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微分几何 Part 4 of 7

第 4 章：微分形式的应用

本节中，我们将通过习题的形式，利用微分形式的语言，理解热力学定律。

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§ 01微分形式的应用

定义 1.1分布的 Phaff 形式

设 \(D\) 为一个 \(r\) 维分布，设局部存在 \(\theta_a,a=1,2,\cdots,n-r\in A^1(\text{局部})\)，使得在局部上

\[ D=\bigcap_{a=1}^{n-r}\ker\theta_a \]

则称 \(\theta_k=0,k=1,\cdots,n-r\) 为 \(D\) 的 Phaff 形式，并称 \(\theta_k\) 为 Phaffian。

定理 1.2Frobenius 定理

如下命题等价：

  • \(D\) 局部存在 \(r\) 维正则积分流形。

  • \(D\) 对合，即 \(\forall X_a,X_b,a,b=1,2,\cdots,r,[X_a,X_b]\in \Gamma(\text{局部},D)\)。

  • \(\mathrm{d} \theta_a\Big|_D=0\)，即 \(\forall X,Y\in \Gamma(\text{局部},D)\)，\(\mathrm{d} \theta_a(X,Y)=0\)。

  • \(\exists \lambda_{ab}\in A^1(\text{局部})\)，

    \[ \mathrm{d} \theta_a=\sum_{b=1}^{n-r}\lambda_{ab}\theta_b \]

  • \(\mathrm{d} \theta_a\land (\theta_1\land \cdots \land \theta_{n-r})=0\in A^{n-r+2}(\text{局部}),\forall a=1,2,\cdots,n-r\)

证明

\((1)\Longleftrightarrow (2)\)：这是经典的 Frobenius 定理。

\((2)\Longrightarrow (3)\)：\(\mathrm{d} \theta_a(X,Y)=X(\theta_a(Y))-Y(\theta_a(X))-\theta_a([X,Y])=0\)。

\((3)\Longrightarrow (2)\)：\(\forall X,Y\in D\)，\(\mathrm{d} \theta_a(X,Y)=0\)，那么

\[ 0=\mathrm{d} \theta_a(X,Y)=0-0-\theta_a([X,Y]) \]

这表明 \([X,Y]\in \ker \theta_a,\forall a=1,2,\cdots,n-r\)，故 \([X,Y]\in D=\bigcap_{a=1}^{n-r}\ker\theta_a\)。

\((4)\Longrightarrow (3)\)：\((\mathrm{d} \theta_a)(X,Y)=(\lambda_{ab}\land \theta_b)(X,Y)=\lambda_{ab}(X)\theta_b(Y)-\theta_b(X)\lambda_{ab}(Y)=0\)

\((3)\Longrightarrow (4)\)：考虑局部地将 \(\theta_a,a=1,2,\cdots,n-r\) 扩充为 \(T^*M\) 的基。

\[ \begin{aligned} & \theta_1 & \cdots\quad & \theta_{n-r} & \theta_{n-r+1} &\quad \cdots & \theta_n\qquad & T^*M\text{的局部基} \\ \text{对偶基}\quad & e_1 & \cdots \quad& e_{n-r} & e_{n-r+1} & \quad\cdots & e_n \qquad & TM\text{的局部基} \end{aligned} \]

任一个 \(2-\)形式 \(\omega\) 局部可表示为

\[ \omega =\sum_{1\le b\le n-r} \lambda_{ab}\land \theta_b+\sum_{n-r+1\le a<b\le n} \mu_{ab}\theta_a\land \theta_b \]

特别的，

\[ \mathrm{d} \theta_a=\sum_{1\le b\le n-r} \lambda_{ab}\land \theta_b+\sum_{n-r+1\le b<c\le n} \mu_{bc}\theta_b\land \theta_c,\forall a=1,2,\cdots,n-r \]

具体的看 \(\forall X,Y\in D\)，

\[ \mathrm{d} \theta_a(X,Y)=\sum_{1\le b\le n-1}\lambda_{ab}\land \theta_b(X,Y)+\sum_{n-r+1\le b<c\le n}\mu_{bc}\theta_b\land \theta_c(X,Y) \]

。取 \(X,Y\) 为 \(e_b,e_c\in D\)，得 \(\mathrm{d} \theta_a(e_b,e_c)=\mu_{bc}\cdot 1\)，故 \(\mu_{bc}=0\)。

\((4)\Longrightarrow (5)\)：\(\mathrm{d} \theta_a=\sum_{1\le b\le n-r}\lambda_{ab}\land \theta_b\)，显然 \(\mathrm{d} \theta_a\land(\theta_1\land \cdots \land \theta_{n-r})=0\)。

\((5)\Longrightarrow (4)\)：\(\mathrm{d} \theta_a\land(\theta_1\land \cdots\land\theta_{n-r})=(\sum \lambda_{ab}\land \theta_b+\sum \mu_{ab}\theta_b\land \theta_c)\land(\theta_1\land\cdots\land \theta_{n-r})\)。由 \(\theta_{n-r+1}\cdots\theta_n\) 的构造 \(\theta_b\land \theta_c\land \theta_1\land\cdots\land \theta_{n-r}\) 局部为 \(A^{n-r+2}\) 的一部分，从而线性独立，故 \(\mu_{bc}=0,\forall b,c\)。

§ 02微分形式在物理中的应用

考虑一个带有 \(n\) 个封闭密室的热力学系统,密室中有理想气体，密室间由透热隔膜隔开。隔膜能传递热量但不能传递物质。对于第 \(i\) 个封闭密室，平衡态下有如下的理想气体状态方程

\[ {p}_{i}{v}_{i} = {n}_{i}{R}_{i}{T}_{i},\;i = 1,2,\cdots ,n, \]

这里 \({p}_{i},{v}_{i},{n}_{i},{R}_{i},{T}_{i}\) 分别代表压强，体积，物质的量，气体常数，温度。热平衡态下所有密室的温度均相同, 故整个系统的独立参数取值为一个 \(\left( {n + 1}\right)\) 维流形 \(M\) ，局部坐标函数可取为 \(T,{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\)。流形 \(M\) 局部为欧氏空间的开集，但是整体的拓扑可能很复杂。

系统的内能 \(U\) 定义为一个关于仅与 \(T\) 有关的整体定义的函数 \(U \in {A}^{0}\left( M\right)\) ，且函数 \(T \mapsto U\left( T\right)\) 局部为微分同胚。因此流形 \(M\) 的局部坐标可取为 \({v}_{0} \mathrel{\text{ := }} U,{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\)。

一个准静态过程(每个瞬间都是热平衡态)为 \(M\) 上一条光滑道路 \(\gamma\) ，连接起点和终点的两个状态。非准静态过程可能包含不光滑甚至不连续的道路。

热力学的几大定律表示如下：

  • 热力学第0定律：热平衡(作为密室间的关系)具有传递性。
  • 热力学第1定律：能量守恒。
  • 热力学第2定律：熵增原理：熵总是不减的。或等价地,一个准静态过程的热/功效率不能达到100%。
  • 热力学第3定律：绝对零度不可达到。

习题 2.1

功形式(work form)和热形式(heat form)为 \(M\) 上的微分形式 \(\mathcal{W} \in {A}^{1}\left( M\right) ,\mathcal{Q} \in {A}^{1}\left( M\right)\) ，且物理学假设 \(\mathcal{Q}\) 处处非零。局部坐标系下有

\[ \mathcal{W} = \mathop{\sum }\limits_{ {i = 1}}^{n}{p}_{i}\left( {U,{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}}\right) d{v}_{i},\;\mathcal{Q} = \mathop{\sum }\limits_{ {i = 0}}^{n}{Q}_{i}\left( {U,{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}}\right) d{v}_{i}. \]

热力学第1定律为

\[ \mathcal{Q} - \mathcal{W} = {dU} \]

设 \(M\) 的某区域 \(D\) 同胚于 \({\mathbb{R}}^{n + 1}\) 中的开球，考虑位于 \(D\) 中的光滑道路。对于怎样的 \(\mathcal{W},\mathcal{Q}\) ，线积分 \({\int }_{\gamma }\mathcal{W},{\int }_{\gamma }\mathcal{Q}\) 仅依赖于光滑道路的起点和终点,而不依赖于位于 \(D\) 之中的光滑道路 \(\gamma\) 的选取。

习题 2.2

考虑局部投影映射 \(p : \left( { {v}_{0},{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}}\right) \mapsto \left( { {v}_{1},\cdots ,{v}_{n}}\right)\) 。物理学假设存在一个 \(n\) 维流形 \(V\) 和映射 \(\pi\) : \(M \rightarrow V\) 使得 \(\pi\) 为淹没,且对任意 \(v \in V,{\pi }^{-1}\left( v\right)\) 连通，且局部 \(p\) 在复合值域上的一个局部微分同胚之

后 \(p\) 和 \(\pi\) 相同。我们将流形 \(V\) 上的局部坐标记为 \(v = \left( { {v}^{1},\cdots ,{v}^{n}}\right)\)。

证明对任意 \(v \in V,{\pi }^{-1}\left( v\right)\) 为一个 1 维流形。包含于 \({\pi }^{-1}\left( V\right)\) 中的光滑道路 \(\gamma\) 被称为是等容过程。这里我们为了叙述上简单起见，假设 \(\gamma\) 为嵌入映射，并在记号上将 \(\operatorname{im}\gamma\) 与 \(\gamma\) 写成一样。

证明对于等容过程，\({\left. {\mathcal{W}}^{1}\right| }_{\gamma } = 0 \in {A}^{1}\left( \gamma \right) ,{\left. dU\right| }_{\gamma } \neq 0 \in {A}^{1}\left( \gamma \right)\) ，进而说明 \(U\) 为 \({\pi }^{-1}\left( v\right)\) 上的整体定义的坐标函数。

习题 2.3

称一个准静态过程为准静态绝热过程，若相应的光滑道路 \(\gamma\) 满足 \({\left. \mathcal{Q}\right| }_{\gamma } = 0 \in {A}^{1}\left( \gamma \right)\) 。

热力学第2定律的Kevin表述为：不存在一个准静态循环过程使得热量完全被转化成了机械能. 利用道路的语言,即不存在具有同样起点终点的光滑道路 \({\gamma }_{1},{\gamma }_{2}\) 使得

\[ {\int }_{ {\gamma }_{2}}\mathcal{W} = {\int }_{ {\gamma }_{1}}\mathcal{Q} \]

热力学第2定律的Caratheodory表述为：对于任一点 \(p \in M\) 均存在一个点 \(q \in M\) 使得 \(q\) 不能通过 \(p\) 由准静态绝热过程实现。利用道路的语言，即对于任一点 \(p \in M\) 均存在一个点 \(q \in M\)，使得不存在连接 \(p\) 至 \(q\) 的光滑道路 \(\gamma\) 使得

\[ {\left. Q\right| }_{\gamma } = 0 \in {A}^{1}\left( \gamma \right) . \]

证明 Kevin 表述可以推出 Caratheodory 表述。

习题 2.4

数学上有如下的 Caratheodory 定理：设 \(m\) 维流形 \(M\) 上的 \(\theta \in {A}^{1}\left( M\right)\) 定义的 \(m - 1\) 维分布 \(\ker \theta = D\) 不是完全可积的，即存在 \(p \in M\) 使得 \({\left. \left( d\theta \land \theta \right) \right| }_{p} \neq 0\) 。那么存在 \(p\) 的邻域 \(B\) 使得 \(B\) 中的任意一点 \(q\) 均可以通过分段光滑的积分曲线与 \(p\) 连接 (从而分段光滑的积分流形维数大于分布 \(D\) 的维数)。

那么热力学第2定律的 Caratheodory 表述可以大致叙述为 \(\mathcal{Q}\) 定义的分布 \(\ker \mathcal{Q}\) 是完全可积的。

不利用 Caratheodory 定理，直接说明当系统中仅有一个密室时，\(\ker \mathcal{Q}\) 确实是完全可积的。

习题 2.5

利用 Frobenius 定理知对于完全可积的分布 \(\ker {\mathcal{Q}}_{r}\) 局部存在正则的积分流形 \(W\) 使得在 \(M\) 的某个局部坐标系 \({x}^{1},\cdots {x}^{n},{x}^{0}\) 下，\(W\) 局部由正则子流形 \({x}^{0} = {c}^{0}\) 给出。此时在 \(M\) 上局部存在函数 \(f\) ，使得局部有 \(Q = {fd}{x}^{0}\) 。

物理学假设存在整体函数 \(\mathrm{T},\mathrm{S} \in {A}^{0}\left( M\right)\) 使得 \(\mathcal{Q} = \mathrm{T}d\mathrm{\;S}\) ；函数 \(\mathrm{S}\) 还满足对于等容过程有 \({\left. \mathrm{S}\right| }_{ {\pi }^{-1}\left( v\right) } = U\) 。 称T为绝对温度，S为熵。

基于前面的热力学第0，1，2定律的微分形式表述和物理学假设，说明函数T满足 \(\mathrm{T} > 0\) 。

说明对于准静态绝热过程 \(\gamma ,\mathrm{S}\) 是不变的。

§ 03de Rham 上同调群

定义 3.1

设 \(M\) 是流形，由于 \(\mathrm{d} :A^r(M)\rightarrow A^{r+1}(M)\) 是线性的，其 \(\ker\) 与 \(\mathrm{Im}\) 也自然线性，定义：

\[ \begin{aligned} \mathcal{Z}^{r}(M)&=\operatorname{Ker}\left(\mathrm{d} : A^{r}(M) \rightarrow A^{r+1}(M)\right)=\{\text { closed } r \text {-forms on } M\},\\ \mathcal{B}^{r}(M)&=\operatorname{Im}\left(\mathrm{d} : A^{r-1}(M) \rightarrow A^{r}(M)\right)=\{\text { exact } r \text {-forms on } M\} . \end{aligned} \]

这里我们约定，当 \(r<0\) 或 \(r>n=\dim M\) 时，\(A^r(M)\) 是零空间，故 \(\mathcal{B}^0(M)=0\)，\(\mathcal{Z}^n(M)=A^r(M)\)。

注意到任意恰当形式均为闭形式，\(\mathcal{B}^{r}(M)\subseteq \mathcal{Z}^{r}(M)\)，这表明可以定义如下商空间：

\[ H_{\mathrm{dR}}^r(M)=\frac{\mathcal{Z}^{r}(M)}{\mathcal{B}^{r}(M)} \]

称为 \(M\) 的 de Rham 上同调群。

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完

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