第 5 章：收敛模式
定义 1
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称序列 \(f_n\) 逐点收敛(pointwise)到 \(f\)，若对每个 \(x \in X\)，有 \(f_n(x)\) 收敛到 \(f(x)\)。换言之，对任意 \(\varepsilon > 0\) 和 \(x \in X\)，存在 \(N\)，使得当 \(n \geq N\) 时，
\[ |f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon. \] -
称序列 \(f_n\) 一致收敛(uniformly)到 \(f\)，若对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(N\)，使得当 \(n \geq N\) 时，对所有 \(x \in X\)，
\[ |f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon. \]
两者的区别在于后者要求 \(N\) 的选择必须与 \(x\) 无关，而是对全体 \(x \in X\) 一致成立。
定义 2
令 \((X,\mathbb{B},\mu)\) 是测度空间，\(f_n\) 是可测函数且极限 \(f\) 可测。
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我们称 \(f_n\) 几乎处处逐点收敛(a.e pointwise)到 \(f\)，如果对于 \(\mu\)-几乎处处的 \(x \in X\)，\(f_n(x)\) 收敛到 \(f(x)\)。
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我们称 \(f_n\) 几乎处处一致收敛(a.e uniform)或在 \(L^{\infty}\) 范数下收敛到 \(f\)，如果对于每个 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(N\) 使得对任意 \(n \geq N\)，在 \(\mu\)-几乎处处的 \(x \in X\) 有 \(|f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon\)。
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我们称 \(f_n\) 几乎一致收敛(a.u.)到 \(f\)，如果对于每个 \(\varepsilon > 0\)，存在可测集 \(E \in \mathcal{B}\) 满足 \(\mu(E) \leq \varepsilon\)，使得 \(f_n\) 在 \(E^c\) 上一致收敛于 \(f\)。
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我们称 \(f_n\) 在 \(L^1\) 范数下收敛到 \(f\)，如果
\[ \|f_n - f\|_{L^1(\mu)} = \int_X |f_n(x) - f(x)| \, d\mu \]当 \(n \to \infty\) 时收敛到 \(0\)。
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我们称 \(f_n\) 依测度收敛(measure)到 \(f\)，如果对于每个 \(\varepsilon > 0\)，测度
\[ \mu\big(\{ x \in X : |f_n(x) - f(x)| \geq \varepsilon \}\big) \]当 \(n \to \infty\) 时收敛到 \(0\)。
命题 3
我们有如下关系：
§ 01唯一性
命题 1.1
设 \(f_n:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为一列可测函数，设 \(f,g\) 为另外两个可测函数。设 \(f_n\) 依上述七种模式之一收敛于 \(f\)，依另一种收敛于 \(g\)，则 \(f=g\) 几乎处处成立。
§ 02阶梯函数的情形
命题 2.1
考虑 \(f_n=A_n 1_{E_n}\)。令 \(E^*_N=\bigcup_{n>N} E_n\)。
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\[ f_n\rightrightarrows 0 \Longleftrightarrow \lim_{n\rightarrow 0} A_n=0 \]
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\[ f_n\stackrel{L^\infty}{\longrightarrow} 0 \Longleftrightarrow \lim_{n\rightarrow 0} A_n=0 \]
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\[ f_n\stackrel{a.u.}{\longrightarrow} 0 \Longleftrightarrow \lim_{n\rightarrow 0} A_n=0\text{ 或 } \lim_{N\rightarrow \infty} \mu(E^*_N)=0 \]
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\[ f_n\rightarrow 0\Longleftrightarrow \lim_{n\rightarrow 0} A_n=0\text{ 或 } \bigcap_{N=1}^\infty E^*_N=\emptyset \]
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\[ f_n\stackrel{a.e.}{\longrightarrow} 0\Longleftrightarrow \lim_{n\rightarrow 0} A_n=0\text{ 或 } \mu(\bigcap_{N=1}^\infty E^*_N)=0 \]
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\[ f_n\stackrel{m}{\longrightarrow} 0\Longleftrightarrow \lim_{n\rightarrow 0} A_n=0\text{ 或 } \lim_{n\rightarrow \infty}\mu(E_n)=0 \]
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\[ f_n\stackrel{L^1}{\longrightarrow} 0\Longleftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}A_n\mu(E_n))=0 \]
§ 03有限测度空间
定理 3.1Egorov 定理
令 \(X\) 有有限测度，\(f_n:X\rightarrow \mathbb{C}\)，\(f:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为可测函数，则 \(f_n\stackrel{a.e.}{\longrightarrow} f\) 当且仅当 \(f_n\rightrightarrows f\)。
§ 04快速收敛
命题 4.1快速 \(L^1\) 收敛
设 \(f_n,f:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为可测函数，若 \(\sum_{n=1}^\infty \left\| f_n-f\right\|<\infty\)，则
- \(f_n\stackrel{a.e.}{\longrightarrow} f\)
- \(f_n\stackrel{a.u.}{\longrightarrow} f\)
推论 4.2
设 \(f_n,f:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为可测函数，\(f_n\stackrel{L^1}{\longrightarrow} f\)，则存在子列 \(f_{n_j}\stackrel{a.u.}{\longrightarrow} f\)。
命题 4.3
设 \(f_n,f:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为可测函数，\(f_n\stackrel{m}{\longrightarrow} f\)，则存在子列 \(f_{n_j}\stackrel{a.u.}{\longrightarrow} f\)。
§ 05一致可积
定义 5.1
一列绝对可积函数 \(f_n:X\rightarrow \mathbb{C}\) 称为一致可积(uniformly integrable)，若满足：
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\[ \sup_n \left\| f_n\right\|_{L^1(\mu)}=\sup_n \int_X \left|f_n\right| \mathrm{d}\mu <+\infty \]
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\[ \lim_{M\rightarrow \infty} \sup_n \int_{\left|f_n\right|\ge M} \left|f_n\right| \mathrm{d}\mu=0 \]
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\[ \lim_{\delta\rightarrow 0} \sup_n \int_{\left|f_n\right|\le \delta} \left|f_n\right| \mathrm{d}\mu=0 \]
命题 5.2
\(X\) 有限测度，\(1<p<\infty\)，设 \(f_n:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为一列可测函数满足 \(\sup_n \int_X \left|f_n\right|^p\mathrm{d} \mu<\infty\)。则 \(f_n\) 是一致可积的。
命题 5.3
设 \(f_n:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为一列可测函数满足 \(\sup_n \int_X \left|f_n\right|^p\mathrm{d} \mu<\infty\)，设对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\) 使得对任意 \(n\ge 1\) 与可测集 \(E\) 满足 \(\mu(E)\le \delta\)，有
则 \(f_n\) 一致可积。
定理 5.4
设 \(f_n:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为一致可积函数，\(f:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为另一函数。则 \(f_n\stackrel{L^1}{\longrightarrow} f\) 当且仅当 \(f_n\stackrel{m}{\longrightarrow} f\)。
命题 5.5单调收敛定理
设 \(f_n:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为一列单调不减可测函数，满足 \(\sup_n \int_X \left|f_n\right|<\infty\)。则 \(f_n\stackrel{L^1}{\longrightarrow} \sup_n f_n\)。
命题 5.6
设 \(f_n:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为被控制的一列可测函数，\(f:X\rightarrow \mathbb{C}\) 为另一个可测函数，则 \(f_n\stackrel{a.e}{\longrightarrow} f\) 当且仅当 \(f_n\stackrel{a.u.}{\longrightarrow} f\)。
完
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