第 2 章：赋范空间与对偶空间
§ 01从变分到线性泛函
考虑实值能量
沿方向 \(\eta\) 求导，在光滑性足以交换求导与积分时，
它关于 \(\eta\) 线性，但不一定只由一个普通函数与 \(\eta\) 的积分表示：边界项涉及点值。若允许点载荷，还会出现 \(\eta(c)\)。于是问题是：在我们选择的范数下，哪些线性作用是连续的？它们能怎样表示？
定义 1.1范数、Banach 空间与对偶
范数满足正定性、绝对齐次性和三角不等式；只缺少正定性的称半范数。赋范空间 \(X\) 完备时称 Banach 空间。
连续对偶是 \(X^*=\mathcal B(X,\mathbb F)\)，其元素称有界线性泛函。范数为
半范数的零空间 \(N=\{x:p(x)=0\}\) 是线性子空间；在商空间 \(X/N\) 上，\(p\) 成为范数。\(L^p\) 取几乎处处相等的等价类，就是这个思想的具体例子。
§ 02有界映射的基本性质
2.1 线性时，连续等价于有界
定理 2.1线性映射的连续性
对线性映射 \(T:X\to Y\)，以下等价：处处连续；在 \(0\) 连续；存在 \(C\) 使 \(\|Tx\|\le C\|x\|\)。
证明
线性给出 \(T(x+h)-Tx=Th\)，所以只需考虑原点。若在原点连续，可取 \(\delta>0\)，使 \(\|z\|<\delta\) 时 \(\|Tz\|<1\)。对非零 \(x\) 代入 \(z=\delta x/(2\|x\|)\)，得到 \(\|Tx\|\le2\|x\|/\delta\)。
反向由 \(\|Tx-Ty\|\le C\|x-y\|\) 直接得到。最小的 \(C\) 正是算子范数 \(\|T\|\)。
例 2.2微分算子的有界性取决于空间
\(D:C^1[0,1]\to C[0,1]\)，\(Du=u'\)，在定义域使用 \(\|u\|_{C^1}=\|u\|_\infty+\|u'\|_\infty\) 时有界。
若定义域改用一致范数，则 \(u_n(x)=\sin(nx)\) 的函数范数有界，而导数范数为 \(n\)，故 \(D\) 无界。不能只凭算子的表达式判断连续性。
2.2 多线性映射
定义 2.3有界多线性映射
对每个变量分别线性的 \(A:X_1\times\cdots\times X_m\to Y\)，称其有界，若
范数是在每个 \(\|x_j\|\le1\) 时对输出范数取上确界。该条件等价于联合连续性。
证明联合连续性时，用望远镜展开将 \(A(x_1,\ldots,x_m)-A(y_1,\ldots,y_m)\) 写成 \(m\) 项，每项只有一个变量取差。在有界集合上便得到 Lipschitz 估计。反向使用原点邻域中的连续性与各变量缩放。
固定双线性形式的第一个变量，得到
这个等距关系连接“形式”和“算子”。第三章的半双线性形式需要再处理共轭，不能直接当作复双线性形式。
2.3 稠密子空间上的扩张
定理 2.4唯一连续扩张
若 \(E\subset X\) 是稠密线性子空间，\(Y\) 是 Banach 空间，则每个 \(T\in\mathcal B(E,Y)\) 唯一扩张为 \(\widetilde T\in\mathcal B(X,Y)\)，且范数不变。
证明
对 \(x\in X\) 取 \(x_n\in E\)、\(x_n\to x\)。估计
表明 \(Tx_n\) 是 Cauchy 列，因此在 \(Y\) 中有极限。定义 \(\widetilde Tx=\lim Tx_n\)。若换一个逼近列 \(y_n\)，\(\|Tx_n-Ty_n\|\to0\)，所以定义与选择无关。
把线性等式和范数估计取极限，得到线性及 \(\|\widetilde T\|\le\|T\|\)；限制回 \(E\) 得反向不等式。稠密性与连续性给出唯一性。
注意只要求值域完备，不要求 \(X\) 完备。对标量值泛函，值域的完备性已自动满足，因此 \(E^*\simeq X^*\)。
§ 03完备性在什么地方起作用
定理 3.1有界算子空间的完备性
若 \(Y\) 完备，则 \(\mathcal B(X,Y)\) 完备。因此 \(X^*\) 总是 Banach 空间，即使 \(X\) 不完备。
证明
若 \(T_n\) 在算子范数下是 Cauchy 列，对每个 \(x\)，\(T_nx\) 在 \(Y\) 中收敛。令 \(Tx=\lim_nT_nx\)，则 \(T\) 线性，且 \(\|Tx\|\le(\sup_n\|T_n\|)\|x\|\)。
对充分大的 \(n,m\)，有 \(\|(T_n-T_m)x\|\le\varepsilon\|x\|\)。固定 \(n,x\)，令 \(m\to\infty\)，再对 \(\|x\|\le1\) 取上确界，得到 \(\|T_n-T\|\le\varepsilon\)。
定理 3.2\(L^p\) 与 \(\ell^p\) 的完备性
对 \(1\le p\le\infty\)，\(L^p(\mu)\) 和 \(\ell^p\) 都是 Banach 空间。
证明：先取一个误差可求和的子列
对 \(p<\infty\)，从 Cauchy 列中取子列 \(f_{n_k}\)，使 \(\|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p\le2^{-k}\)。令
Minkowski 给出 \(\|g_N\|_p\le1\)。由单调收敛，\(g=\lim g_N\in L^p\)，故差分级数几乎处处绝对收敛，定义极限 \(f\)。
同样估计尾和，得到 \(\|f-f_{n_k}\|_p\le\sum_{j\ge k}2^{-j}\)。原列 Cauchy，因而全列趋于 \(f\)。
对 \(p=\infty\)，移去可数个零测集后，Cauchy 列成为一致 Cauchy 列，其逐点极限满足同样的一致估计。计数测度给出 \(\ell^p\) 的情形。
两个不同角色
完备性作为值域条件，保证扩张、求和与逐点构造的极限存在；作为定义域条件，它在第十章通过 Baire 定理控制整族算子。不要把这两个用途混成一句“泛函分析需要完备空间”。
有限维空间的所有范数等价，因而都是完备的。证明可把任意范数与坐标最大范数比较：三角不等式给出上界，坐标单位球面的紧性和范数正定性给出严格正的下界。
但无限维闭单位球不再范数紧。Riesz 引理说明：若 \(M\) 是真闭子空间，\(0<\theta<1\)，存在单位向量 \(x\) 使 \(\operatorname{dist}(x,M)>\theta\)。取 \(y\notin M\)，令 \(d=\operatorname{dist}(y,M)>0\)，选 \(m\in M\) 满足 \(\|y-m\|<d/\theta\)，再归一化 \(y-m\) 即可。逐次对有限维张成空间应用此引理，可构造彼此距离大于 \(\theta\) 的单位向量列。
§ 04常见对偶空间与矩问题
4.1 数列空间
定理 4.1数列空间的对偶
若 \(1\le p<\infty\)，\(1/p+1/q=1\)，则 \(\ell^p{}^*\simeq\ell^q\)，配对为 \(f_g(x)=\sum_nx_ng_n\)。此外 \(c_0^*\simeq\ell^1\)，其中 \(c_0\) 是趋于零的数列空间。
证明
Hölder 保证 \(g\) 定义有界泛函且范数至多为 \(\|g\|_q\)。给定泛函 \(f\)，令 \(g_n=f(e_n)\)，它在有限支撑数列上的作用必为上述和。
在前 \(N\) 个坐标上使用有限维 Hölder 等号的取值，得到 \(\|(g_1,\ldots,g_N)\|_q\le\|f\|\)。对 \(p=1\) 直接测试每个 \(e_n\)。令 \(N\to\infty\) 得 \(g\in\ell^q\)；有限支撑数列稠密，故表示式扩张到全部 \(\ell^p\)。
对 \(c_0\)，在前 \(N\) 个坐标取模为 \(1\)、与 \(g_n\) 相位抵消的 \(x_n\)，得到 \(\sum_{n\le N}|g_n|\le\|f\|\)，所以 \(g\in\ell^1\)。余下同样由稠密性完成。上述测试也给出范数等式。
4.2 \(L^p\) 空间
定理 4.2\(L^p\) 对偶：\(\sigma\)-有限测度版本
若 \(\mu\) 为 \(\sigma\)-有限正测度，\(1\le p<\infty\)，\(1/p+1/q=1\)，则
这里使用不带共轭的对偶配对，故 \(g\mapsto f_g\) 是线性的。若使用 \(\int\overline g u\)，参数映射则为共轭线性。
证明：先恢复测度，再恢复密度
先假设 \(\mu(X)<\infty\)。给定 \(f\in L^p{}^*\)，定义 \(\nu(E)=f(\mathbf1_E)\)。不交集合的示性函数部分和在 \(L^p\) 中趋于并集的示性函数，所以 \(\nu\) 可数可加。
对有限可测分割 \((E_j)\)，选择模为 \(1\) 的常数 \(a_j\)，使 \(a_j\nu(E_j)=|\nu(E_j)|\)。于是
故 \(\nu\) 是有限变差测度，且 \(\nu\ll\mu\)。Radon–Nikodym 定理给出密度 \(g\)，表示式先在简单函数上成立。
用截断的 Hölder 等号函数测试：当 \(1<p<\infty\) 时取与 \(g\) 相位抵消、模为 \(|g|^{q-1}\mathbf1_{\{|g|\le N\}}\) 的函数，得到截断 \(L^q\) 范数不超过 \(\|f\|\)；令 \(N\to\infty\) 得 \(g\in L^q\)。对 \(p=1\)，在 \(\{|g|>C\}\) 上测试相位函数，得到 \(|g|\le\|f\|\) 几乎处处。
简单函数在 \(L^p\) 中稠密，完成表示与范数等式。一般 \(\sigma\)-有限情形，先在有限测度块上构造密度，再拼接；对有限个块的联合做同样测试，得到全空间的范数控制。
端点不能机械套用
一般不能写 \(L^\infty{}^*=L^1\) 或 \(\ell^\infty{}^*=\ell^1\)。无限范数下有限支撑或简单截断通常不稠密，以上证明的关键一步失效。第九章会给出具体的非自反性与额外泛函。
4.3 矩问题的统一表述
设测试函数 \(\phi_1,\phi_2,\ldots\) 张成稠密子空间 \(E\subset X\)。已知数据 \(c_j\)，希望存在 \(f\in X^*\) 满足 \(f(\phi_j)=c_j\)。
这些数据先要与线性关系相容：若 \(\sum a_j\phi_j=0\)，则必须有 \(\sum a_jc_j=0\)。其次必须满足同一个有界性估计
这两个条件让数据在 \(E\) 上定义有界泛函，连续扩张定理给出唯一的 \(f\)。若 \(X=C[a,b]\)，Riesz 表示把 \(f\) 变成测度；若 \(X=L^2(\mathbb T)\)，对偶表示把 Fourier 系数变成一个 \(L^2\) 函数。矩问题、逼近问题和对偶空间的刻画由同一估计连接起来。
§ 05弱-* 拓扑与紧性
定义 5.1弱-* 收敛
在 \(X^*\) 上，\(\sigma(X^*,X)\) 是使所有 \(f\mapsto f(x)\) 连续的最弱拓扑。网 \(f_\alpha\overset{*}{\rightharpoonup}f\) 当且仅当对每个 \(x\in X\)，\(f_\alpha(x)\to f(x)\)。
弱-* 邻域只要求有限个测试值接近。算子范数收敛则要求对整个单位球同时控制。
定理 5.2一致有界时，只需检查稠密测试集
设 \(E\subset X\) 线性稠密，\(\sup_\alpha\|f_\alpha\|\le M\)。若每个 \(x\in E\) 的 \(f_\alpha(x)\) 都有极限，则极限定义某个 \(f\in X^*\)，且全网弱-* 趋于 \(f\)。
证明
在 \(E\) 上定义 \(f(x)=\lim_\alpha f_\alpha(x)\)，则 \(|f(x)|\le M\|x\|\)，因此唯一扩张到 \(X\)。给定 \(x\in X\)，用 \(y\in E\) 逼近它：
先固定充分近的 \(y\)，再让 \(\alpha\) 充分大即可。没有共同的 \(M\)，误差项无法控制。
定理 5.3Banach–Alaoglu 定理
\(X^*\) 的闭单位球在弱-* 拓扑下紧。这里不要求 \(X\) 完备。
证明
把单位球中的 \(f\) 视为坐标族 \((f(x))_{x\in X}\)，它属于紧空间
Tychonoff 定理给出乘积紧性。线性条件 \(f(ax+by)=af(x)+bf(y)\) 是闭条件，范数上界也已编码到每个坐标。因此这些条件确定的闭子集正是对偶闭单位球，它紧。继承的乘积拓扑正是弱-* 拓扑。
若 \(X\) 可分，在单位球内取可数稠密测试点 \(x_j\)，使用度量
即可描述弱-* 拓扑。逐坐标抽子列的对角法给出列紧性。不可分时，一般只能保证收敛子网。
范数对弱-* 拓扑下半连续：若 \(f_\alpha\overset{*}{\rightharpoonup}f\)，则
证明对每个单位向量测试，再取上确界即可。弱-* 极限可能丢失范数。若前对偶 \(X\) 完备，对弱-* 收敛序列，范数有界性可由第十章一致有界原理推出；一般赋范前对偶下结论会失败，一般网也不可直接使用这一说法，故本章一直显式要求统一范数界。
§ 06具体的弱-* 极限
6.1 数列与函数
在有界子集上，\(\ell^p\)、\(1<p\le\infty\) 视为 \(\ell^q{}^*\) 时，弱-* 收敛等价于逐坐标收敛；\(\ell^1=c_0^*\) 也有相同结论。理由是有限支撑测试向量稠密，再使用上一节的统一范数估计。
在 \(L^p\) 中，“逐点”则不能这样直接推广。对 \(1<p<\infty\)，范数有界且几乎处处收敛的序列确实弱收敛；证明是在有限测度集合上用 Egorov 定理得到大集合上的一致收敛，对小集合用 Hölder 控制，再用简单函数稠密性扩张测试。\(L^\infty\) 的统一本质上界加几乎处处收敛，由控制收敛直接给出 \(\sigma(L^\infty,L^1)\) 收敛。
对 \(p=1\) 结论失败：第一章的 \(n\mathbf1_{(0,1/n)}\) 范数为 \(1\)、几乎处处趋于零，但用常数 \(1\) 测试积分始终为 \(1\)。质量集中需要额外的统一可积性条件。
在 Radon 测度空间中，\(C_c\) 对有限 \(L^p\) 范数稠密。这来自对简单函数的逼近：先用正则性把可测集合夹在紧集与开集之间，再用连续支撑函数逼近示性函数。对 \(L^\infty\)，这种逼近一般只有弱-* 意义；例如阶跃函数通常不能由连续函数在本质上确界范数下逼近。
6.2 测度、分布函数与有限和
对紧区间 \(K\)，\(\mu_n\overset{*}{\rightharpoonup}\mu\) 指所有 \(f\in C(K)\) 满足
若 \(\mu_n,\mu\) 为概率测度，弱-* 收敛推出分布函数在极限分布的连续点收敛；反过来，在紧区间上，分布函数在连续点收敛并保持总质量，也推出上述积分收敛。证明用端点均为连续点的区间逼近连续测试函数。跳跃点处不能要求分布函数必然收敛。
定理 6.1Helly 选择：分布函数版本
紧区间上的一列正测度若总质量一致有界，就有弱-* 收敛子列。相应的递增分布函数，在极限分布函数的连续点收敛。
证明
在可数稠密点集上逐点抽取子列，再作对角子列，得到各稠密点的取值极限。它们递增，用右极限延拓得到右连续递增函数。
在延拓函数的连续点，从左右选稠密点夹逼，得到分布函数收敛。区间左端允许出现新原子，必须保留端点质量；总质量也作为一个单独测试值取极限。按第一章构造 Stieltjes 测度，再以连续函数的一致分段逼近证明积分收敛。
也可直接用 \(C(K)\) 可分性与 Banach–Alaoglu；正性在极限中保留，因此极限仍是正测度。
有限和怎样变成积分？将 \(K=[a,b]\) 划成细小的 Borel 分块 \(E_j\)，每块取 \(x_j\in E_j\)，定义
对 \(f\in C(K)\)，
其中 \(\omega_f\) 是连续模。一般局部紧空间按“有限测试集与容许误差”作有向指标，也可得到有限原子测度的弱-* 逼近。这比要求在总变差范数下逼近弱得多。
非紧空间上的质量逃逸
在 \(\mathbb R\) 上，\(\delta_n\) 对每个 \(f\in C_0(\mathbb R)\) 的积分趋于零，但每个测度的总质量仍为 \(1\)。因此 \(C_0^*\) 弱-* 收敛不能自动保存总质量；在紧空间上常数 \(1\) 是合法测试函数，便不会发生这个问题。
§ 07赋范空间、延拓与对偶的完整表述
本节约定 \(\mathbb F=\mathbb R\) 或 \(\mathbb C\)，所有线性映射均为 \(\mathbb F\)-线性。\(B_V\) 表示闭单位球，算子范数中的上确界可在开球或闭球上取，值相同。
从范数到算子范数
先确认哪些有限维直觉能保留：三角不等式给范数的连续性，线性结构使一点连续等价于统一有界估计。这种估计随后成为延拓和极限的共同依据。
定理 7.1经典 Riesz–Fréchet 表示
在 \(L^2([ -\pi,\pi],dm/(2\pi))\) 中，映射 \(f\mapsto(g\mapsto(2\pi)^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}fg\,dm)\) 是到其连续线性对偶的线性等距同构。若采用内积记号，则同一泛函写成 \(\langle\overline f,g\rangle\)，避免混淆线性与共轭线性。
证明 2.2.1
先证明积分给出的泛函有界：Cauchy–Schwarz 给出 \(|\int fg\,dm/(2\pi)|\leq\|f\|_2\|g\|_2\)；取 \(g=\overline f/\|f\|_2\) 又得到范数等式。
反过来，设 \(\Lambda\) 是有界泛函。在正交三角函数族 \(e_k(x)=e^{ikx}\) 上令 \(a_k=\Lambda(e_k)\)。对有限指标集 \(F\)，将 \(g=\sum_{k\in F}\overline{a_k}e_k\) 代入，有 \(\sum_{k\in F}|a_k|^2\leq\|\Lambda\|(\sum_{k\in F}|a_k|^2)^{1/2}\)，所以 \((a_k)\in\ell^2\)。由 Riesz–Fischer 定理构造 \(f\)，令其 Fourier 系数满足 \(\widehat f(-k)=a_k\)，则积分泛函与 \(\Lambda\) 在全部三角多项式上相同。三角多项式在 \(L^2\) 中稠密，两个有界泛函因而相等；同一稠密性给出唯一性。这里 Riesz–Fischer 的证明只使用 \(L^2\) 完备性，见定理 2.2.12，未使用本结论。
定理 7.2有界逐点极限
设 \(1<p\leq\infty\)，\(q\) 为共轭指数。\([a,b]\) 上一致 \(L^p\) 有界的序列若逐点趋于 \(f\)，则 \(f\in L^p\)，且对每个 \(g\in L^q\)，\(\int f_ng\,dm\to\int fg\,dm\)。
证明 2.2.7
记 \(C=\sup_n\|f_n\|_p\)。\(p<\infty\) 时 Fatou 给出 \(\|f\|_p\leq C\)；\(p=\infty\) 时删去可数个零测集后，全部 \(|f_n|\leq C\)，故 \(|f|\leq C\)。
对有限测度集合 \(E\) 和 \(\varepsilon>0\)，令 \(A_n=\{x\in E:|f_n-f|\geq\varepsilon\}\)。逐点收敛及测度从上连续性给出 \(\mu(A_n)\to0\)。Hölder 不等式于是给出
先令 \(n\to\infty\)，再令 \(\varepsilon\downarrow0\)，得到对每个示性函数的配对收敛。可积简单函数在 \(L^q\) 中稠密；若 \(\|g-s\|_q\) 很小，则 \(|\int(f_n-f)(g-s)|\leq2C\|g-s\|_q\)。这就把收敛推广到任意 \(g\in L^q\)。
定理 7.3原函数判据
在上述一致有界条件下，\(f_n\) 在 \(L^p=(L^q)^*\) 中弱-* 收敛，当且仅当每个 \(x\in[a,b]\) 的 \(\int_a^x f_n\,dm\) 有极限。它弱-* 趋于给定 \(f\)，当且仅当这些极限等于 \(\int_a^x f\,dm\)。
证明 2.2.8
必要性用 \(g=\mathbf1_{[a,x]}\) 测试。反过来，区间示性函数是两个这种测试函数之差，因此已知极限决定全部阶梯函数上的配对极限。阶梯函数在 \(L^q([a,b])\) 中稠密，且配对泛函的范数由同一个 \(C\) 控制。定理 2.6.2 便产生 \(L^q\) 上的有界极限泛函；\(L^q\) 对偶表示将它写成某个 \(f\in L^p\)。若事先给定 \(f\)，只须比较稠密测试集上的值，便能判定极限是否正是它。
定理 7.4累积函数与弱-* 极限
设 \(\rho_n:[a,b]\to[0,\infty)\) 单调且一致有界。\(d\rho_n\to d\rho\) 对全部 \(C([a,b])\) 测试函数弱-* 收敛，当且仅当 \(\rho_n(b)\to\rho(b)\) 且在 \(\rho\) 的每个内部连续点逐点收敛。存在某个这样的极限测度，当且仅当 \(\rho_n\) 在某个稠密点集及 \(b\) 处均有逐点极限。
证明 2.2.9
递增累积函数对应正测度，总质量为 \(\rho_n(b)\)。若测度弱-*收敛，常数函数 \(1\) 保证总质量收敛。在极限累积函数的内部连续点 \(x\)，用在 \(x\) 左右窄带上过渡的连续函数分别从下、从上逼近 \(\mathbf1_{[a,x]}\)；窄带的极限测度质量趋于零，得到 \(\rho_n(x)\to\rho(x)\)。
反过来，选择内部端点均为 \(\rho\) 连续点的细分划。各分块的质量由累积函数的差确定，最后一块还使用总质量。对连续 \(g\)，阶梯近似误差不超过 \(\omega_g(h)\sup_n\rho_n(b)\)，所以分块质量收敛推出 \(\int g\,d\rho_n\to\int g\,d\rho\)。
若只知稠密点集和 \(b\) 处有极限，先以单调性延拓这些值，再取右连续代表；左右夹逼给出其内部连续点上的收敛，右端值由总质量单独保留。前两段便给出极限测度。左端可能产生新原子，不能把左端取值也强行当作必须逐点收敛的量。
定理 7.5Riesz–Fischer 定理
每个 \((c_k)_{k\in\mathbb Z}\in\ell^2(\mathbb Z)\) 都唯一对应某个 \(f\in L^2([ -\pi,\pi],dm/(2\pi))\)，满足 \(c_k=(2\pi)^{-1}\int f(x)e^{-ikx}\,dm(x)\)。并有 \(\|f\|_2^2=\sum_k|c_k|^2\)。
证明 2.2.12
对有限 \(F\subset\mathbb Z\)，令 \(s_F=\sum_{k\in F}c_ke_k\)。正交性给出 \(\|s_F-s_G\|_2^2=\sum_{k\in F\triangle G}|c_k|^2\)，因此这些有限和是 Cauchy 网；\(L^2\) 完备性给出极限 \(f\)。与固定 \(e_k\) 配对并取极限，得到所需 Fourier 系数。又有 \(\|f\|_2^2=\lim_F\|s_F\|_2^2=\sum_k|c_k|^2\)。
若两个函数具有同样的系数，其差与全部三角多项式正交。三角多项式的稠密性使该差为零，从而唯一。这里三角多项式的稠密性来自连续函数的 Fourier 逼近及连续函数在 \(L^2\) 中的稠密性。
多线性估计的缩放
多线性映射需要每个变量各自提供一个范数因子。在零点附近的一次统一控制，通过逐变量缩放便能变成全局乘积估计；半双线性形式也用相同方法处理。
定义 7.6半范数与范数
半范数满足 \(\|av\|=|a|\|v\|\) 和 \(\|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|\)。若 \(\|v\|=0\) 还蕴含 \(v=0\)，则是范数。赋范空间取距离 \(d(u,v)=\|u-v\|\)；其子空间取限制范数，可分性指此范数拓扑下可分。
命题 7.7消去半范数的零空间
\(V_0=\{v:\|v\|=0\}\) 为线性子空间，商空间有唯一范数 \(\|v+V_0\|=\|v\|\)。三角不等式保证代表元改变不影响此值。
证明 2.3.4
三角不等式给出 \(\|u+v\|\leq0\)、\(\|av\|=0\)，所以零空间线性。若 \(v-w\in V_0\)，则 \(\|v\|\leq\|w\|+\|v-w\|=\|w\|\)，交换二者得到 \(\|v\|=\|w\|\)。故商上的取值良定义；齐次性、三角不等式由原半范数继承，而商范数为零意味着 \(v\in V_0\)，即零陪集。
定义 7.8Banach 空间
完备的实或复赋范空间称为相应域上的 Banach 空间。
定义 7.9多线性映射及其范数
\(T:V_1\times\cdots\times V_N\to W\) 多线性，指固定其余变量后对每个变量线性。其算子范数为 \(\|T\|=\sup_{\|v_j\|\leq1}\|T(v_1,\ldots,v_N)\|\)；值有限时称有界，等价于 \(\|T(v_1,\ldots,v_N)\|\leq\|T\|\prod_j\|v_j\|\)。
定义 7.10算子空间与对偶
记 \(\mathcal L(V_1\times\cdots\times V_N,W)\) 为全部有界多线性映射。\(\mathcal L(V)=\mathcal L(V,V)\)，\(V^*=\mathcal L(V,\mathbb F)\)。算子可逆指存在有界双侧逆 \(T^{-1}\)。
命题 7.11多线性映射的连续性
多线性映射的以下性质等价：处处连续；在原点连续；有界；在每个有界乘积球上 Lipschitz 连续；在单位乘积球上 Lipschitz 连续。使用最大值乘积度量时，在半径 \(R\) 的乘积球上 Lipschitz 常数可取 \(NR^{N-1}\|T\|\)。
证明 2.3.10
原点连续时，存在 \(\delta>0\)，使全部 \(\|v_j\|<\delta\) 时 \(\|T(v_1,\ldots,v_N)\|\leq1\)。将每个非零 \(v_j\) 缩放到长度 \(\delta/2\)，多线性性给出 \(\|T(v_1,\ldots,v_N)\|\leq(2/\delta)^N\prod_j\|v_j\|\)，所以有界。
反过来，对 \(u_j,v_j\) 都在半径 \(R\) 的球中，用逐个替换变量的望远镜分解：
其范数不超过 \(\|T\|R^{N-1}\sum_j\|u_j-v_j\|\)，这给出局部 Lipschitz 及处处连续。单位乘积球上的 Lipschitz 性也给出原点连续，故全部条件等价。
推论 7.12核是闭子空间
有界线性映射 \(T:V\to W\) 的核为闭线性子空间。
证明 2.3.11
若 \(v_\alpha\in\ker T\) 且 \(v_\alpha\to v\)，连续性给出 \(Tv=\lim_\alpha Tv_\alpha=0\)，所以核闭。线性性直接给出核对加法和标量乘法封闭。
把稠密数据延拓到全空间
稠密子空间决定候选极限的唯一性，目标空间完备保证该候选确实存在。下面分别处理单个算子的延拓、算子族的极限及算子空间自身的完备性，避免把这三个作用混在一起。
定理 7.13稠密子空间上的延拓
若 \(W\) 完备，\(U_j\subset V_j\) 为稠密线性子空间，则限制映射 \(\mathcal L(V_1\times\cdots\times V_N,W)\to\mathcal L(U_1\times\cdots\times U_N,W)\) 为线性等距同构。没有值域完备性时，限制仍等距，但未必满射。
证明 2.4.2
对 \(v_j\in V_j\)，在 \(U_j\) 内取 \(u_{j,n}\to v_j\)。各近似序列有界，用上一命题的望远镜估计，\(T(u_{1,n},\ldots,u_{N,n})\) 是 Cauchy 序列。值域完备使它有极限，定义为 \(\widetilde T(v_1,\ldots,v_N)\)。
换一组近似仍由同一估计得到相同极限。对近似式取极限，保留多线性性及 \(\|\widetilde T(v_\bullet)\|\leq\|T\|\prod_j\|v_j\|\)。限制给出相反的范数不等式，故范数相等。两个连续延拓在稠密乘积上相同便处处相同。若值域不完备，Cauchy 像可能只有完备化中的极限，这正是满射可能失效的步骤。
推论 7.14稠密子空间的对偶
若 \(U\) 在 \(V\) 中线性稠密，则限制 \(V^*\to U^*\) 为线性等距同构。
证明 2.4.3
将定理 2.4.2 取 \(N=1\)、\(W=\mathbb F\)；标量域完备，所以每个 \(U\) 上有界泛函唯一保范数延拓到 \(V\)。限制与延拓互为逆映射，且线性。
命题 7.15稠密测试集足以判定极限
若 \(E_j\) 线性张成在 \(V_j\) 中稠密，\(T_\alpha\) 一致有界，\(T\) 有界，且 \(T_\alpha\to T\) 在 \(E_1\times\cdots\times E_N\) 上逐点成立，则它在全部 \(V_1\times\cdots\times V_N\) 上逐点成立。
证明 2.4.5
先利用多线性性把收敛从各 \(E_j\) 推广到各自的线性张成。对任意固定的 \(v_j\)，选择这些张成中的 \(u_j\) 逼近。统一范数界 \(C\) 和望远镜分解给出
先把第二项选到任意小，再让 \(\alpha\) 足够大使第一项小，即得全空间的逐点收敛。
定理 7.16从稠密测试集构造极限
若再假设 \(W\) 完备，只要一致有界的 \(T_\alpha\) 在上述稠密测试集上逐点有极限，就存在有界多线性 \(T\)，使它在全空间逐点收敛，并有 \(\|T\|\leq\liminf_\alpha\|T_\alpha\|\)。
证明 2.4.6
在稠密线性张成上定义 \(S(u_\bullet)=\lim_\alpha T_\alpha(u_\bullet)\)。线性关系由取极限保留，且 \(\|S(u_\bullet)\|\leq C\prod_j\|u_j\|\)。定理 2.4.2 将它延拓为 \(T\)，定理 2.4.5 给出全空间收敛。
对任意单位球内的 \(v_j\)，\(\|T(v_\bullet)\|\leq\liminf_\alpha\|T_\alpha\|\)；在全部这类变量上取上确界，便得范数的下半连续估计。若只在非线性的测试集合上给出极限，先通过多线性关系定义其张成上的值；原来的 \(T_\alpha\) 自动保证定义与线性表示无关。
定理 7.17算子空间的闭性
将有界多线性映射限制到乘积单位球，可将 \(\mathcal L(V_1\times\cdots\times V_N,W)\) 等距识别为该球上有界 \(W\) 值函数空间中的闭线性子空间。
证明 2.4.8
限制到乘积单位球显然保算子范数。若限制函数一致收敛到 \(f\)，对一般非零 \(v_j\) 用齐次性把它们缩放到单位球，再乘回各范数，定义极限映射 \(T\)。在各变量上对线性关系取极限，可见 \(T\) 多线性。统一收敛保证它有界并在单位球上等于 \(f\)，故像为闭子空间。
推论 7.18算子空间的完备性
值域 \(W\) 完备时，\(\mathcal L(V_1\times\cdots\times V_N,W)\) 在算子范数下完备。
证明 2.4.9
有界函数空间在值域完备时按一致范数完备：一致 Cauchy 序列在每一点有极限，统一 Cauchy 估计再保证一致收敛。定理 2.4.8 将算子空间识别为其中的闭子空间；闭子空间继承完备性。
命题 7.19向量值序列空间
若 \(W\) 完备，则任意集合 \(X\) 上的 \(\ell^p(X,W)\) 对 \(1\leq p\leq\infty\) 均完备；\(p<\infty\) 的求和采用有限子集网。
证明 2.4.10
设 \((f_n)\) 为 \(\ell^p(X,W)\) 的 Cauchy 序列。每个坐标的差都不超过 \(\|f_n-f_m\|_p\)，所以值域完备性给出 \(f(x)=\lim_nf_n(x)\)。对有限 \(F\subset X\)，先在有限和中取极限，得到
再取有限集上确界，便得 \(f_n-f\in\ell^p\) 及范数收敛，也由三角不等式得到 \(f\in\ell^p\)。\(p=\infty\) 时把有限和改为各坐标的上确界，得到一致收敛的同一论证。
推论 7.20对偶总是完备
任意赋范空间 \(V\) 的连续对偶 \(V^*\) 都是 Banach 空间，即使 \(V\) 本身不完备。
证明 2.4.11
在推论 2.4.9 中取一个变量和值域 \(\mathbb F\)。值域完备即可保证算子空间 \(V^*\) 完备，原定义域的完备性没有参与证明。
完备性怎样经过对偶
有界泛函的数值落在完备标量域，因此对偶空间自动完备。把不同范数或算子空间联系起来时，还须检查作用映射是否有界，才能把这种完备性传过去。
命题 7.21多线性映射的柯里化
映射 \(T\mapsto[(u_1,\ldots,u_M)\mapsto T(u_1,\ldots,u_M,\cdot,\ldots,\cdot)]\) 给出 \(\mathcal L(U_1\times\cdots\times U_M\times V_1\times\cdots\times V_N,W)\) 与 \(\mathcal L(U_1\times\cdots\times U_M,\mathcal L(V_1\times\cdots\times V_N,W))\) 的线性等距同构。
证明 2.5.1
给定 \(T\)，固定前 \(M\) 个变量后得到后 \(N\) 个变量上的有界多线性映射，其范数至多为 \(\|T\|\prod_{j=1}^M\|u_j\|\)。因此柯里化映射有界多线性。把两组变量分别取单位球并取上确界，得到两种算子范数完全相同。逆映射把内部算子再作用于后面各变量；逐变量线性及同一范数估计证明它确实是逆映射。
推论 7.22双线性形式与对偶值映射
\(\mathcal L(U\times V,\mathbb F)\cong\mathcal L(U,V^*)\)，同构为 \(T\mapsto[u\mapsto T(u,\cdot)]\)，保持算子范数。
证明 2.5.2
在定理 2.5.1 中取两个变量及标量值域。固定 \(u\) 后，\(v\mapsto T(u,v)\) 是 \(V^*\) 中的元素；两侧范数都是 \(\sup_{\|u\|,\|v\|\leq1}|T(u,v)|\)，因此同构等距。
推论 7.23具有前对偶的空间
若 \(V=V_*^*\) 等距识别，则 \(\mathcal L(V\times V_*,\mathbb F)\cong\mathcal L(V)\) 等距；双线性形式的第二变量作用确定 \(V\) 中的一个向量。
证明 2.5.3
若 \(V=V_*^*\)，固定第一个变量 \(v\) 后，第二变量上的泛函 \(w\mapsto T(v,w)\) 正好是 \(V_*^*\) 中的一个元素，即某个 \(Av\in V\)。双线性性给出 \(A\) 线性，范数等式给出 \(\|A\|=\|T\|\)。反过来，有界 \(A:V\to V\) 定义 \(T(v,w)=(Av)(w)\)；这两个构造互逆。前对偶条件保证代表向量留在 \(V\) 中。
延拓和稠密测试的统一证明
先在稠密线性张成上利用多线性性定义极限。用望远镜分解逐个替换变量，每一项由算子范数和其余变量的范数乘积控制。因此在有界集上具有统一误差界。近似各变量后，极限像构成值域中的 Cauchy 网；完备性保证存在。相同估计给出唯一性、保范数及 \(\|T\|\leq\liminf\|T_\alpha\|\)。算子范数 Cauchy 序列在单位球上一致收敛，极限继续保持多线性关系，故算子空间完备。
§ 08弱-* 拓扑与测度极限的精确条件
下列 \(L^p\) 结果假设测度 \(\sigma\)-有限，\(1<p\leq\infty\)，\(1/p+1/q=1\)。\(p<\infty\) 时这里的弱-* 拓扑与通常的弱拓扑一致；\(p=\infty\) 时测试空间是 \(L^1\)。
只观察有限个测试值
弱-* 邻域只控制有限个向量上的泛函值。统一范数界使稠密测试足够，而单位球的紧性允许从近似网中取极限。可分性另提供可数测试，从而恢复子列抽取。
定义 8.1弱-* 拓扑
将 \(V^*\) 嵌入 \(\mathbb F^V\)，其乘积子空间拓扑称 \(\sigma(V^*,V)\)。网 \(\varphi_\alpha\to\varphi\) 当且仅当每个 \(v\in V\) 都有 \(\varphi_\alpha(v)\to\varphi(v)\)。此拓扑是 Hausdorff 拓扑。
定理 8.2弱-* 极限的稠密测试
若 \(E\) 的线性张成稠密，且 \(\sup_\alpha\|\varphi_\alpha\|<\infty\)，则存在弱-* 极限当且仅当对全部 \(v\in E\) 数值 \(\varphi_\alpha(v)\) 有极限；这些数值也唯一确定极限。
证明 2.6.2
必要性直接由弱-*收敛定义。充分性中，在 \(\operatorname{span}E\) 上令 \(\varphi(v)=\lim_\alpha\varphi_\alpha(v)\)。原泛函的线性关系保证它良定义且线性，统一界给出 \(|\varphi(v)|\leq C\|v\|\)，所以保范数延拓到 \(V\)。
任取 \(v\in V\) 和稠密张成中的 \(u\)，有 \(|\varphi_\alpha(v)-\varphi(v)|\leq2C\|v-u\|+|\varphi_\alpha(u)-\varphi(u)|\)。先选 \(u\)，后选指标，得到弱-*收敛；在稠密集上相同的连续泛函唯一。
命题 8.3弱-* 下半连续性
弱-* 收敛网满足 \(\|\varphi\|\leq\liminf_\alpha\|\varphi_\alpha\|\)。因此对偶范数弱-* 下半连续，闭范数球弱-* 闭。
证明 2.6.4
固定 \(\|v\|\leq1\)，弱-*收敛给出
右边与 \(v\) 无关，在单位球上取上确界即得结论。特别地，若每个 \(\|\varphi_\alpha\|\leq R\)，极限也满足 \(\|\varphi\|\leq R\)；这说明闭范数球弱-*闭。也可将该球写成闭集的交 \(\bigcap_{v\in V}\{\varphi:|\varphi(v)|\leq R\|v\|\}\)，直接看见下半连续性。
定理 8.4Banach–Alaoglu 定理
任意赋范空间 \(V\) 的对偶闭单位球弱-* 紧，因而是紧 Hausdorff 空间。这里不要求 \(V\) 完备。
证明 2.6.5
把 \(\|\varphi\|\leq1\) 的泛函嵌入 \(\prod_{v\in V}\{z\in\mathbb F:|z|\leq\|v\|\}\)。各坐标闭圆盘紧，Tychonoff 定理使乘积紧。加法关系 \(z_{u+v}=z_u+z_v\) 及齐次关系 \(z_{av}=az_v\) 都是闭条件；满足它们的坐标族恰为范数至多一的线性泛函。因此对偶球是紧乘积的闭子集。继承的坐标拓扑正是弱-*拓扑，且坐标能分离不同泛函，故 Hausdorff。
命题 8.5可分前对偶
若 \(V\) 可分，对偶闭单位球的弱-* 拓扑第二可数且可度量，故每个球内序列都有弱-* 收敛子列。
证明 2.6.6
取可数稠密集 \((v_j)\)。在闭单位球内，仅检查这些坐标即可检查全部向量：任意 \(v\) 的测试误差不超过 \(2\|v-v_j\|\) 加上该坐标误差。因此球上的拓扑由可数坐标诱导，可使用
稠密性保证这是真正的度量，有限坐标控制和级数尾项估计证明它给出弱-*拓扑。可数个坐标的有理圆盘构成可数拓扑基；结合弱-*紧性，得到紧度量空间的列紧性。
把弱-* 收敛写成积分
在函数空间中，测试值就是积分。半直线指标提供容易计算的测试族，连续函数提供适合拓扑的测试族；把它们扩到全部对偶测试时，都必须用统一范数界控制误差。
定理 8.6有限实直线测度的累积测试
若 \(\mu\) 为 \(\mathbb R\) 上有限 Borel 测度，\(f_\alpha\) 一致 \(L^p\) 有界，则其弱-* 收敛当且仅当每个 \(x\) 的 \(\int_{(-\infty,x]}f_\alpha\,d\mu\) 有极限；弱-* 趋于 \(f\) 当且仅当这些极限等于 \(\int_{(-\infty,x]}f\,d\mu\)。
证明 2.7.1
必要性以 \(\mathbf1_{(-\infty,x]}\in L^q\) 测试。充分性有两种做法。
第一种直接构造极限。半直线示性函数的线性张成 \(E\) 在 \(L^q(\mu)\) 中稠密：差分给出有界半开区间，区间阶梯函数再逼近可积简单函数；有限 Borel 测度的正则性保证这一逼近。假设使 \(\int f_\alpha g\,d\mu\) 对每个 \(g\in E\) 有极限，而 Hölder 给出泛函范数统一上界。定理 2.6.2 产生 \(L^q\) 上的极限泛函，对偶表示再产生 \(f\in L^p\)。
第二种先取得候选极限。Banach–Alaoglu 保证有一个弱-*收敛子网 \(f_{\alpha_\nu}\to f\)。每个半直线测试沿原网已有极限，所以该极限必为 \(\int_{(-\infty,x]}f\,d\mu\)。因此原网在稠密测试集 \(E\) 上与 \(f\) 相配，再以统一范数界推广到全部 \(L^q\)，得到整个网收敛。两种论证都说明：不是任意一个子网极限便能决定原网，真正起作用的是所有稠密测试值已有极限。
定理 8.7几乎处处收敛与弱-* 收敛
\(\sigma\)-有限测度空间中，一致 \(L^p\) 有界序列若几乎处处趋于 \(f\)，则 \(f\in L^p\)，并弱-* 趋于 \(f\)。结论不能把序列任意换成网，也不能直接把 \(p\) 改为 \(1\)。
证明 2.7.2
仍记 \(C=\sup_n\|f_n\|_p\)。Fatou 或本质上界给出 \(f\in L^p\) 且 \(\|f\|_p\leq C\)。对有限测度 \(E\)，令 \(A_n=\{|f_n-f|\geq\varepsilon\}\cap E\)。集合 \(\{\sup_{k\geq n}|f_k-f|\geq\varepsilon\}\cap E\) 递减到零测集，所以 \(\mu(A_n)\to0\)。由此
令 \(n\to\infty\)、再令 \(\varepsilon\downarrow0\)，得到对每个有限测度示性函数的测试收敛。\(\sigma\)-有限性让这些示性函数的有限线性组合在 \(L^q\) 中稠密，统一 Hölder 界完成全部测试。
这里 \(q<\infty\)，故小集合的 \(\mu(A_n)^{1/q}\) 能趋零。\(p=1\) 时这个机制失效；一般网也没有可数尾部集合递减的论证，不能把证明中的序列直接换成任意网。
定理 8.8连续测试函数的有界逼近
设 \(X\) 局部紧 Hausdorff，\(\mu\) 为 \(\sigma\)-有限 Radon 测度或其完备化。\(C_c(X)\) 中 \(L^p\) 范数至多为一的函数在 \(L^p\) 闭单位球中弱-* 稠密。\(p<\infty\) 时可取范数逼近；\(p=\infty\) 时可取一致范数至多为一的连续函数作弱-* 逼近。
证明 2.7.4
\(p<\infty\) 时，先由 Radon 正则性与连续截断函数得到 \(C_c\) 在 \(L^p\) 中的范数稠密性。近似函数若范数略超过一，除以 \(\max(1,\|u\|_p)\)；缩放误差也趋零，故可一直留在单位球。
\(p=\infty\) 时先选 \(|f|\leq1\) 的代表元。只需同时逼近有限个紧支撑连续测试 \(g_1,\ldots,g_n\)。其支集并 \(A\) 紧而测度有限，令 \(M=\sum_i\|g_i\|_\infty\)。Lusin 定理给出紧集 \(K\subset A\)，使 \(f|_K\) 连续且 \(\mu(A\setminus K)<\varepsilon/(2M)\)。Tietze 延拓和紧支撑截断给出 \(u\in C_c(X)\)，满足 \(u=f\) 于 \(K\)、\(|u|\leq1\)。复数情形可先延拓实虚部，再投影到闭单位圆盘，保持在 \(K\) 上的值。
于是 \(|\int(f-u)g_i\,d\mu|\leq2\|g_i\|_\infty\mu(A\setminus K)<\varepsilon\)。按有限测试集增大、误差减小组织这些 \(u\) 为网。它们有统一上界，\(C_c\) 又在 \(L^1\) 中稠密，故定理 2.6.2 使该网弱-*趋于 \(f\)。
推论 8.9积分泛函的范数
对 \(\phi\in L^1(X,\mu)\)，\(\Lambda(f)=\int f\phi\,d\mu\) 是 \(C_0(X)\) 上的有界泛函，且 \(\|\Lambda\|=\int|\phi|\,d\mu\)。
证明 2.7.5
Hölder 先给出 \(\|\Lambda\|\leq\|\phi\|_1\)。令 \(g=\overline\phi/|\phi|\) 于 \(\phi\ne0\) 处，在其余点令 \(g=0\)；实数情形就是符号函数。于是 \(|g|\leq1\) 且 \(\int g\phi\,d\mu=\int|\phi|\,d\mu\)。
由定理 2.7.4，存在一致范数至多一的 \(u_\alpha\in C_c(X)\)，弱-*趋于 \(g\)。用合法的 \(L^1\) 测试 \(\phi\) 得 \(\Lambda(u_\alpha)\to\|\phi\|_1\)。这些 \(u_\alpha\) 也在 \(C_0\) 单位球内，故 \(\|\Lambda\|\geq\|\phi\|_1\)，完成范数等式。\(\phi=0\) 时结论直接成立。
无穷坐标与有限截断
有限支集向量提供最直接的稠密测试。坐标极限加上统一范数界可恢复弱-* 极限，但坐标逐点收敛本身不能推出范数收敛，后面的例子会体现这个差别。
命题 8.10有限支集的范数稠密性
对任意集合 \(X\) 及 \(1\leq p<\infty\)，有限支集标量函数在 \(\ell^p(X)\) 中范数稠密。赋予 \(X\) 离散拓扑后，这些函数恰为 \(C_c(X)\)。
证明 2.8.1
若 \(f\in\ell^p(X)\)，有限子集和 \(\sum_{x\in F}|f(x)|^p\) 的上确界有限。给定 \(\varepsilon>0\)，可选有限 \(F_0\) 使该和与上确界之差小于 \(\varepsilon^p\)，故 \(\|f-f\mathbf1_F\|_p<\varepsilon\) 对全部 \(F\supset F_0\) 成立。离散空间的紧集正是有限集，因此紧支撑连续函数就是有限支集函数。
命题 8.11序列空间的积分嵌入
对共轭指数 \(p,q\)，映射 \(\Psi:\ell^p(X)\to\ell^q(X)^*\)，\(\Psi(f)(g)=\sum_{x\in X}f(x)g(x)\)，是线性等距嵌入。
证明 2.8.3
Hölder 给出 \(\|\Psi(f)\|\leq\|f\|_p\)。\(1<p<\infty\) 时，在有限集 \(F\) 上取 \(g\) 为与 \(f\) 相位相反、模正比于 \(|f|^{p-1}\) 的向量并归一化，其配对值为 \((\sum_F|f|^p)^{1/p}\)；取有限集上确界便得到反向不等式。\(p=1\) 时用有限集上的相位函数；\(p=\infty\) 时用单个坐标及趋近于上确界的坐标，仍得范数相等。范数相等也保证单射。
定义 8.12\(\ell^p\) 的弱-* 拓扑
对 \(1<p\leq\infty\)，经 \(\Psi\) 拉回 \(\ell^q(X)^*\) 的弱-* 拓扑；收敛指全部 \(g\in\ell^q(X)\) 的配对和收敛。
定理 8.13坐标判据
任意集合上的一致 \(\ell^p\) 有界网弱-* 收敛，当且仅当每个坐标有极限。逐坐标极限 \(f\) 自动属于 \(\ell^p\)，且 \(\|f\|_p\leq\liminf\|f_\alpha\|_p\)。
证明 2.8.5
弱-*收敛必然给出每个坐标收敛，因为单点示性函数是合法测试。反过来，设坐标极限为 \(f\)。对有限 \(F\) 取极限，有 \(\sum_F|f|^p\leq\liminf_\alpha\|f_\alpha\|_p^p\)；\(p=\infty\) 时逐坐标得到同样的上确界界。因此 \(f\in\ell^p\)。
有限支集测试 \(g\) 的配对只是有限和，故收敛。其余 \(g\in\ell^q\) 用有限支集逼近；误差由 \(\|f_\alpha-f\|_p\|g-g_F\|_q\leq2C\|g-g_F\|_q\) 统一控制，得到全部测试的收敛。
命题 8.14有限支集的弱-* 稠密性
对 \(1<p\leq\infty\)，有限支集函数的 \(\ell^p\) 闭单位球在 \(\ell^p\) 闭单位球中弱-* 稠密。具体逼近为 \(f\mathbf1_F\)，其中 \(F\) 遍历有限子集。特别地，一致范数至多为一的有限支集函数在 \(\ell^\infty\) 闭单位球中弱-* 稠密。
证明 2.8.6
令 \(f_F=f\mathbf1_F\)，其中 \(F\) 按包含关系遍历有限子集。截断不增加 \(\ell^p\) 范数，而且每个固定坐标最终保留下来。定理 2.8.5 于是给出弱-*收敛。\(p<\infty\) 时实际上范数收敛；\(p=\infty\) 时一般只保证弱-*收敛，例如常数函数 \(1\) 的有限截断与它的无限范数距离始终为一。
定理 8.15任意指标集上的对偶表示
对 \(1<p\leq\infty\)，\(\Psi:\ell^p(X)\to\ell^q(X)^*\) 是线性等距同构，无需 \(X\) 可数。由 \(\varphi\) 恢复代表元的方法为 \(f(x)=\varphi(\mathbf1_{\{x\}})\)。
证明 2.8.7
给定 \(\varphi\in\ell^q(X)^*\)，令 \(f(x)=\varphi(\mathbf1_{\{x\}})\)。在任意有限 \(F\) 上，\(\varphi\) 的限制是有限维积分配对，由命题 2.8.3 的等号测试得到 \(\|f\mathbf1_F\|_p\leq\|\varphi\|\)。有限集上确界给出 \(f\in\ell^p\)。
对有限支集 \(g\)，线性性使 \(\varphi(g)=\sum_xf(x)g(x)\)。因 \(q<\infty\)，这些 \(g\) 范数稠密；两侧连续，从而对全部 \(g\) 相等。坐标确定 \(f\)，范数等式又使同构等距。
累积函数的紧性
测度的弱-* 极限只在连续测试上可见。累积函数还会在原子处跳跃，所以不能要求每一点都按同一种方式收敛；Helly 选择和连续点判据把这两种描述对齐。
引理 8.16稠密集上的单调极限延拓
一致有界非负单调函数网若在稠密集 \(E\subset I\) 上逐点有极限，则这些极限值可延拓为 \(I\) 上有界非负单调函数。
证明 2.9.1
令 \(l(t)=\lim_\alpha\rho_\alpha(t)\) 于 \(t\in E\)。若 \(s<t\)，对每个指标都有 \(\rho_\alpha(s)\leq\rho_\alpha(t)\)，故 \(l(s)\leq l(t)\)。统一上界在极限中保留。对 \(x\notin E\)，可定义 \(\rho(x)=\sup\{l(t):t\in E,\ t<x\}\)；若此集合空，则取不大于全部已有值的非负下界。对 \(x\in E\) 保留 \(l(x)\)。这些取值夹在相邻的已有值之间，所以得到有界非负单调延拓。
命题 8.17单调函数的几乎收敛
一致有界单调函数网在某个内部稠密集上趋于 \(\rho\)，当且仅当在 \(\Omega_\rho\) 的每个点趋于 \(\rho\)。此时称该网几乎收敛到 \(\rho\)；这里不是测度论中的几乎处处收敛术语。
证明 2.9.2
假设在某个稠密 \(E\) 上收敛到 \(\rho\)。对内部连续点 \(x\)，选 \(s,t\in E\)、\(s<x<t\)；单调性给出 \(\rho_\alpha(s)\leq\rho_\alpha(x)\leq\rho_\alpha(t)\)。取上下极限，再令 \(s\uparrow x\)、\(t\downarrow x\)，连续性使两边都趋于 \(\rho(x)\)。反过来，单调函数只有至多可数个间断点，其内部连续点稠密，直接取该集即可。
定理 8.18Helly 选择定理
区间上任意一致有界非负单调函数网都有逐点收敛子网；每个这样的序列都有逐点收敛子列。
证明 2.9.3
网的全部取值落在紧乘积 \(\prod_{x\in I}[0,C]\) 中；Tychonoff 给出逐坐标收敛子网。单调性和非负性为闭条件，故极限仍具有这些性质。
对序列，先在可数稠密集及属于 \(I\) 的端点作对角抽取，得到单调候选极限；左右夹逼使它在每个内部连续点收敛。候选函数的间断点至多可数，再在这些点作一次对角抽取，便使每一个点都有极限。第二次抽取不会破坏已经成立的收敛。
定义 8.19Stieltjes 测度的弱-* 收敛
对 \(\rho_\alpha,\rho\in BV(I)\)，定义 \(d\rho_\alpha\to d\rho\) 弱-* 收敛，若全部 \(f\in C_c(I)\) 都满足 \(\int f\,d\rho_\alpha\to\int f\,d\rho\)。这就是相应积分泛函的弱-* 收敛。
定理 8.20区间端点与常数歧义
令 \(a=\inf I,b=\sup I\)。一致有界非负单调 \(\rho_\alpha\) 满足 \(d\rho_\alpha\to d\rho\)，当且仅当存在有界常数族 \(\kappa_\alpha\)，使 \(\rho_\alpha+\kappa_\alpha\) 几乎收敛到 \(\rho\)，并在 \(b\in I\) 时满足 \(\rho_\alpha(b)+\kappa_\alpha\to\rho(b)\)。若 \(a\in I\)，要求 \(\kappa_\alpha=0\)。
证明 2.9.6
先设加常数后的累积函数在极限的内部连续点收敛，并在实际右端保留给定的端点值。对紧支撑连续 \(g\)，在支集附近选连续点作为细分划端点。分块增量中的常数相消；若左端属于 \(I\)，闭区间积分还含左端的总累积质量，因此此时必须取 \(\kappa_\alpha=0\)。右端属于 \(I\) 且被支集碰到时，最后一块使用单独给出的右端极限。阶梯近似误差由连续模乘统一总变差控制，得到积分收敛。
反过来，弱-*积分收敛让内部两连续点之间的区间质量收敛：用上下连续截断逼近该区间示性函数，边界没有极限原子，夹逼误差便趋零。若左端属于 \(I\)，同样测试从左端开始的区间，直接恢复累积值，不能加常数。若左端不属于 \(I\)，固定一个内部连续点 \(c\)，取 \(\kappa_\alpha=\rho(c)-\rho_\alpha(c)\)。区间增量收敛给出其余连续点处的 \(\rho_\alpha+\kappa_\alpha\to\rho\)；统一有界性使这些常数有界。最后用碰到实际右端的连续截断测试恢复右端取值。
推论 8.21Stieltjes 极限的存在判据
在相同条件下，存在有界非负单调 \(\rho\) 使 \(d\rho_\alpha\to d\rho\)，当且仅当可选上述有界常数族，让 \(\rho_\alpha+\kappa_\alpha\) 在某个稠密集上逐点有极限，并在 \(b\in I\) 时于 \(b\) 也有极限；\(a\in I\) 时常数仍须为零。
证明 2.9.7
若极限测度存在，定理 2.9.6 给出常数族以及内部连续点上的收敛，该集稠密，右端条件也随之成立。
反过来，稠密点上的极限先由引理 2.9.1 延拓为有界单调函数，再由命题 2.9.2 得到连续点收敛，右端值单独保留。左端不在 \(I\) 时，可从该候选函数中减去其左端右极限，把它规范成非负累积函数；这一常数改变也并入 \(\kappa_\alpha\)，不改变内部增量。左端在 \(I\) 时不作此改变。定理 2.9.6 随即产生所需 Stieltjes 极限。
测度也能由有限和逼近
有限原子测度把积分变成有限加权求和。其弱-* 逼近依靠连续测试在小邻域内的振荡估计；控制权重的总变差，才能让该构造与范数界相容。
定义 8.22Radon 测度的全变差与拓扑
有限实或复 Radon 测度的范数为 \(\|\mu\|=\sup\{|\int f\,d\mu|:f\in C_c(X),\ |f|\leq1\}\)。其弱-* 拓扑经 \(\mu\mapsto[f\mapsto\int f\,d\mu]\) 定义。一致全变差有界时，用 \(C_c\) 或 \(C_0\) 测试等价。
引理 8.23不交集估计
若 \(A_1,\ldots,A_k\) 为两两不交 Borel 集，则 \(\sum_j|\mu(A_j)|\leq\|\mu\|\)。
证明 2.10.4
将 \(\mu\) 写成有限变差实或复 Radon 测度。对每个 \(j\) 选择相位 \(z_j\)，\(|z_j|=1\) 且 \(z_j\mu(A_j)=|\mu(A_j)|\)；令 \(s=\sum_jz_j\mathbf1_{A_j}\)，则 \(|s|\leq1\)。Radon 正则性允许在 \(|\mu|\) 意义下将这些有限个示性函数逼近为紧支撑连续函数，并保持模至多一：先取不交紧子集，再取不交开邻域及连续截断。于是 \(\sum_j|\mu(A_j)|=\int s\,d\mu\) 是单位球内连续测试积分的极限，不超过 \(\|\mu\|\)。
定理 8.24有限原子测度逼近
设 \(\mathbb K=\mathbb R_+,\mathbb R\) 或 \(\mathbb C\)，\(D(X,\mathbb K)\) 为 Dirac 测度的有限 \(\mathbb K\) 线性组合。其全变差闭单位球在相应 Radon 测度的闭单位球中弱-* 稠密。正测度可始终用正系数逼近。
证明 2.10.5
固定有限个 \(g_i\in C_c(X)\) 与误差 \(\varepsilon\)。其支集并紧，在这个紧集上取有限 Borel 分块 \(A_j\)，使每个 \(g_i\) 在每块的振荡小于 \(\delta\)；可由连续性及有限开覆盖获得。每块选 \(x_j\)，令 \(\nu=\sum_j\mu(A_j)\delta_{x_j}\)。则
命题 2.10.4 使 \(\|\nu\|\leq\sum_j|\mu(A_j)|\leq\|\mu\|\)。正测度时所有系数非负。按有限测试集和误差组织这些 \(\nu\) 为网，便得到弱-*逼近，且始终留在所需范数球内。\(C_0\) 测试可再用紧支撑截断与统一范数界处理。
定理 8.25全变差的分划公式
\(\|\mu\|=\sup\{\sum_{j=1}^k|\mu(A_j)|:A_j\text{ 为两两不交 Borel 集},\ k<\infty\}\)。
证明 2.10.6
命题 2.10.4 先说明右边不超过 \(\|\mu\|\)。反过来，对任意 \(f\in C_c(X)\)、\(|f|\leq1\)，将其值域划成直径小于 \(\varepsilon\) 的有限小块，拉回为不交 Borel 集 \(A_j\)，在每块取一个值 \(z_j\)，\(|z_j|\leq1\)。简单函数 \(s=\sum_jz_j\mathbf1_{A_j}\) 一致逼近 \(f\)，故
先令 \(\varepsilon\downarrow0\)，再对所有连续单位测试函数取上确界，得到反向不等式。此式也说明这里的泛函范数恰等于通常的总变差质量 \(|\mu|(X)\)。
有界逼近、Helly 选择与原子测度
对逐点极限的 \(L^p\) 序列，Fatou 不等式先给出极限的范数界。有限测度集上，依测度收敛与 Hölder 估计给出 \(L^1\) 收敛；再用简单函数稠密性扩大到全部 \(L^q\) 测试。累积积分判据使用半直线示性函数的稠密线性张成。\(\ell^p\) 情形更直接：先在每个有限坐标集上取极限得范数界，再由有限支集测试的稠密性推广。
Helly 的序列版本先在可数稠密点集及存在的端点处对角抽取子列。单调性将极限夹到某个单调函数的全部连续点；间断点至多可数，再抽取一次，便得到每一点的收敛。网版本在有界乘积空间中用紧性。Stieltjes 收敛判据则用上下阶梯函数夹住连续测试函数，端点质量和累积函数的加常数歧义分别处理。
原子逼近只需控制有限个测试函数。截取一个紧集使遗漏的全变差很小，在紧集上划分为有限个各测试函数振荡很小的 Borel 小块，以每块中的一个点代替整块，并用 \(\mu(A_j)\) 作为系数。误差由振荡乘全变差控制，而 \(\sum_j|\mu(A_j)|\leq\|\mu\|\) 保证范数不增加。
§ 09练习
习题 9.1不完备的空间
证明 \(C[0,1]\) 在 \(L^2\) 范数下不完备。
解
用连续的分段线性函数在宽度 \(1/n\) 的过渡区内逼近 \(\mathbf1_{[1/2,1]}\)，平方误差至多为 \(1/n\)，故连续逼近列是 \(L^2\) Cauchy 列。
若它在 \(C[0,1]\) 中有 \(L^2\) 极限 \(g\)，则 \(g\) 几乎处处等于阶跃函数。连续性会使 \(g\) 在 \([0,1/2)\) 恒为 \(0\)、在 \((1/2,1]\) 恒为 \(1\)，在 \(1/2\) 处矛盾。
习题 9.2弱-* 收敛并不意味着范数收敛
在 \(\ell^\infty=(\ell^1)^*\) 中，证明标准单位向量 \(e_n\) 弱-* 趋于零，但不在范数下趋于零。
解
对任意 \(a\in\ell^1\)，配对为 \(a_n\to0\)，故弱-* 趋于零。但 \(\|e_n\|_\infty=1\)。
习题 9.3跳跃点为何特殊
在 \([-1,1]\) 上令 \(\mu_n=\delta_{1/n}\)。证明 \(\mu_n\overset{*}{\rightharpoonup}\delta_0\)，但分布函数在 \(0\) 不收敛到极限分布函数的值。
解
对连续 \(f\)，\(f(1/n)\to f(0)\)。但 \(\mu_n([-1,0])=0\)，而 \(\delta_0([-1,0])=1\)。极限分布函数在 \(0\) 有跳跃。
关键方法是：先在稠密测试集上理解对象，利用统一估计扩张，再用弱-* 紧性取得极限。
完
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