第 5 章：有限域、分圆域与 Kummer 理论
在本节中，我们设 \(F\) 是一个包含 \(x^n-1\) 的 \(n\) 个不同根的域。
§ 01有限域
定理 1.1
\(\forall n>0\)，存在同构意义下唯一的域 \(F\) 满足 \(\left|F\right|=p^n\)
证明
若 \(\left|F\right|=p^n\)，则 \(\forall a\in F\)，\(a^{p^n}=a\)，故 \(x^{p^n}-x\) 在 \(F\) 上可分，即 \(F\) 是 \(x^{p^n}-x/\mathbb{Z}_p\) 的分裂域，自然在同构意义下唯一。
下面我们来证明 \(\left|F\right|={p^n}\)。由于 \(\dfrac{\partial(x^{p^n}-x)}{\partial x}=-1\)，故 \(x^{p^n}-x\) 在 \(F\) 上无重根。记 \(K\) 是 \(f\) 在 \(F\) 中的所有根，则 \(\left|K\right|=p^n\)。考虑 Frobenius 自同构 \(\varphi\)，则 \(K=F^{\varphi^n}\) 是 \(F\) 的子域，即 \(K\) 是指数为 \(p^n\) 的域。
习题 1.2
可以通过计算得到 \(\mathbb{Z}_p[x]\) 上的 \(n\) 次多项式中有不可约多项式
推论 1.3
\(E/F\) 是有限域的扩张，则 \(E/F\) 是 Galois 扩张。
证明
\(E/F\) 是分裂域，由于 \(F\) 有限，故 \(F^p=F\)，即 \(F\) 是完全域，进而 \(E/F\) 是 Galois 扩张。
定理 1.4
\(E/F\) 是有限域，\(\left|F\right|=q,[E:F]=m\)，则 \(\mathrm{Gal}(E/F)\cong \mathbb{Z}_m\)，即 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 由 Frobenius 映射 \(\eta\) 生成。
证明
\(E^*\cong \mathbb{Z}_{q^m-1}\)，设 \(a\) 是 \(E^*\) 的生成元，\(a^{q^m-1}=1\)。设 \(n=\left| \eta\right|\)，则 \(\eta^n(a)=a\)，即 \(a^{q^n-1}=1\)，故 \(q^n-1\ge q^m-1\)，即 \(n\ge m\)。但 \(n\le m\)，只能 \(n=m\)。即 \(\mathrm{Gal}(E/F)=<\eta>\)。
推论 1.5
\(\left|E\right|=p^n\)，\(E/F\)，\(\left|F\right|=p^m\)，则 \(m\mid n\)。
推论 1.6
\(\left|E\right|=p^n\)，\(m\mid n\)，则存在指数 \(p^m\) 的子域 \(F\hookrightarrow E\)，进而存在 \(F[x]\) 中的 \(\dfrac{n}{m}\) 次不可约多项式
§ 02分圆域
定义 2.1
\(n\in \mathbb{Z}_{>0}\)，\(x^n-1\) 在 \(F\) 上的分裂域称为 \(n\) 次分圆域(cyclotomic field)。
记 \(\mu_n\) 是 \(x^n-1\) 所有根的集合。若 \(\mathrm{char}F \nmid n\)，则 \(\left|\mu_n\right|=n\) 且 \(\mu_n\) 是 \(F\) 的一个子群，进而 \(\mu_n\cong \mathbb{Z}_n\)。
定义 2.2
\(\mu_n\) 的生成元称为本原单位根(primitive roots of unity)。
设 \(\xi\) 是本原单位根，\(E=F(\xi)\)。取 \(\eta\in \mathrm{Gal}(E/F)\)，\(\eta\) 由 \(\eta(\xi)\) 决定。于是我们有单同态：\(\phi:\mathrm{Gal}(E/F)\rightarrow \mathrm{Aut}(\mu _n)\cong \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_n)\)，由于 \(\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_n)\) 是 Abel 群，故 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 也是 Abel 群。于是我们有如下命题：
命题 2.3
\(E/F\) 是 \(n\) 次分圆域，则 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 是 Abel 群。
定义 2.4
\(E/F\) 是 Galois 扩张，若 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 是 Abel/循环群，则称 \(E/F\) 为 Abel/循环扩张。
设 \(F=\mathbb{Q}\)，\(E\) 是 \(F\) 上的 \(n\) 次分圆域，我们想要计算 \([E:F]\)。
首先 \(E=F(\xi_n)\)，其中 \(\xi_n=e^{2\pi i/n}\)，令
我们来证明 \(\varphi_n(x)\) 是不可约整系数多项式。
注意到
对任意 \(\eta\in \mathrm{Gal}(E/F)\)，\(\eta(\varphi_n(x))=\varphi(x)\)，故 \(\varphi_n(x)\in \mathbb{Q}[x]\)。
由于
故我们可以通过归纳证明 \(\varphi_n(x)\in \mathbb{Z}[x]\)。
定理 2.5
\(\varphi_n(x)\) 在 \(\mathbb{Q}[x]\) 中不可约。
证明
由于 \(\varphi_n(x)\) 是首一的，因此等价于证明在 \(\mathbb{Z}[x]\) 中不可约。
设 \(\varphi_n(x)=f(x)g(x)\)，其中 \(f,g\in \mathbb{Z}[x]\)，且 \(f(\xi_n)=0\)，\(f\) 不可约。
我们来证明对于任意素数 \(p\neq n\)，\(f(\xi_n^p)=0\)。若不然，\(g(\xi_n^p)=0\)，令 \(h(x)=g(x^p)\)，则 \(h(x)\in \mathbb{Z}[x]\) 有一根 \(\xi_n\)，因此 \(f(x)\mid h(x)\)。
考虑自然映射 \(\mathbb{Z}[x]\rightarrow \mathbb{Z}_p[x]\)，则 \(\bar{h}(x)=\bar{g}(x)=(\bar{g}(x))^p\)，且 \(\bar{f}(x)\mid (\bar{g}(x))^p\)。于是 \(\bar{\varphi}_n(x)\) 在 \(\bar{f}(x)\) 的分裂域中有重根。但是 \(\bar{\varphi}_n(x)'=nx^{n-1}\) 与 \(\bar{\varphi}_n(x)\) 互素，矛盾！
将证明中的 \(\xi_n\) 换成 \(\xi_n^p\) 同样成立，于是我们可以得到对任意 \((k,n)=1\)，\(f(\xi_n^k)=0\)，这表明 \(\mathrm{deg}f\ge \varphi(n)=\mathrm{deg}\varphi_n\)，故 \(f=\varphi_n\) 即 \(\varphi_n\) 是不可约的。
由该定理我们可以得到 \([E:F]=[\mathbb{Q}(\xi_n):\mathbb{Q}]=\varphi(n)\)。
例 2.6
考虑 \(G=\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[5]2,\xi_5)/\mathbb{Q})\)，首先
同样也有
因此 \(\left|G\right|\ge 20\)。注意到 \([\mathbb{Q}(\sqrt[5]2,\xi_5):\mathbb{Q}(\xi_5)]\le 4\)，故 \(\left|G\right|=20\)。
由于 \(\left|\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q}(\xi_5))\right|=5\)，故 \(\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q}(\xi_5)\cong \mathbb{Z}_5\le G\).
由于 \(\left|\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q}(\sqrt[5]2))\right|=4\)，故 \(\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q}(\sqrt[5]2)\cong \mathbb{Z}_4\le G\)。
利用 Sylow 定理 \(\mathbb{Z}_5\lhd G\) 且我们有 \(\mathbb{Z}_4\cap\mathbb{Z}_5={e}\)，因此 \(G\cong \mathbb{Z}_5\rtimes \mathbb{Z}_4\)。
§ 03Kummer 理论
命题 3.1
\(E=F(\alpha)\)，其中 \(\alpha^n\in F^*\)，则 \(E/F\) 是 \(m\) 次分圆域，其中 \(m\) 是 \(\alpha^n\) 在 \(F^*/(F^*)^n\) 中的阶。
证明
设 \((\alpha^n)^m=\bar{1}\in F^*/(F^*)^n\)，则 \(\alpha^{mn}=a^n\)，其中 \(a\in F\)，故 \(\alpha^m=a\xi_n^i\in F\)。
若 \(0<m'<m,\alpha^{m'}\in F^*\)，则 \((\alpha^{m'})^n\in (F^*)^n\)，即 \(\alpha^{m'}=\bar{1}\in F^*/(F^*)^n\)，这与 \(\alpha^n\) 的阶是 \(m\) 矛盾。于是 \(m\) 是最小的正整数使得 \(\alpha^m\in F^*\)。
设 \(\alpha\) 在 \(F\) 中的极小多项式为 \(g(x)\)，则 \(g(x)\mid x^m-\alpha^m\)，因此 \(g(x)=\prod_{i\in I}(x-\xi_n^i\alpha)\)，其中 \(I\subset \left\{0,1,\cdots,m-1\right\}\)。进而 \(\prod_{i\in I}(\xi_n^i\alpha)\in F^*\)，即 \(\alpha^{\mathrm{deg}g}=\alpha^{\left|I\right|}\in F^*\)。这推出 \(\mathrm{deg}g=m\)，即 \(\left|\mathrm{Gal}(E/F)\right|=[E:F]=m\)。
设 \(\varphi:\mathrm{Gal}(E/F)\rightarrow \mu_m,\eta\mapsto \eta(\alpha)/\alpha\)，已验证良定义且 \(\varphi\) 是单同态。由于 \(\left|\mathrm{Gal}(E/F)\right|=\left|\mu_m\right|\)，我们有 \(\mathrm{Gal}(E/F)\cong \mu_m\) 是一个指数为 \(m\) 的循环群。
定义 3.2
若 \(E=F(\alpha),\alpha^n\in F\)，则称 \(E/F\) 是单根式扩张(simple radical extension)。
定理 3.3Kummer's theorem
\(E/F\) 是有限 Galois 扩张且 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 是 \(n\) 阶循环群，则 \(E=F(\alpha),\alpha^n\in F\)。
证明
设 \(\eta\) 是 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 的生成元，设
我们先来证明可以取 \(\beta\in E\) 使得 \(\alpha\neq0\)，为此需要如下引理：
引理 3.4Dedekind
域 \(F\)，\(\sigma_1,\cdots,\sigma_n\in \mathrm{Aut}(F)\)，若 \(c_i\in F\) 使得 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n c_i\sigma_i=0\)，则 \(c_i=0,\forall i\)。
引理的证明
取最小的 \(n\) 使得结论不成立。则对任意 \(a,x\in F\)，
进而
由于 \(n\) 是最小的，因此对任一 \(c_i\neq 0\) 都有对应的 \(\sigma_i=\sigma_1\)，矛盾！
由引理我们取 \(\beta\in E\) 使得 \(\alpha\neq0\)，则 \(\eta(\alpha)=\xi_n^{-1}\alpha\neq\alpha\)。由于 \(\alpha\notin F\) 且 \(\eta(\alpha^n)=\alpha^n\)，由 Galois 对应 \(\alpha^n\in F\)。考虑 \(E/F(\alpha)\)，由于 \(\eta^i(\alpha)=\xi_n^{-i}\alpha\)，我们有 \(\mathrm{Gal}(E/F(\alpha))=id\)。由 Galois 对应，\(E=F(\alpha)\)。
推论 3.5
有如下一一对应：
证明
设 \(C=\left< \alpha\right>\)，其中 \(\alpha\in F^*/(F^*)^n\) 阶为 \(n\)，由命题 1.13可知 \(E(\sqrt[n]\alpha)/F\) 是 \(n\) 次分圆域。由Kummer's theorem 知这是一个满射。
若 \(F(\alpha)=F(\beta)\)，我们来证明 \(\left< \bar{\alpha}^n\right>=\left<\bar{\beta}^n\right>\)。设 \(a=\alpha^n,b=\beta^n\)，则 \(a,b\) 在 \(F^*/(F^*)^n\) 中阶均为 \(n\)。考虑 \(\mathrm{Gal}(F(\alpha)/F)\)，设 \(\eta\) 是生成元，则 \(\eta(\alpha)/\alpha,\eta(\beta)/\beta\) 都是本原单位根。令 \(\eta(\alpha)=\xi_n^i\alpha\)，则 \(\eta^j(\alpha)=\xi_n^{ij}\alpha\)，这表示 \(\xi_n^i\) 也是本原的。故 \(\frac{\eta(\alpha)}{\alpha}=(\frac{\eta(\beta)}{\beta})^k\)，其中 \((k,n)=1\)，进而 \(\bar(a)=\bar(b)^k\)，这表示 \(\left< \bar{\alpha}^n\right>=\left<\bar{\beta}^n\right>\)。
定义 3.6
一个有限 Abel 扩张 \(E/F\) 称作 Kummer 扩张，若 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 的指数整除 \(n\)，其中指数是其所有元素阶的最小公倍数。
定理 3.7
\(E/F\) 是 Kummer 扩张当且仅当 \(E=F(\sqrt[n]{a_1},\cdots,\sqrt[n]{a_r})\)。
证明
“\(\Longleftarrow\)”：若 \(E=F(\sqrt[n]{a_1},\cdots,\sqrt[n]{a_r})\) 则我们有自然单射：
且对每个 \(k\)，\(\mathrm{Gal}(F(\sqrt[n]{a_k})/F)\) 均为指数整除 \(n\) 的循环群，这表示 \(E/F\) 是 Kummer 扩张。
“\(\Longrightarrow\)”：设 \(E/F\) 是 Kummer 扩张，且 \(\mathrm{Gal}(E/F)\cong C_1\times\cdots\times C_r\)。
令 \(H_i=\prod_{j\neq i} C_j\)，则 \(H_i\lhd \mathrm{Gal}(E/F)\)，由 Galois 对应 \(E^{H_i}/F\) 是 Galois 扩张且
由上定理 \(E^{H_i}=F(\sqrt[n]{a_i})\)，其中 \(a_i\in F^*\)。
最后我们需要证明 \(E=E^{H_1}\cdots E^{H_r}\)，我们考虑 \(r=2\) 的情形，\(E^{H_1}\cap E^{H_2}=F\)，故
这表示 \(E=E^{H_1}E^{H_2}\)。一般情形可由归纳证明。
完
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