第 6 章：GL₂(𝔽_q) 与 SL₂(𝔽_q) 的表示
群 \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)\)（即元素取自有限域 \(\mathbb{F}_q\) 的可逆 \(2 \times 2\) 矩阵群，其中 \(q\) 是素数的幂）及其子群 \(\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_q)\)（由行列式为 1 的矩阵组成）构成了另一类重要的有限群。商群 \(\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_q) = \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)/\mathbb{F}_q^*\) 是有限射影直线 \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\) 的自同构群。商群 \(\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q) = \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_q)/\{\pm 1\}\) 在 \(q \neq 2, 3\) 时是单群。本节将概述这些群的表示理论。
§ 01\(\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)\) 表示
我们从 \(G = \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)\) 开始。以下是几个关键子群：
由于 \(G\) 在射影直线 \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\) 上可传递地作用，且 \(B\) 是点 (1:0) 的稳定子群，因此有：
我们还需要对角子群：
这里记 \(\mathbb{F} = \mathbb{F}_q\)。设 \(\mathbb{F}' = \mathbb{F}_{q^2}\) 是 \(\mathbb{F}\) 的二次扩张，在同构意义下唯一。我们可以将 \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)\) 视为 \(\mathbb{F}'\) 上所有可逆线性自同态的群。这使得一个大的循环子群 \(K = (\mathbb{F}')^*\) 在 \(G\) 中显现。特别地，当 \(q\) 为奇数时，可以通过选择 \(\mathbb{F}^*\) 的生成元 \(\epsilon\) 及其在 \(\mathbb{F}'\) 中的平方根 \(\sqrt{\epsilon}\) 来显式构造这个同构。此时，1 和 \(\sqrt{\epsilon}\) 构成 \(\mathbb{F}'\) 作为 \(\mathbb{F}\) 上向量空间的基，因此可以建立以下对应关系：
\(K\) 是 \(G\) 的一个循环子群，阶为 \(q^2 - 1\)。我们通常使用这种对应关系，对于 \(q\) 为偶数的情形，请读者自行调整。
\(G\) 中的共轭类很容易确定：
| 代表元 | 类中元素数量 | 类的数量 |
|---|---|---|
| \(a_x = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix}\) | 1 | \(q - 1\) |
| \(b_x = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 0 & x \end{pmatrix}\) | \(q^2 - 1\) | \(q - 1\) |
| \(c_{x,y} = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix}, x \neq y\) | \(q^2 + q\) | \(\frac{(q - 1)(q - 2)}{2}\) |
| \(d_{x,y} = \begin{pmatrix} x & \epsilon y \\ y & x \end{pmatrix}, y \neq 0\) | \(q^2 - q\) | \(\frac{q(q - 1)}{2}\) |
这里 \(c_{x,y}\) 和 \(c_{y,x}\) 通过 \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) 共轭，而 \(d_{x,y}\) 和 \(d_{x,-y}\) 通过任何 \(\begin{pmatrix} a & -\epsilon c \\ c & -a \end{pmatrix}\) 共轭。为了计算 \(b_x\) 共轭类中元素的数量，观察 \(G\) 通过共轭作用在该类上的行为；稳定子群是 \(\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \right\}\)，因此类中元素的数量是该群在 \(G\) 中的指数，即 \(q^2 - 1\)。类似地，\(c_{x,y}\) 的稳定子群是 \(D\)，而 \(d_{x,y}\) 的稳定子群是 \(K\)。通过考虑特征值和 Jordan 标准形，可以验证这些类是不相交的。由于它们总共覆盖了 \(|G|\) 个元素，因此列表是完整的。
共有 \(q^2 - 1\) 个共轭类，因此我们需要找到相同数量的不可约表示。
首先考虑 \(G\) 在 \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F})\) 上的置换表示，其维数为 \(q + 1\)。它包含平凡表示；设 \(V\) 是互补的 \(q\) 维表示。特征标 \(\chi\) 在四类共轭类上的取值为：
简记为：
由于 \((\chi, \chi) = 1\)，\(V\) 是不可约的。对于 \(F^*\) 的每个特征标 \(\alpha: F^* \to \mathbb{C}^*\)（共 \(q - 1\) 个），我们有一个一维表示 \(U_\alpha\)，定义为 \(U_\alpha(g) = \alpha(\det(g))\)。此外，还有表示 \(V_\alpha = V \otimes U_\alpha\)。这些表示的特征标值为：
注意到若将 \(\begin{pmatrix} x & \epsilon y \\ y & x \end{pmatrix}\) 与 \(F'\) 中的 \(\zeta = x + y\sqrt{\epsilon}\) 等同，则：
下一步是寻找从大子群诱导的表示。对于每对特征标 \(\alpha, \beta\)，存在子群 \(B\) 的一个特征标：
将 \(\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}\) 映射为 \(\alpha(a)\beta(d)\)。设 \(W_{\alpha, \beta}\) 是由此表示从 \(B\) 诱导到 \(G\) 的表示，其维数为 \([G : B] = q + 1\)，其特征标值为：
由此可知 \(W_{\alpha, \beta} \cong W_{\beta, \alpha}\)，\(W_{\alpha, \alpha} \cong U_\alpha \oplus V_\alpha\)，且当 \(\alpha \neq \beta\) 时，表示是不可约的。这给出了 \(\frac{1}{2}(q - 1)(q - 2)\) 个额外的不可约表示，维数为 \(q + 1\)。
与共轭类的列表对比，还需找到 \(\frac{1}{2}q(q - 1)\) 个不可约特征标。一种自然的方法是从循环子群 \(K\) 诱导特征标。对于表示 \(\varphi: K = (F')^* \to \mathbb{C}^*\)，诱导表示的特征标值为：
这里 \(\zeta = x + y\sqrt{\epsilon} \in K = (F')^*\)。注意到 \(\text{Ind}(\varphi^q) \cong \text{Ind}(\varphi)\)，因此当 \(\varphi^q \neq \varphi\) 时，\(\text{Ind}(\varphi)\) 给出了 \(\frac{1}{2}q(q - 1)\) 个不同的表示。
然而，这些表示并非不可约：若 \(\varphi^q \neq \varphi\)，则 \(\text{Ind}(\varphi)\) 的特征标 \(\chi\) 满足 \((\chi, \chi) = q - 1\)；否则 \((\chi, \chi) = q\)。我们需要进一步从这些诱导表示中提取不可约表示。
另一种尝试是通过已知表示的张量积寻找新表示。我们有 \(V_\alpha \otimes U_\gamma = V_{\alpha \gamma}\)，以及 \(W_{\alpha,\beta} \otimes U_\gamma \cong W_{\alpha \gamma, \beta \gamma}\)，因此这种方法无法得到新的表示。但 \(V_\alpha\) 和 \(W_{\alpha,\beta}\) 的张量积更具潜力。例如，\(V \otimes W_{\alpha,1}\) 的特征标值为：
通过计算特征标的内积，可以估计这些表示中包含多少不可约表示以及它们的共同部分。例如：
结合 \((\chi_{\text{Ind}(\varphi)}, \chi_{\text{Ind}(\varphi)}) = q - 1\)，可以推断 \(V \otimes W_{\alpha,1}\) 和 \(\text{Ind}(\varphi)\) 包含许多相同的表示。幸运的是，\(\text{Ind}(\varphi)\) 和 \(W_{\alpha,1}\) 都应包含在 \(V \otimes W_{\alpha,1}\) 中。这一猜想容易验证：虚拟特征标
在四类共轭类上的取值为 \((q - 1)\alpha(x), -\alpha(x), 0\) 和 \(-(\varphi(\zeta) + \varphi(\zeta)^q)\)。因此，\((\chi_\varphi, \chi_\varphi) = 1\)，且 \(\chi_\varphi(1) = q - 1 > 0\)，故 \(\chi_\varphi\) 实际上是 \(V \otimes W_{\alpha,1}\) 的一个 \(q - 1\) 维不可约子表示的特征标。我们将此表示记为 \(X_\varphi\)。这些表示（共 \(\frac{1}{2}q(q - 1)\) 个，且 \(X_\varphi = X_{\varphi^q}\)）完成了 \(\mathrm{GL}_2(F)\) 的不可约表示列表。其特征标表为：
§ 02\(\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_q)\) 表示
接下来讨论行列式为1的 \(2 \times 2\) 矩阵子群 \(SL_2(\mathbb{F}_q)\)（\(q\) 为奇数）。其共轭类、每类元素数量及类的数量如下：
验证过程与 \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)\) 类似。在 (7) 中，\(\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x^{-1} \end{pmatrix}\) 和 \(\begin{pmatrix} x^{-1} & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix}\) 的类是相同的。在 (8) 中，\((x, y)\) 和 \((x, -y)\) 的类是相同的；更好的标记方式是使用循环群 \(C = \{\zeta \in (\mathbb{F}')^* : \zeta^{q+1} = 1\}\) 中的元素 \(\zeta\)，其中 \(\pm 1\) 未被使用，且 \(\zeta\) 和 \(\zeta^{-1}\) 的类是相同的。
共轭类的总数为 \(q + 4\)，因此需要找到 \(q + 4\) 个不可约表示。我们首先通过限制 \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)\) 的表示来获取部分表示：
- 所有 \(U_\alpha\) 限制为平凡表示 \(U\)。
- \(V_\alpha\) 的限制 \(V\) 是不可约的。
- \(W_{\alpha,1}\) 的限制 \(W_\alpha\) 在 \(\alpha^2 \neq 1\) 时是不可约的，且当 \(\beta = \alpha\) 或 \(\beta = \alpha^{-1}\) 时 \(W_\alpha \cong W_\beta\)。这给出了 \(\frac{1}{2}(q - 3)\) 个 \(q + 1\) 维不可约表示。
- 设 \(\tau\) 是 \(F^*\) 的特征标且 \(\tau^2 = 1\)，\(\tau \neq 1\)。\(W_{\tau,1}\) 的限制是两个不同的不可约表示 \(W'\) 和 \(W''\) 的直和。
- \(X_\varphi\) 的限制仅依赖于 \(\varphi\) 在子群 \(C\) 上的限制，且 \(\varphi\) 和 \(\varphi^{-1}\) 决定相同的表示。若 \(\varphi^2 \neq 1\)，则表示是不可约的。这给出了 \(\frac{1}{2}(q - 1)\) 个 \(q - 1\) 维不可约表示。
- 设 \(\psi\) 是 \(C\) 的特征标且 \(\psi^2 = 1\)，\(\psi \neq 1\)。\(X_\psi\) 的限制是两个不同的不可约表示 \(X'\) 和 \(X''\) 的直和。
综上，我们得到了 \(q + 4\) 个不同的不可约表示，因此这是一个完整的列表。为了完成特征标表，问题转化为描述四个表示 \(W', W'', X'\) 和 \(X''\)。已知所有表示的维数平方和为 \(q^2 + 1\)，由此可以推断前两个表示的维数为 \(\frac{1}{2}(q + 1)\)，后两个为 \(\frac{1}{2}(q - 1)\)。这与我们在指数为二的子群限制表示中观察到的现象类似。尽管这里的指数更大，但我们可以通过寻找 \(GL_2(\mathbb{F}_q)\) 中一个包含 \(SL_2(\mathbb{F}_q)\) 的指数为二的子群 \(H\)，并分析这四个表示在 \(H\) 上的限制来解决问题。
对于 \(H\)，我们取 \(GL_2(\mathbb{F}_q)\) 中行列式为平方数的矩阵。其共轭类的代表元与 \(GL_2(\mathbb{F}_q)\) 相同（仅包含行列式为平方数的代表元），但需要额外添加由元素 \(\begin{pmatrix} x & \varepsilon \\ 0 & x \end{pmatrix}\)（\(x \in \mathbb{F}^*\)）表示的类。这些类在 \(GL_2(\mathbb{F}_q)\) 中与 \(\begin{pmatrix} x & 1 \\ 0 & x \end{pmatrix}\) 共轭，但在 \(H\) 中不共轭。这些是 \(q - 1\) 个分裂共轭类。虽然可以利用前述方法计算 \(H\) 的所有表示，但我们仅需部分信息。
注意到从 \(G/H\) 的符号表示 \(U'\) 是 \(U_\tau\)，因此有 \(W_{\tau,1} \cong W_{\tau,1} \otimes U'\) 和 \(X_\psi \cong X_\psi \otimes U'\)；它们在 \(H\) 上的限制会分裂为两个共轭的不可约表示，且维数减半。这表明这些表示在从 \(H\) 限制到 \(SL_2(\mathbb{F}_q)\) 时仍保持不可约性，因此 \(W'\) 和 \(W''\) 是维数为 \(\frac{1}{2}(q + 1)\) 的共轭表示，而 \(X'\) 和 \(X''\) 是维数为 \(\frac{1}{2}(q - 1)\) 的共轭表示。此外，我们知道它们在所有非分裂共轭类上的特征标值分别是 \(W_{\tau,1}\) 和 \(X_\psi\) 特征标值的一半。这些信息足以完成特征标表。唯一未被覆盖的特征标值如下：
前两行的确定方法如下：已知 \(s + t = \chi_{W_{\tau,1}} \left( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = 1\)。此外，由于 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) 在 \(q \equiv 1 \mod 4\) 时与 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) 共轭，否则与 \(\begin{pmatrix} 1 & \varepsilon \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) 共轭，且对于任何特征标有 \(\chi(g^{-1}) = \overline{\chi(g)}\)，因此可以得出：若 \(q \equiv 1 \mod 4\)，则 \(s\) 和 \(t\) 为实数；若 \(q \equiv 3 \mod 4\)，则 \(s = \overline{t}\)。此外，由于 \(-e\) 在任何不可约表示中作用为单位或负单位（根据Schur引理），对于任何不可约特征标 \(\chi\)，有：
由此得到关系 \(s' = \tau(-1)s\) 和 \(t' = \tau(-1)t\)。最后，将方程 \((\chi, \chi) = 1\) 应用于 \(W'\) 的特征标，可以得到 \(\overline{s}t + t\overline{s}\) 的表达式。解这些方程可得：
其中 \(\omega = \tau(-1)\)，当 \(q \equiv 1 \mod 4\) 时为 1，当 \(q \equiv 3 \mod 4\) 时为 -1。至此，我们完成了特征标表所需的全部计算。
§ 03习题
习题 3.1
计算每个不可约表示在 \(V \otimes W_{\alpha,1}\) 和 \(\text{Ind}(\varphi)\) 中的重数。
习题 3.2
求 \(\text{PGL}_2(\mathbb{F}) = \text{GL}_2(\mathbb{F})/\mathbb{F}^*\) 的特征标表。
习题 3.3
通过 \(\text{SL}_2(\mathbb{F}_q)\) 在 \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\) 上的作用，证明 \(\text{SL}_2(\mathbb{F}_2) \cong \mathfrak{S}_3\)，\(\text{PSL}_2(\mathbb{F}_3) \cong \mathfrak{A}_4\)，以及 \(\text{SL}_2(\mathbb{F}_4) \cong \mathfrak{A}_5\)。
习题 3.4
利用 \(\text{SL}_2(\mathbb{F}_q)\) 的特征标表证明当 \(q\) 为奇数且大于3时，\(\text{PSL}_2(\mathbb{F}_q)\) 是单群。
习题 3.5
计算 \(\text{PSL}_2(\mathbb{F}_q)\) 的特征标表。
完
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