是代数扩张且 \(K'\neq K\)，则称 \(K\) 在 \(E\) 中是代数封闭的(algebraically closed)。
若 \(E/K/F\) 满足 \(K\) 在 \(E\) 中是代数封闭的且 \(K/F\) 是代数扩张，则称 \(K\) 是 \(F\) 在 \(E\) 中的代数闭包(algebraic closure)。
事实上，\(K=\left\{x\in E\Big| x\text{是} F \text{上代数元}\right\}\)。
定义 2.5
\(K\) 是域，若 \(K\) 没有非平凡代数扩张，则称 \(K\) 是代数封闭的。
例 2.6
\(\mathbb{R}\) 在 \(\mathbb{C}\) 中的代数闭包是 \(\mathbb{C}\)。
设 \(K\) 是 \(\mathbb{Q}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上的代数闭包，则 \(K\) 在 \(\mathbb{R}\) 中是代数封闭的，在 \(\mathbb{C}\) 中不是。
\(F\) 在 \(F(t)/F\) 中是代数封闭的。
定义 2.7
\(F\) 是域，若 \(K/F\) 是代数扩张且 \(K\) 是代数封闭的，则称 \(K\) 是 \(F\) 的代数闭包。
定理 2.8
\(K\) 是域，则以下命题等价：
- \(K\) 是代数封闭的；
- \(K[x]\) 中任一不可约多项式的次数等于 1 ；
- \(K[x]\) 中任一次数大于零的多项式可分解为一次因子的乘积；
- \(K[x]\) 中任一次数大于零的多项式都在 \(K\) 中至少有一个根。
定理 2.9
\(K\) 是代数封闭的，\(F\subset K\) 是子域，则 \(F\) 在 \(K\) 中的代数闭包 \(\bar{F}\) 是代数封闭的，即 \(\bar{F}\) 是 \(F\) 的代数闭包。
证明
设 \(K'/\bar{F}\) 是代数扩张，\(u\in K'\) 的极小多项式是 \(g(x)\in \bar{F}[x]\)。因为 \(g(x)\in K[x]\)，故 \(g(x)=(x-x_1)\cdots(x-x_n),x_i\in K\)。\(x_i\) 是 \(\bar{F}\) 上的代数元，故 \(x_i\in \bar{F}\)。而 \(u\) 又是其中一个 \(x_i\)，故 \(u\in \bar{F}\)，即 \(K'=\bar{F}\)。
定理 2.10
任一域 \(F\) 在同构意义下有唯一的代数闭包。
定义 2.11
域扩张 \(E/F\)，设 \(\mathrm{End}(E/F)\) 为所有同态 \(\varphi:E\rightarrow E\) 且 \(\varphi|_F=id_F\) 组成的集合，\(\mathrm{Aut}(E/F)\) 为所有同构 \(\varphi:E\rightarrow E\) 且 \(\varphi|_F=id_F\) 组成的集合。
命题 2.12
若 \(E/F\) 是代数扩张，则 \(\mathrm{End}(E/F)=\mathrm{Aut}(E/F)\)。
证明
设 \(\varphi\in \mathrm{End}(E/F)\)。设 \(u\in E\) 的极小多项式 \(g(x)\)，则 \(\varphi(g(x))=g(x)\)。设 \(S\) 是 \(g(x)\) 根的集合，则 \(\varphi(S)\subset S\)。由于两个域之间的任一非零同态都是单的，故 \(\varphi(S)=S\)，即 \(\varphi\) 是满射，故是同构。
完
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