第 2 章：特殊函数构造、向量场与李群
§ 01流形的特殊函数构造
定理 1.1Bump function
\(C\subset \mathbb{R}^n\) 闭，\(K\subset \mathbb{R}^n\) 紧，\(K\cap C=\emptyset\)，那么存在 \(C^\infty\) 函数 \(\rho:\mathbb{R}^n\rightarrow [0,1],\left.\rho\right|_K\equiv 1,\left.\rho\right|_C\equiv 0\)
证明
略。
推论 1.2
若 \(f:U\rightarrow \mathbb{R}\in C^k\)，\(p\in U\)，则存在 \(p\in U_0\subseteq U\)，\(f^*:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}\)，\(\left.f^*\right|_{U_0}=\left.f\right|_{U_0}\)，\(\left.f^*\right|_{U^C}=0\)。
定义 1.3
设 \(M\) 是拓扑空间。
- 设 \(\left\{A_\alpha\right\},\left\{B_\beta\right\}\) 为 \(M\) 的开覆盖，若 \(\forall \beta,\exists \alpha\) 使得 \(B_\beta\subseteq A_\alpha\)，称 \(\left\{B_\beta\right\}\) 是 \(\left\{A_\alpha\right\}\) 的加细。
- 设 \(U=\left\{U_\alpha\right\}\) 为 \(M\) 的开覆盖，若 \(\forall p\in M\)，存在 \(p\in W\)，使得 \(W\) 仅与 \(U\) 中有限个元素相交，称 \(U\) 为局部有限的。
引理 1.4
设 \(M\) 为 \(C^k-\)流形，\(\left\{A_\alpha\right\}\) 为开覆盖，那么存在可数坐标图 \(\left\{\varphi_i:U_i\rightarrow \mathbb{R}^n\right\}\) 满足：
- \(\left\{U_i\right\}\) 是 \(\left\{A_\alpha\right\}\) 局部有限的加细。
- \(\varphi_i(U_i)=B_1(0)\)。
- \(\left\{V_i:=\varphi^{-1}(B_{\frac{1}{2}}(0))\right\}\) 也为开覆盖。
定义 1.5
称上述引理得到的 \(\left\{A_\alpha\right\}\) 之局部有限加细 \((U_i,\varphi_i,V_i)\) 为从属于 \(\left\{A_\alpha\right\}\) 的正则覆盖。
定义 1.6单位分解
若 \(\eta_i\in C^k(M,\mathbb{R}),i\in \mathbb{N}\) 满足：
- \(0\le \eta_i\le 1\)
- \(\sum \eta_i=1\)
- \(\left\{\mathrm{supp}\eta_i=\left\{\eta_i\neq 0\right\}\right\}\) 为局部有限开覆盖。
则称 \(\left\{\eta_i\right\}\) 为 \(M\) 上一个 \(C^k\) 单位分解。
若 \(\left\{A_\alpha\right\}\) 为开覆盖，\(\forall i\)，\(\exists A_\alpha\) 使得 \(\mathrm{supp}\eta_i\subseteq A_\alpha\) 则称 \(\left\{\eta_i\right\}\) 为从属于 \(\left\{A_\alpha\right\}\) 的单位分解。
定理 1.7单位分解
设 \(M\) 是 \(C^k\) 流形，有可数基，\((U_i,\varphi_i,V_i)\) 为局部有限正则覆盖，那么
- 存在单位分解 \(\left\{\eta_i\right\}\) 使得 \(\left.\eta_i\right|_{V_i}>0\) 且 \(\mathrm{supp}\eta_i\subseteq \varphi_i^{-1}(B_{\frac{3}{4}}(0))\)。
- 特别的，对任意开覆盖 \(\left\{A_\alpha\right\}\) 均有从属于其的单位分解 \(\left\{\eta_i\right\}\)。
证明
构造 Bump function \(h_i\) 使得
取
由于 \(\left\{U_i\right\}\) 为局部有限覆盖，\(\mathrm{supp}h_i\subseteq U_i\)，从而 \(\sum h_i\) 有意义。
命题 1.8
设 \(M\) 是 \(C^k\) 流形，\(M\) 紧，则存在 \(N\in \mathbb{N}\) 和映射 \(f:M\rightarrow \mathbb{R}^N\) 使得 \(f\) 为嵌入，从而 \(f(M)\) 是 \(\mathbb{R}^N\) 的正则子流形。
证明
先证明如下引理:
引理 1.9
设 \(f:M\rightarrow N\) 是单浸入，若 \(M\) 紧，则 \(f\) 为嵌入。
Lemma's proof
对于任意闭集 \(V\subset M\)，由于紧集的闭子集是紧集，\(V\) 是紧集，由 \(f\) 连续知 \(f(V)\subset N\) 是紧集，而 \(N\) 是 Hausdorff 空间，因此 \(f(V)\subset N\) 是闭集，所以 \(f\) 是闭映射，因此 \(f\) 是同胚，进而 \(f\) 是嵌入。
对 \(M\) 取局部有限正则覆盖 \(\left\{U_i,\varphi_i,V_i\right\}\)，由 \(M\) 紧可知 \(\left\{U_i,\varphi_i,V_i\right\}_{i=1}^K\) 是有限正则覆盖。构造单位分解
现取
只需证 \(f\in C^k\) 且 \(f\) 是单浸入，利用引理即证。读者自行验证不难。
§ 02向量场
接下来我们讨论更高一级的事物：向量场。令
为光滑流形 \(M\) 所有切向量的集合。如果我们将 \(TM\) 看作所有 \(p\in M,v\in T_pM\) 的 \((p,v)\) 构成的集合，则 \(TM\) 是光滑流形且 \(\dim TM=2\dim M\)，这称为 \(M\) 上的切丛，\(T_pM\) 称为 \(TM\) 在 \(p\) 处的纤维，同理可以定义余切丛 \(T_p^*M\)。切向量场 \(X\) 指的是一个映射 \(X:M\rightarrow TM\)，对每个 \(p\in M\)，\(X(p)\in T_pM\)，即对每个 \(M\) 上的点选取了一个切向量。
记 \(\Gamma(M,TM)\) 为 \(M\) 上所有切向量场的全体，\(\Gamma(U,TM)\) 为 \(U\) 上所有切向量场的全体。
由于 \(TM\) 是光滑流形，故切向量场其实是两个光滑流形间的映射，对 \(M\) 中开集 \(U\)，若切向量场 \(X:U\rightarrow TM\) 满足 \(X\) 是流形间的光滑映射且 \(\pi\circ X=\mathrm{id}_U\)，其中 \(\pi:TM\rightarrow M,(p,v)\mapsto p\) 是投影映射，则称 \(X\) 是光滑切向量场，也称这样的映射 \(X\) 为切丛 \(TM\) 的一个截面。
对切向量场 \(X:U\rightarrow TM\) 可以考虑它对光滑函数的作用。对 \(f\in C^{\infty}(U)\)，定义
则 \(X(f):U\rightarrow \mathbb{R}\)。容易看到 \(X\) 是光滑切向量场当且仅当 \(X(f)\in C^{\infty}(U),\forall f\in C^{\infty}(U)\)，即 \(X\) 为 \(C^{\infty}(U)\) 之间的映射。
定理 2.1
\(X:U\rightarrow TM\) 是光滑切向量场当且仅当 \(\forall p\in U\)，\(X(p)\) 在局部坐标下的分量是光滑函数。
反过来，我们对 \(C^{\infty}(M)\rightarrow C^{\infty}(M)\) 的映射 \(X\) 可以用 \(X(p)(f)=X(f)(p)\) 诱导光滑切向量场，具体而言：
定理 2.2
设 \(\alpha :C^{\infty}(M)\rightarrow C^{\infty}(M)\) 为线性映射且满足 Leibniz 法则 \(\alpha(fg)=f\alpha(g)+g\alpha(f)\)，则存在唯一的光滑切向量场 \(X:M\rightarrow TM\) 使得
§ 03李群和李代数
定义 3.1
若在一个 \(\mathbb{R}-\)向量空间 \(V\) 上装备了 \([\cdot,\cdot]:V\times V\rightarrow V\) 满足反对称、双线性、Jacobi恒等式，则称 \((V,[\cdot,\cdot])\) 为Lie 代数，\([\cdot,\cdot]\) 为 Lie 括号。
我们将切向量场看成 \(C^{\infty}(M)\rightarrow C^{\infty}(M)\) 的映射，定义
也是 \(C^{\infty}(M)\rightarrow C^{\infty}(M)\) 的映射，称为 \(X,Y\) 的Lie 括号。容易验证这是线性映射且满足 Leibniz 法则，且具有反交换性 \([X,Y]=-[Y,X]\)。我们还有：
定理 3.2
- 对 \(f\in C^{\infty}(M)\) 有 \([fX,Y]=f[X,Y]-Y(f)\cdot X\)
- (Jacobi恒等式) \([X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0\)
定义 3.3
称 \(G\) 是一个李群，若 \(G\) 为微分流形，且存在乘法 \(\cdot:G\times G\rightarrow G\) 与逆 \(\iota:G\rightarrow G\) 满足 \(\cdot\) 与 \(\iota\) 都是光滑的。称 \(g=T_eG\) 为群的李代数。
命题 3.4
存在双射 \(g=T_eG\rightarrow \Gamma(G,TG)^\text{左不变}\)，且在 \(\Gamma(G,TG)^\text{左不变}\) 上有以 \(\Gamma(G,TG)\) 诱导的李括号。
§ 04单参数变换群
定义 4.1
设 \(M\) 为 \(C^{\infty}\) 流形，若 \(C^{\infty}\) 映射 \(\phi:\mathbb{R}\times M\rightarrow M,(t,p)\mapsto p\)(记 \(\phi(t,p)=\phi_t(p)=\phi_p(t)\))满足：
- \(\forall p\)，\(\phi_0(p)=p\)
- \(\forall s,t\in \mathbb{R}\)，\(\phi_s\circ \phi_t=\phi_{s+t}\)
则称 \(\phi\) 为 \(\mathbb{R}\) 在 \(M\) 上的作用，或称 \(\left\{\phi_t\right\}_{t\in \mathbb{R}}\subseteq C^{\infty }(M,M)\) 为 \(M\) 上 \(C^\infty\) 单参数变换群。
由于 \(\phi_{-t}\circ\phi_t=\phi_{t}\circ \phi_{-t}=\phi_0=\mathrm{id}\)，故 \(\phi_t\) 为微分同胚。
定义 4.2
设 \(U\subseteq M\) 含 \(p\) 的开集，在前述定义中用 \((-\varepsilon,\varepsilon)\times U\) 代替 \(\mathbb{R}\times M\)，要求 \(s,t,s+t\in (-\varepsilon,\varepsilon)\)，则称 \(\left\{\phi_t\right\}_{t\in (-\varepsilon,\varepsilon)}\) 为 \(U\) 到 \(M\) 的局部单参数变换群，\(\phi_p\) 为过 \(p\) 的轨道。
注意到我们有
从而 \(\left\{(\phi_p)_*(\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0})\right\}_{p\in U}\) 给出了 \(\Gamma(U,TM)\) 中一个元素。
定理 4.3
设 \(X\) 为局部单参数变换群 \(\left\{\phi_t\right\}_t\) 诱导的切向量场，那么
- \(\forall \phi_t\)，\((\phi_t)_*X=X\)
- 局部单参数变换群的轨道均为向量场 \(X\) 的积分曲线。
定理 4.4
设 \(X\in \Gamma(M,TM)\)，那么 \(\forall p\in M\)，\(\exists p\in V\subseteq M\) 以及 \(V\rightarrow M\) 的局部单参数变换群 \(\left\{\phi_t\right\}_t\)，使得在 \(V\) 上，\(X\) 为由 \(\left\{\phi_t\right\}_t\) 诱导的切向量场(同时 \(\left\{\phi_t\right\}_t\) 的轨道为 \(X\) 的积分曲线，此时称 \(X\) 为局部单参数变换群 \(\left\{\phi_t\right\}_t\) 的无穷小生成元)。
推论 4.5
设 \(M\) 紧流形，\(X\in \Gamma{M,TM}\)，那么 \(X\) 在 \(M\) 上生成单参数变换群，即由前述定理保证的在 \((-\varepsilon,\varepsilon)\times M\) 上定义的 \(\left\{\phi_t\right\}_t\) 在 \(\mathbb{R}\times M\) 上也存在。
定理 4.6
\(\left\{\phi_t\right\}_t\subseteq C^{\infty}(M,M)\) 为 \(M\) 上单参数变换群，\(X\) 为 \(\left\{\phi_t\right\}_t\) 诱导的切向量场，若 \(f:M\rightarrow M\) 为微分同胚，那么 \(f_*X\) 为单参数变换群 \(\left\{f\circ \phi_t\circ f^{-1}\right\}_t\) 诱导的切向量场。
推论 4.7
向量场 \(X\) 在微分同胚 \(f:M\rightarrow M\) 下不变当且仅当 \(X\) 生成的局部单参数变换群 \(\left\{\phi_t\right\}_t\) 与 \(f\) 可交换(即 \(\forall t,\phi_t\circ f=f\circ \phi_t\))
推论 4.8
设 \(X,Y\in \Gamma(M,TM)\) 对应的局部单参数变换群 \(\left\{\phi_t\right\}_t\)，\(\left\{\psi_s\right\}_s\)。那么 \(\forall s,t,s+t\in (-\varepsilon,\varepsilon)\)，\(\phi_t\psi_s=\psi_s\phi_t\) 当且仅当 \([X,Y]=0\)。
定理 4.9
设 \(X,Y\in \Gamma(M,TM)\)，\(\left\{\phi_t\right\}_t\) 为由 \(X\) 生成的局部单参数变换群，定义
为李导数，那么 \(L_XY=[X,Y]\in \Gamma(M,TM)\)。
定义 4.10
一个r 维分布 \(D\) 为 \(\bigsqcup_{p\in M} D_p\)，其中 \(D_p\subseteq T_pM\) 为 \(r\) 维子空间，使 \(D\) 构成 \(TM\) 的一个子向量丛。
若 \(\forall p\in M\)，\(\exists p\in U\subseteq M\) 以及 \(X_1,\cdots,X_r\in \Gamma(M,TM)\) 使得 \(\forall q\in U\)，\(X_1(q),\cdots,X_r(q)\) 为 \(D_q\) 的一组基，则称 \(X_1,\cdots,X_r\) 在 \(U\) 上生成分布 \(D\)。
定理 4.11Frobenius第一可积性定理
设 \(U\) 是 \(m\) 维光滑流形上的开集，\(X_1,\cdots,X_l\) 是 \(U\) 上的处处线性无关的光滑切向量场，\(l\le m\)，则存在局部坐标\((t^1,\cdots,t^m)\) 使得
当且仅当 \([X_i,X_j]=0,1\le i,j\le l\)。
完
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