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微分几何 Part 3 of 7

第 3 章：微分形式及流形上的积分

约定 \(V\) 为 \(n\) 维实线性空间，如果映射 \(f:V\rightarrow \mathbb{R}\) 满足

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§ 01微分形式及流形上的积分

\[ f(\lambda u+\mu v)=\lambda f(u)+\mu f(v),\forall u,v \in V,\lambda,\mu \in \mathbb{R} \]

则称 \(f\) 是 \(V\) 上的一个线性泛函。用 \(V^*\) 表示 \(V\) 上所有线性泛函的集合，则不难验证 \(V^*\) 为线性空间，称为 \(V\) 的对偶空间。

定理 1.1

\(\dim V^*=\dim V=n\)。

证明

设 \(\left\{e^1,\cdots,e^n\right\}\) 是 \(V\) 的一组基，则对任意 \(v\in V\) 可以写成 \(v=\sum_{i=1}^nv^ie^i\)，取 \(f^i(v)=v^i\)，易验证 \(\left\{f^1,\cdots,f^n\right\}\) 线性无关且为 \(V^*\) 的一组基。

证明中的 \(\left\{f^1,\cdots,f^n\right\}\) 称为 \(\left\{e^1,\cdots,e^n\right\}\) 的对偶基。

考虑 \(V\) 中基的线性变换，线性代数中的知识告诉我们对应的坐标变换是相反的，我们称 \(V\) 中的向量为反协变向量。同理我们有 \(V^*\) 中向量的变换方法与对偶基的变换相反，因此与原来的基变换相同，我们称 \(V^*\) 中的向量为协变向量。

定义 1.2

对线性空间 \(V,W\)，定义张量积 \(V\otimes W=\left<V\times W\right>/\sim\)，其中 \(\sim\) 定义如下：

\[ (\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2,w)\sim\lambda_1(v_1,w)+\lambda_2(v_2,w),(v,\mu_1w_1+\mu_2w_2)\sim\mu_1(v,w_1)+\mu_2(v,w_2) \]

\([(v,w)]\) 记作 \(v\otimes w\)。

命题 1.3

\(\mathrm{Hom}_\mathbb{R}(V^{\otimes r},\mathbb{R})\cong (V^*)^{\otimes r}\)

定义 1.4

一个 \((r,s)\) 型张量为一个线性函数 \(V\otimes \cdots\otimes V\times V^*\otimes \cdots \otimes V^*\rightarrow \mathbb{R}\)，其中有 \(r\) 个 \(V\)，\(s\) 个 \(V^*\)。称 \((r,0)\) 型张量为 \(r-\)协变张量，\((0,s)\) 型张量为 \(s-\)反协变张量。

定义 1.5

定义对称向量与反对称张量为：

\[ \mathrm{Sym}^{\otimes m}V^*=\left\{\varphi\in(V^*)^{\otimes m}\Big| \forall v_1,\cdots,v_m\in V,\sigma \in S_m,\varphi(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(n)})=\varphi(v_1,\cdots,v_m)\right\} \]
\[ \varLambda ^mV^*=\left\{\varphi\in(V^*)^{\otimes m}\Big| \forall v_1,\cdots,v_m\in V,\sigma \in S_m,\varphi(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(n)})=(-1)^{\mathrm{sgn(\sigma)}}\varphi(v_1,\cdots,v_m)\right\} \]

命题 1.6

\(\dim V^*=n\)，则 \(\dim \varLambda ^mV^*=\left(\begin{array}{c} n\\ m\\ \end{array} \right)\)

证明

取 \(V^*\) 的一组基 \(w_1,\cdots,w_n\)，验证

\[ \varLambda^m V^*=\mathrm{span}_\mathbb{R}\left\{ \sum_{\sigma\in S(i_1,\cdots,i_m)} (-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}w^{\sigma(i_1)}\otimes \cdots \otimes w^{\sigma(i_m)}\right\} \]

这样的张量刚好 \(\left(\begin{array}{c} n\\ m\\ \end{array} \right)\) 个

我们记

\[ w^{i_1}\land \cdots \land w^{i_m}=\sum_{\sigma\in S(i_1,\cdots,i_m)} (-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}w^{\sigma(i_1)}\otimes \cdots \otimes w^{\sigma(i_m)} \]

，为 \(w^{\sigma(i_1)}\otimes \cdots \otimes w^{\sigma(i_m)}\) 的反对称化。

定义 1.7

\(\land:\land ^p V^*\otimes \land^q V^*\rightarrow \land ^{p+q}V^*,\alpha\otimes \beta\mapsto \alpha\otimes \beta \text{的反对称化}\)

命题 1.8

\(\alpha\land \beta=(-1)^{pq}\beta\land \alpha\)

\((\alpha \land \beta)\land \gamma =\alpha \land (\beta\land \gamma )\)

定义 1.9

设 \(M\) 是微分流形，称 \(M\) 上一个微分 \(r\) 形式为向量丛 \(\land ^r T^*M\) 的光滑截面，此时称 \(\land ^r T^*M\) 为 \(r\) 次微分形式丛。类似定义 \(\Gamma(M,(T^*M)^{\otimes r}\otimes (TM)^{\otimes s})\) 中的元素为流形 \(M\) 上 \((r,s)\) 型张量场。

下面我们来定义外微分 \(\mathrm{d}\)：

定义 1.10

称 \(\mathrm{d} :\Gamma(M,\land ^r T^*M)\rightarrow \Gamma(M,\land ^{r+1}T^*M)\) 为外微分，若 \(\mathrm{d}\) 满足：

  • \(\mathrm{d}\) 线性。
  • \(\forall f\in C^{\infty}(M,\mathbb{R}),\mathrm{d} f\in \Gamma(M,\land ^1T^*M)\) 由 \(\mathrm{d} f(X)=X(f)\in C^{\infty}(M,\mathbb{R})\) 指定且 \(\mathrm{d} (\mathrm{d} f)=0\)。
  • \(\mathrm{d}\) 满足 Leibniz 法则，\(\mathrm{d} (\alpha\land \beta )=\mathrm{d} \alpha\land \beta+(-1)^{\left|\alpha\right|}\alpha \land \mathrm{d} \beta\)

记 \(\Gamma(M,\land^rT^*M)=A^r(M)\)，\((A(M)=\oplus_{t=0}^n A^r(M),\land,\mathrm{d} )\) 称为微分分次代数(differential graded algebra)。

引理 1.11

外微分算子 \(\mathrm{d}\) 若存在，则为局部算子。

即若 \(\alpha,\beta \in A(M)\)，则存在 \(U\) 使得：若有 \(\alpha\Big|_U=\beta\Big|_U\) 则有 \((\mathrm{d} \alpha)\Big|_U=(\mathrm{d} \beta)\Big|_U\)

证明

略。

定理 1.12

\(\mathrm{d}\) 存在且唯一。

证明

略。

定理 1.13

\(\mathrm{d} ^2=0\)。

这表明 \(\mathrm{d}\) 有某种正合性质。

首先我们有 \(\mathrm{Im} (\mathrm{d} :A^r(M)\rightarrow A^{r+1}(M))\subseteq \mathrm{Ker} (\mathrm{d} :A^{r+1}(M)\rightarrow A^{r+2}(M))\)，但我们不一定有反过来的包含关系，具有一定的拓扑障碍。

定理 1.14Cartan

\(w\in A^r(M)\)，那么 \(\forall X_0,X_1,\cdots,X_r\)，

\[ \begin{aligned} \mathrm{d} w(X_0,\cdots,X_r)=&\sum_{i=0}^r(-1)^iX_i(w(X_1,\cdot,\check{X_i},\cdots,X_r)) \\ &+\sum_{i<j} (-1)^{i+j}w([X_i,X_j],X_1,\cdots,\check{X_i},\cdots,\check{X_j}\cdots,X_r) \end{aligned} \]

定义 1.15

设 \(M\) 是微分流形，\(w\in A^r(M)\)，若 \(\mathrm{d} w=0\)，称 \(w\) 为闭形式(closed)，若存在 \(\sigma\in A^{r+1}(M)\)，\(w=\mathrm{d} \sigma\)，称 \(w\) 为恰当形式(exact)。若 \(\forall p\in M\)，存在 \(p\in U\)，\(w\Big|_U=\mathrm{d} \sigma\)，则称为局部恰当。

闭形式推不出恰当。考虑 \(M=S^1\)，\(\omega=\mathrm{d} \theta\)。

定理 1.16Poincare引理

设 \(\Omega\subset \mathbb{R}^n\) 中包含 0 点的星形开集，则在 \(\Omega\) 上任一闭形式都是恰当的。

证明

之后补。

定义 1.17

\(F:M\rightarrow N\) 光滑映射。定义：

\[ \begin{aligned} F^*:A^r(M)&\rightarrow A^r(N) \\ f&\mapsto F^*\cdot f=f\circ F \\ \omega&\mapsto F^*\omega((X_1,\cdots,X_r)\mapsto \omega(F_*X_1,\cdots,F_*X_r)) \end{aligned} \]

定理 1.18

\(F^*:A^r(N)\rightarrow A^r(M)\) 满足：

  • 线性。
  • \(F^*(\alpha\land \beta)=F^*\alpha\land F^*\beta\)。
  • \(dF^*=F^*\circ d\)。
证明

\((1)\)：线性性显然。

\((2)\)：由 \(F^*\) 线性以及 \(F^*(\alpha \otimes \beta )=F^*\alpha\otimes F^*\beta\) 知 \(F^*\) 保持反对称化。

\((3)\)：对 \(\omega\in A^0(M)\)，即 \(\omega=f\in C^{\infty }(M,\mathbb{R})\)。

\[ \begin{aligned} (F^*\circ \mathrm{d} f)(X)=\mathrm{d} f(F_*X)=(F_*X)(f)=X(f\circ F)=X(F^*f)=(\mathrm{d} F^*f)(X) \end{aligned} \]

设 \(\omega=f\mathrm{d} g\)，\(f,g\in C^{\infty}(M,\mathbb{R})\)。

\[ \begin{aligned} F^*\mathrm{d} \omega&=F^*\mathrm{d} (f\mathrm{d} g)=F^*(\mathrm{d} f\land \mathrm{d} g)=F^*(\mathrm{d} f)\land F^*(\mathrm{d} g) \\ &=\mathrm{d} F^*f\land F^*\mathrm{d} g=\mathrm{d} (F^*f\land F^*\mathrm{d} g)=\mathrm{d} F^*(f\land \mathrm{d} g)=\mathrm{d} F^*\omega \end{aligned} \]

对一般的 \(\omega\)，由 \(\mathrm{d} ,F^*\) 的线性性，只需考虑 \(\omega=\omega_1\land \omega_2\)，其中 \(\omega_1\) 为 \(1-\)形式，利用归纳法即证。

定义 1.19

设 \(X\in \Gamma(M,TM)\)，定义内积(interior product) \(i_X\)：

\[ \begin{aligned} i_X:A^r(M)&\rightarrow A^{r-1}(M) \\ \omega&\mapsto i_X\omega:(X_2,\cdots,X_r)\mapsto \begin{cases} 0 &,r=0\\ \omega(X,X_2,\cdots,X_r)&,r\ge 1\\ \end{cases} \end{aligned} \]

回忆 \(L_X\omega=\left.\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\right|_{t=0}\phi_t^*\omega\)，其中 \(\left\{\phi_t\right\}_t\) 为由 \(X\) 诱导的局部单参数变换群。对 \(A(M)\) 上的线性映射 \(A:A^{r_1}(M)\rightarrow A^{r_2}(M)\)，定义 \(A\) 的次数为 \(r_2-r_1\)。

命题 1.20

  • \(i_X\) 满足分次 Leibniz 法则：

    \[ i_X(\alpha\land \beta )=i_X\alpha\land \beta+(-1)^{\left|\alpha\right|}\alpha\land i_X\beta \]

  • 设 \(A,B\) 为 \(A(M)\) 上的线性映射，若 \(A,B\) 满足分次 Leibniz，且 \(A,B\) 的次数为奇，则 \(AB+BA\) 也满足 Leibniz；若 \(A\) 满足分次 Leibniz，\(B\) 满足 Leibniz 且 \(B\) 次数为偶，则 \(AB-BA\) 满足分次 Leibniz.

  • 若 \(A:A(M)\rightarrow A(M)\) 线性且满足分次 Leibniz 法则，那么 \(A\) 在 \(A(M)\) 的作用完全由 \(A^0(M)\) 上的作用确定。

证明

下次补。

我们现在有：

  • \(\mathrm{d} :A^r(M)\rightarrow A^{r+1}(M)\)
  • \(i_X:A^r(M)\rightarrow A^{r-1}(M)\)
  • \(L_X:A^r(M)\rightarrow A^r(M)\)

命题 1.21

  • \(L_x\circ \mathrm{d} =\mathrm{d} \circ L_x\)
  • \(L_x=\mathrm{d} \circ i_X+i_X\circ \mathrm{d}\)
  • \(L_x\circ i_Y-i_Y\circ L_X=i_{[X,Y]}\)
  • \(X(\omega(y_1,\cdots,y_r))=(L_x\omega)(y_1,\cdots,y_r)+\displaystyle\sum_{k=1}^r \omega(y_1,\cdots,L_Xy_k,\cdots,y_r)\)
证明

下次补。

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完

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