跳转至
代数2-H笔记 Part 6 of 10

第 6 章：根式可解性

发布于 更新于 1,672 字 · 约 5 分钟

§ 01根式可解性

定义 1.1

有限扩张 \(E/F\) 称为根式扩张(radical extension)，若存在一个根塔(root tower)：\(F=F_1\subset F_2\subset \cdots \subset F_r=E\)，其中 \(F_{i+1}=F_i(d_i),d_i^{n_i}\in F\)。

我们有如下基本推论：

命题 1.2

\(E/K/F,E/K'/F\) 是域扩张，

  • 若 \(E/F\) 是根式扩张，则 \(E/K\) 也是根式扩张；
  • 若 \(E/K,K/F\) 是根式扩张，则 \(E/F\) 是根式扩张；
  • 若 \(K/F,K'/F\) 是根式扩张，则 \(KK'/F\) 是根式扩张；
  • 若 \(\mathrm{char}F=0\)，\(E/F\) 是根式扩张，则 \(E/F\) 的正规闭包是根式扩张。
证明

我们给出 \((4)\) 的证明。设我们有根塔 \(F\subset F(d_1)\subset \cdots \subset F(d_1,\cdots,d_r)=E\)，\(E/F\) 的正规闭包是 \(K\)。

设 \(\mathrm{Aut}(K/F)={\delta_1=id,\delta_2,\cdots,\delta_n}\)，考虑 \(K\) 的子域

\[ K'=\bigcup_{\delta\in \mathrm{Aut}(K/F)}\delta(E)=\bigcup_{i,j}F(\delta_i(d_j)) \]

则 \(K'\) 是 \(\mathrm{Aut}(K/F)-\)不变的，故 \(K'/F\) 是正规的，这表示 \(K=K'\)。于是我们有根塔：

\(\begin{aligned} F&\subset F(d_1)\subset F(d_1,\delta_2(d_1))\subset \cdots \subset F(d_1,\delta_2(d_1),\cdots,\delta_n(d_1))\triangleq F_1\\ &\subset F_1(d_2)\subset F_1(d_2,\delta_2(d_2))\subset \cdots \subset F_1(d_2,\delta_2(d_2),\cdots,\delta_n(d_2))\triangleq F_2\\ &\subset \cdots \\ &\subset F_n=K\\ \end{aligned}\)

故 \(K/F\) 是根式扩张。

定义 1.3

设 \(\mathrm{char}F=0\)，\(f(x)\) 是 \(F\) 上的首一多项式。等式 \(f(x)=0\) 称作根式可解的(solvable by radicals)，若存在根式扩张 \(E/F\)，\(E\) 包含了 \(f(x)\) 的分裂域。

定义 1.4

设 \(E_f\) 是 \(f(x)/F\) 的分裂域，则 \(\mathrm{Gal}(E_f/F)\) 称为 \(f(x)\) 的 Galois 群，记为 \(G_F(f)\)。

定理 1.5Galois's criterion

\(f(x)=0\) 根式可解当且仅当 \(G_F(f)\) 可解。

回忆：我们称一个群是可解的当且仅当有正规子列：

\[ \left\{1\right\}=G_0\lhd G_1\lhd \cdots\lhd G_r=G \]

使 \(G_i/G_{i-1}\) 是 Abel 的。由于简单 Abel 群是素数阶循环群，因此假设 \(G_i/G_{i-1}\) 是素数阶循环群。

注意到 \(G_i/G_{i-1}\) 是 Abel 群当且仅当 \(G_{i-1}\) 包含 \([G_i,G_i]=\left< [a,b]=aba^{-1}b^{-1}\Big| a,b\in G_i\right>\)。设 \(G^{(0)}=G,G^{(i)}=[G^{(i-1)},G^{(i-1)}]\)，则 \(G_{r-i}\supset G^{(i)}\)。由于 \([G:G]\lhd G\)，故 \(G\) 可解当且仅当 \(G^{(r)}=1\) 对某个 \(r\) 成立。

回忆如下结论：

  • 可解群的子群/商群是可解的；
  • 非交换单群是不可解的。

引理 1.6

域扩张 \(K/F\)，\(f(x)\in F[x]\)，则 \(G_K(f)\le G_F(f)\)。

证明

设 \(f(x)/F\) 的分裂域为 \(E_{f,F}\)，\(f(x)/K\) 的分裂域为 \(E_{f,K}\)。考虑映射 \(\varphi:G_K(f)\rightarrow G_F(f),\eta\mapsto \eta|_{E_ {f,F}}\)，由于 \(\eta\) 在 \(F\) 上不变且将 \(f\) 根的集合映到自身，故该 \(\varphi\) 是良定义的且是同态。

若 \(\eta|_{E_{f,F}}=id\)，注意到 \(\eta|_K=id\)，我们有 \(\eta=id\)，故 \(\varphi\) 是单射。

接下来我们来证明 Galois 判别定理(Galois's criterion)。

证明

“\(\Longleftarrow\)”：设 \(G_F(f)\) 是可解的。令 \(E\) 是 \(f(x)/F\) 的分裂域，\([E:F]=n\)。考虑 \(E(\xi_n)/F(\xi_n)\)，其为 \(f(x)(x^n-1)\) 的分裂域。由上引理，\(\mathrm{Gal}(E(\xi_n)/F(\xi_n))\) 是 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 的子群，而 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 是可解的，设

\[ \left\{1\right\}=G_0\lhd G_1\lhd \cdots \lhd G_r=\mathrm{Gal}(E(\xi_n)/F(\xi_n)) \]

由 Galois 对应我们有

\[ F\subset F(\xi_n)=E(\xi_n)^{G_r}\subset \cdots \subset E(\xi_n)^{G_1}\subset E(\xi_n) \]

是正规扩张。再由 Galois 对应有

\[ \mathrm{Gal}(E(\xi_n)^{G_{i-1}}/E(\xi_n)^{G_i})=G_i/G_{i-1} \]

是循环群，由Kummer's theorem，\(E(\xi_n)^{G_{i-1}}/E(\xi_n)^{G_i}\) 是单根式扩张，进而上式为根塔，于是得到 \(E(\xi_n)/F\) 是根式扩张。

“\(\Longrightarrow\)”：设我们有根塔 \(F\subset F_1\subset\cdots\subset F_r\subset K\)，其中 \(E\subset K\)。由引理 1.10我们可以将 \(K\) 换成其正规闭包，故不妨 \(K/F\) 是正规的。则

\[ F\subset F(\xi_n)\subset F_1(\xi_n)\subset\cdots\subset F_r(\xi_n)\subset K(\xi_n) \]

是根塔，由命题 1.13，\(F_i(\xi_n)/F_{i-1}(\xi_n)\) 是分圆扩张。

回忆我们已经证明 \(F(\xi_n)/F\) 是 Abel 扩张，故我们有

\[ \mathrm{Gal}(K(\xi_n)/F)\rhd \mathrm{Gal}(K(\xi_n)/F_1(\xi_n))\rhd \cdots \rhd \mathrm{Gal}(K(\xi_n)/F_r(\xi_n))\rhd \left\{1\right\} \]

利用 Galois 对应，

\[ \mathrm{Gal}(K(\xi_n)/F_i(\xi_n))/\mathrm{Gal}(K(\xi_n)/F_{i+1}(\xi_n))\cong \mathrm{Gal}(F_{i+1}(\xi_n)/F_i(\xi_n)) \]

是循环群。故 \(\mathrm{Gal}(K(\xi_n)/F)\) 是可解的，因此其子群 \(\mathrm{Gal}(K/F)\) 也是可解的。

推论 1.7

考虑 \(f(x)\in \mathbb{Q}[x],\mathrm{deg}f=n\) 不可约。

  • \(G_F(f)\le S_n\)，特别的，\(n\le 4\) 时 \(f(x)=0\) 根式可解。
  • \(n\ge 5\) 是素数，\(f\) 恰有两个非实根，\(G_F(f)\cong S_n\)，此时 \(f(x)=0\) 根式不可解。
证明

\((1)\) 利用 \(S_n\) 可解当且仅当 \(n\le4\) 即证。

\((2)\) \(n\mid \left|G_F(f)\right|\)，则存在 \(a\in G_F(f)\) 阶为 \(n\)，故 \(a=(12\cdots n)\) 是 \(n-\)循环。

\(\tau:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C},z\mapsto \bar{z}\)，则\(\tau\in G_F(f)\)，故 \(\tau=(ij)\)，进而 \(\left<a,\tau\right>=S_n\)，即 \(G_F(f)=S_n\)。

例 1.8

\(f(x)=x^5-5x+2\in \mathbb{Q}[x]\)，容易验证 \(f(x)\) 不可约且有三个根，由上推论知根式不可解。

考虑 \(f(x)=x^n-s_1x^{n-1}+s_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^ns_n\)，令 \(x_1,\cdots,x_n\) 为 \(f(x)\) 的根。由韦达定理我们知

\[ s_1=\sum x_i,s_2=\sum_{i<j}x_ix_j,\cdots,s_n=\prod x_i \]

考虑 \(S_n\curvearrowright F[x_1,\cdots,x_n]\)，\(s_i\) 在 \(S_n\) 作用下不变。\(s_i\) 被称为初等对称多项式。则 \(F[x_1,\cdots,x_n]^{S_n}\) 是所有对称多项式。

我们有同构 \(F[y_1,\cdots,y_n]\cong F[x_1,\cdots,x_n]^{S_n},y_i\mapsto s_i\)。

定理 1.9

P \(F=\mathbb{Q}(s_1,\cdots,s_n)\)，则 \(G_F(f)\cong S_n\)

证明

设 \(x_1,\cdots,x_n\) 是 \(f(x)\) 的根，则 \(E_F(f)=F(x_1,\cdot,x_n)\)。

\(\forall \sigma\in S_n\)，我们希望 \(x_i\rightarrow x_{\sigma(i)}\) 是 \(E_F(f)\) 的一个自同构。我们先证明 \(\left\{x_i\right\}\) 代数独立。

若不然存在 \(g\in F[y_1,\cdots,y_n],g(x_1,\cdots,x_n)=0\)，令 \(h=\prod_{\sigma\in S_n} \sigma(g)\in F[y_1,\cdots,y_n]^{S_n}\)，其中 \(\sigma(g)=g(y_{\sigma(1)},\cdots,y_{\sigma(n)})\)，故 \(h=h'(s_1^y,\cdots,s_n^y)\)，由 \(h(x_1,\cdots,x_n)=0\) 得 \(h'(s_1,\cdots,s_n)=0\) 矛盾！

推论 1.10Abel-Ruffini

当 \(n\ge 5\) 时，\(\mathbb{Q}\) 上的 \(n\) 次多项式不可解。

返回目录 下载 PDF 完整版

完

评论

查看图表
本文目录