§ 01渐进级数
在本节中，我们用严谨的数学分析语言叙述前文所用到的渐进方法。
§ 02收敛与发散幂级数
在3.5节中，我们将 \(f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\) (\(x \to x_0\)) 定义为：对于每一个 \(N\)，当 \(x \to x_0\) 时，余项 \(\varepsilon_N(x) = f(x) - \sum_{n=0}^N a_n(x-x_0)^n \ll (x-x_0)^N\) (\(x \to x_0\))。
容易看出渐近级数是Taylor级数的推广。一个级数不必是收敛的才能是渐近的。收敛是一个绝对的概念,它代表的是系数 \(a_n\) 的性质，而渐近性是展开系数和级数所属函数 \(f(x)\) 的一个相对属性。事实上，每个幂级数对于某个连续函数 \(f(x)\) 都是渐近的。
命题 2.1
给定一个形式幂级数 \(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\)，我们定义一个连续函数 \(\phi(x;\alpha)\)如下：
\[
\phi(x; \alpha) =
\begin{cases}
1, & |x| \le \frac{1}{2}\alpha, \\
2\left(1 - \frac{|x|}{\alpha}\right), & \frac{1}{2}\alpha < |x| < \alpha, \\
0, & \alpha \le |x|.
\end{cases}
\]
再定义 \(\alpha_n = \min(1/|a_n|, 2^{-n})\)，其中 \(a_n\) 是任意级数 \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) 的系数。定义：
\[
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \phi(x-x_0; \alpha_n)(x-x_0)^n
\]
则 \(f\) 是有限、连续的，且满足
\[
f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, \quad x \to x_0.
\]
证明
对于任何 \(x \neq x_0\)，因为该级数在最多 \(N\) 项后截断，其中 \(N\) 是满足 \(2^{-N} \le |x-x_0|\) 的最小整数，故它是有限且连续的。若 \(|x-x_0| \le \min(2^{-n}, 1/|a_n|, \dots, 1/|a_N|) = R_N\)，则 \(\phi(x-x_0; \alpha_n) = 1\),\(n=0, \dots, N\)。因此，若 \(|x-x_0| \le R_N\)，
\[
f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + \dots + a_N(x-x_0)^N + \sum_{n=N+1}^\infty a_n \phi(x-x_0; \alpha_n)(x-x_0)^n.
\]
由定义任意 \(x\) 与 \(n\)有\(|a_n \phi(x-x_0; \alpha_n)| \le 1,|\phi(x-x_0; \alpha_n)| \le 1\)，因此若 \(|x-x_0| \le R_N\)，则
\[
\begin{aligned}
|\varepsilon_N(x)| &= \left| f(x) - \sum_{n=0}^N a_n(x-x_0)^n \right| \\
&= \left| a_{N+1} \phi(x-x_0; \alpha_{N+1})(x-x_0)^{N+1} + \sum_{n=N+2}^\infty a_n \phi(x-x_0; \alpha_n)(x-x_0)^n \right| \\
&\le |a_{N+1}| |x-x_0|^{N+1} + \sum_{n=N+2}^\infty |x-x_0|^{n-1} \\
&= |x-x_0|^{N+1} \left(|a_{N+1}| +(1-|x-x_0|)^{-1}\right) \ll (x-x_0)^N, \quad x \to x_0.
\end{aligned}
\]
因此，\(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) 对于 \(x \to x_0\) 是 \(f(x)\) 的渐近级数。
§ 03渐近级数的例子
定义 3.1Stieltjes 级数
Stieltjes级数定义为
\[
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n n! x^n. \tag{3.8.1}
\]
上文提到这是微分方程(3.4.2)的形式幂级数解。我们现在将利用它来渐近该方程的解。
为了对级数进行“求和”，我们利用积分恒等式 \(n! = \int_0^\infty e^{-t} t^n dt\)：
\[
\sum_{n=0}^\infty (-x)^n n! \to \sum_{n=0}^\infty (-x)^n \int_0^\infty e^{-t} t^n dt.
\]
无视任何收敛定理所要求的条件，交换求和与积分的顺序：
\[
\sum_{n=0}^\infty (-x)^n \int_0^\infty e^{-t} t^n dt \to \int_0^\infty dt \, e^{-t} \sum_{n=0}^\infty (-xt)^n,
\]
然后对 \(\sum_{n=0}^\infty (-xt)^n \to 1/(1+xt)\) 求和，即使对于 \(|xt| \ge 1\) 的 \(t\) 是发散的，至此我们得到：
\[
y(x) = \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{1+xt} dt, \tag{3.8.2}
\]
这被称为Stieltjes积分，存在且在 \(x>0\) 上解析，并且 \(y(x)\) 满足微分方程(3.4.2)。
命题 3.2
Stieltjes级数对于Stieltjes积分是渐近的。
证明
反复利用分部积分我们得到：
\[
\begin{aligned}
y(x) = 1 - x + 2!x^2 - 3!x^3 + \dots + (-1)^N N!x^N + \varepsilon_N(x),
\end{aligned}
\]
其中
\[
\varepsilon_N(x) = (-1)^{N+1} (N+1)! x^{N+1} \int_0^\infty (1+xt)^{-N-2} e^{-t} dt.
\]
利用不等式
\[
\int_0^\infty (1+xt)^{-N-2} e^{-t} dt \le \int_0^\infty e^{-t} dt = 1, \quad x \to 0+,
\]
得到
\[
|\varepsilon_N(x)| \le (N+1)! x^{N+1} \ll x^N, \quad x \to 0+.
\]
定义 3.3广义Stieltjes级数和积分
广义Stieltjes积分定义为
\[
f(x) = \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{1+xt} dt, \tag{3.8.3}
\]
其中权重函数 \(\rho(t)\) 是非负的，并且当 \(t \to \infty\) 时迅速趋于零，使得积分
\[
a_n = \int_0^\infty t^n \rho(t) dt \tag{3.8.4}
\]
对于所有正整数 \(n\) 都存在。对应的广义Stieltjes级数定义为
\[
f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n x^n, \quad x \to 0+. \tag{3.8.5}
\]
命题 3.4
广义Stieltjes级数对于广义Stieltjes积分是渐近的。
证明
注意到对任意 \(N\)，有
\[
\begin{aligned}
\varepsilon_N(x) &= f(x) - \sum_{n=0}^N (-1)^n a_n x^n \\
&= \int_0^\infty \rho(t) \left[ \frac{1}{1+xt} - \sum_{n=0}^N (-xt)^n \right] dt \\
&= \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{1+xt} (-xt)^{N+1} dt
\end{aligned}\tag{3.8.6}
\]
因此，
\[
|\varepsilon_N(x)| \le x^{N+1} \int_0^\infty \rho(t) t^{N+1} dt = a_{N+1} x^{N+1} \ll x^N, \quad x \to 0+, \tag{3.8.7}
\]
命题 3.5
如果 \(\rho(t) = K_0(t)\)，即零阶修正Bessel函数(3.3.15)，那么 (3.8.5) 变为
\[
\int_0^\infty \frac{K_0(t)}{1+xt} dt \sim \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (-2x)^n \left[ \Gamma\left(\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}\right) \right]^2 \tag{3.8.8}
\]
§ 04使用渐近级数的数值近似：最优截断法则
对于Stieltjes级数，我们可以提供一个精确的渐近估计，用于描述当\(x \to 0+\)时Stieltjes积分的精确值与Stieltjes级数的最优截断之间的差异。
例 4.1
根据(3.8.6)，对于权重函数\(\rho(t) = e^{-t}\)的Stieltjes级数(3.8.1)，其\(N\)项后的误差为
\[
(-x)^{N} \int_0^\infty \frac{t^N}{1+xt} e^{-t} dt.
\]
因为第\(n+1\)项与第\(n\)项的比值是\(-nx\)，故Stieltjes级数(3.8.1)的最优截断是选择\(N\) 为\(1/x\)的向下取整。如果用这个积分表示来近似最优误差\(\varepsilon_{\text{optimal}}(x)\)，我们有
\[
|\varepsilon_{\text{optimal}}(x)| \sim \left(\frac{\pi}{2x}\right)^{1/2} e^{-1/x}, \quad x \to 0+. \tag{3.8.9}
\]
当\(x \to 0+\)时，两者比值接近1。
§ 05渐近级数的性质
5.1 (a) 非唯一性
一个发散幂级数的“和”并不是唯一确定的。例如，如果\(f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) (\(x \to x_0\))，那么\(f(x) + e^{-(x-x_0)^{-2}} \sim \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) (\(x \to x_0\))也同样成立。事实上，级数\(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\)对于任何与\(f(x)\)相差一个函数\(g(x)\)的函数都是渐近的，只要当\(x \to x_0\)时\(g(x)\)比\(f(x)\)的所有幂次\(x-x_0\)都更快地趋于0。这样的函数\(g(x)\)被称为相对于渐近幂级数是次主导的，其渐近展开是
\[
g(x) \sim \sum_{n=0}^\infty 0 \cdot (x-x_0)^n, \quad x \to x_0.
\]
5.2 (b) 唯一性
虽然有许多不同的函数可以渐近于一个给定的幂级数，但对于每个函数只有一个渐近幂级数。这已在3.5节中给出。
5.3 (c) 渐近级数中的系数等同
\(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \sim \sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n\) (\(x \to x_0\)) 并不严格，因为幂级数只能渐近于函数。这个记号的意思是\(\sum a_n(x-x_0)^n\)和\(\sum b_n(x-x_0)^n\)为渐近的函数类别是相同的。容易看出两个幂级数是渐近的，当且仅当对于所有\(n\)，\(a_n = b_n\)。因此，我们可以将幂级数中的系数等同起来。
5.4 (d) 渐近级数的算术运算
算术运算可以逐项对渐近级数进行。具体来说，假设
\[
f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n, \quad x \to x_0,
\]
\[
g(x) \sim \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n, \quad x \to x_0.
\]
那么
\[
\alpha f(x) + \beta g(x) \sim \sum_{n=0}^\infty (\alpha a_n + \beta b_n) (x-x_0)^n, \quad x \to x_0,
\]
\[
f(x)g(x) \sim \sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n, \quad x \to x_0,
\]
\[
\frac{f(x)}{g(x)} \sim \sum_{n=0}^\infty d_n (x-x_0)^n, \quad x \to x_0,
\]
其中
\[
c_n = \sum_{m=0}^n a_m b_{n-m},d_n = \frac{a_n - \sum_{m=0}^{n-1} d_m b_{n-m}}{b_0},
\]
后者当然要求 \(b_0 \neq 0\)。证明留给读者。
5.5 (e) 渐近级数的积分
命题 5.1
任何渐近级数\(f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\) (\(x \to x_0\))，如果\(f(x)\)在\(x_0\)附近可积，则可以逐项积分：
\[
\int_{x_0}^x f(t) dt \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} (x-x_0)^{n+1}, \quad x \to x_0.
\]
证明
由\(|f(x) - \sum_{n=0}^N a_n(x-x_0)^n| \ll (x-x_0)^N\) (\(x \to x_0\))可知，对于任何\(\varepsilon > 0\)，存在\(\delta,R > 0\)使得任意\(|x-x_0| \le R\)，有
\[
\left|f(x) - \sum_{n=0}^N a_n (x-x_0)^n\right| \le \varepsilon |x-x_0|^N,
\]
因此，
\[
\begin{aligned}
\left| \int_{x_0}^x \left( f(t) - \sum_{n=0}^N a_n (t-x_0)^n \right) dt \right| &\le \left| \int_{x_0}^x \left| f(t) - \sum_{n=0}^N a_n(t-x_0)^n \right| dt \right| \\
&\le \varepsilon \left| \int_{x_0}^x |t-x_0|^N dt \right| \\
&= \frac{\varepsilon}{N+1} |x-x_0|^{N+1}
\end{aligned}
\]
于是有，
\[
\left| \frac{\int_{x_0}^x f(t) dt - \sum_{n=0}^N \frac{a_n}{(n+1)} (x-x_0)^{n+1}}{(x-x_0)^{N+1}} \right| \le \frac{\varepsilon}{N+1}
\]
由于\(\varepsilon > 0\)是任意的，故
\[
\int_{x_0}^x f(t) dt - \sum_{n=0}^N \frac{a_n}{n+1} (x-x_0)^{n+1} \ll (x-x_0)^{N+1}, \quad x \to x_0,
\]
这表明渐近级数可以逐项积分。
如果我们希望对一个在无穷远处的渐近级数进行积分，则上述论证可以推广到，如果\(f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n x^{-n}\) (\(x \to \infty\))，那么
\[
\int_x^\infty [f(t) - a_0 - a_1 t^{-1}] dt \sim \sum_{n=2}^\infty \frac{a_n}{n-1} x^{1-n}, \quad x \to \infty.
\]
5.6 (f) 渐近级数的微分
渐近级数通常不能逐项微分，这与次主导性有关。考虑
\[
g(x) = f(x) + e^{-1/(x-x_0)^2} \sin(e^{1/(x-x_0)^2})
\]
与\(f(x)\)相差一个次主导函数，因此当\(x \to x_0\)时具有相同的渐近级数展开。然而，\(f'(x)\)和
\[
g'(x) = f'(x) - 2(x-x_0)^{-3} \cos(e^{1/(x-x_0)^2}) + 2(x-x_0)^{-3} e^{-1/(x-x_0)^2} \sin(e^{1/(x-x_0)^2})
\]
不具有相同的渐近幂级数展开。我们有如下几种定理来处理渐近级数的微分。
定理 5.2
设\(f'(x)\)存在且可积，且\(f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) (\(x \to x_0\))，那么
\[
f'(x) \sim \sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}, \quad x \to x_0.
\]
证明
设\(f'(x) \sim \sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n\) (\(x \to x_0\))。逐项积分给出
\[
f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t) dt \sim f(x_0) + \sum_{n=0}^\infty \frac{b_n}{n+1} (x-x_0)^{n+1}, \quad x \to x_0.
\]
由渐进级数的唯一性即得。
定理 5.3
设\(f(x) \sim x^p\) (\(x \to +\infty\))，其中\(p \ge 1\)且\(f''(x)\)是正的，那么\(f'(x) \sim px^{p-1}\) (\(x \to +\infty\))。
这个结果只涉及\(f(x)\)的主导行为，并不能证明渐近级数的逐项微分。渐近级数的逐项微分在复数域中要清晰得多。
定理 5.4
设\(f(z)\)在扇区\(\theta_1 \le \arg(z-z_0) \le \theta_2\), \(0 < |z-z_0| < R\)内是解析的，并且\(f(z) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n\) [\(z \to z_0; \theta_1 \le \arg(z-z_0) \le \theta_2\)]，那么
\[
f'(z) \sim \sum_{n=1}^\infty n a_n (z-z_0)^{n-1}, \quad z \to z_0; \theta_1 < \arg(z-z_0) < \theta_2.
\]
即使渐进级数的微分定理比较复杂，但我们指出，如果已知一个函数满足一个线性微分方程，其系数可以展开为渐近级数，那么整个情况就会大大简化。
§ 06微分方程解的渐近展开
上文中给出的形式化方法需要有其合理性的证明，这有如下几点困难要处理。首先，我们一直在假设主导行为被分解出来后，解的剩余部分存在一个渐近级数展开。然而，容易看到并非所有函数都能被展开为渐近级数。其次，渐近级数通常不能逐项微分。我们考虑 \(y(x)\) 是 \(y'' + py' + qy = 0\) 的解，其中 \(p(x), q(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时可展开为渐近幂级数，则若 \(y(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时可展开为渐近幂级数，就有 \(y'(x)\) 的渐近幂级数是对 \(y(x)\) 的渐近幂级数逐项微分得到的。这个结论对于一般的\(n\)阶微分方程也是成立的。
剩下的问题是要证明解具有渐近级数表示，我们通过一个例子来说明。
例 6.1\(K_\nu(x)\) 渐近展开的存在性
回忆，\(K_\nu(x)\) 被定义为修正Bessel方程
\[
x^2 y'' + xy' - (x^2 + \nu^2)y = 0 \tag{3.8.10}
\]
的解，其主导行为是
\[
K_\nu(x) \sim \left(\frac{\pi}{2x}\right)^{1/2} e^{-x}, \quad x \to +\infty. \tag{3.8.11}
\]
将 \(w(x) = (\pi/2x)^{-1/2} e^x w(x)\) 代入 (3.8.10)，得到 \(w(x)\) 的微分方程：
\[
w'' - 2w' + \frac{\lambda}{x^2} w = 0, \tag{3.8.12}
\]
其中 \(\lambda = \frac{1}{4} - \nu^2\)。我们想证明 \(w(x)\) 具有 \(w(x) \sim 1 + a_1/x + a_2/x^2 + \dots\) 形式的渐近展开，容易验证它必须满足积分方程：
\[
w(x) = 1 + \frac{\lambda}{2} \int_x^\infty (e^{2(x-t)}-1) \frac{w(t)}{t^2} dt. \tag{3.8.13}
\]
可以证明积分方程(3.8.13)有一个对 \(x>a\) 有界 \(B_0\) 的解：\(|w(x)| \le B_0\) (\(x>a\))，进而有：
\[
\frac{1}{2} \left| \int_x^\infty (e^{2(x-t)}-1) \frac{w(t)}{t^2} dt \right| \le \frac{1}{2} \int_x^\infty \frac{|w(t)|}{t^2} dt \le \frac{B_0}{2x}, \quad x>a.
\]
上式与(3.8.13) 表明 \(w(x) \equiv 1+w_1(x)\) 满足 \(|w_1(x)| \le B_1/x\) (\(x>a\))，其中 \(B_1 = \frac{1}{2} \lambda B_0\)，代入(3.8.13) 给出
\[
w_1(x) = \frac{\lambda}{2} \int_x^\infty (e^{2(x-t)}-1) \frac{1}{t^2} dt + \frac{\lambda}{2} \int_x^\infty (e^{2(x-t)}-1) \frac{w_1(t)}{t^2} dt.
\]
对第一个积分分部积分得到
\[
\frac{\lambda}{2} \int_x^\infty (e^{2(x-t)}-1) \frac{1}{t^2} dt = -\frac{\lambda}{2x} + \frac{\lambda^2}{2} \int_x^\infty \frac{e^{2x-2t}}{t^2} dt.
\]
因此，存在一个正常数 \(B_2\) 使得 \(w(x) = 1 - \lambda/2x + w_2(x)\)，其中 \(|w_2(x)| < B_2/x^2\) (\(x>a\))，这等价于 \(w(x) \sim 1 - \lambda/2x\) (\(x \to \infty\))。反复进行分部积分，我们可以证明 \(w(x)\) 具有渐近展开。
§ 07复平面中的渐近幂级数：不同有效扇形区域之间的联系
在级数对一个函数的有效扇形区域之外，通常还有其他级数对该函数渐近，且它们有自己的有效扇形区域。例如，我们在3.5节和3.7节中看到，函数 Ai(\(x\)) 和 Bi(\(x\)) 对大 \(|x|\) 有不同的渐近展开，这取决于 \(x\) 的符号。因此，对于Airy方程 \(y''=zy\)，一般的渐近表示为
\[
y(z) \sim a_1 z^{-1/4} e^{-\frac{2}{3}z^{3/2}} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n c_n z^{-3n/2} + a_2 z^{-1/4} e^{\frac{2}{3}z^{3/2}} \sum_{n=0}^\infty c_n z^{-3n/2}, \quad z \to \infty, \tag{3.8.14}
\]
其中 \(a_1\) 和 \(a_2\) 是常数。特殊解 Ai(\(z\)) 和 Bi(\(z\)) 的渐近展开可以通过指定 \(a_1\) 和 \(a_2\) 的值来确定。斯托克斯现象仅表明在复平面的不同扇形区域中，Ai(\(z\)) 或 Bi(\(z\)) 的 \(a_1\) 和 \(a_2\) 的值可能不同。对于 Ai(\(z\)):
\[
\begin{align*}
a_1 = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}, \quad a_2 = 0, \quad &|\arg z| < \pi; \tag{3.8.15} \\
a_1 = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}, \quad a_2 = \frac{i}{2\sqrt{\pi}}, \quad &\frac{\pi}{3} < \arg z < \frac{5\pi}{3}; \tag{3.8.16} \\
a_1 = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}, \quad a_2 = \frac{-i}{2\sqrt{\pi}}, \quad &-\frac{5\pi}{3} < \arg z < -\frac{\pi}{3}. \tag{3.8.17}
\end{align*}
\]
对于 Bi(\(z\)):
\[
\begin{align*}
a_1 \text{ 任意}, \quad a_2 = \frac{1}{\sqrt{\pi}}, \quad &|\arg z| < \frac{\pi}{3}; \tag{3.8.18} \\
a_1 = \frac{i}{2\sqrt{\pi}}, \quad a_2 = \frac{1}{\sqrt{\pi}}, \quad &\frac{\pi}{3} < \arg z < \frac{5\pi}{3}; \tag{3.8.19} \\
a_1 = \frac{-i}{2\sqrt{\pi}}, \quad a_2 = \frac{1}{\sqrt{\pi}}, \quad &-\frac{5\pi}{3} < \arg z < -\frac{\pi}{3}. \tag{3.8.20}
\end{align*}
\]
在(3.8.18)中，\(a_1\)是任意的，这是因为其为在\(|\arg z| < \pi/3\)时为次主导的函数。尽管Airy函数的渐近展开是唯一的，但人们不能解析地将其渐近展开从一个有效扇形区域延拓到另一个。那么，这些对大\(|z|\)的不同渐近展开之间有什么联系呢？要回答这个问题，考虑：
\[
\begin{align*}
\text{Ai}(z) &= -\omega \text{Ai}(\omega z) - \omega^2 \text{Ai}(\omega^2 z), \tag{21} \\
\text{Bi}(z) &= i\omega \text{Ai}(\omega z) - i\omega^2 \text{Ai}(\omega^2 z), \tag{22}
\end{align*}
\]
其中 \(\omega = e^{-2\pi i/3}\) 。我们使用该函数关系来推导(3.8.15)和(3.8.16)与(3.8.19)之间的联系。若 \(\frac{1}{3}\pi < \arg z < \frac{5}{3}\pi\)，那么 \(-\pi/3 < \arg(\omega z) < \pi\) 并且 \(-\pi < \arg(\omega^2 z) < \pi/3\)。因此，(3.8.14)中具有 \(a_1\) 和 \(a_2\) 的(3.8.15)给出了 Ai(\(\omega z\)) 和 Ai(\(\omega^2 z\)) 的有效渐近展开。使用(3.8.14)，我们得到(3.8.16)。方程(3.8.21a,b)允许我们将渐近展开旋转120度。Ai(\(z\))的渐近展开由(3.8.14)和(3.8.16)给出。然而，Bi(\(z\))的渐近展开(3.8.18)与(3.8.20)给出的区域没有重叠。为了验证 Bi(\(z\)) 在 \(-\pi < \arg z < -\pi/3\) 和 \(\pi/3 < \arg z < \pi\) 时的有效性，可能需要获得额外的渐近展开。通过推导这些不同的渐近展开，我们解释了 Ai(\(x\)) 和 Bi(\(x\)) 对大正 \(x\) 的指数行为与对大负 \(x\) 的振荡行为之间的联系。
返回目录 下载 PDF 完整版
完
评论