第 8 章：紧算子、Fredholm 二择一与 PDE
在 \((0,1)\) 上，\(-u''=f\)、\(u(0)=u(1)=0\) 的逆算子具有 Green 核
§ 01从边值问题到积分方程
于是 \(-u''-\lambda u=f\) 可化为 \(u-\lambda Ku=Kf\)，其中 \(K\) 是上面的积分算子。若能理解 \(K\) 的谱，就能判断原边值问题何时可解。
核的连续性使积分输出比输入更规整。这种规整性在函数空间中表现为紧性，进而产生离散谱。一维模型将积分方程与紧算子的联系具体算出来。
§ 02紧性、全连续性与有限秩逼近
定义 2.1紧算子
有界线性 \(K:X\to Y\) 称紧，若它把有界集合映为相对紧集合。对于 Banach 空间，等价于每个有界序列 \((x_n)\) 都有子列使 \(Kx_{n_j}\) 在范数下收敛。
有限秩算子紧；紧算子的和、与有界算子的左右复合仍紧；紧算子在算子范数下的极限仍紧。最后一点用有限 \(\varepsilon\) 网证明：先逼近算子，再逼近逼近算子的单位球像。
定理 2.2Hilbert 空间上的有限秩逼近
\(K:H\to K_1\) 紧，当且仅当它是有限秩算子的算子范数极限。
证明
对紧单位球像，选有限 \(\varepsilon\) 网 \(y_1,\ldots,y_m\)，令 \(P\) 投影到它们的张成空间。每个 \(Kx\) 距此空间至多 \(\varepsilon\)，故 \(\|K-PK\|\le\varepsilon\)，且 \(PK\) 有限秩。
反向由范数极限保持紧性。在一般 Banach 值域里，这种有限秩逼近涉及逼近性质，不能不加条件套用。
2.1 与弱收敛的关系
Hilbert 空间中，紧算子将有界弱收敛网变为强收敛网。若 \(x_\alpha\rightharpoonup x\)，但 \(Kx_\alpha\) 没有强趋于 \(Kx\)，可选一个始终离 \(Kx\) 至少 \(\varepsilon\) 的子网；紧性再给范数收敛子网，它的弱极限又必须是 \(Kx\)，矛盾。
反过来，Hilbert 空间中若算子把每个弱收敛序列变为强收敛序列，则它紧：有界序列落在一个可分 Hilbert 子空间内，存在弱收敛子列，输出便有强收敛子列。
全连续不总等于紧
Banach 空间中，“弱收敛序列映为强收敛序列”常称全连续。它在 Hilbert 空间中等价于紧性，但一般不等价。例如 \(\ell^1\) 有 Schur 性质，其恒等算子满足这项序列性质，却在无限维时不紧。
还可以研究半双线性形式 \(a(y,x)=\langle y,Kx\rangle\) 在两个弱单位球乘积上的联合连续性。紧 \(K\) 给出该连续性：把差写成 \(\langle y_\alpha,K(x_\alpha-x)\rangle+\langle y_\alpha-y,Kx\rangle\)。反向利用弱单位球紧性，把联合连续性转化为对全部单位 \(y\) 的统一控制，得到 \(K\) 的弱到强连续性。
2.2 积分核与 Hilbert–Schmidt 类
设 \(X,Y\) 是 \(\sigma\)-有限测度空间。若 \(k\in L^2(X\times Y)\)，则
把核在 \(L^2\) 中用有限个乘积函数 \(a_j(x)b_j(y)\) 逼近，产生有限秩算子的范数逼近，所以 \(K\) 紧。连续核在紧区域上是常见例子。
两个 Hilbert–Schmidt 用法
紧自伴算子的对角化常称 Hilbert–Schmidt 定理；Hilbert–Schmidt 算子类则要求奇异值平方可和。后者比紧性强。例如 \(Ke_n=n^{-1/2}e_n\) 紧，但 \(\sum_n\|Ke_n\|^2=\infty\)，并不属于 Hilbert–Schmidt 类。
§ 03紧自伴谱定理
定理 3.1紧自伴算子的离散谱
设 \(K=K^*\) 紧。存在非零特征值 \(\lambda_n\in\mathbb R\) 及标准正交特征向量 \(e_n\)，使
每个非零特征值的重数有限；若非零特征值无限多个，则 \(\lambda_n\to0\)。核可以无限维。
证明：极值产生第一个特征向量，再递归
对自伴 \(K\)，\(\|K\|=\sup_{\|x\|=1}|\langle x,Kx\rangle|\)，可由第五章谱演算得到，也可用 Hermitian 形式的极化估计证明。
若 \(K\ne0\)，选一列单位向量使二次型的绝对值趋于 \(\|K\|\)，再固定其正负号。取弱收敛子列 \(x_n\rightharpoonup x\)；紧性使 \(Kx_n\to Kx\)，所以二次型趋于 \(\langle x,Kx\rangle\)。下半连续性给出 \(\|x\|\le1\)，但达到非零极值迫使 \(\|x\|=1\)。
在单位球面上对二次型沿正交方向变分，得到 \(Kx=\lambda x\)，其中 \(|\lambda|=\|K\|\)。其正交补约化 \(K\)，继续递归取得特征向量。
非零特征空间不能无限维，否则其中的正交单位列被映为距离不趋于零的序列，违反紧性。同样，无穷多个特征值不能保持 \(|\lambda_n|\ge\varepsilon\)，因此趋于零。
每一步选择剩余算子的最大绝对特征值，故去掉前 \(n\) 项后剩余算子的范数趋于零。最终的正交补上 \(K=0\)，得到展开式。
因此紧自伴算子的非零谱都是特征值，只有 \(0\) 可能是聚点。紧正规算子也有类似复特征值展开：其 \(|\lambda|\ge\varepsilon\) 的谱子空间必须有限维，否则该子空间上 \(K\) 有有界逆而仍紧，迫使恒等算子紧；把这些有限维子空间合起来即可得到正规版本。
§ 04紧三角矩阵与非自伴问题
紧算子未必自伴。积分核不对称时，这一点自然发生。若在某正交基下 \(K\) 是上三角紧矩阵，则对角元 \(a_{nn}\to0\)，因为 \(e_n\rightharpoonup0\) 且 \(Ke_n\to0\)。
其非零谱恰是非零对角值。理由是有限前缀子空间不变，有限块的特征值就是对角元；另一方面，对充分大 \(n\)，尾部压缩 \(C_n=(I-P_n)K(I-P_n)\) 的范数任意小。若 \(\lambda\ne0\) 不等于任何对角值，分块
的两个对角块均可逆，故全算子可逆。
这里是对已给出的三角表示讨论性质，并非宣称每个紧算子都能由一组特征向量对角化。非正规紧算子可能有 Jordan 型结构，甚至所有非零特征值都不存在。
§ 05Fredholm 二择一
考虑 \(A=I-K\)，其中 \(K\) 紧。方程可能受有限维共振阻碍，但不会出现任意多独立的坏方向。
定理 5.1Hilbert 空间中的 Fredholm 二择一
\(\ker(I-K)\)、\(\ker(I-K^*)\) 有限维且维数相等，\(\operatorname{Ran}(I-K)\) 闭，并且
若核为零，方程对每个 \(f\) 有唯一解且逆有界；若核非零，可解时解相差一个核向量。\(I-\lambda K\) 也有同样结论。
证明：把困难压到一个有限维块
在 Hilbert 空间中选有限秩 \(F\)，使 \(K=F+R\)、\(\|R\|<1\)。则
有限秩。第一因子有界可逆。令 \(M=\operatorname{Ran}G\)，按 \(H=M\oplus M^\perp\) 写
用有界可逆行变换消去右上块，便得到 \(\operatorname{diag}(I-G_{11},I)\)。因此核、余核有限维且相等，像闭。乘可逆算子保留这些性质。
对任意有界算子，\(\operatorname{Ran}A^\perp=\ker A^*\)；像闭后得到 \(\operatorname{Ran}A=(\ker A^*)^\perp\)，给出可解条件。核为零时余核也为零，故双射；上述因子分解同时给出有界逆。
在一般 Banach 空间，仍有紧算子的 Riesz–Schauder 二择一：\(I-K\) 单射当且仅当满射。单射时首先通过紧性证明 \(\|Ax\|\ge c\|x\|\)。若仍不满射，闭子空间 \(A^nX\) 严格递减，Riesz 引理可从中取单位向量，使其 \(K\) 像两两分离，违反紧性。满射而不单射时，对严格递增的 \(\ker A^n\) 用同样方法得到矛盾。这里不需要假定一般 Banach 紧算子可作有限秩范数逼近。
例 5.2共振条件
若 \(K=K^*\) 且 \(Ke_j=\mu_je_j\)，方程 \((I-\lambda K)u=f\) 在各谱方向上变为
当 \(\lambda\mu_j=1\) 时，必须有 \(f_j=0\)，该方向的解系数任意。这就是抽象正交可解条件。
§ 06紧预解式：无界算子的离散谱
定义 6.1紧预解式
闭算子 \(A\) 若存在 \(z\in\rho(A)\) 使 \((zI-A)^{-1}\) 紧，称具有紧预解式。预解恒等式说明一个预解式紧，就使所有预解式紧。
在 \(\rho(A)\ne\varnothing\) 的前提下，等价条件是嵌入 \(D(A)\) 的图范数空间到 \(H\) 紧。因为 \(zI-A\) 给出图空间到 \(H\) 的有界同构，嵌入与预解式通过这个同构互相转换。自伴算子的非实预解集总非空，可以直接使用此刻画。
例 6.2图空间紧嵌入仍需检查预解集
在 \(L^2(0,1)\) 中，取 \(A=-i\,d/dx\)、\(D(A)=H^1(0,1)\)，不加边界条件。图空间紧嵌入 \(L^2\)，但每个 \(z\in\mathbb C\) 都有非零特征函数 \(e^{izx}\)，所以 \(\rho(A)=\varnothing\)。因此不能只凭图空间的紧嵌入就称一个任意闭算子具有紧预解式。
定理 6.3下有界自伴算子的紧谱
若自伴 \(A\ge cI\) 有紧预解式，则存在正交特征基，特征值具有有限重数，在无限维情形可排序为 \(\lambda_n\to+\infty\)。定义域为
证明
取 \(a\) 使 \(A+aI\ge I\)。\(R=(A+aI)^{-1}\) 是紧正自伴单射，且像稠密。紧谱定理给出正交特征基，\(Re_n=\mu_ne_n\)、\(\mu_n>0\)、\(\mu_n\to0\)。
因此 \(Ae_n=(\mu_n^{-1}-a)e_n\)，得到 \(\lambda_n\to\infty\)。图范数中的平方和给出定义域。一般不下有界的自伴情形，可使用紧正规预解式，同样得到实离散谱，但只能保证特征值的绝对值趋于无穷。
注意这里的紧算子是预解式，\(A\) 本身通常无界，不能称它为“紧算子”。
§ 07Rellich 紧性与椭圆方程
7.1 为什么有界区域上有紧嵌入
定理 7.1Rellich 紧嵌入：Dirichlet 版本
若 \(\Omega\subset\mathbb R^d\) 有界开，则 \(H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)\) 紧。此版本不要求边界光滑。
证明：零延拓、平移估计与光滑化
将 \(u\in H_0^1\) 零延拓到整空间，所有延拓支撑在同一有界盒子中。由沿线积分和密度有
因此对标准光滑核 \(\rho_\varepsilon\)，有 \(\|u-\rho_\varepsilon*u\|_2\le C\varepsilon\|\nabla u\|_2\)，误差在 \(H_0^1\) 有界集上统一小。
固定 \(\varepsilon\) 后，Cauchy–Schwarz 控制光滑化函数及导数的一致范数，支撑仍在固定紧盒子中，Arzelà–Ascoli 给出相对紧性，进而得到 \(L^2\) 相对紧性。再让光滑化误差小于任意 \(\delta\)，原集合全有界，完成证明。
若使用 \(H^1(\Omega)\) 而非 \(H_0^1\)，零延拓不再自动合法。常用的 Neumann 版本假设 \(\Omega\) 有界且边界 Lipschitz，以便使用有界延拓算子。
7.2 Poincaré 不等式与 Poisson 问题
把 \(\Omega\) 包含在宽度为 \(L\) 的盒子中，对零延拓的紧支撑光滑函数沿第一坐标积分，Cauchy–Schwarz 给出
这是 Poincaré 不等式。它使梯度能量成为 \(H_0^1\) 上等价的 Hilbert 范数。
对 \(f\in L^2\)，弱解满足
Riesz 或下面的 Lax–Milgram 定理给出唯一 \(u\) 和能量估计。解算子把 \(L^2\) 有界集映为 \(H_0^1\) 有界集，再由 Rellich 得到 \(L^2\) 中的紧像。因此 \(A_D^{-1}\) 紧，Dirichlet Laplacian 有正离散特征值及 \(L^2\) 正交特征基。
对 Neumann 问题，在连通有界 Lipschitz 区域上常数属于核。方程可解需 \(\int f=0\)，解需指定均值才能唯一；不连通时须在每个分支满足相应条件。
7.3 Lax–Milgram 与 Céa 估计
定理 7.2Lax–Milgram 定理
在 Hilbert 空间 \(V\) 上，设 \(a\) 是有界半双线性形式，且
则对每个线性 \(\ell\in V^*\)，存在唯一 \(u\) 使 \(a(u,v)=\ell(v)\) 对全部 \(v\) 成立，且 \(\|u\|_V\le\|\ell\|/\alpha\)。实空间中去掉实部和共轭即可。
证明
按第三章的 Riesz 表示，写 \(a(u,v)=\langle Au,v\rangle\)、\(\ell(v)=\langle g,v\rangle\)，\(A\) 是有界线性算子。强制性给出 \(\|Au\|\ge\alpha\|u\|\)，所以核为零、像闭。
又有 \(\operatorname{Re}\langle A^*v,v\rangle=\operatorname{Re}\langle Av,v\rangle\ge\alpha\|v\|^2\)，所以 \(\ker A^*=0\)，像的正交补为零。像闭且稠密，故等于 \(V\)。于是 \(Au=g\) 唯一可解，估计直接由下界得到。
定理 7.3Céa 误差估计
若闭子空间 \(V_h\subset V\) 上的 Galerkin 解满足 \(a(u_h,v_h)=\ell(v_h)\)，则
证明
误差 \(e=u-u_h\) 满足 \(a(e,v_h)=0\)。对任意 \(v_h\in V_h\)，
约去误差范数并取下确界。对称正形式的能量范数下，最佳逼近常数可取 \(1\)，就是第三章的正交投影结论。
这与数值 PDE 笔记的关系很具体：空间近似误差由插值估计控制，稳定性由 \(\alpha\) 控制，两者结合得到整体收敛误差。
§ 08一维 Dirichlet 问题算到底
对 \(A=-u''\)、\(u(0)=u(1)=0\)，特征基为
若 \(f=\sum_nf_ne_n\)，则
这与开头的 Green 核表示是同一个逆算子的两种写法。对于 \((A-\lambda I)u=f\)，若 \(\lambda=n^2\pi^2\)，需对应 \(f_n=0\) 才可解；否则按 \(u_n=f_n/(\lambda_n-\lambda)\) 求解。
一般椭圆问题未必能显式求特征函数，但紧性仍保证离散谱结构。数值离散得到的矩阵谱，是对这个无限维谱问题的逼近。
§ 09全连续形式、紧算子与有限秩逼近
本节 \(H,K\) 为 Hilbert 空间，\(V,W\) 为一般赋范空间。Hilbert 空间中紧性、全连续性与有限秩可逼近性等价；一般 Banach 空间中不能不加条件照搬最后一个等价关系。
联合弱连续性控制有限截断
全连续形式在两个弱单位球上联合连续。弱紧性使这种连续性变成对有限矩阵截断的统一控制，平方可积核于是可由有限秩核范数逼近。
定义 9.1全连续形式
半双线性形式 \(\omega:K\times H\to\mathbb C\) 全连续，指其在两个闭单位球的乘积上，相对于两侧弱拓扑联合连续。此条件自动保证形式有界。
命题 9.2伴随保持全连续性
全连续形式的伴随 \(\omega^*(\xi,\eta)=\overline{\omega(\eta,\xi)}\) 仍全连续。
证明 8.2.3
交换两变量是弱单位球乘积上的连续映射，复共轭是标量连续映射。将它们与原全连续形式复合，得到伴随形式的联合连续性。
定义 9.3有限秩形式
有限个形式 \(\omega_{\psi,\phi}(\eta,\xi)=\langle\eta,\psi\rangle\langle\phi,\xi\rangle\) 的线性组合称有限秩形式，其中 \(\psi\in K,\phi\in H\)。
定理 9.4有限秩形式全连续
每个有限秩形式全连续，因为有限个内积坐标均为弱连续函数。
证明 8.2.5
固定向量的内积坐标是弱连续函数；两个标量坐标的乘积连续，有限线性组合仍连续。所以每个有限秩形式全连续。
定理 9.5全连续形式的范数闭性
全连续形式的算子范数收敛网，其极限仍全连续。
证明 8.2.6
单位球乘积上 \(|\omega_\alpha-\omega|\leq\|\omega_\alpha-\omega\|\)，故形式范数收敛就是该紧空间上的一致收敛。连续标量函数的一致极限连续，得到全连续性。
定义 9.6可逼近形式
全连续形式的范数极限称可逼近形式，使用网或序列等价。结合下述有限截断判据，这也等价于能够被有限秩形式范数逼近。
推论 9.7可逼近形式全连续
可逼近形式全连续。
证明 8.2.8
按可逼近定义取全连续逼近网，直接用 8.2.6；若以有限秩逼近作为等价定义，则先用 8.2.5，再用同一范数闭性。
定理 9.8有限矩阵截断判据
相对于两侧标准正交基，令 \(\omega_{I,J}(\eta,\xi)=\sum_{i\in I,j\in J}\omega(e_i,f_j)\langle\eta,e_i\rangle\langle f_j,\xi\rangle\)。形式全连续当且仅当 \(\|\omega-\omega_{I,J}\|\to0\)，其中 \(I,J\) 遍历有限指标集。
证明 8.2.9
有限截断写成 \(\omega_{I,J}(\eta,\xi)=\omega(P_I\eta,Q_J\xi)\)。正交基完备使 \(P_I,Q_J\) 强趋于单位，投影自伴且范数至多一，故 8.2.10 给范数收敛。反向，截断有限秩且全连续，范数闭性给原形式全连续。8.2.10 的证明如下，直接使用弱紧性而不依赖此截断结论。
引理 9.9全连续形式与强收敛因子
若 \(A_\alpha^*\to A^*\)、\(B_\alpha^*\to B^*\) 为 SOT 收敛，且两族一致有界，则对全连续 \(\omega\)，形式 \((\eta,\xi)\mapsto\omega(A_\alpha\eta,B_\alpha\xi)\) 范数趋于 \(\omega(A\eta,B\xi)\)。
证明 8.2.10
若范数收敛失败，可选子网和单位向量 \(\eta_\alpha,\xi_\alpha\) 使误差绝对值有固定正下界。弱单位球的乘积紧，进一步取子网使它们分别弱趋于 \(\eta,\xi\)。对固定测试 \(v\)，
因为前一因子范数收敛，后一因子一致有界；\(B_\alpha\xi_\alpha\) 同理。两像网由统一算子界位于固定倍数的弱单位球，全连续性遂给 \(\omega(A_\alpha\eta_\alpha,B_\alpha\xi_\alpha)\to\omega(A\eta,B\xi)\)。固定 \(A,B\) 的弱连续性也给 \(\omega(A\eta_\alpha,B\xi_\alpha)\) 趋于同一值，矛盾。
引理 9.10测试可变弱向量
闭单位球中的 \(\phi_\alpha\) 范数趋于 \(\phi\)，当且仅当每个同指标、同样位于闭单位球中的弱收敛网 \(\xi_\alpha\rightharpoonup\xi\) 都满足 \(\langle\phi_\alpha,\xi_\alpha\rangle\to\langle\phi,\xi\rangle\)。
证明 8.2.11
范数收敛时
反向，先取全部常值测试网得 \(\phi_\alpha\rightharpoonup\phi\)，再取 \(\xi_\alpha=\phi_\alpha\) 得 \(\|\phi_\alpha\|^2\to\|\phi\|^2\)。弱收敛与范数收敛的 Hilbert 判据给强收敛。
命题 9.11乘积空间的正交基
若 \(X,Y\) 局部紧 Hausdorff，\(\mu,\nu\) 为 \(\sigma\)-有限 Radon 测度，则两个 \(L^2\) 标准正交基的乘积 \(e_i(x)f_j(y)\) 构成 \(L^2(X\times Y,\mu\times\nu)\) 的标准正交基。
证明 8.2.12
Fubini 使乘积族的内积分解，故标准正交。完备性可先用有限测度矩形指标：这些指标的有限线性组合在乘积 \(L^2\) 稠密，而各因子可由各自正交基有限和逼近，乘积误差用 \(\|uv\|_{L^2(\mu\times\nu)}=\|u\|_2\|v\|_2\) 控制。\(\sigma\)-有限性允许先截到有限测度矩形。故乘积族线性稠密。
定理 9.12平方可积核
在上述测度条件下，\(K\in L^2(X\times Y)\) 定义的 \(\omega(f,g)=\int\overline{f(x)}K(x,y)g(y)\,d\mu(x)d\nu(y)\) 全连续，且 \(\|\omega\|\leq\|K\|_2\)；两种迭代积分均有意义且相同。
证明 8.2.13
\(\bar f(x)g(y)\) 的乘积 \(L^2\) 范数为 \(\|f\|_2\|g\|_2\)，Cauchy–Schwarz 使三因子积分绝对可积并给形式范数界。8.2.12 将 \(K\) 以有限个乘积基函数在 \(L^2\) 中逼近，对应形式有限秩；误差形式范数至多为核的 \(L^2\) 误差，所以原形式全连续。绝对可积性同时允许两种迭代次序。
用弱紧性取得特征方向
自伴二次型在弱单位球上达到极值，正形式的零向量判据把极值向量变成特征向量。反复在正交补上进行，非零特征值就会趋于零。
定理 9.13Hilbert–Schmidt 自伴谱定理
\(T\) 的形式 Hermitian 且全连续，当且仅当 \(H\) 有标准正交基 \((e_n)\cup(f_j)\)，其中 \(Te_n=\lambda_ne_n\)、\(\lambda_n\in\mathbb R\setminus\{0\}\)，\(Tf_j=0\)，非零部分至多可数，若无限则 \(\lambda_n\to0\)。
证明 8.3.1
全连续 Hermitian 形式的 \(|\langle\xi,T\xi\rangle|\) 在弱紧单位球上达到最大值。若 \(T\ne0\)，极值向量可归一化为 \(e_1\)，值为 \(\lambda_1\ne0\)。选正极值情形，则 \(\lambda_1 I-T\geq0\) 且在 \(e_1\) 上二次型为零；正形式 Cauchy–Schwarz 迫使 \((\lambda_1-T)e_1=0\)。负极值对 \(-T\) 同理。
\(e_1^\perp\) 约化 \(T\)，在该空间重复极值构造，得到标准正交特征序列。若无限，则 \(e_n\rightharpoonup0\)，全连续性给 \(\lambda_n=\langle e_n,Te_n\rangle\to0\)。每一步剩余空间的二次型绝对值由当前极值控制，极化估计使剩余算子范数趋零，所以所有 \(e_n\) 的正交补上 \(T=0\)。补上其正交基得到结论。
反向取有限谱截断 \(T_N=\sum_{n\leq N}\lambda_nP_{e_n}\)，有 \(\|T-T_N\|\leq\sup_{n>N}|\lambda_n|\to0\)。各截断自伴有限秩，故极限的形式 Hermitian 且全连续。
把弱输入变成强输出
Hilbert 单位球弱紧，所以全连续映射等价于紧映射。一般赋范空间中则直接以单位球像的相对紧性定义紧算子，有限秩和范数逼近给出基本例子。
定义 9.14全连续映射
线性 \(T:H\to K\) 全连续，指其闭单位球上的限制由弱拓扑到值域范数拓扑连续；它自动有界。
命题 9.15有界映射的弱连续性
有界线性 \(T:H\to K\) 在两侧都取弱拓扑时连续。
证明 8.4.2
每个目标弱测试 \(\eta\) 的复合为 \(\langle\eta,T\xi\rangle=\langle T^*\eta,\xi\rangle\)，是源空间弱连续函数。弱拓扑由全部这类测试诱导，所以 \(T\) 弱连续。
命题 9.16形式与映射的全连续性
线性 \(T:H\to K\) 全连续当且仅当其形式 \(\omega_T(\eta,\xi)=\langle\eta,T\xi\rangle\) 全连续。
证明 8.4.3
若 \(T\) 将弱单位球连续映到范数空间，两个变量变化时将配对误差拆为弱测试误差与 \(T\xi\) 的范数误差，得到形式联合连续。反向形式联合连续时，对每个 \(\xi_\alpha\rightharpoonup\xi\)，向量 \(T\xi_\alpha\) 弱趋于 \(T\xi\)，且与任意可变弱单位球测试配对均收敛。缩放后用 8.2.11 得 \(T\xi_\alpha\to T\xi\) 于范数，故全连续。
定义 9.17紧算子
线性 \(T:V\to W\) 紧，指单位球的像相对紧；等价于每个有界网的像有范数收敛子网，或每个有界序列的像有范数收敛子列。该条件自动保证有界。
定理 9.18Hilbert 空间中的三个等价条件
\(T\) 紧、\(T\) 全连续、\(\omega_T\) 全连续，三者等价。
证明 8.4.7
全连续映射把弱紧单位球连续映到范数紧集，因而紧。反向若 \(T\) 紧且 \(\xi_\alpha\rightharpoonup\xi\) 于单位球，若像不范数趋于 \(T\xi\)，取误差有正下界的子网；紧性再给像的范数收敛子网。8.4.2 强制其弱极限是 \(T\xi\)，矛盾。故紧蕴含全连续，再用 8.4.3 得三者等价。
推论 9.19紧伴随
Hilbert 空间间紧算子的伴随仍紧。
证明 8.4.8
紧 \(T\) 的形式全连续，8.2.3 使 \(T^*\) 的形式全连续，8.4.7 再得 \(T^*\) 紧。这个证明同时解释了为何此处使用 Hilbert 结构。
定义 9.20有限秩算子
有界且像有限维的线性映射称有限秩算子。像有限维的纯代数映射若不连续，不在此定义之内。
命题 9.21有限秩的向量表达
Hilbert 空间间 \(T\) 有限秩，当且仅当 \(\omega_T\) 有限秩，也当且仅当 \(T\xi=\sum_{j=1}^n\psi_j\langle\phi_j,\xi\rangle\)。
证明 8.4.12
有限秩 \(T\) 的像取标准正交基 \(\psi_1,\ldots,\psi_n\)，令 \(\phi_j=T^*\psi_j\)，则 \(T\xi=\sum_j\psi_j\langle\phi_j,\xi\rangle\)。这种表达立即给有限秩形式。反向给定这种形式表达，非退化内积迫使 \(T\) 具有对应向量表达，像于是有限维。
定理 9.22有限秩即紧
一般赋范空间间的有限秩算子紧。
证明 8.4.13
有限秩有界算子的单位球像有界，位于有限维像空间。8.4.14 给该空间中闭有界集紧，故像相对紧。
定理 9.23有限维范数与紧性
有限维实或复向量空间的全部范数等价；有界闭子集紧，空间完备。
证明 8.4.14
取基并以欧氏范数比较。三角不等式给任意范数的欧氏上界；欧氏单位球面紧且范数连续，其正的最小值给下界。范数等价后，欧氏空间的 Heine–Borel 与完备性转移到任意范数。任意两个范数都与欧氏范数等价，故互相等价。
定理 9.24紧算子的范数闭性
若值域 \(W\) 完备，紧算子网 \(T_\alpha:V\to W\) 范数趋于 \(T\)，则 \(T\) 紧。
证明 8.4.15
给定 \(\varepsilon>0\)，取紧 \(T_\alpha\) 使 \(\|T-T_\alpha\|<\varepsilon/3\)，再用 \(T_\alpha\) 单位球像的有限 \(\varepsilon/3\) 网覆盖。相同中心成为 \(T\) 单位球像的有限 \(\varepsilon\) 网，故像全有界。目标完备使其闭包完备且全有界，因此紧。
定义 9.25可逼近算子
有限秩算子的算子范数闭包中的元素称可逼近算子；用网或序列逼近等价。
推论 9.26可逼近性蕴含紧性
值域完备时，每个可逼近算子紧。
证明 8.4.17
取有限秩算子网 \(T_\alpha\) 范数趋于给定可逼近算子 \(T\)。8.4.13 使每个 \(T_\alpha\) 紧，目标完备允许应用 8.4.15，故其范数极限 \(T\) 仍紧。
从紧性得到有限秩逼近
Hilbert 空间中，紧像的有限 \(\varepsilon\) 网张成有限维子空间 \(M\)。令 \(P_M\) 为其投影，则对单位球中的 \(\xi\)，\(\|(1-P_M)T\xi\|\leq\varepsilon\)，所以 \(P_MT\) 有限秩且范数逼近 \(T\)。伴随紧性后，再在定义域作有限投影，得到两侧有限截断的范数收敛。
对平方可积核，乘积正交基使核可由有限个乘积函数在 \(L^2\) 中逼近。核误差控制算子范数误差，因此积分形式是有限秩形式的范数极限。一般赋范空间中的范数闭性则由对角抽取像序列和值域完备性证明；若值域不完备，得到的 Cauchy 极限可能落在完备化中。
§ 10非零谱、子空间链与 Fredholm 理论
非零近似谱值必须成为特征值
紧性先让像收敛；非零标量再从像与小残差恢复输入的收敛。这就是紧算子把非零近似特征值转成真正特征值的机制。
引理 10.1自伴范数是近似谱值
有界自伴 \(A\) 的 \(\|A\|\) 和 \(-\|A\|\) 中至少一个为近似特征值。
证明 8.5.3
自伴算子的范数等于单位球上二次型绝对值上确界，取单位向量 \(\xi_n\) 使二次型趋于 \(\lambda=\|A\|\) 或 \(-\|A\|\)。正算子 \(B=\lambda I-A\)（负端点改对 \(-A\) 处理）满足 \(\|B\xi\|^2\leq\|B\|\langle\xi,B\xi\rangle\)，故 \(\|(A-\lambda)\xi_n\|\to0\)。所以至少一个端点是近似特征值。
定理 10.2紧算子的近似特征值
对紧 \(A:V\to V\) 和 \(\lambda\ne0\)，\(\lambda\) 为特征值当且仅当为近似特征值；不要求 \(V\) 完备。
证明 8.5.4
特征值当然是近似特征值。反向取单位 \(\xi_n\) 使 \((A-\lambda)\xi_n\to0\)；紧性给子列 \(A\xi_n\to\eta\)。因 \(\lambda\ne0\)，\(\xi_n=\lambda^{-1}[A\xi_n-(A-\lambda)\xi_n]\to\lambda^{-1}\eta\)，极限在空间内且范数为一。连续性给 \(A\xi=\lambda\xi\)，不需要源空间完备。
紧性阻止无限严格三角链
在严格递增或递减子空间链中选近似正交单位向量，三角条件会使它们的像保持分离。紧性不允许这种无限分离，除非相应标量趋于零。
定理 10.3递增链上的三角行为
若闭子空间严格递增 \(V_0\subsetneq V_1\subsetneq\cdots\)，紧 \(T\) 满足 \((T-\lambda_n)V_n\subset V_{n-1}\)，则 \(\lambda_n\to0\)。
证明 8.6.3
Riesz 引理选单位 \(e_n\in V_n\)，使 \(\operatorname{dist}(e_n,V_{n-1})\geq1/2\)。若 \(m<n\)，三角条件给 \(Te_n-Te_m=\lambda_ne_n+v\)，\(v\in V_{n-1}\)，故 \(\|Te_n-Te_m\|\geq|\lambda_n|/2\)。若 \(\lambda_n\) 不趋零，可取其绝对值有正下界的子列，像之间不能 Cauchy，违反紧性。
Hilbert 空间还可取 \(e_n\perp V_{n-1}\)，它们标准正交并弱趋零；全连续性使 \(Te_n\to0\)，而 \(\|Te_n\|\geq|\lambda_n|\)，直接得到结论。
定义 10.4近似正交
\(\xi\) 与子空间 \(U\) 为 \(\varepsilon\)-正交，指 \(\operatorname{dist}(\xi,U)\geq(1-\varepsilon)\|\xi\|\)。
定理 10.5Riesz 引理
若 \(U\) 为真闭线性子空间，给定 \(\psi\notin U\) 和 \(0<\varepsilon<1\)，存在非零 \(\xi\in\psi+U\) 与 \(U\) 为 \(\varepsilon\)-正交。
证明 8.6.5
令 \(d=\operatorname{dist}(\psi,U)>0\)，取 \(u\in U\) 使 \(\|\psi-u\|<d/(1-\varepsilon)\)，设 \(\xi=\psi-u\)。它仍在 \(\psi+U\)，且 \(\operatorname{dist}(\xi,U)=d>(1-\varepsilon)\|\xi\|\)，所以满足要求。
定理 10.6递减链上的三角行为
若闭子空间严格递减 \(V_1\supsetneq V_2\supsetneq\cdots\)，紧 \(T\) 满足 \((T-\lambda_n)V_n\subset V_{n+1}\)，则 \(\lambda_n\to0\)。
证明 8.6.7
选单位 \(e_n\in V_n\)，距离 \(V_{n+1}\) 至少为 \(1/2\)。对 \(n<m\)，三角条件给 \(Te_n-Te_m=\lambda_ne_n+v\)，\(v\in V_{n+1}\)，故距离至少 \(|\lambda_n|/2\)。若存在绝对值有正下界的无限子列，其紧像不能 Cauchy，矛盾。Hilbert 情形也可将递减链的正交补转成递增链，并对紧伴随用 8.6.3。
推论 10.7非稳定递增链
若递增闭子空间链不最终稳定，且 \((T-\lambda_n)V_n\subset V_{n-1}\)，则 \(\liminf_n|\lambda_n|=0\)。
证明 8.6.9
若 \(\liminf|\lambda_n|>0\)，所有充分大的标量有统一正下界。取所有严格增长位置形成严格递增子链；在增长位置，原三角条件将算子送入前一不同子空间，故 8.6.3 强制该子列标量趋零，矛盾。因此链若不稳定只能有零下极限。
推论 10.8非稳定递减链
若递减闭子空间链不最终稳定，且 \((T-\lambda_n)V_n\subset V_{n+1}\)，则 \(\liminf_n|\lambda_n|=0\)。
证明 8.6.10
取所有严格下降位置构成子链，原条件仍将该位置空间送入下一个不同空间。若标量最终有统一正下界，8.6.7 给矛盾；所以不稳定链要求 \(\liminf|\lambda_n|=0\)。
从链稳定到 Fredholm 二择一
核链和像链将单射、满射的失败转成三角链。非零参数使这些链必须稳定，再配合像的正下界与完备性，得到有界逆和有限维障碍。
定义 10.9赋范空间算子的谱
对 \(T\in\mathcal L(V)\)，定义 \(\sigma(T)=\{\lambda\in\mathbb F:T-\lambda I\text{ 在 }\mathcal L(V)\text{ 中不可逆}\}\)。实空间时此处只讨论实标量谱，复化后的复谱另行定义。
定理 10.10Fredholm 二择一
若 \(V\) 完备、\(T\) 紧、\(\lambda\ne0\)，则 \(\ker(T-\lambda)=0\)、\(\lambda\notin\sigma(T)\)、\(\operatorname{ran}(T-\lambda)=V\) 三者等价。故非零谱点恰为非零特征值。
证明 8.7.2
令 \(A=T-\lambda\)。若单射，8.5.4 排除零下界失效，即有 \(\|A\xi\|\geq c\|\xi\|\)。完备性使各 \(A^nV\) 闭。若 \(A\) 不满射，单射性使这些像严格递减，且 \((T-\lambda)A^nV=A^{n+1}V\)；8.6.7 强制 \(\lambda=0\)，矛盾。因此满射，正下界给逆有界。
反向若满射而核非零，可从非零核向量逐次取原像，使 \(\ker A^n\) 严格递增，违反 8.7.3。可逆自然同时单射、满射，所以三个条件等价。
命题 10.11广义特征核稳定
紧 \(T\) 与 \(\lambda\ne0\) 存在 \(n\)，使 \(\ker(T-\lambda)^n=\ker(T-\lambda)^{n+1}=\cdots\)。
证明 8.7.3
核链闭且递增，满足 \((T-\lambda)\ker(T-\lambda)^n\subset\ker(T-\lambda)^{n-1}\)。若不最终稳定，8.6.9 使常数序列 \(|\lambda|\) 的下极限为零，矛盾。一次相等后，对 \(A\xi\in\ker A^n\) 使用相等条件即可逐步推出后续全部相等。
命题 10.12广义特征空间有限维
对每个有限 \(n\) 和 \(\lambda\ne0\)，\(\ker(T-\lambda)^n\) 有限维。
证明 8.7.5
特征空间上 \(T=\lambda I\)，紧性使其单位球紧，Riesz 引理遂迫使它有限维。一般幂展开为 \((T-\lambda)^n=(-\lambda)^nI+TK\)，其中 \(K\) 是有界多项式，\(TK\) 紧。其核正是紧算子 \(TK\) 的非零特征空间，故也有限维。
推论 10.13单位球的紧性判据
赋范空间有限维当且仅当其闭单位球范数紧。
证明 8.7.6
有限维方向由 8.4.14。若无限维，递归取单位向量与前面有限维张成距离至少 \(1/2\)；有限维张成闭，Riesz 引理可用。所得单位球内序列两两距离至少 \(1/2\)，不可能有收敛子列，所以单位球不紧。
命题 10.14非零特征值的聚点
紧算子的非零特征值在 \(\mathbb F\setminus\{0\}\) 中无聚点；无限多个时只能趋于零。
证明 8.7.8
若不同非零特征值 \(\lambda_n\) 聚到非零点，取各特征向量，8.7.9 保证其有限张成 \(V_n\) 严格递增且闭。有 \((T-\lambda_n)V_n\subset V_{n-1}\)，8.6.3 强制 \(\lambda_n\to0\)，矛盾。特征值又被 \(\|T\|\) 控制，因此每个远离零的区域只有有限多个。
引理 10.15不同特征值线性独立
任意线性算子的不同特征值对应的非零特征向量线性独立，无须范数或完备性。
证明 8.7.9
对 \(n\) 归纳。若 \(\sum_{j=1}^nc_je_j=0\)，作用 \(T-\lambda_n\) 得 \(\sum_{j<n}c_j(\lambda_j-\lambda_n)e_j=0\)。归纳假设及不同特征值给 \(c_j=0\)，\(j<n\)；再由原式给 \(c_n=0\)。
Riesz 引理与子空间链
令 \(d=\operatorname{dist}(\psi,U)>0\)，取 \(u\in U\) 使 \(\|\psi-u\|<d/(1-\varepsilon)\)，令 \(\xi=\psi-u\)，即得近似正交。对严格递增链，在每个新方向选单位向量 \(\xi_n\)，与上一子空间距离至少为固定正数。三角条件使不同 \(T\xi_n\) 的距离由 \(|\lambda_n|\) 下界控制；若它不趋零，就与紧性矛盾。递减链作相反方向的同一比较。
将此论证用于 \(\ker(T-\lambda)^n\) 及闭像链，可排除非零标量下的无限增长或无限下降，得到核稳定和 Fredholm 的单射、满射等价。广义特征空间上 \(T=\lambda I+N\) 且 \(N\) 幂零，所以 \(T\) 有有界的多项式逆；若该空间无限维，单位球会由紧 \(T\) 和其逆推出紧性，与 Riesz 引理矛盾。
§ 11图像紧性、紧预解式与椭圆问题
让图像单位球的嵌入变紧
无界算子本身不能直接要求单位球像紧，合适对象是图像域到原空间的嵌入。预解式把图像域与原空间同构，因而将这种紧性转成紧预解式。
定义 11.1紧图像投影
\(T:H\to K\) 有紧图像投影，指 \(\Pi_T:G(T)\to H\) 紧；等价于图像范数下的嵌入 \(D(T)\hookrightarrow H\) 紧。不预设定义域稠密或图像闭。
命题 11.2在核域上检验图像紧性
若 \(D_0\) 为 \(T\) 的核域，则 \(T\) 有紧图像投影当且仅当 \(T|_{D_0}\) 有此性质。
证明 8.8.2
图像域中的核域图像稠密，图像投影有界且目标 \(H\) 完备。对该稠密限制使用 8.8.3，恰得到所述等价。
引理 11.3稠密限制与紧性
若 \(W\) 完备，\(A:V\to W\) 有界，\(U\subset V\) 线性稠密，则 \(A\) 紧当且仅当 \(A|_U\) 紧。
证明 8.8.3
紧性当然传到限制。反向，源单位球中每个向量可用 \(U\) 中范数不超过 \(1+\delta\) 的向量任意逼近，再用 \(A\) 有界控制像误差。因此原单位球像的闭包等于限制单位球像的闭包（归一化后令 \(\delta\to0\)）。后者紧，故原算子紧。
命题 11.4图像紧性的小扰动
若 \(S\) 为 \(T\)-有界且相对界小于一，则 \(T\) 与 \(T+S\) 同时具有紧图像投影。
证明 8.8.4
7.9.7 给 \(T\) 与 \(T+S\) 的图像范数等价。两个图像域之间的恒等映射及其逆有界，嵌入到 \(H\) 只相差这种有界复合。紧算子在有界复合下仍紧，得到同时性。
定理 11.5紧预解式的三个判据
假设 \(T\) 的预解集非空，则 \(T\) 自动闭，且以下等价：每个预解式紧；某个预解式紧；图像投影紧。满足时称有紧预解式。单独图像紧性不能保证预解集非空。
证明 8.8.5
处处有界预解式 \(R(z,T)\) 的逆图像闭，故 \(T\) 闭。映射 \(\xi\mapsto(z-T)\xi\) 从图像域到 \(H\) 有界可逆：逆的图像范数由 \(R\) 和 \(TR=zR-I\) 控制。图像嵌入与 \(R\) 相差此有界同构，所以某个预解式紧等价于图像嵌入紧。预解式恒等式
又使一个紧预解式推出每个预解式紧。
推论 11.6紧预解式的小扰动
自伴 \(T\) 与相对界小于一的 \(T\)-有界 \(S\)，满足 \(T\) 有紧预解式当且仅当 \(T+S\) 有紧预解式；\(S\) 可不对称。
证明 8.8.6
7.9.5 保证 \(T+S\) 的预解集非空；\(T\) 自伴也有非空预解集。8.8.4 保持图像嵌入紧性，8.8.5 再将其转成两算子的紧预解式性质。
定理 11.7正算子的离散谱
正自伴 \(T\) 有紧预解式，当且仅当 \(H\) 有至多可数的标准正交特征基，特征值 \(\lambda_n\geq0\)，若无限则 \(\lambda_n\to\infty\)。因此空间自动可分，各有限谱值重数有限。
证明 8.8.7
取正紧自伴 \(R=(I+T)^{-1}\)，它单射且像稠密。紧自伴谱定理给标准正交特征基 \(Re_n=\mu_ne_n\)，\(\mu_n>0\)，无限时 \(\mu_n\to0\)；没有零特征空间。故 \(Te_n=(\mu_n^{-1}-1)e_n\)，这些特征值趋于无穷。反向，在所述特征基上预解式是对角算子，系数 \((1+\lambda_n)^{-1}\) 趋零，有限截断范数逼近使其紧。
推论 11.8正幂与紧预解式
正自伴 \(T\) 对任意 \(r>0\)，\(T\) 有紧预解式当且仅当 \(T^r\) 有紧预解式。
证明 8.8.9
若 \(T\) 有紧预解式，其特征基同时对角化 \(T^r\)，\(\lambda_n^r\to\infty\)，故后者也有。反向对 \(T^r\) 的特征基用 Borel 函数 \(x^{1/r}\)，得到 \(T\) 的同一特征基，特征值也趋无穷；再用 8.8.7。
定理 11.9绝对值与图像紧性
稠密定义且闭的 \(T:D(T)\subset H\to K\) 的以下条件等价：图像投影紧；\(T^*T\) 有紧预解式；\(|T|\) 有紧预解式。
证明 8.8.10
极分解给 \(D(T)=D(|T|)\) 且图像范数相同，所以两个图像嵌入同时紧。\(|T|\) 正自伴，8.8.5 将其图像紧性化为紧预解式。最后 \(T^*T=|T|^2\)，8.8.9 给剩余等价。
定理 11.10无界 Fredholm 二择一
有紧预解式的 \(T\) 满足 \(\ker T=0\)、\(T^{-1}\) 处处有界、\(\operatorname{ran}T=H\) 三者等价。
证明 8.8.11
取预解点 \(z\)。若 \(z=0\)，有界逆已存在；否则令 \(R=(z-T)^{-1}\)，则 \(T=(zR-I)(z-T)\) 在 \(D(T)\) 成立。前一因子是紧算子的非零标量扰动，Fredholm 二择一说明其单射、满射、有界可逆等价。后一因子把图像域同构到 \(H\)，故这些条件转回 \(T\) 恰是所述三条件。
用 Fourier 尾部证明 Rellich 紧性
有界域上的零边界函数可零延拓到大环面。梯度范数控制高频尾部，低频部分有限维；二者结合给紧嵌入，再给 Dirichlet Laplacian 的离散谱。
定理 11.11Rellich 紧性
若 \(\Omega\subset\mathbb R^N\) 为有界开集，则 \(H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)\) 紧，因而正 Dirichlet Laplacian \(-\Delta_D\) 有紧预解式；不要求边界光滑。
证明 8.9.1
先在测试域上把函数零延拓到包含 \(\Omega\) 的大立方体，再把立方体视为环面。这保持 \(L^2\) 与梯度范数；图像完备化后也保持。环面的归一化指数构成标准正交基，若 Fourier 系数为 \(c_n\)，梯度单位球满足
因此去掉 \(|n|\leq R\) 的有限模式后，\(L^2\) 尾部平方至多 \((1+R^2)^{-1}\)。有限维截断像有界且相对紧，统一尾部估计使嵌入成为有限秩映射的范数极限，故紧。限制回 \(\Omega\) 仍紧。8.8.10 将梯度图像紧性化为 \(-\Delta_D\) 的紧预解式，无须任何边界正则性。
推论 11.12有界一阶项的紧预解式
令 \(X_j=\overline{\partial_j|_{C_c^\infty(\Omega)}}\)，\(M_a\) 表示乘以 \(a\)。在有界开集 \(\Omega\) 及有界可测系数条件下，\(-\Delta_D+\sum_jM_{a_j}X_j+M_b\) 在 \(D(\Delta_D)\) 上有紧预解式，故它单射当且仅当满射。
证明 8.9.3
一阶有界系数项对 \(\sqrt{-\Delta_D}\) 相对有界，故对 \(-\Delta_D\) 有任意小相对界。8.9.1 及 8.8.6 给扰动后紧预解式，再由 8.8.11 得单射等价于满射。
定理 11.13Poincaré 不等式
有界开集上存在 \(C_\Omega\) 使 \(\|u\|_2\leq C_\Omega\|\nabla u\|_2\) 对全部 \(u\in H_0^1\) 成立。所以 \(-\Delta_D\) 严格正且满射，逆算子有界且紧。
证明 8.9.5
取包含 \(\Omega\) 的立方体 \((-R,R)^N\) 并零延拓测试函数。沿第一坐标有 \(u(x)=\int_{-R}^{x_1}\partial_1u(s,x')ds\)，Cauchy–Schwarz 后积分得
核域逼近把估计传到 \(H_0^1\)。这给 \(-\Delta_D\geq(4R^2)^{-1}I\)，非负谱及正下界使零在预解集，逆有界；Rellich 紧性再使该预解式紧。
绝对可和让极限留在空间中
在闭像与商空间的论证中，经常需要把逐次误差加起来。绝对收敛级数判据把这种操作与 Banach 完备性直接联系起来。
引理 11.14绝对收敛级数与完备性
赋范空间完备当且仅当每个满足 \(\sum_n\|v_n\|<\infty\) 的级数均在空间中收敛。
证明 8.10.1
完备时绝对可和级数的部分和是 Cauchy，所以收敛。反向取任意 Cauchy 序列 \(x_n\)，选子列使 \(\|x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\|\leq2^{-k}\)。差的级数绝对可和而收敛，故子列收敛；Cauchy 性再使整个序列趋于同一极限。
正规紧算子的复谱展开
正规性使不同特征空间正交，紧性使非零谱离散。正常谱表示将全部单点投影加起来恢复单位，遂得到复特征值版本的正交展开。
引理 11.15A.1：正规特征空间的正交性
有界正规算子的不同特征值的特征空间相互正交。
证明 8.A.1
两特征空间的投影为 \(\mathbf1_{\{\lambda_j\}}(T)\)，它们的乘积等于不相交指标乘积的演算，故为零。正交投影乘积为零正是两个像空间正交。
定理 11.16A.2：紧正规谱定理
有界 \(T\) 紧且正规，当且仅当有标准正交基 \((e_n)\cup(f_j)\)，\(Te_n=\lambda_ne_n\)、\(\lambda_n\in\mathbb C\setminus\{0\}\)，\(Tf_j=0\)，非零部分至多可数且无限时 \(\lambda_n\to0\)。
证明 8.A.2
紧正规算子的非零谱点由近似谱判据及 8.5.4 全是特征值。不同特征空间正交；若非零谱有非零聚点，取对应单位特征向量得到标准正交序列，紧性使其像范数趋零，却等于特征值绝对值，矛盾。故非零谱至多可数且唯一可能聚于零，各特征空间由紧性为有限维。
正常谱演算将各单点投影与零点投影的和强收敛到单位，因为这些点穷尽谱。因此 \(H\) 正交分解成全部特征空间及核，分别取正交基即得所述基。反向有限谱截断范数趋于 \(T\)，每个截断正规有限秩；对角表达使极限正规，范数闭性使其紧。
预解式、图像嵌入与 Rellich
若 \(R(z)=(z-T)^{-1}\) 有界，则 \(z-T=R(z)^{-1}\) 的图像由闭图像反射得到闭性。\(R(z)\) 将原空间有界地映到图像域，因为 \(TR(z)=zR(z)-1\)；反向 \(z-T\) 从图像域到原空间也有界。两者将图像嵌入与预解式的紧性互相转化。预解式恒等式保证一个参数紧就所有参数紧。
对有界开集，将 \(H_0^1\) 元素零延拓到包含它的立方体，再视为环面函数。梯度范数控制 Fourier 系数的加权平方和，高频 \(L^2\) 尾部一致小；有限低频投影为有限秩，所以嵌入紧。Poincaré 可直接沿一个坐标积分并用 Cauchy–Schwarz，得到只依赖外包立方体大小的常数。
紧预解式的 Fredholm 结论令 \(A=(T-z)^{-1}\)，将 \(T\) 写成 \((zA-1)A^{-1}\)，再应用有界紧算子的二择一。正算子的特征展开则对紧正自伴 \((1+T)^{-1}\) 应用紧谱定理，其非零特征值趋零对应 \(T\) 的特征值趋于无穷。
§ 12练习
习题 12.1对角紧算子的准确条件
对有界数列 \((a_n)\)，令 \(Ke_n=a_ne_n\)。证明 \(K\) 紧当且仅当 \(a_n\to0\)。
解
若 \(a_n\to0\)，前 \(N\) 项截断与 \(K\) 的范数差为 \(\sup_{n>N}|a_n|\to0\)。反过来，若有无穷多个 \(|a_n|\ge\varepsilon\)，相应 \(Ke_n\) 两两距离至少 \(\sqrt2\varepsilon\)，没有收敛子列。
习题 12.2非自伴方程测试哪个核
在 \(\mathbb C^2\) 中取 \(K=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\)。求 \((I-K)u=f\) 的可解条件，并区分 \(\ker(I-K)\) 与 \(\ker(I-K^*)\)。
解
\(I-K=\begin{pmatrix}0&-1\\0&1\end{pmatrix}\)，像由 \((-1,1)\) 张成，所以需 \(f_1+f_2=0\)。原核由 \((1,0)\) 张成，伴随核由 \((1,1)\) 张成。可解条件测试的是伴随核。
习题 12.3Neumann 的非唯一性
对 \(-u''=f\)、\(u'(0)=u'(1)=0\)，推导兼容条件，并说明怎样恢复唯一性。
解
积分得 \(\int_0^1f=-u'(1)+u'(0)=0\)。若兼容，\(u\) 加任意常数仍是解；附加 \(\int_0^1u=0\) 可恢复唯一性。
完
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