第 5 章：有界自伴与正规算子的谱理论
有限维自伴矩阵有 \(T=\sum_j\lambda_jP_j\)。但在 \(L^2[0,1]\) 上，乘法算子
§ 01为什么对角化要变成积分
没有非零特征向量：\(Tf=\lambda f\) 要求 \(f\) 只支撑在单点 \(\{\lambda\}\)，而该集合的 Lebesgue 测度为零。
因此，谱理论不能只寻找特征向量。更合适的问题是：能否把算子化为“乘以一个函数”？这个模型允许连续谱，并把对角求和自然推广为谱积分。
§ 02谱与预解式
定义 2.1谱
对 \(T\in\mathcal B(H)\)，预解集与谱分别是
写 \(R(z,T)=(zI-T)^{-1}\)。全篇预解式采用 \(zI-T\) 的符号，因此预解恒等式为
定理 2.2Neumann 级数与自伴算子的实谱
若 \(|z|>\|T\|\)，则
若 \(T=T^*\)，则 \(\sigma(T)\subset[-\|T\|,\|T\|]\)，并且对非实 \(z\)，\(\|R(z,T)\|\le1/|\operatorname{Im}z|\)。
证明
当 \(\|T/z\|<1\) 时，几何级数在算子范数下收敛，乘以 \(I-T/z\) 后望远镜相消，得到双侧逆。这同时证明预解集是开集。
对自伴 \(T\)，\(\langle x,Tx\rangle\) 为实数，故
这给出单射、像闭和逆的估计。像的正交补是 \(\ker(T-\overline zI)=0\)，所以像又稠密，因而等于 \(H\)。非实 \(z\) 都属于预解集。
实谱中的点仍可能不是特征值。对自伴算子有一个有用刻画：\(\lambda\in\sigma(T)\) 当且仅当存在单位向量 \(x_n\) 使 \(\|(T-\lambda I)x_n\|\to0\)。若没有这种近似特征向量，算子有严格下界，像闭且核为零；自伴性又使像稠密，于是可逆。
§ 03从多项式到连续函数演算
设 \(T=T^*\)，\(r\ge\|T\|\)，\(K=[-r,r]\)。多项式演算已经有意义：\(p(T)=\sum_ka_kT^k\)。关键是得到一个由函数值控制的估计。
定理 3.1多项式的一致估计
证明：有限维截断与强收敛
取 Hilbert 正交基，令 \(P_F\) 投影到有限个基向量张成的空间，并令 \(T_F=P_FTP_F\)，视为全空间上的算子。\(T_F\to T\) 强收敛，且 \(\|T_F\|\le r\)。
\(T_F\) 在 \(P_FH\) 上是有限维自伴矩阵，在正交补上为零。有限维谱定理给出 \(\|p(T_F)\|\le\max_K|p|\)，正交补上则取值 \(p(0)\)，也满足同一界。
第三章的乘积估计保证 \(p(T_F)x\to p(T)x\)。对每个 \(x\) 取极限，即得 \(\|p(T)x\|\le\max_K|p|\|x\|\)。
由多项式一致稠密性，对于 \(f\in C(K)\)，任取 \(p_n\to f\) 一致，定义
估计保证极限存在且与选择无关。得到含幺的 \(*\)-同态
若 \(f\ge0\)，对连续函数 \(\sqrt f\) 演算，便有 \(f(T)=\sqrt f(T)^*\sqrt f(T)\ge0\)。注意正性来自平方根，而不是从“把变量代成算子”的形式记号自动得到。
§ 04用循环子空间证明谱定理
4.1 每个向量先得到一个标量测度
对 \(v\in H\)，定义正泛函
Riesz–Markov 定理给出唯一正测度 \(\mu_v\)，使
若取 \(f(t)=(z-t)^{-1}\)，便得到
这是 Hilbert 谱定理的标量预解式形态。第四章由有限谱逼近产生这种测度；这里由连续函数演算产生它。不完备内积空间上的有界 Hermitian 形式也有相应版本：先将形式连续扩张到 Hilbert 完备化，再建立标量表示。
4.2 循环模型
定义 4.1循环子空间与约化子空间
\(H_v=\overline{\{p(T)v:p\text{ 是多项式}\}}\) 称由 \(v\) 生成的循环子空间。它在 \(T\) 下不变，自伴性又使 \(H_v^\perp\) 不变，因此称约化子空间。
定理 4.2循环谱模型
存在酉映射 \(W_v:L^2(K,\mu_v)\to H_v\)，使
其中 \(M_t\) 表示乘以坐标函数 \(t\)。
证明
对连续 \(f\)，
因此该映射在 \(L^2\) 等价类上良定义且等距。连续函数在有限 Radon 测度的 \(L^2\) 中稠密，所以它唯一扩张到整个 \(L^2\)。像包含多项式循环向量，且等距像闭，故像等于 \(H_v\)。
对连续 \(f\)，\(T f(T)v=(tf)(T)v\)。有界性与稠密性将该关系扩张到全部 \(L^2\)。
4.3 全空间上的谱定理
定理 4.3有界自伴算子的乘法模型
每个有界自伴算子都酉等价于一族 \(L^2\) 空间的 Hilbert 直和上逐块乘以实坐标的算子：
证明
选取极大的两两正交循环约化子空间族 \((H_\alpha)\)。其正交和的补空间仍在 \(T\) 下约化。若补空间非零，其中任意非零向量又生成一个非零循环约化子空间，违反极大性。
因此它们的正交和就是 \(H\)。逐块使用上一条定理即可。一般情形的极大家族用 Zorn 引理构造；可分空间可以逐次取一列稠密向量尚未覆盖的分量。
这里“每块乘以 \(t\)”并不意味着谱没有重数：不同块可能具有相同的谱区间。循环模型的分块并非唯一，抽象函数演算与谱测度却是唯一的。
§ 05从连续演算到 Borel 演算
5.1 谱投影如何出现
在乘法模型中，对 Borel 集 \(B\subset K\)，乘以 \(\mathbf1_B\) 是正交投影。搬回 \(H\)，记作 \(E(B)\)。
定义 5.1投影值测度，PVM
\(E\) 满足 \(E(\varnothing)=0\)、\(E(K)=I\)、\(E(B)^*=E(B)=E(B)^2\)，并且
对两两不交的 \(B_n\)，有
在向量范数下收敛，即强算子意义的可数可加性。一般并非算子范数可加。
对任意有界 Borel 函数，定义 \(f(T)\) 为各块的 \(M_f\)，或写成
它保留乘积、共轭和单位元。简单函数的积分是 \(\sum_jc_jE(B_j)\)，一般有界 Borel 函数可用简单函数一致逼近。并且
为什么演算与分块无关
对每个 \(x\)，连续函数上的 \(\Lambda_x\) 已唯一决定 \(\mu_x\)，因此所有 \(\langle x,E(B)x\rangle\) 唯一。极化公式恢复全部 \(\langle y,E(B)x\rangle\)，所以 \(E(B)\) 唯一。简单函数逼近再保证全部有界 Borel 演算唯一。
5.2 单调扩张的意义
若 \(f_n\to f\) 逐点且有共同的有界上界，则控制收敛给出
特别地，有界递增函数列产生强算子收敛。这种保持单调极限的表示称为正常表示。它使连续演算能够延伸到示性函数，再延伸到 Borel 函数。可测函数是经过这种扩张得到的，不能假定都能由连续函数一致逼近。
Borel 函数的范数是谱测度意义的本质上界
总有 \(\|f(T)\|\le\sup|f|\)，准确等式是 \(\|f(T)\|=\operatorname*{ess\,sup}_{E}|f|\)。这里忽略的集合满足 \(E(B)=0\)。
对 \(L^2[0,1]\) 上的 \(M_t\)，\(f=\mathbf1_{\mathbb Q\cap[0,1]}\) 逐点上确界为 \(1\)，却有 \(f(T)=0\)。连续函数在谱支撑上则有普通最大值的范数等式。
5.3 Riesz 的谱族版本
令 \(E_\lambda=E(( -\infty,\lambda])\)，则它递增且右连续于 SOT。右连续性来自测度对递减集合的连续性：
连续 \(f\) 的谱积分可由分割求和 \(\sum_jf(\xi_j)E(I_j)\) 得到，误差至多为 \(f\) 的连续模。区间必须构成完整的不交分割，包括最左端点的原子。最后得到 \(T=\int\lambda\,\mathrm{d}E_\lambda\)。
谱定理的四种表述由此联系起来：标量预解式、投影谱族、Borel 函数演算、乘法模型。
§ 06谱支撑、函数演算与应用
6.1 谱支撑等于谱
定义谱测度的支撑为所有 \(\lambda\)，使每个含 \(\lambda\) 的开区间 \(U\) 都有 \(E(U)\ne0\)。
若 \(\lambda\) 不在支撑上，可以在实际支撑上对 \(t-\lambda\) 取有界倒数，得到 \(T-\lambda I\) 的逆。若 \(\lambda\) 在支撑上，从 \(E((\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon))H\) 取单位向量 \(x_\varepsilon\)，便有
所以它不可能有有界逆。由此谱支撑正是 \(\sigma(T)\)。
对连续 \(f\)，
范数下界通过 \(|f|\) 接近最大值的谱投影取得；谱映射则通过倒数演算与近似特征向量证明。对一般 Borel 函数，不能不加修改地使用右边的逐点像集。
例 6.1平方根与方程的稳定性
若 \(T\ge0\)，则 \(T^{1/2}=\int\sqrt\lambda\,\mathrm{d}E\) 是唯一的正平方根。若 \(T\ge\alpha I\)、\(\alpha>0\)，则 \(T^{-1}\) 有界且 \(\|T^{-1}\|\le1/\alpha\)。
因而 \(Tu=f\) 的解满足 \(\|u\|\le\|f\|/\alpha\)。这就是谱的下界怎样产生稳定估计。
6.2 正规算子与联合谱
若 \(T\) 正规，令 \(A=(T+T^*)/2\)、\(B=(T-T^*)/(2i)\)，则 \(A,B\) 自伴且可交换。有限族彼此及彼此伴随均可交换的有界正规算子，具有联合投影值测度；在乘法模型下，它们同时变为乘以各坐标。
定理 6.2有界正规算子的谱定理
正规 \(T\) 存在定义在 \(\sigma(T)\subset\mathbb C\) 上的唯一谱测度 \(E\)，使
从可交换自伴算子到联合测度
若有界算子 \(S\) 同时与自伴 \(A\) 可交换，则先与 \(p(A)\)、\(f(A)\) 可交换。用有界连续函数逼近半直线示性函数，再取 SOT 极限，得到 \(S\) 与 \(A\) 的谱投影可交换；其余 Borel 集由单调类扩张。
因而 \(A,B\) 的谱投影彼此可交换。在矩形上定义 \(E(I\times J)=E_A(I)E_B(J)\)，这是正交投影。对每个向量取二次型得到矩形上的正可加函数，经测度扩张成为二维 Borel 测度；极化恢复算子值，正交性保证强可数可加。这给出联合 PVM。
坐标演算恢复 \(A,B\)，把 \((a,b)\) 映到 \(a+ib\) 就得到 \(T\) 的谱测度。谱支撑与谱相等的证明与自伴情形相同，使用小圆盘上的近似特征向量。
同样的矩形构造可逐次用于有限个可交换自伴算子；复数情况下对实部、虚部联合处理。这里要求“与伴随也可交换”，以保证各个实部与虚部能进行联合演算。
联合谱是使每个邻域投影非零的点集。对连续函数的联合演算与单算子类似。酉算子的谱位于单位圆：在乘法模型中 \(U^*U=UU^*=I\) 等价于坐标的模为 \(1\) 几乎处处。
§ 07平均遍历定理
反复作用酉算子可能永不收敛，例如旋转。但平均可能消掉非固定方向。
定理 7.1von Neumann 平均遍历定理：等距算子版本
若 \(U^*U=I\)，\(P\) 是到 \(\ker(I-U)\) 的正交投影，则
证明：固定方向与望远镜相消
对 \(Ux=x\)，显然 \(A_Nx=x\)。若 \(x=(I-U)y\)，则
而 \(\|A_N\|\le1\)，所以此收敛扩张到 \(\overline{\operatorname{Ran}(I-U)}\)。
这个像空间的正交补为 \(\ker(I-U^*)\)。对等距 \(U\)，若 \(U^*x=x\)，则 \(\|Ux-x\|^2=2\|x\|^2-2\operatorname{Re}\langle x,Ux\rangle=0\)；反向也成立。因此两固定空间相同，正交分解完成证明。
若 \(U\) 酉，也可在谱模型中用 \(N^{-1}\sum_{k=0}^{N-1}z^k\to\mathbf1_{\{1\}}(z)\)，再用有界控制收敛。此时 \(P=E(\{1\})\)。
§ 08投影、正常表示与函数演算
记 \(\operatorname{Bor}_b(X)\) 为有界 Borel 函数的含幺星代数，星运算为逐点复共轭。正常性在这里指保持递增序列的极限；一般不可数网需要另加条件。
先获得标量谱信息
对固定向量，算子的矩阵元可以先写成一个标量测度的积分。把所有向量的标量信息组合成一致的算子表示，需要接下来的投影和极化构造。
定理 8.1有界 Hermitian 形式的谱表示
设 \(V\) 可分内积空间，\(\omega\) 为有界 Hermitian 形式，\(\|\omega\|\leq r\)。对每个 \(\xi\in V\)，存在 \([-r,r]\) 上非负单调函数 \(\rho_\xi\)，使 \(|z|>r\) 时 \((z-\omega)^{-1}(\xi,\xi)=\int_{[-r,r]}(z-\lambda)^{-1}\,d\rho_\xi(\lambda)\)。形式的预解式定义为延拓到 Hilbert 完备化后对应算子的预解式形式再限制到 \(V\)；总质量为 \(\|\xi\|^2\)。
证明 5.1.1
把 \(V\) 完备化为 \(H\)，有界形式唯一延拓为 \(\langle\xi,T\eta\rangle\)，其中 \(T=T^*\)、\(\|T\|\leq r\)。先看循环子空间：向量 \(\xi\) 产生矩 \(s_n=\langle\xi,T^n\xi\rangle\)，正性来自 \(\langle\xi,|p|^2(T)\xi\rangle=\|p(T)\xi\|^2\geq0\)；第四章的矩定理给出 \([-r,r]\) 上测度 \(\mu_\xi\)。令 \(\rho_\xi(\lambda)=\mu_\xi([-r,\lambda])\)，质量为 \(s_0=\|\xi\|^2\)。当 \(|z|>r\)，Neumann 级数及一致收敛给出
这里使用第四章的矩构造即可，无须先假设本章的谱定理。
用投影表示子空间
投影把“属于某个闭子空间”写成算子等式。其序、正交和单调极限正好对应子空间的包含、正交和闭张成，因而适合表示越来越细的谱区间。
定义 8.2正交投影的代数定义
内积空间上的有界 \(P\) 称正交投影，若 \(P^2=P\) 且 \(\langle\xi,P\eta\rangle=\langle P\xi,\eta\rangle\)。\(P^\perp=1-P\) 也是投影；Hilbert 空间中条件等价于 \(P=P^*\)。
定理 8.3投影与闭子空间
Hilbert 空间的投影与闭线性子空间一一对应，映射为 \(P\mapsto\operatorname{ran}P\)，逆映射为正交投影。每个 \(\xi-P\xi\) 都与像空间正交。
证明 5.2.3
\(P^2=P\) 使 \(\operatorname{ran}P=\ker(1-P)\) 闭。若 \(\eta=P\zeta\)，则 \(\langle\eta,\xi-P\xi\rangle=\langle\zeta,P(1-P)\xi\rangle=0\)，所以 \(P\) 正是像空间的正交投影。反之，闭子空间 \(M\) 的正交分解 \(H=M\oplus M^\perp\) 给出 \(P(m+n)=m\)，直接满足 \(P^2=P=P^*\)。分解唯一，故对应也唯一。
定理 8.4投影的序
投影 \(P,Q\) 的以下条件等价：\(\operatorname{ran}P\subset\operatorname{ran}Q\)；\(QP=P\)；\(PQ=P\)；\(P\leq Q\)；对全部 \(\xi\)，\(\|P\xi\|\leq\|Q\xi\|\)。
证明 5.2.4
像包含等价于 \(QP=P\)；取伴随得到 \(PQ=P\)。此时 \(Q\xi=P\xi+(Q-P)\xi\) 是正交和，故 \(\|Q\xi\|^2-\|P\xi\|^2\geq0\)；这也等于 \(\langle\xi,(Q-P)\xi\rangle\)。反之，若范数不等式成立，对 \(\xi\in\ker Q\) 有 \(P\xi=0\)，于是 \(\ker Q\subset\ker P\)，取正交补即得像包含。上述等式说明正算子序和范数比较等价。
推论 8.5正交投影的正交性
\(\operatorname{ran}P\perp\operatorname{ran}Q\)、\(QP=0\)、\(PQ=0\)、\(P+Q\leq1\) 等价；此时 \(P+Q\) 投影到两像空间的正交直和。
证明 5.2.5
像空间正交等价于 \(QP=0\)，取伴随等价于 \(PQ=0\)。这时 \((P+Q)^2=P+Q\)，且 \(P+Q\leq1\)。反之 \(P+Q\leq1\) 意味 \(P\leq1-Q\)，由 5.2.4 得 \(\operatorname{ran}P\subset\ker Q\)。其像恰是两个像空间的正交直和。
推论 8.6投影的差
若 \(P\leq Q\)，则 \(Q-P\) 是投影，像为 \(\operatorname{ran}Q\cap(\operatorname{ran}P)^\perp\)。
证明 5.2.6
由 \(PQ=QP=P\) 算出 \((Q-P)^2=Q-P\)，且它自伴。其像中的向量被 \(Q\) 固定、被 \(P\) 消去；反之同时满足这两个条件的向量被 \(Q-P\) 固定。这就识别了像空间。
定理 8.7递增投影网
递增投影网 \(E_\alpha\) 强算子收敛到 \(E\)，其中 \(\operatorname{ran}E=\overline{\bigcup_\alpha\operatorname{ran}E_\alpha}\)，并有 \(E_\alpha\leq E\)。若已知它 WOT 收敛到 \(F\)，也必有 \(F=E\)。
证明 5.2.7
令 \(M=\overline{\bigcup_\alpha\operatorname{ran}E_\alpha}\)，\(E\) 为到 \(M\) 的投影。若 \(\xi\in\operatorname{ran}E_{\alpha_0}\)，则 \(\alpha\geq\alpha_0\) 时 \(E_\alpha\xi=\xi\)；若 \(\xi\in M^\perp\)，则始终 \(E_\alpha\xi=0\)。对一般 \(m\in M\)，取并集中的 \(m_0\) 逼近，由 \(\|E_\alpha\|\leq1\) 得
故整个网 SOT 趋于 \(E\)。像包含给出 \(E_\alpha\leq E\)，而 WOT 极限的唯一性给出 \(F=E\)。
推论 8.8递减投影网
递减投影网 \(E_\alpha\) 强算子收敛到交空间 \(\bigcap_\alpha\operatorname{ran}E_\alpha\) 的投影，并有 \(E\leq E_\alpha\)。
证明 5.2.8
\(1-E_\alpha\) 是递增投影网。应用 5.2.7 得到极限 \(F\)，于是 \(E_\alpha\to1-F\)。由正交补的关系
从连续测试扩到 Borel 测试
连续函数足以确定测度，但区间指标通常不连续。正常性要求保持非负递增序列的极限，使测度积分能够延拓到这些指标及全部有界 Borel 函数。
定义 8.9正常正泛函
正泛函 \(\Lambda:\operatorname{Bor}_b(X)\to\mathbb F\) 正常，指对 \(0\leq f_n\uparrow f\) 且 \(f\) 有界，\(\Lambda(f_n)\uparrow\Lambda(f)\)。
命题 8.10正常泛函与测度
有限正 Borel 测度与正常正泛函一一对应：\(\Lambda_\mu(f)=\int f\,d\mu\)，逆为 \(\mu(E)=\Lambda(\mathbf1_E)\)。
证明 5.3.2
由测度得到的泛函正且线性，单调收敛定理保证正常性。反过来令 \(\mu(E)=\Lambda(\mathbf1_E)\)。互不相交 \(E_n\) 的有限并指标递增到并集指标，故
并且 \(\mu(X)=\Lambda(1)<\infty\)。简单函数的积分等于 \(\Lambda\)，非负有界函数由简单函数递增逼近，再拆分实部、虚部，得到全部有界 Borel 函数的表示。
定理 8.11连续泛函的正常延拓
第二可数紧 Hausdorff 空间中，限制映射将 \(\operatorname{Bor}_b(X)\) 上正常正泛函与 \(C(X)\) 上正泛函一一对应，保持非负标量线性组合。
证明 5.3.4
\(C(X)\) 上的正泛函由 Riesz–Markov 定理对应唯一有限正 Radon 测度 \(\mu\)；以 \(\int f\,d\mu\) 延拓即得正常泛函。第二可数紧空间上的有限 Borel 测度自动 Radon，故任一正常延拓都由 5.3.2 给出同类测度，连续测试函数的唯一性迫使测度相同。限制和积分都保持非负标量线性组合。
推论 8.12抽象 Hausdorff 矩定理
若再有含幺星子代数 \(A\subset C(X)\) 分离点，则限制到 \(A\) 也给出上述正常正泛函与 \(A\) 上正泛函的一一对应。
证明 5.3.5
Stone–Weierstrass 保证 \(A\) 一致稠密于 \(C(X)\)。第四章的正泛函延拓定理给出 \(\|\Lambda\|=\Lambda(1)\)，故它唯一连续延拓到 \(C(X)\)；非负函数的保正逼近使延拓仍正。再用 5.3.4 延拓到有界 Borel 函数。每一步均唯一，因此复合仍一一对应。
谱族把区间变成投影
右连续累积函数记录标量测度，右连续谱族则记录子空间投影。连续函数的谱积分由区间增量构造，左端原子也必须按闭区间积分约定保留。
定义 8.13右连续谱族
区间上的投影族 \(E(\lambda)\) 递增，指 \(\lambda\leq\mu\) 时 \(E(\lambda)\leq E(\mu)\)。右连续指 \(\mu\downarrow\lambda\) 时 \(E(\mu)\to E(\lambda)\) 强算子收敛；等价于弱算子右连续或 \(\operatorname{ran}E(\lambda)=\bigcap_{\mu>\lambda}\operatorname{ran}E(\mu)\)。
定理 8.14Riesz 谱定理
自伴 \(T\in\mathcal L(H)\)、\(\|T\|\leq r\) 对应唯一的右连续递增投影族 \(E\)，满足 \(E(r)=1\)，且全部 \(f\in C([-r,r])\) 满足 \(f(T)=\int_{[-r,r]}f(\lambda)\,dE(\lambda)\)。这里 \(E(\lambda)=\mathbf1_{[-r,\lambda]}(T)\)，左端原子通过闭区间积分约定保留。
证明 5.4.4
先由多项式估计 \(\|p(T)\|\leq\|p\|_{C([-r,r])}\) 建立连续演算，再用 5.5.17 的延拓构造定义 \(E(\lambda)=\mathbf1_{[-r,\lambda]}(T)\)。指标函数的乘法说明它们是递增投影。若 \(\lambda_n\downarrow\lambda\)，单调收敛作用于每个向量测度，结合 5.2.8 得到右连续。阶梯和在算子范数下逼近 \(f(T)\)，于是得到积分公式。
唯一性不能只看 \(f(x)=x\) 的积分。对两个候选谱族，积分对连续 \(f\) 定义含幺星表示并将坐标送到 \(T\)，多项式及一致稠密性保证连续演算一致。各向量的标量 Stieltjes 测度由连续测试唯一确定，右连续累积分布遂一致；极化后投影一致。闭区间积分中的 \(f(-r)E(-r)\) 保留左端原子。
证明演算确实保持乘法
谱演算要同时保持加法、乘法和复共轭。标量 Riesz 表示先恢复矩阵元，普遍 \(L^2\) 逼近再恢复算子；乘法通过固定一个因子、分两次取极限来验证。
定义 8.15投影值 Stieltjes 积分
对递增投影族 \(E\) 与连续 \(f\)，定义带标记和 \(\sum_jf(\xi_j)(E(a_j)-E(a_{j-1}))\) 的加细极限为 \(\int_{(a,b]}f\,dE\)，并令 \(\int_{[a,b]}f\,dE=f(a)E(a)+\int_{(a,b]}f\,dE\)。
命题 8.16算子范数收敛与标量积分
上述极限在算子范数下存在，且 \(\langle\xi,(\int f\,dE)\xi\rangle=\int f\,d\langle\xi,E(\cdot)\xi\rangle\)。
证明 5.5.2
区间增量 \(P_j=E(a_j)-E(a_{j-1})\) 是相互正交投影，故
将两份标记和放到共同加细分割上，系数之差至多为 \(f\) 在各小区间的振荡。连续函数的一致连续性使和成为算子范数 Cauchy 网，有界算子空间完备给出极限。对角矩阵元的和恰为标量 Stieltjes 和，连续取极限即得公式；左端项同样逐项对应。
定义 8.17预酉表示与酉表示
含幺星代数的预酉表示为内积空间 \(V\) 上的线性映射 \(\pi:A\to\operatorname{Lin}(V)\)，满足 \(\pi(ab)=\pi(a)\pi(b)\)、\(\langle\eta,\pi(a)\xi\rangle=\langle\pi(a^*)\eta,\xi\rangle\)、\(\pi(1)=1\)。若 \(V\) 完备且全部像算子有界，称酉表示。非含幺代数不要求单位条件。
定义 8.18正表示
对 \(A\subset\ell^\infty(X)\)，预酉表示正，指每个点态非负 \(f\in A\) 都满足 \(\langle\xi,\pi(f)\xi\rangle\geq0\)。
命题 8.19平方根保证正性
若 \(A\) 中每个非负元素均可写成 \(g^*g\)，\(g\in A\)，则每个预酉表示正。\(C(X)\)（\(X\) 紧）与 \(\operatorname{Bor}_b(X)\) 均满足此条件。
证明 5.5.6
若 \(f=g^*g\)，则 \(\langle\xi,\pi(f)\xi\rangle=\langle\pi(g)\xi,\pi(g)\xi\rangle\geq0\)。连续或 Borel 非负函数的点态平方根仍属相应代数，故两类代数均满足假设。
定义 8.20Radon 表示
局部紧 Hausdorff 空间上，\(\operatorname{Bor}_b(X)\) 的预酉表示为 Radon 表示，指每个正泛函 \(f\mapsto\langle\xi,\pi(f)\xi\rangle\) 都由有限正 Radon 测度表示。
定义 8.21正常表示
若每个上述向量泛函正常，则称表示正常。第二可数局部紧空间中，正常表示与 Radon 表示等价。
定义 8.22普遍 \(L^2\) 拓扑
\(\operatorname{Bor}_b(X)\) 上由所有半范数 \(f\mapsto(\int|f|^2\,d\mu)^{1/2}\) 诱导的拓扑，其中 \(\mu\) 遍历有限 Radon 测度，称普遍 \(L^2\) 拓扑。收敛要求在每一个这样的 \(L^2(\mu)\) 中收敛。
引理 8.23有范数控制的普遍逼近
若星子代数 \(A\subset C_0(X,\mathbb F)\) 分离点且无共同零点，则其一致范数闭单位球在 \(\operatorname{Bor}_b(X,\mathbb F)\) 闭单位球中普遍 \(L^2\) 稠密。任意 \(f\) 可由 \(\|f_\alpha\|_\infty\leq\|f\|_\infty\) 的 \(A\) 中网逼近。
证明 5.5.12
先固定有限个有限 Radon 测度，令 \(\nu\) 为其和。Lusin 定理在损失 \(\nu\) 质量小于 \(\varepsilon\) 的紧集上把 \(|f|\leq1\) 化为连续函数，Tietze 延拓并作径向截断，得到 \(h\in C_c(X)\)、\(|h|\leq1\)，且 \(\int|h-f|^2\,d\nu\leq4\varepsilon\)。再由 Stone–Weierstrass 用 \(a\in A\) 一致逼近 \(h\)，将 \(a\) 除以 \(\max(1,\|a\|_\infty)\) 以保持单位球，误差仍趋零。
把有限测度集合按包含排序、误差按递减排序，以上构造形成同时对所有测度收敛的网。一般 \(f\) 通过乘上 \(\|f\|_\infty\) 得到，\(f=0\) 时取零网。
定理 8.24算子值矩定理
若 \(X\) 紧 Hausdorff，\(A\subset C(X)\) 含幺、星封闭并分离点，则 \(A\) 的每个正酉表示唯一延拓为 \(\operatorname{Bor}_b(X)\) 的 Radon 酉表示；限制映射给出一一对应。第二可数时可将 Radon 换成正常。
证明 5.5.13
对每个 \(\xi\)，正泛函 \(\Lambda_\xi(a)=\langle\xi,\pi(a)\xi\rangle\) 唯一延拓为由 Radon 测度表示的 \(\Lambda_\xi(f)\)。定义
在 \(A\) 上这就是 \(\langle\eta,\pi(f)\xi\rangle\)。由 5.5.12 取普遍 \(L^2\) 逼近，再在有限个极化所需测度下取极限，得 \(\Phi\) 对第一变量反线性、其余变量线性，且 \(\Phi(\xi,f,\xi)=\Lambda_\xi(f)\)。估计 \(|\Lambda_\xi(f)|\leq\|f\|_\infty\|\xi\|^2\) 及有界形式表示定理给出唯一算子 \(\widetilde\pi(f)\)。
单位及星运算由矩阵元立即继承。乘法需分两次取极限：取 \(a_\alpha,b_\beta\in A\) 分别普遍 \(L^2\) 趋于 \(f,g\)。固定有界函数 \(h\) 时，\(a_\alpha h\to fh\)；矩阵元连续性和 5.5.14 遂给出
再令 \(\beta\) 趋于极限得到 \(\widetilde\pi(fg)=\widetilde\pi(f)\widetilde\pi(g)\)。这一做法只使用固定因子的 WOT 连续性。对角元等于 \(\Lambda_\xi(f)\) 保证 Radon 性；这些标量延拓的唯一性经极化给出整个表示的唯一性。
引理 8.25固定因子的 WOT 连续性
若 \(T_\alpha:H\to K\) WOT 趋于 \(T\)，\(A\in\mathcal L(H)\)、\(B\in\mathcal L(K)\) 固定，则 \(T_\alpha A\to TA\)、\(BT_\alpha\to BT\) 仍 WOT 收敛。
证明 5.5.14
测试向量 \(\eta,\xi\) 有 \(\langle\eta,T_\alpha A\xi\rangle\to\langle\eta,TA\xi\rangle\)，以及 \(\langle\eta,BT_\alpha\xi\rangle=\langle B^*\eta,T_\alpha\xi\rangle\to\langle B^*\eta,T\xi\rangle\)。这正是两条 WOT 收敛的定义。
命题 8.26普遍 \(L^2\) 极限与 SOT
Radon 预酉表示中，\(f_\alpha\to f\) 普遍 \(L^2\) 收敛蕴含 \(\pi(f_\alpha)\to\pi(f)\) 强算子收敛，因为对每个 \(\xi\)，误差平方等于相应向量测度下的 \(L^2\) 误差平方。
证明 5.5.15
记 \(\mu_\xi\) 为向量测度。星同态性质给出
逐向量成立即为 SOT 收敛。
命题 8.27正表示的范数
非零内积空间上的含幺正预酉表示自动取值于有界算子，且 \(\|\pi(f)\|\leq\|f\|_\infty\)、\(\|\pi\|=1\)。零空间上的表示范数为零。
证明 5.5.16
点态不等式 \(0\leq f^*f\leq\|f\|_\infty^2\,1\) 经正表示得到
因此每个像算子自动有界且表示范数至多 \(1\)。非零空间中 \(\pi(1)=I\) 的范数为 \(1\)，给出反向不等式。零空间情形直接计算。
定理 8.28自伴算子的 Borel 演算
若 \(T=T^*\)、\(\|T\|\leq r\)，则有唯一正常酉表示 \(\pi_T:\operatorname{Bor}_b([-r,r])\to\mathcal L(H)\)，将坐标函数送到 \(T\)。记 \(f(T)=\pi_T(f)\)；限制到连续函数即连续函数演算。
证明 5.5.17
多项式演算含幺且保持星运算。第四章的区间矩正性或本章前面的多项式一致估计保证它正，故 5.5.13 在紧区间上给出唯一 Radon 延拓。区间第二可数，Radon 与正常等价。任何另一正常表示在多项式上都由 \(\pi(x)=T\) 决定，延拓唯一性使之相同。
表示延拓为何保持乘法
对每个向量的二次型先用测度表示延拓，再由极化恢复所有矩阵元。Riesz 表示把这些有界形式恢复成有界算子。普遍 \(L^2\) 逼近允许所有向量测度同时控制误差，故连续函数的算子像强收敛到 Borel 函数的像。选取一致有界的逼近后，复合算子的联合极限保持乘法；星运算由矩阵元的共轭关系保持。向量测度的唯一性保证延拓唯一。
递增投影的极限证明也体现了这一机制：在像空间并集中的向量最终被投影固定，在其闭包上用投影统一范数界延拓，在正交补上始终为零。投影值积分的不同区间增量互相正交，所以和的范数由系数的最大值控制，连续函数的振荡直接给出算子范数误差。
§ 09联合谱及函数演算的性质
多个算子的共同坐标
交换性使各算子的谱投影能够共同细分。联合演算先对实坐标构造，再把正规算子的实、虚部合成复坐标，支集由所有向量测度共同确定。
定义 9.1正规算子
\(T\) 正规，指 \(T^*T=TT^*\)；等价于自伴算子 \(\operatorname{Re}T=(T+T^*)/2\) 与 \(\operatorname{Im}T=(T-T^*)/(2i)\) 交换。
引理 9.2交换的函数演算
若自伴 \(A,B\) 交换，则任意有界 Borel \(f(A)\) 与 \(g(B)\) 交换。仅有二者自伴并不足以保证此结论。
证明 5.7.3
先有多项式 \(p(A)\) 与 \(B\) 交换，一致逼近给出所有连续 \(f(A)\)。有界 Borel \(f\) 由一致有界的连续函数网普遍 \(L^2\) 逼近，故 SOT 极限及固定因子乘法保持 \([f(A),B]=0\)。同样先对 \(B\) 的多项式、连续函数，再对 Borel 函数逼近，得到 \([f(A),g(B)]=0\)。
定理 9.3联合自伴演算
对两两交换的有限个有界自伴算子 \(T_1,\ldots,T_N\)，取 \(R\geq\max_i\|T_i\|\)。存在唯一正常酉表示 \(\operatorname{Bor}_b([-R,R]^N)\to\mathcal L(H)\)，将每个坐标 \(x_i\) 送到 \(T_i\)，记 \(f(T_1,\ldots,T_N)\)。
证明 5.7.4
交换性使多元多项式代换成为星同态。为验证正性，分别用值在 \([-R,R]\) 的简单函数一致逼近各坐标：\(T_i^{(n)}=\sum_jc_{ij}E_{ij}\)。由 5.7.3，全部投影交换，乘积 \(P_{j_1,\ldots,j_N}=\prod_iE_{ij_i}\) 构成正交单位分解。因此当 \(p\geq0\) 于立方体时，
算子范数取极限得 \(p(T_\bullet)\geq0\)。多元多项式分离点，5.5.13 给出正常 Borel 延拓；坐标确定多项式，故也确定唯一延拓。
定义 9.4伴随交换
\(A,B\) 伴随交换，指 \([A,B]=[A^*,B]=0\)；取伴随后也有 \([A,B^*]=[A^*,B^*]=0\)。
定义 9.5表示的支集
\(\operatorname{supp}\pi=\{x:\pi(\mathbf1_U)\ne0\text{ 对每个开邻域 }U\ni x\}\)，它是闭集，等于全部向量测度支集并集的闭包。该集紧时称表示具有紧支集。
命题 9.6限制到支集
若 \(X\) 第二可数、\(\pi\) 正常，Borel 集 \(K\) 包含 \(\operatorname{supp}\pi\)，则唯一的正常表示 \(\pi|_K\) 满足 \(\pi|_K(f|_K)=\pi(f)\)。因此支集外的函数值不影响演算。
证明 5.7.12
支集外每个点都有投影为零的开邻域。第二可数性把这些邻域化为可数覆盖，所以每个向量测度在支集外为零，\(\pi(\mathbf1_{X\setminus K})=0\)。对 \(f\) 于 \(K\)，零延拓为 \(\widetilde f\) 并定义 \(\pi|_K(f)=\pi(\widetilde f)\)；因 \(\pi(\mathbf1_K)=I\)，它含幺且保持乘法、星运算和正常性。两种延拓之差支撑在 \(X\setminus K\)，其像为零，从而定义与唯一性均成立。
定理 9.7联合正规演算
有限个伴随交换的有界正规算子 \(T_1,\ldots,T_N\) 对应唯一具有紧支集的正常酉表示 \(\operatorname{Bor}_b(\mathbb C^N)\to\mathcal L(H)\)，在支集上受限的各坐标送到 \(T_i\)。坐标在全空间无界，但紧支集使此说法有意义。
证明 5.7.13
把每个 \(T_i\) 拆成 \(A_i+iB_i\)，其中 \(A_i,B_i\) 自伴。正规性和伴随交换保证这 \(2N\) 个算子全部交换。用 5.7.4 构造实坐标立方体上的表示，再经映射 \((a_i,b_i)\mapsto(a_i+ib_i)\) 推前，得到复坐标演算；支集包含于有界立方体的紧像。反过来任何候选表示的实、虚坐标必须给出这些 \(A_i,B_i\)，由联合自伴演算的唯一性得到唯一。
用支集理解谱
谱中的点未必对应特征向量，但它的每个邻域都有非零谱投影。这直接产生近似特征向量，并把正性、自伴性和酉性转成谱所在区域的条件。
定义 9.8联合谱
上述表示的支集称联合谱 \(\sigma(T_1,\ldots,T_N)\)。点 \(\lambda\) 属于联合谱当且仅当它的每个邻域 \(U\) 均有 \(\mathbf1_U(T_1,\ldots,T_N)\ne0\)。
命题 9.9一致范数估计
\(\|f(T_1,\ldots,T_N)\|\leq\sup_{\sigma(T_1,\ldots,T_N)}|f|\)。因而谱上的一致函数收敛蕴含算子范数收敛。
证明 5.8.4
由 5.7.12 可将表示限制到联合谱 \(K\)；5.5.16 于是给出 \(\|\pi(f)\|\leq\|f|_K\|_\infty\)。应用于差 \(f_\alpha-f\) 即得一致收敛的推论。
命题 9.10普遍 \(L^2\) 与联合演算
若 \(f_\alpha\) 在联合谱上对每个有限 Radon 测度均 \(L^2\) 趋于 \(f\)，则 \(f_\alpha(T_1,\ldots,T_N)\to f(T_1,\ldots,T_N)\) 强算子收敛。
证明 5.8.5
对每个 \(\xi\)，向量测度 \(\mu_\xi\) 支撑于联合谱，且
这就是 SOT 收敛。
定理 9.11复合规则
对有界 Borel 函数 \(g_1,\ldots,g_L\) 及 \(f\in\operatorname{Bor}_b(\mathbb C^L)\)，算子 \(g_j(T_\bullet)\) 正规且伴随交换，并有 \(f(g_1(T_\bullet),\ldots,g_L(T_\bullet))=(f\circ(g_1,\ldots,g_L))(T_\bullet)\)。
证明 5.8.6
令 \(G=(g_1,\ldots,g_L)\)。映射 \(h\mapsto(h\circ G)(T_\bullet)\) 是含幺星表示，其正常性由非负函数的逐点单调极限得到。其坐标像是 \(g_j(T_\bullet)\)，这些算子因来自交换星代数而正规、伴随交换；\(G\) 有界，表示有紧支集。5.7.13 的唯一性识别它与这些坐标像的联合演算。
推论 9.12忽略无关变量
若 \(f\) 只依赖前 \(L\) 个坐标，则 \(f(T_1,\ldots,T_L)=f(T_1,\ldots,T_N)\)。
证明 5.8.7
在 5.8.6 中取 \(g_j(z)=z_j\) 于联合谱，并在谱外作有界延拓。复合函数正是只依赖前 \(L\) 个变量的 \(f\)，故得到等式。
命题 9.13单点谱投影
对正规 \(T\)，\(\mathbf1_{\{\lambda\}}(T)\) 是到 \(\ker(T-\lambda I)\) 的投影。因此特征值就是具有非零单点谱投影的点。
证明 5.8.8
令 \(E=\mathbf1_{\{\lambda\}}(T)\)，则 \((T-\lambda)E=0\)，所以 \(\operatorname{ran}E\subset\ker(T-\lambda)\)。若 \((T-\lambda)\xi=0\)，则
非负被积函数迫使 \(\mu_\xi\) 集中于 \(\{\lambda\}\)，于是 \(\|(1-E)\xi\|^2=0\)。这给出反向包含。
命题 9.14联合谱的包含关系
\(\sigma(T_1,\ldots,T_N)\subset\sigma(T_1,\ldots,T_L)\times\sigma(T_{L+1},\ldots,T_N)\)，从而包含于各单算子谱的乘积；一般不等于该乘积。
证明 5.8.9
若前 \(L\) 个坐标不在其联合谱，取该坐标组的开邻域 \(U\) 使 \(\mathbf1_U(T_1,\ldots,T_L)=0\)。5.8.7 得 \(\mathbf1_{U\times\mathbb C^{N-L}}(T_\bullet)=0\)，故原点也不在全联合谱。对后一坐标组同理，得到所述乘积包含。例 \(T_1=T_2\) 的联合谱位于对角线上，显示一般严格包含。
定义 9.15近似特征值
赋范空间上 \(\lambda\) 为 \(T\) 的近似特征值，指每个 \(\varepsilon>0\) 都存在非零 \(\xi\) 满足 \(\|(T-\lambda)\xi\|\leq\varepsilon\|\xi\|\)；等价于存在单位向量序列 \(\xi_n\) 使 \((T-\lambda)\xi_n\to0\)。
定理 9.16正规谱与近似特征值
有界正规算子的谱恰为近似特征值集合，也等于通常通过有界可逆性定义的谱。
证明 5.8.11
若 \(\lambda\) 在谱支集内，每个球 \(U_\varepsilon\) 的谱投影非零，取其像中的单位向量 \(\xi_\varepsilon\)，有
若 \(\lambda\) 不在紧谱内，距离谱为正，积分公式给出 \(\|(T-\lambda)\xi\|\geq d\|\xi\|\)，不能是近似特征值。此时谱上 \(1/(z-\lambda)\) 有界，其演算给出 \(T-\lambda\) 的双侧有界逆。反过来若它有有界逆，就有相同类型的正下界，排除近似特征值，故两种谱定义相同。
命题 9.17正性与谱
正规 \(T\) 正当且仅当 \(\sigma(T)\subset[0,\infty)\)。
证明 5.8.14
若 \(T\geq0\)，对谱中任一近似特征值的单位向量 \(\xi_n\)，\(\lambda=\lim_n\langle\xi_n,T\xi_n\rangle\geq0\)。反之谱包含于非负实轴时，\(\langle\xi,T\xi\rangle=\int z\,d\mu_\xi(z)\geq0\)，故 \(T\) 正。
命题 9.18自伴性与谱
正规 \(T\) 自伴当且仅当 \(\sigma(T)\subset\mathbb R\)。
证明 5.8.15
\(T-T^*\) 的平方范数满足 \(\|(T-T^*)\xi\|^2=\int|z-\bar z|^2\,d\mu_\xi\)。因此 \(T=T^*\) 当且仅当所有向量测度在 \(\mathbb C\setminus\mathbb R\) 上为零。当谱有非实点，其小邻域有非零投影，取投影像中的向量便与该消失条件矛盾。故恰等价于谱为实。
命题 9.19酉性与谱
正规 \(U\) 酉当且仅当 \(\sigma(U)\subset\{z:|z|=1\}\)。
证明 5.8.16
酉性给出 \(\|(U-\lambda)\xi\|\geq|1-|\lambda||\,\|\xi\|\)，所以模不为 \(1\) 的点都不是近似特征值。反之谱在单位圆时，演算给出 \(U^*U=(|z|^2)(U)=I\)；正规性又给 \(UU^*=I\)，所以 \(U\) 酉。
平均消去非固定方向
单位圆上的几何级数平均在 \(1\) 处保持为一，在其余点趋零。谱演算把这一标量极限转成算子强极限，一般等距算子可通过酉扩张进入同一论证。
定理 9.20von Neumann 平均遍历定理
若 \(U\) 为等距算子，即 \(U^*U=1\)，则 \(n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}U^k\) 强算子趋于 \(\ker(1-U)\) 的正交投影。
证明 5.9.1
先看酉算子 \(W\)。单位圆上 \(f_n(z)=n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}z^k\) 满足 \(|f_n|\leq1\)，且逐点趋于 \(\mathbf1_{\{1\}}\)；支配收敛及 5.8.5 给出 \(f_n(W)\to\mathbf1_{\{1\}}(W)\) 强收敛。
一般等距 \(U\) 可扩成更大空间上的酉算子：取足够大的 Hilbert 空间 \(K\)，使 \(K\cong(\operatorname{ran}U)^\perp\oplus K\)，用酉映射 \(V\) 实现此对应，令 \(W(h+k)=Uh+Vk\)。正交像覆盖 \(H\oplus K\)，故 \(W\) 酉，且 \(W^nh=U^nh\)。因此平均在 \(H\) 中收敛。若 \(W(h+k)=h+k\)，投影回 \(H\) 得 \(h=Uh+P_HVk\)，其中两项正交；因 \(\|Uh\|=\|h\|\)，必有 \(P_HVk=0\)，于是 \(Uh=h\)。这说明大空间固定向量的 \(H\) 分量都是 \(U\) 的固定向量，故极限限制正是到 \(\ker(1-U)\) 的投影。
§ 10直和、循环表示与单生成元
由循环向量得到乘法模型
一个循环向量的测度决定其整个循环子空间：泛函值变成积分，算子作用变成乘法。一般表示通过正交循环分解拼成这些模型的直和。
定义 10.1向量空间的乘积
\(\prod_\alpha V_\alpha\) 的加法和标量乘法逐分量定义，不要求范数可和。
定义 10.2Hilbert 直和
\(\bigoplus_\alpha H_\alpha=\{(\xi_\alpha):\sum_\alpha\|\xi_\alpha\|^2<\infty\}\)，内积为 \(\sum_\alpha\langle\eta_\alpha,\xi_\alpha\rangle\)。此和绝对收敛，空间完备，每个向量只有至多可数个非零分量。
定义 10.3有界算子的直和
若 \(\sup_\alpha\|T_\alpha\|<\infty\)，定义 \((\bigoplus_\alpha T_\alpha)(\bigoplus_\alpha\xi_\alpha)=\bigoplus_\alpha T_\alpha\xi_\alpha\)。范数为各分量范数上确界，伴随为 \(\bigoplus_\alpha T_\alpha^*\)。
定义 10.4不变子空间
\(V\) 对算子族 \(S\) 不变，指每个 \(T\in S\) 满足 \(TV\subset V\)；对表示 \(\pi\)，\(A\)-不变指对全部 \(\pi(a)\) 不变。
定义 10.5表示的同态与酉等价
有界 \(\Phi:V_1\to V_2\) 若满足 \(\Phi\pi_1(a)=\pi_2(a)\Phi\) 则称同态。酉的同态称酉等价；其存在时两表示酉等价。
定义 10.6子表示
闭 \(A\)-不变子空间 \(K\subset H\) 上的限制 \((\pi|_K,K)\) 称酉子表示。星封闭性还保证 \(K^\perp\) 不变。
定义 10.7直和表示
若每个 \(a\in A\) 均有 \(\sup_\alpha\|\pi_\alpha(a)\|<\infty\)，则 \(a\mapsto\bigoplus_\alpha\pi_\alpha(a)\) 在 Hilbert 直和上给出酉表示，称直和表示。
定义 10.8循环向量
若 \(\pi(A)\xi\) 的线性张成稠密，则 \(\xi\) 称循环向量。有循环向量的表示称循环表示；对应不变闭子空间上的循环表示称循环子表示。
命题 10.9循环分解
任意酉表示均为相互正交循环子表示的直和；不要求 Hilbert 空间可分。
证明 5.10.16
取互相正交的非零循环子表示族，用 Zorn 引理得到极大族。各子空间及其正交补均不变：对 \(\eta\perp K\)、\(\xi\in K\)，\(\langle\xi,\pi(a)\eta\rangle=\langle\pi(a^*)\xi,\eta\rangle=0\)。因此该族张成的闭空间的正交补也不变。若正交补非零，取其中非零 \(\eta\)，\(\overline{\pi(A)\eta}\) 就是可加入的新循环子空间，矛盾。故直和穷尽全空间。
命题 10.10循环表示的乘法模型
\(\operatorname{Bor}_b(X)\) 的正常酉表示中，\(\psi\) 循环当且仅当存在有限正 Borel 测度 \(\mu\) 和酉同态 \(\Phi:H\to L^2(X,\mu)\)，使 \(\Phi\psi=1\) 且 \(\Phi\pi(f)\Phi^{-1}=M_f\)。
证明 5.10.19
若 \(\psi\) 循环，取 \(\mu(E)=\langle\psi,\pi(\mathbf1_E)\psi\rangle\)。定义 \(\Phi(\pi(f)\psi)=f\)，因
它良定义并等距。循环性使定义域稠密，简单函数使像在 \(L^2(\mu)\) 稠密，故延拓为酉映射。等式 \(\Phi\pi(a)\pi(f)\psi=af=M_a\Phi\pi(f)\psi\) 在稠密子空间成立，再连续延拓到全空间。反向中 \(\pi(f)\psi\) 对应 \(f\)，有界简单函数稠密保证 \(\psi\) 循环。
引理 10.11保持 Gram 矩阵的等距映射
若 \((\xi_\alpha)\) 线性稠密于内积空间 \(V\)，\((\eta_\alpha)\) 位于 Hilbert 空间 \(K\)，且两族全部内积相同，则唯一存在等距线性 \(\Phi:V\to K\) 将各 \(\xi_\alpha\) 送到 \(\eta_\alpha\)。若 \(V\) 完备且后者线性稠密，则 \(\Phi\) 酉。
证明 5.10.20
有限和的 Gram 矩阵相同意味着
所以把左侧有限和送到右侧的映射不依赖表达式，且等距。目标完备，故从稠密线性张成唯一延拓到 \(V\)。若 \(V\) 完备，等距像也完备从而闭；再由像的稠密性得到满射。
引理 10.12下界保证闭像
若 \(V\) 完备、\(T:V\to W\) 有界且 \(\|T\xi\|\geq C\|\xi\|\)，\(C>0\)，则 \(\operatorname{ran}T\) 闭。像中的 Cauchy 序列由此对应定义域中的 Cauchy 序列。
证明 5.10.21
若 \(T\xi_n\to\eta\)，下界给出 \(\|\xi_n-\xi_m\|\leq C^{-1}\|T\xi_n-T\xi_m\|\)。定义域完备保证 \(\xi_n\to\xi\)，连续性于是给 \(\eta=T\xi\)，所以像闭。
也可以从逆映射看：\(T\) 单射，\(T^{-1}\) 在像上有界，因目标 \(V\) 完备可延拓到像的闭包。由 \(TT^{-1}=I\) 在稠密子集成立，连续性使它在闭包上仍成立，闭包遂已包含于像。
定理 10.13乘法算子版本的谱定理
有限个伴随交换的有界正规算子可同时酉化为 \(\bigoplus_\alpha L^2(X,\mu_\alpha)\) 上的坐标乘法 \(\bigoplus_\alpha M_{z_i}\)，其中 \(X\subset\mathbb C^N\) 紧、各 \(\mu_\alpha\) 为有限正 Borel 测度。
证明 5.10.22
取 \(X=\sigma(T_\bullet)\) 上的联合 Borel 表示。5.10.16 将其分解成正交循环子表示；正常性在子空间上保留。5.10.19 将每个分量酉化为 \(L^2(X,\mu_\alpha)\) 的乘法表示。直和酉映射把每个坐标像 \(T_i\) 送到 \(\bigoplus_\alpha M_{z_i}\)，得到所需模型。
定理 10.14乘法模型的演算
对可测空间上的有界可测 \(f_1,\ldots,f_N\) 及任意测度族，\(T_i=\bigoplus_\alpha M_{f_i}\) 正规且伴随交换，并满足 \(g(T_1,\ldots,T_N)=\bigoplus_\alpha M_{g\circ(f_1,\ldots,f_N)}\)。
证明 5.10.23
乘法算子的伴随是 \(M_{\bar f}\)，故这些算子正规且伴随交换。定义 \(\pi(g)=\bigoplus_\alpha M_{g\circ f_\bullet}\)，它含幺、保持乘法和星运算，支撑在包含 \(f_\bullet\) 像的紧集。若 \(0\leq g_n\uparrow g\)，对 \(\xi=(\xi_\alpha)\) 有
单调收敛可用于积分和计数求和，故表示正常。其坐标像是 \(T_i\)，唯一性给出公式。
把可数信息编码进一个算子
有理端点谱投影给出可数个二值信息，用快速递减权重相加可逐位恢复它们。闭代数中的截断逼近还需保证乘法封闭；可分性则用于把强极限恢复为单个 Borel 函数。
定义 10.15强-*算子拓扑
\(T_\alpha\to T\) 在 SOT* 下收敛，指 \(T_\alpha\to T\) 且 \(T_\alpha^*\to T^*\) 均为 SOT 收敛。
定义 10.16测度的 Fourier 系数
有限正 Borel 测度 \(\mu\) 在 \(\mathbb T^N\) 上的 Fourier 系数为 \(\widehat\mu(n)=\int z^{-n}\,d\mu(z)\)，\(n\in\mathbb Z^N\)。其绝对值至多为总质量；三角多项式一致稠密性保证这些系数唯一确定测度。
定理 10.17可分空间中的单算子编码
可分 Hilbert 空间上，有限或可数个相互交换的有界自伴算子 \(T_i\) 可写成 \(T_i=f_i(S)\)，其中 \(S\) 为一个有界自伴算子，\(f_i\) 为有界实 Borel 函数。
证明 5.11.5
由 5.11.12 取正算子 \(S\) 使可数自伴族与 \(S\) 生成同一闭代数。可分性及 5.11.11 保证每个 \(T_i\) 均为 \(f_i(S)\)。自伴性给出 \(T_i=(\operatorname{Re}f_i)(S)\)，所以可把 \(f_i\) 取为有界实 Borel 函数。这两个后续结果的独立证明分别如下，不以本定理作前提。
定义 10.18生成的交换算子代数
对伴随交换的有界正规算子族 \(S\)，令 \(\mathbb C[S\cup S^*]\) 为含幺星多项式代数，\(W^*(S)\) 为其 SOT* 闭包。
定理 10.19闭包仍为星代数
\(W^*(S)\) 是 SOT* 闭的含幺交换星子代数；其全部元素正规且相互伴随交换。
证明 5.11.9
固定因子的 SOT 连续性及取伴随的 SOT* 连续性使闭包元素仍两两伴随交换；与自己的伴随交换便是正规性。线性运算及单位也在闭包中。乘法需要处理逼近网可能没有统一范数界：对自伴目标 \(S\)，将实多项式逼近 \(p_\alpha\) 经截断 \(\phi_R(t)=\max(-R,\min(t,R))\)，其中 \(R\geq\|S\|\)。联合演算中的点态不等式
保证 \(\phi_R(p_\alpha)\to S\) 强收敛；每个截断仍在闭包中，因为单个有界自伴多项式的连续演算由多项式一致逼近得到。故有一致有界的自伴逼近。对 \(S,T\) 各取这种网，则
伴随同理。上述 \(S_\alpha,T_\beta\) 是原代数元素的连续截断，各自可用多项式一致逼近；因此它们的乘积先由两个原代数多项式的乘积逼近，也在闭包中。这一步保证用于取极限的乘积确实属于闭包。将一般算子拆成实、虚部，得乘法封闭。因此闭包是含幺交换星代数。
定理 10.20有限生成代数的 Borel 描述
若 \(H\) 可分，\(S=\{T_1,\ldots,T_N\}\)，则 \(W^*(S)=\{f(T_1,\ldots,T_N):f\in\operatorname{Bor}_b(\mathbb C^N)\}\)。
证明 5.11.11
Borel 演算的像在闭包中，由普遍 \(L^2\) 逼近及星运算可得。反向只需证明自伴 \(S\)。取实星多项式逼近它，用 5.11.9 的截断步骤得到 \(f_\alpha(T_\bullet)\to S\) 且 \(|f_\alpha|\leq R\)。可分性允许取线性稠密的 \(\psi_n\)，满足 \(\sum_n\|\psi_n\|^2<\infty\)，令 \(\mu=\sum_n\mu_{\psi_n}\)。于是
有限部分由强收敛控制，尾部由 \(4R^2\sum_{n>N}\|\psi_n\|^2\) 控制。完备性给出 \(L^2\) 极限 \(f\)，取几乎处处收敛子序列可选 \(|f|\leq R\) 的 Borel 代表。对每个 \(\psi_n\)，\(\|(f_\alpha(T_\bullet)-f(T_\bullet))\psi_n\|^2\leq\|f_\alpha-f\|_{L^2(\mu)}^2\to0\)。故 \(S=f(T_\bullet)\) 于稠密张成及全空间。一般元素拆成实、虚部即可。
定理 10.21可数族的正单生成元
若上述算子族 \(S\) 可数，则存在有界正算子 \(A\)，使 \(W^*(S)=W^*(\{A\})\)。此代数生成结论不要求 \(H\) 可分；将代数元素全部写成单个 Borel 函数时使用可分条件。
证明 5.11.12
把每个正规算子拆成实、虚部，再取各自有理端点谱投影，得到可数交换投影族 \(E_0,E_1,\ldots\)。阶梯逼近和 Borel 演算的强逼近说明原算子族与这些投影生成同一闭代数。令
级数在算子范数下收敛且为正。尾和满足 \(0\leq3^nA_{n+1}\leq\frac12 I\)，并与 \(E_n\) 交换，所以联合演算给出
先由 \(A_0\) 恢复 \(E_0\)，再用 \(A_1=A_0-E_0\)，递归恢复全部 \(E_n\)。这些谱投影在 \(W^*(A)\) 中，因为 Borel 演算由连续及多项式的强逼近得到。反向 \(A\) 是原投影的范数极限，故两闭代数相同。此构造不使用可分性。
循环模型与可数谱投影的编码
对循环向量 \(\psi\)，取 \(\mu(E)=\langle\psi,\pi(\mathbf1_E)\psi\rangle\)。映射 \(\pi(f)\psi\mapsto f\) 保持内积，因为其两边内积均为 \(\int\overline f g\,d\mu\)。有界简单函数在 \(L^2\) 中稠密，循环性保证两边的稠密像，从而延拓为酉映射。对一般空间取极大互相正交的循环子空间族，正交补若非零还可加入一个循环子空间，故它们张成全空间。
对可数自伴族，取各算子的有理端点谱投影，得到可数个交换投影 \(E_0,E_1,\ldots\)。令 \(A=\sum_{n\geq0}3^{-n}E_n\)，算子范数收敛。第 \(n\) 位投影可通过对剩余尾和作阈值函数恢复，因为后续尾和至多为该位权重的一半；依次恢复全部 \(E_n\)，故它们与 \(A\) 生成同一闭代数。
对自伴闭包元素 \(S\)，先用实星多项式 \(p_\alpha(T_\bullet)\) 强逼近，再以截断函数 \(\phi(t)=\max(-\|S\|,\min(t,\|S\|))\) 代换。由于全部算子交换，联合谱上的标量不等式 \(|\phi(s)-t|\leq|s-t|\)（\(|t|\leq\|S\|\)）保证截断仍强逼近 \(S\)，同时取得统一范数界。一般元素分别处理实部和虚部。
可分空间中取线性稠密的 \(\psi_n\) 且 \(\sum_n\|\psi_n\|^2<\infty\)，用控制测度 \(\mu=\sum_n\mu_{\psi_n}\) 将有界 SOT* 逼近变成 \(L^2(\mu)\) 的 Cauchy 逼近。完备性和几乎处处子列给出有界 Borel 代表，稠密测试再恢复算子。这证明有限生成时所有闭包元素均来自 Borel 演算，并完成单算子编码。
§ 11练习
习题 11.1乘法算子的谱
在 \(L^2[0,1]\) 上令 \(Tf(t)=tf(t)\)。证明 \(\sigma(T)=[0,1]\)，并写出谱投影。
解
对 \(z\notin[0,1]\)，逆算子为乘以 \((z-t)^{-1}\)，它有界。对 \(\lambda\in[0,1]\)，取支撑在 \(\lambda\) 附近小区间、归一化的示性函数，得到近似特征向量，故 \(\lambda\in\sigma(T)\)。\(E(B)\) 是乘以 \(\mathbf1_B\)。
习题 11.2谱族不是范数连续的
对上题证明 \(E_{\lambda+h}\to E_\lambda\) 强收敛，但当 \(0<\lambda<1\)、\(h>0\) 充分小时，二者的算子范数距离为 \(1\)。
解
对固定 \(f\)，\(\int_\lambda^{\lambda+h}|f|^2\to0\)，故强收敛。差是到区间 \((\lambda,\lambda+h]\) 上的非零正交投影，其范数为 \(1\)。
习题 11.3一个纯点谱模型
在 \(\ell^2\) 上令 \(Te_n=e_n/n\)。求谱、谱投影，并判断 \(0\) 是否为特征值。
解
\(\sigma(T)=\{1/n:n\ge1\}\cup\{0\}\)。\(E(B)\) 保留那些 \(1/n\in B\) 的坐标。零不对应任何非零特征向量，但 \(Te_n\to0\)，所以它是谱中的极限点。\(E(\{0\})=0\)，再次说明谱点不一定带有原子质量。
下一章保留乘法模型，但不再要求乘法函数有界，定义域因此成为谱理论的一部分。
完
评论