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代数2-H笔记 Part 4 of 10

第 4 章：Galois 扩张与 Galois 对应

发布于 更新于 2,422 字 · 约 7 分钟

§ 01Galois 扩张

定义 1.1

一个有限正规可分域扩张 \(E/F\) 称为Galois 扩张。

由我们前文的讨论，可以知道 \(E/F\) 是 Galois 扩张当且仅当它是一个可分多项式的分裂域。若 \(\mathrm{char}F=0\)，则 \(E/F\) 是 Galois 扩张当且仅当它是分裂域。

命题 1.2

\(E/K/F\) 是有限扩张，若 \(E/F\) 是 Galois 扩张，则 \(E/K\) 也是 Galois 扩张。

定义 1.3

\(E/F\) 是域扩张，则 \(\mathrm{Aut}(E/F)\) 有自然群结构，称为 \(E/F\) 的 Galois 群，记为 \(\mathrm{Gal}(E/F)\)。

回忆，若 \(E/F\) 是 Galois 扩张，则 \(\left|\mathrm{Gal}(E/F)\right|=[E:F]\)。更一般的，若 \(E/F\) 是分裂域，\(E=F(u_1,\cdots,u_n)\)，则 \(\forall \sigma\in \mathrm{Gal}(E/F),\sigma(u_i)\in\left\{ u_1,\cdots,u_n\right\}\)，这表示我们有嵌入映射 \(\mathrm{Gal}(E/F)\hookrightarrow S_n\)。

命题 1.4

若 \(E/F\) 是有限扩张，则 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 是有限的。

证明

设 \(E=F(u_1,\cdots,u_n)\)，\(u_i\) 的极小多项式是 \(g_i(x)\)，则 \(\forall \sigma\in \mathrm{Gal}(E/F)\)，\(\sigma(u_i)\) 是 \(g_i(x)\) 的根，这样的选择是有限的。

定义 1.5

\(E\) 是域，\(G\) 是 \(\mathrm{Aut}(E)\) 的有限子群。记

\[ E^G=\left\{ a\in E\Big| \sigma(a)=a,\forall \sigma\in G\right\} \]

易验证 \(E^G\) 是 \(E\) 的一个子域，称为 \(E\) 的 \(G\) 不变子域(G-invariant subfield)。

定理 1.6

域扩张 \(E/F\)，则如下命题等价：

  • \(E/F\) 是 Galois 扩张；
  • \(E\) 是 \(F\) 上某个可分多项式的分裂域；
  • \(F=E^G\)，其中 \(G\) 是 \(\mathrm{Aut}(E)\) 的有限子群。
证明

\((1)\Longrightarrow(2)\) 由定理 1.16即得。

\((2)\Longrightarrow(3)\)：我们来证 \(F=E^G\)，其中 \(G=\mathrm{Gal}(E/F)\)。我们先来证明如下引理：

引理 1.7

\(E/F\) 是有限扩张，则

\[ \mathrm{Gal}(E/F)=\mathrm{Gal}(E/E^{\mathrm{Gal}(E/F)}) \]
引理的证明

一方面，\(F\subseteq E^{\mathrm{Gal}(E/F)}\)，故 \(\mathrm{Gal}(E/F)\supseteq \mathrm{Gal}(E/E^{\mathrm{Gal}(E/F)})\)。

另一方面，\(\forall \sigma \in \mathrm{Gal}(E/F)\)，由定义 \(\sigma|_{E^{\mathrm{Gal}(E/F)}}=id\)，则 \(\sigma \in \mathrm{Gal}(E/E^{\mathrm{Gal}(E/F)})\)，这表示 \(\mathrm{Gal}(E/F)\subseteq \mathrm{Gal}(E/E^{\mathrm{Gal}(E/F)})\)。

一方面我们显然有 \(F\subseteq E^G\)。另一方面，由上述引理 \(\mathrm{Gal}(E/E^G)=\mathrm{Gal}(E/F)\)。因为 \(E/F\) 是可分的，\(\left|\mathrm{Gal}(E/F)\right|=[E:F]\)，故 \(\left|\mathrm{Gal}(E/E^G)\right|=[E:F]\)。因为 \(E/E^G/F\) 是域扩张，\(E/F\) 是可分的，我们有 \(E/E^G\) 是可分的，这表示 \(\left|\mathrm{Gal}(E/E^G)\right|=[E:E^G]\)。

综上 \(E^G=F\)。

\((3)\Longrightarrow(1)\)：我们先来证明如下引理：

引理 1.8Artin

\(E\) 是域，\(G\) 是 \(\mathrm{Aut}(E)\) 的有限子群，则 \([E:E^G]\le \left|G\right|\)。

由该引理，\([E:F]=[E:E^G]\le \left|G\right|<\infty\)。

\(\forall u\in E\) 的极小多项式 \(g(x)\)，需要证明 \(g(x)\) 在 \(E\) 中分裂且没有重根。设 \(u_1,\cdots,u_n\in E\) 是 \(g(x)\) 的所有不同根。令 \(u=u_1,f(x)=(x-u_1)\cdots(x-u_n)\)。

注意到对 \(\forall \sigma \in G,\sigma(g(x))=g(x)\)，故 \(\sigma(\left\{u_1,\cdots,u_n\right\})=\left\{u_1,\cdots,u_n\right\}\)，这表示 \(\sigma(f(x))=f(x)\)。由于 \(F=E^G\)，我们有 \(f(x)\in F[x]\)。\(g(x)\) 在 \(F\) 上可分，故只能 \(f=g\)，即 \(g(x)\) 在 \(E\) 上可分且没有重根。

推论 1.9

若 \(G\le \mathrm{Aut}(E)\)，则 \(\mathrm{Gal}(E/E^G)=G\) 且 \([E:E^G]=\left|G\right|\)。

证明

由定理 1.17，\(E/E^G\) 是 Galois 扩张，故 \([E:E^G]=\mathrm{Gal}(E/E^G)\)。由 Artin's lemma \([E:E^G]\le G\)，但 \(G\subseteq (E/E^G)\)，故 \(G=\mathrm{Gal}(E/E^G)\)。

推论 1.10

\(E/F\) 是 Galois 扩张当且仅当 \(F=E^{\mathrm{Gal}(E/F)}\)。

证明

令 \(G=\mathrm{Gal}(E/F)\)。一方面若 \(F=E^G\)，由定理 1.17 \(E/F\) 是 Galois 扩张。另一方面，若 \(E/F\) 是 Galois 扩张，\([E:F]=\left|G\right|=[E:E^G]\)，故 \(F=E^G\)。

推论 1.11

\(E/F\) 是有限扩张，则 \(\left|\mathrm{Gal}(E/F)\right|\mid [E:F]\)，取等当且仅当 \(E/F\) 是 Galois 扩张。

证明

\(E/E^{\mathrm{Gal}(E/F)}/F\) 是域扩张，故

\[ \left|\mathrm{Gal}(E/F)\right|=\dfrac{[E:F]}{[E^{\mathrm{Gal}(E/F)}:F]} \]

取等当且仅当 \(E^{\mathrm{Gal}(E/F)}=F\)，即\(E/F\) 是 Galois 扩张。

例 1.12

  • 考虑 Galois 扩张 \(\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q}\)，则 \(\left|\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q})\right|=[\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q}]=2\)，故 \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q})\cong C_2\)，这两个元素分别是 \(\eta_1=id\) 和 \(\eta_2:\sqrt{2}\rightarrow -\sqrt{2}\)。
  • \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)/\mathbb{Q})\) 是平凡群，即必须有 \(\eta(\sqrt[3]2)=\sqrt[3]2\)。
  • 令 \(\omega=e^{2\pi i/3}\)，则 \(x^3-2\) 的分裂域 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega)/\mathbb{Q}\) 是 Galois 扩张。我们有 \([\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega):\mathbb{Q}]=6\)。注意到任意 \(\eta\in\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega)/\mathbb{Q})\) 是 \(\sqrt[3]2,\sqrt[3]2\omega,\sqrt[3]2\omega^2\)，故 \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega)/\mathbb{Q})\cong S_3\)。
  • 考虑 \((x^2-3)(x^2-2)\) 的分裂域 \(\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb{Q}\) 是 Galois 扩张，且 \([\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb{Q}]=4\)。这四个元素是 \(\eta:\sqrt2\rightarrow\pm \sqrt2,\sqrt3\rightarrow \pm\sqrt3\)，故 \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb{Q})\cong C_2\times C_2\)。
  • 考虑 \(F=\mathbb{Z}_p(t)\)，\(f(x)=x^p-t\) 是不可分且不可约的，故 \(f(x)\) 的分裂域 \(E/F\) 不是 Galois 的/事实上若 \(u\in E\)，\(f(u)=0\)，则 \(f(x)=(x-u)^p\)，这表示任意 \(\eta\)，\(\eta(u)=u\) 且 \(E=F(u)\)，这表示 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 是平凡群。

§ 02Galois 对应

给定域扩张 \(E/F\)，\(G=\mathrm{Gal}(E/F)\)，令 \(\Sigma=\left\{ H\Big| H\le G\right\}\)，\(\Omega=\left\{K\Big| E/K/F\right\}\)。定义 \(\varphi:\Sigma\rightarrow \Omega,H\mapsto E^H\)，\(\phi:\Omega\rightarrow \Sigma,K\mapsto \mathrm{Gal}(E/K)\)。我们有如下基础推论：

  • 若 \(H_1\subset H_2\)，则 \(E^{H_1}\supset E^{H_2}\)；
  • 若 \(K_1\subset K_2\)，则 \(\mathrm{Gal}(E/K_1)\supset \mathrm{Gal}(E/K_2)\)；
  • \(H\subset \mathrm{Gal}(E/E^H)\)；
  • \(K\subset E^{\mathrm{Gal}(E/K)}\)。

现在我们来介绍伽罗瓦理论基本定理(the fundamental theorem of Galois correspondence)

定理 2.1

\(E/F\) 是 Galois 扩张，则如下命题成立：

  • \(\varphi,\phi\) 互为逆映射，即 \(H=\mathrm{Gal}(E/E^H),K=E^{\mathrm{Gal}(E/K)}\)；
  • \(H_1\subset H_2\) 当且仅当 \(E^{H_2}\subset E^{H_1}\)；
  • \(\left|H\right|=[E:E^H],[G:H]=[E^H:F]\)；
  • \(H\lhd G\) 当且仅当 \(E^H/F\) 是正规扩张，这时还有 \(\mathrm{Gal}(E^H/F)\cong G/H\)。
证明

\((1)\) 利用推论 1.14和推论 1.15。

\((2)\) 由\((1)\)显然。

\((3)\) 由推论 1.14得\(\left|H\right|=[E:E^H]\)。进而

\[ [G:H]=\dfrac{\left|G\right|}{\left|H\right|}=\dfrac{[E:F]}{[E:E^H]}=[E^H:F] \]

\((4)\) 回忆 \(K/F\) 是正规的当且仅当 \(\forall \eta\in \mathrm{Gal}(E/F),\eta(K)=K\)。\(H\) 是正规子群当且仅当 \(\forall \eta \in \mathrm{Gal}(E/F),\eta H\eta^{-1}=H\)，这等价于 \(E^{\eta H\eta^{-1}}=E^H\)，注意到：

\[ x\in E^{\eta H\eta^{-1}}\Longleftrightarrow \eta H \eta^{-1}x=x\overset{x=\eta (y)}{\Longleftrightarrow} Hy=y\Longleftrightarrow y\in E^H\Longleftrightarrow x\in \eta(E^H)\Rightarrow E^{\eta H\eta^{-1}}=\eta(E^H) \]

故 \(H\) 正规\(\Longleftrightarrow\forall \eta\in \mathrm{Gal}(E/F),\eta(E^H)=E^H\Longleftrightarrow\) \(E^H/F\) 是正规的。

接下来考虑 \(\psi:G\rightarrow \mathrm{Gal}(E^H/F),\eta\mapsto \eta|_{E^H}\)。由于 \(\eta(E^H)=E^H\) 故是良定义的。\(\mathrm{ker}\psi=\mathrm{Gal}(E/E^H)=H\)。因为 \(E^H/F\) 是 Galois 扩张，\([G:H]=[E^H/F]=\mathrm{Gal}(E^H/F)\)，故 \(\psi\) 是满射，进而 \(G/H\cong \mathrm{Gal}(E^H/F)\)，我们完成了证明。

推论 2.2

\(E/F\) 是有限可分扩张，则 \(E\) 是单扩张。

证明

设 \(E=F(u_1,\cdots,u_n)\)，\(u_i\) 的极小多项式是 \(g_i(x)\)，考虑 \(g_1(x)\cdots g_n(x)\) 的分裂域 \(E'\)，则 \(E\subset E'\)，且 \(E'/F\) 是 Galois 扩张。由 Galois 对应，\(E'/F\) 有有限的子域，则 \(E/F\) 也只有有限的子域。回忆Steinitz's theorem，我们完成了证明。

\(E'\) 被称为 \(E/F\) 的 Galois 闭包(Galois closure)。事实上，类似正规闭包的定义，我们可以对任一可分扩张 \(E/F\) 定义 Galois 闭包。

推论 2.3代数基本定理

\(\mathbb{C}\) 是代数闭的。

证明

\(\forall f(x)\in \mathbb{C}[x]\)，设 \(g(x)=f(x)\bar{f}(x)\mathbb{R}[x]\)，我们只需证 \(g\) 有一根。

设 \(g\) 的分裂域为 \(E\)，则 \(E/\mathbb{R}\) 是 Galois 扩张。设 \(n=[E:R]\)，我们来证明 \(n=1\) 或 \(2\)。由 Sylow 定理，取 2-Sylow 子群 \(H\le \mathrm{Gal}(E/\mathbb{R})\)。由于 \([G:H]=[E^H:\mathbb{R}]\) 是奇数，故 \(E^H=\mathbb{R}(\alpha)\)，其中 \(\alpha\) 的极小多项式次数为奇数，即 \(\alpha\in \mathbb{R}\)，这表示 \(E^H=\mathbb{R}\)，故 \(H=G\)，\(\left|G\right|=2^k\)。由于

\[ G\supset G_1\supset \cdots \supset G_k={1} \]

故

\[ \mathbb{R}\overset{\mathrm{deg}2}{\subset}E^{G_1}\overset{\mathrm{deg}2}{\subset}\cdots\overset{\mathrm{deg}2}{\subset}E^{G_k}=E \]

所以

\[ \mathbb{C}\cong E^{G_k}=E^{G_2}=\cdots=E \]

即 \(g(x)\) 在 \(\mathbb{C}\) 上分裂，故 \(\mathbb{C}\) 是代数闭的。

命题 2.4

设 \(E/K,K/F\) 是 Galois 扩张，则有如下命题成立：

  • \(EK/F\) 是 Galois 扩张；
  • \(\mathrm{Gal}(EK/K)\overset{\varphi}{\rightarrow} \mathrm{Gal}(E/E\cap K)\) 是同构，且 \([EK:E\cap K]=[EK:E][EK:K]\)；
  • \(\mathrm{Gal}(EK/F)\overset{\phi}{\rightarrow} \mathrm{Gal}(E/F)\times \mathrm{Gal} (K/F)\) 是单射。当 \(F=E\cap K\) 时是同构。
证明

\((1)\)：\(EK/F\) 是一个可分多项式的分裂域。

\((2)\)：\(\eta\in \mathrm{Gal}(EK/K)\)。若 \(\eta \in \mathrm{ker}\varphi\)，则 \(\eta|_E=id\)，进而 \(\eta|_{EK}=id\)，即 \(\varphi\) 是单射。

\(E^{\mathrm{Im}\varphi}=E\cap K\)推出 \(\mathrm{Im}\varphi=\mathrm{Gal}(E/E\cap K)\)。

\[ a\in E\subset EK,\mathrm{Im}\varphi (a)=a\Longleftrightarrow a\in EK^{\mathrm{Gal}(EK/K)}=K\Longleftrightarrow a\in E\cap K \]

故 \([EK:E\cap K]=[E:E\cap K][K:E\cap K]=[EK:K][EK:E]\)

\((3)\)：\(\eta\in\mathrm{ker}\phi,\eta|_E,\eta|K=id\)，故 \(\eta|_{EK}=id\)，即 \(\phi\) 是单射。

若 \(F=E\cap K\) 则 \(\phi\) 是两个相同指数的有限集之间的单射，即 \(\phi\) 是满射。

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完

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