实分析 Part 1 of 6

第 1 章：前言：Jordan 测度与 Riemann 积分

在 Jordan 测度前，我们先考虑更简单的情形，即简单集合。

发布于 2025-11-19 更新于 2026-10-15 1,259 字 · 约 4 分钟

§ 01简单测度

定义 1.1

一个区间(interval)为 \(\mathbb{R}\) 的子集，形如 \([a,b],[a,b),(a,b],(a,b)\)，定义区间 \(I\) 的长度 \(\left|I\right|:=b-a\)。\(\mathbb{R}^d\) 上的长方体(box)为 \(B:=I_1\times \cdots I_d\)，其中 \(I_i\) 均为区间，定义长方体 \(B\) 的体积 \(\left|B\right|:=\left|I\right|\times \cdots \times \left|I_d\right|\)。一个简单集合(elementary set) 为 \(\mathbb{R}^d\) 中有限长方体的并。

命题 1.2Boolean closure

简单集合的并、交、差、对称差、平移均为简单集合。

引理 1.3

设 \(E\subset \mathbb{R}^d\) 是简单集合。

\(E\) 可以写成有限个不交的长方体的并。
设 \(E=B_1\cup\cdots \cup B_k\) 为不交并，定义 \(m(E):=\left| B_1\right|+\cdots+\left|B_k\right|\) 与 \(B_i\) 的选取无关。

命题 1.4

对简单集合 \(E\subset \mathbb{R}^d\)，有

\[ m(E)=\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{1}{N^d}\#\left\{E\cap \frac{1}{N}\mathbb{Z}^d\right\} \]

命题 1.5

(非负性)

\[ m(E)\ge 0 \]
(有限可加性)对不交的简单集合 \(E_1,\cdots,E_k\)，

\[ m(E_1\cup\cdots\cup E_k)=m(E_1)+\cdots+m(E_k) \]
(单调性) \(E\subset F\)，则

\[ m(E)\le m(F) \]
(有限次可加性)对任意简单集合 \(E_1,\cdots,E_k\)，

\[ m(E_1\cup\cdots\cup E_k)\le m(E_1)+\cdots+m(E_k) \]
(平移不变性)

\[ m(E+x)=m(E) \]

习题 1.6简单测度的唯一性

设 \(d \geq 1\)。令 \(m': \mathcal{E}(\mathbf{R}^d) \to \mathbf{R}^+\) 为一个从 \(\mathbf{R}^d\) 的简单集合族 \(\mathcal{E}(\mathbf{R}^d)\) 到非负实数的映射，且满足非负性、有限可加性及平移不变性。证明存在常数 \(c \in \mathbf{R}^+\) 使得对所有简单集合 \(E\)，有 \(m'(E) = c \cdot m(E)\)。特别地，若附加归一化条件 \(m'([0,1)^d) = 1\)，则 \(m' \equiv m\)。

提示：设 \(c := m'([0,1)^d)\)，并对任意正整数 \(n\) 计算 \(m'([0, \frac{1}{n})^d)\)。

§ 02Jordan 测度

定义 2.1Jordan测度

设 \(E \subset \mathbb{R}^d\) 为有界集。

\(E\) 的Jordan 内测度 \(m_{*,(J)}(E)\) 定义为

\[ m_{*,(J)}(E) := \sup_{\substack{A \subset E \\ A \text{ 为简单集}}} m(A). \]
\(E\) 的Jordan 外测度 \(m^{*,(J)}(E)\) 定义为

\[ m^{*,(J)}(E) := \inf_{\substack{B \supset E \\ B \text{ 为简单集}}} m(B). \]
若 \(m_{*,(J)}(E) = m^{*,(J)}(E)\)，则称 \(E\) 是Jordan 可测的，并称 \(m(E) := m_{*,(J)}(E) = m^{*,(J)}(E)\) 为 \(E\) 的Jordan 测度 。类似地，当需强调维数 \(d\) 时，记 \(m(E)\) 为 \(m^d(E)\)。

命题 2.2Jordan可测性的等价刻画

设 \(E \subset \mathbb{R}^d\) 为有界集。证明以下命题等价：

\(E\) 是 Jordan 可测的。
对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在简单集合 \(A \subset E \subset B\) 使得

\[ m(B \setminus A) \leq \varepsilon. \]
对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在简单集合 \(A\) 使得

\[ m^{*,(J)}(A \Delta E) \leq \varepsilon, \]

命题 2.3

设 \(E,F\subset \mathbb{R}^d\) 为 Jordan 可测集。

两者的并、交、差、对称差均 Jordan 可测。
Jordan 测度 \(m\) 满足非负性、有限可加性、单调性、有限次可加性、平移不变性。

习题 2.4

\(\mathbb{R}\) 上的三角形是 Jordan 可测的。
\(\mathbb{R}^d\) 上的紧凸多面体是 Jordan 可测的。
\(\mathbb{R}^d\) 上的开球和闭球都是 Jordan 可测的。

命题 2.5

对线性变换 \(L:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}^d\)，

\[ m(L(E))=\left|\det L\right|m(E) \]

定义 2.6

Jordan 测度为零的集合称为Jordan 零测集。

命题 2.7

Jordan 零测集的子集也是 Jordan 零测集。

习题 2.8

定义二分立方体为如下形式的半开长方体：

\[ \left[ \frac{i_1}{2^n}, \frac{i_1 + 1}{2^n} \right) \times \ldots \times \left[ \frac{i_d}{2^n}, \frac{i_d + 1}{2^n} \right) \]

其中 \(n, i_1, \ldots, i_d\) 为整数。设 \(E \subset \mathbb{R}^d\) 为有界集。对每个整数 \(n\)，令 \(\mathcal{E}_*(E, 2^{-n})\) 表示包含于 \(E\) 内且边长为 \(2^{-n}\) 的二分立方体的个数，并令 \(\mathcal{E}^*(E, 2^{-n})\) 表示与 \(E\) 相交且边长为 \(2^{-n}\) 的二分立方体的个数。证明 \(E\) 是 Jordan 可测的当且仅当

\[ \lim_{n \to \infty} 2^{-dn} \left( \mathcal{E}^*(E, 2^{-n}) - \mathcal{E}_*(E, 2^{-n}) \right) = 0, \]

此时成立

\[ m(E) = \lim_{n \to \infty} 2^{-dn} \mathcal{E}_*(E, 2^{-n}) = \lim_{n \to \infty} 2^{-dn} \mathcal{E}^*(E, 2^{-n}). \]

习题 2.9Jordan测度的唯一性

设 \(d \geq 1\)。令 \(m': \mathcal{J}(\mathbf{R}^d) \to \mathbf{R}^+\) 为一个从 \(\mathbf{R}^d\) 的 Jordan 可测子集族 \(\mathcal{J}(\mathbf{R}^d)\) 到非负实数的映射，且满足非负性、有限可加性及平移不变性。证明存在常数 \(c \in \mathbf{R}^+\) 使得对所有 Jordan 可测集 \(E\)，有 \(m'(E) = c \cdot m(E)\)。特别地，若附加归一化条件 \(m'([0, 1)^d) = 1\)，则 \(m' \equiv m\)。

命题 2.10

设 \(E\subset \mathbb{R}^d\) 为有界集。

\(E\) 的闭包 \(\overline{E}\) 与 \(E\) Jordan 外测度相同。
\(E\) 的内部 \(E^\circ\) 与 \(E\) Jordan 内测度相同。
\(E\) 是 Jordan 可测的当且仅当边界 \(\partial E\) 的 Jordan 外测度为 \(0\)。

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完

§ 01简单测度

§ 02Jordan 测度

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