§ 01曲线的微分几何
定义 1.1参数化曲线
\(M\) 上的一条参数化曲线 \(C\) 为一个光滑映射，
\[
\gamma:I=(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M
\]
称 \(C\) 在 \(p\in I\) 处正则，若 \(\mathrm{rank}\gamma_{*,p}=1\)。
称 \(C\) 为分段光滑参数化曲线，若 \(\gamma\) 分段光滑。
注意到，\(C\) 在 \(p\) 处正则表明 \(\gamma\) 在 \(p\) 附近是浸入映射，由秩定理知局部 \(\gamma\) 为单浸入，且为嵌入，从而局部可将 \(\gamma\) 看成 \(\gamma(p)\) 邻域的局部平凡化 \(\varphi=\gamma^{-1}\)。
但是 \(C\) 处处正则并不代表整体 \(\gamma\) 是单射。
构造 \(\gamma^*TM=\left\{(t,X_{\gamma(t)})\in I\times T_{\gamma(t)}M\right\}\)，这是流形上的一个向量丛，且秩为 \(\dim M\)，其为 \(\Gamma(I,\gamma^*TM)\) 中的一个元素。
定义 1.2
称 \(\gamma^*TM\) 为 \(TM\) 沿着 \(\gamma\) 的拉回，称 \(\left( t,\gamma_{*,t}\left(\left.\dfrac{\partial }{\partial t}\right|_t\right)\right)\) 为 \(\gamma\) 的切向量场。
考虑 \(M=\mathbb{R}^3\)，取局部图册 \(\left(U=\mathbb{R}^3,\varphi=\mathrm{id},\left(x,y,z \right)^T \right)\)
此时
\[
\begin{aligned}
\gamma:I\rightarrow &M
\\
t\mapsto & \left( \begin{array}{c}
x(t)=\pi^1\circ \gamma(t)\\
y(t)=\pi^2\circ \gamma(t)\\
z(t)=\pi^3\circ \gamma(t)\\
\end{array} \right)=\gamma(t)
\end{aligned}
\]
定义 1.3Frenet 标架
\[
\begin{aligned}
T\in \Gamma(I,\gamma^*TM),&\quad T(t)=\frac{\mathrm{d} \gamma(t)}{\mathrm{d} t}/\left|\frac{\mathrm{d} \gamma(t)}{\mathrm{d} t}\right|=\gamma_*(\frac{\partial }{\partial t})/\left|\gamma_*(\frac{\partial }{\partial t})\right|
\\
N\in \Gamma(I,\gamma^*TM),&\quad N=T'(t)/\left|T'(t)\right|
\\
b\in \Gamma(I,\gamma^*TM),&\quad b=T\times N
\end{aligned}
\]
此处取度量为 \(1\cdot 1\)(\(M\) 上的度量在 \(\gamma(I)\) 上的限制)：
\[
\left|X_{\gamma(t)}\right|^2=g_{\mathbb{R}^3}(X_{\gamma(t)},X_{\gamma(t)}),\forall X_{\gamma(t)}\in T_{\gamma(t)}M
\]
事实：若 \(\gamma\) 正则，且 \(\left|T'(t)\right|\neq 0\)，\(b\neq 0\)，则 \(\left\{ T(t),N(t),b(t)\right\}\) 为 \(\gamma^*TM\) 的一个标架。
定理 1.4
Frenet 标架满足
\[
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(T,N,b)=(T,N,b)\cdot M
\]
其中 \(M\) 具有形式
\[
M(t)=\left( \begin{matrix}
0& -a\left( t \right)& 0\\
a\left( t \right)& 0& -b\left( t \right)\\
0& b\left( t \right)& 0\\
\end{matrix} \right)
\]
证明
记 \(e=(T,N,b)\)
我们来看 Frenet 标架对参数 \(t\) 是否有依赖性，设 \(\tilde{t}\) 为另一参数化，\(\dfrac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tilde{t}}>0\)
\[
\begin{aligned}
\tilde{T}=& \frac{\mathrm{d} \gamma(t(\tilde{t}))}{\mathrm{d} \tilde{t}}/\left|\frac{\mathrm{d} \gamma(t(\tilde{t}))}{\mathrm{d} \tilde{t}}\right|=\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tilde{t}}\frac{\mathrm{d} \gamma(t))}{\mathrm{d} t}/\left|\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tilde{t}}\frac{\mathrm{d} \gamma(t))}{\mathrm{d} t}\right|=T
\\
\tilde{N}=&\frac{\mathrm{d} \tilde{T}}{\mathrm{d} \tilde{t}}/\left|\frac{\mathrm{d} \tilde{T}}{\mathrm{d} \tilde{t}}\right|=\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} \tilde{t}}/\left|\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} \tilde{t}}\right|=\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tilde{t}}\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t}/\left|\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tilde{t}}\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t}\right|=N
\end{aligned}
\]
\(\tilde{t}\) 自然不变。\(\dfrac{\mathrm{d} \tilde{e}}{\mathrm{d} \tilde{t}}=\tilde{e}\tilde{M}\)，\(\dfrac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d} t}=eM\)，故 \(\tilde{M}=\dfrac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} \tilde{t}}M\)。
事实上
\[
\begin{aligned}
a(t)=&\frac{\left|\gamma\times \gamma''\right|}{\left|\gamma'\right|^2}
\\
b(t)=&\frac{\mathrm{vol}(\gamma,\gamma',\gamma'')}{\left|\gamma'\times \gamma''\right|^2}\left|\gamma'\right|
\end{aligned}
\]
弧长参数 \(s\) 为满足 \(\dfrac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} s}\) 的下述方程的解：
\[
\begin{aligned}
&\left|\frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} s}\right|=1
\\
\Longleftrightarrow&\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} s}\left|\frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} t}\right|=1
\\
\Longleftrightarrow&\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=\left|\frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} t}\right|
\\
\Longleftrightarrow&s=\int^t\left|\gamma'(u)\right|\mathrm{d} u
\end{aligned}
\]
定义 1.5
曲线 \(C\) 的曲率 \(\kappa(s)=a(s)\)，挠率 \(\tau(s)=b(s)\)。
在弧长参数下，
\[
\begin{aligned}
\kappa(s)=\left|\frac{\mathrm{d} ^2 \gamma(s)}{\mathrm{d} s^2}\right|=\left|\ddot{\gamma}(s)\right|
\\
\tau(s)=\frac{\mathrm{vol}(T,\dot{T},\ddot{T})}{\left|\dot{T}\right|^2}=\frac{\mathrm{vol}(\gamma,\dot{\gamma},\ddot{\gamma})}{\left|\dot{\gamma}\right|^2}
\end{aligned}
\]
特别的，当 \(\kappa(s)=0\) 当且仅当 \(\gamma\) 为直线，\(\tau(s)=0\) 当且仅当 \(\gamma\) 为平面曲线，证明留作习题。
下面我们来看看微分几何在狭义相对论的体现。
之后补。
（2025.1.7补：还是不看了，过于大分）
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完
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