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表示论 Part 3 of 8

第 3 章：有限群的表示：一些基本结论

设 \(V\) 是有限群 \(G\) 的有限维表示，则其特征 \(\chi_V:G\rightarrow k\) 定义为 \(\chi_V(g)=\mathrm{Tr}\big|_V(\rho(g))\)。显然 \(V\) 作为 \(k[G]\) 的表示的特征限制在 \(G\) 上就得到了 \(\chi_V(g)\)。

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§ 01Maschke 定理

定理 1.1Maschke

设 \(G\) 是有限群，\(k\) 是域且 \(\mathrm{char}k\nmid \left|G\right|\)，则：

  • 代数 \(k[G]\) 是半单的。

  • 存在同构 \(\psi:k[G]\rightarrow \bigoplus_i \mathrm{End}V_i,g\mapsto \bigoplus_i g\big|_{V_i}\)，其中 \(V_i\) 是 \(G\) 的不可约表示。特别的，这是一个 \(G\) 的表示的同构。因此，\(k[G]\) 的正则表示可以分解成不可约表示的直和：\(\bigoplus_i\dim(V_i)V_i\)，于是我们有“平方和公式”：

    \[ \left|G\right|=\sum_i \dim (V_i)^2 \]
证明

由命题 2.4，\((1)\Longrightarrow(2)\)。下面我们来证明 \((1)\)。

只需要证明对 \(G\) 的任意有限维表示 \(V\) 与其子表示 \(W\)，存在子表示 \(W'\subset V\) 满足 \(V=W\oplus W'\) 在表示的意义下成立。

取任意 \(\widehat{W}\) 使得作为向量空间 \(V=W\oplus \widehat{W}\)。设 \(P\) 为 \(V\rightarrow W\) 的投影算子满足 \(P\big|_W=\mathrm{Id}\) 且 \(P\big|_{\widehat{W}}=0\)。令

\[ \overline{P}:=\frac{1}{\left|G\right|}\sum_{g\in G} \rho(g)P\rho(g^{-1}) \]

其中 \(\rho(g)\) 是 \(g\) 在 \(V\) 上的作用，令 \(W':=\ker \overline{P}\)。则 \(\overline{P}\big|_W=\mathrm{Id}\) 且 \(\overline{P}(V)\subseteq W\)。故 \(\overline{P} ^2=\overline{P}\)，进而 \(\overline{P}\) 是垂直于 \(W'\) 的投影，于是作为向量空间 \(V=W\oplus W'\)。进一步对 \(h\in G,y\in W'\) ，我们有

\[ \overline{P}\rho(h)y=\frac{1}{\left|G\right|}\sum_{g\in G} \rho(g)P\rho(g^{-1}h)y=\frac{1}{\left|G\right|}\sum_{l\in G} \rho(hl)P\rho(l^{-1})y=\rho(h)\overline{P}y \]

故 \(\rho(h)y\in \ker\overline{P}=W'\)，于是 \(W'\) 是 \(G-\)不变子空间，故作为表示 \(V=W\oplus \overline{W}\)。

定理 3.1反过来也是成立的。

命题 1.2

若 \(k[G]\) 是半单的，则 \(\mathrm{char}k\nmid \left|G\right|\)。

证明

设 \(k[G]=\bigoplus_{i=1}^r \mathrm{End} V_i\)，其中 \(V_i\) 是所有不可约表示，且 \(V_1=k\) 为一维平凡表示。则

\[ k[G]=k\oplus \bigoplus_{i=1}^r \mathrm{End} V_i=k\oplus \bigoplus_{i=2}^r d_iV_i \]

其中 \(d_i=\dim V_i\)。由 Schur 引理，

\[ \mathrm{Hom}_{k[G]}(k,k[G])=k\Lambda,\mathrm{Hom}_{k[G]}(k[G],k)=k\epsilon \]

其中表示间的非零同态 \(\epsilon:k[G]\rightarrow k\),\(\Lambda:k\rightarrow k[G]\) 在差一个倍数意义下唯一。取 \(\epsilon(g)=1,\forall g\in G\)，取 \(\Lambda(1)=\sum_{g\in G}g\)，则

\[ \epsilon\circ \Lambda(1)=\epsilon(\sum_{g\in G}g)=\sum_{g\in G} 1=\left|G\right| \]

若 \(\left|G\right|=0\) 则 \(\Lambda\) 无左逆，即任意 \(a\in k\)，\((a\epsilon)\circ \Lambda(1)=0\)，矛盾！

习题 1.3

设 \(G\) 指数为 \(p^n\)，证明 \(G\) 在特征为 \(p\) 的域 \(k\) 上的表示平凡。

§ 02特征

特征函数是中心函数(central function) 或 类函数(class function)：\(\chi_V(g)\) 由 \(g\) 的共轭类唯一确定，即 \(\chi_V(hgh^{-1})=\chi_V(g)\)。

记 \(F_c(G,k)=\left\{f:G\rightarrow k\Big| f(hgh^{-1})=f(g),\forall g,h\in G)\right\}\subset F(G,k)=\left\{f:G\rightarrow k \right\}\)

定理 2.1

若 \(\mathrm{char}k\nmid \left|G\right|\)，则 \(G\) 的不可约表示的特征构成了 \(F_c(G,k)\) 的一组基。

证明

由 Maschke 定理知，\(k[G]\) 是半单的，故由定理 2.4知这些特征是线性独立的且为 \((A/[A,A])^*\) 的基，其中 \(A=k[G]\)。又注意到作为 \(k\) 上的向量空间

\[ \begin{aligned} (A/[A,A])^*&\cong \left\{\varphi\in \mathrm{Hom}_k(k[G],k)\Big| gh-hg\in \ker \varphi \forall g,h \in G\right\}\\ &\cong \left\{f\in F(G,k)\Big| f(gh)=f(hg)\forall g,h\in G\right\}\\ \end{aligned} \]

此即 \(F_c(G,k)\)。

推论 2.2

若在 \(k\) 上 \(\left|G\right|\neq 0\)，则 \(G\) 的表示的同构类数等于 \(G\) 的共轭类数。

推论 2.3

若在 \(k\) 上 \(\left|G\right|= 0\)，对任意 \(G\) 的不可约表示 \(V,W\)，\(\chi_V=\chi_W\Longleftrightarrow V\cong W\)。

习题 2.4

若在 \(k\) 上 \(\left|G\right|= 0\)，则 \(G\) 的表示的同构类数严格小于 \(G\) 的共轭类数。

§ 03表示的对偶和张量积

若 \(V\) 是群 \(G\) 的表示，则 \(V^*\) 同样也是表示，由

\[ \rho_{V^*}(g)=(\rho_V(g))^{-1}=(\rho_V(g)^{-1})^T=\rho_V(g^{-1})^T \]

给出，即 \((\rho_{V^*}(g)f)(v)=f(\rho_V(g^{-1})v)\)，其特征 \(\chi_{V^*}(g)=\chi_V(g^{-1})\)。

我们有 \(\chi_V(g)=\sum \lambda_i\)，其中 \(\lambda_i\) 为 \(g\) 在 \(V\) 中的特征值。这些特征值必定为单位根，因为 \(\rho(g)^{\left|G\right|}=\rho(g^{\left|G\right|})=\rho(e)=\mathrm{Id}\)。故对复表示

\[ \chi_{V^*}(g)=\chi_V(g^{-1})=\sum \lambda_i^{-1}=\sum \overline{\lambda_i}=\overline{\sum \lambda_i}=\overline{\chi_V(g)} \]

特别的，\(V\cong V^*\) 当且仅当 \(\chi_V(g)\in \mathbb{R},\forall g\in G\)。

若 \(V,W\) 为 \(G\) 的表示，则 \(V\otimes W\) 当然也是表示，由

\[ \rho_{V\otimes W}(g)=\rho_V(g)\otimes\rho_W(g) \]

给出。因此 \(\chi_{V\otimes W}(g)=\chi_V(g)\chi_W(g)\)。

一个有趣的问题是将 \(V\otimes W\) 分解成不可约表示的直和，我们下面将会提到。

§ 04特征的正交性

我们在 \(F_c(G,\mathbb{C})\) 上定义一个 Hermitian 内积：

\[ (f_1,f_2)=\frac{1}{\left|G\right|} \sum_{g\in G} f_1(g)\overline{f_2(g)} \]

下面的定理说明 \(G\) 的不可约表示的特征在上述内积下是 \(F_c(G,\mathbb{C})\) 的一组正交基。

定理 4.1

对任意表示 \(V,W\)，

\[ (\chi_V,\chi_W)=\dim \mathrm{Hom}_G(W,V) \]

且当 \(V,W\) 均为不可约表示时

\[ (\chi_V,\chi_W)=\begin{cases} 1, V\cong W\\ 0, V\ncong W\\ \end{cases} \]
证明

由定义

\[ (\chi_V,\chi_W)=\frac{1}{\left|G\right|}\sum_{g\in G}\chi_V(g)\overline{\chi_W(g)}=\frac{1}{\left|G\right|}\sum_{g\in G}\chi_V(g){\chi_{W^*}(g)}=\frac{1}{\left|G\right|}\sum_{g\in G}\chi_{V\otimes W^*}(g)=\mathrm{Tr}\big|_{V\otimes W^*}(P) \]

其中 \(P=\frac{1}{\left|G\right|}\sum_{g\in G}g\in Z(\mathbb{C}[G])\)。若 \(X\) 是 \(G\) 的不可约表示，由 Schur 引理知 \(P\) 在 \(X\) 上作用为标量，则

\[ P\big|_X=\begin{cases} \mathrm{Id} ,X=\mathbb{C}\\ 0,X\neq \mathbb{C}\\ \end{cases} \]

第二个情形中 \(\mathrm{Tr}(P\big|_X)= \frac{1}{\left|G\right|}\sum_{g\in G}\chi_X(g)=(\chi_X,\chi_\mathbb{C})=0\)，故作用的标量为 0。因此，对于任何表示 \(X\)，算子 \(P\big|_X\) 都是作用在 \(X\) 中 \(G-\) 不变元素构成的子空间 \(X^G\) 上的 \(G-\)不变投影算子。于是

\[ \mathrm{Tr}\big|_{V\otimes W^*}(P)=\dim \mathrm{Hom}_G(\mathbb{C},V\otimes W^*)=\dim(V\otimes W^*)^G=\dim \mathrm{Hom}_G(W,V) \]

该定理给了一个强力的方法判断一个有限群的表示是否是不可约的：\(V\) 不可约当且仅当 \((\chi_V,\chi_V)=1\)。

习题 4.2

设 \(G\) 是有限群，令 \(V_i\) 是其不可约表示。对每个 \(i\)，定义

\[ \psi_i=\frac{\dim V_i}{\left|G\right|}\sum_{g\in G} \chi_{V_i}(g)\cdot g^{-1}\in \mathbb{C}[G] \]
  • 证明 \(\psi_i\) 在 \(V_j\) 上作用为 \(\delta_{ij}\)。
  • 证明 \(\psi_i\) 是幂等的(idempotents)，即 \(\psi_i^2=\psi_i\)，且 \(\psi_i\psi_j=0,\forall i\neq j\)。

定理 4.3

令 \(g,h\in G\)，记 \(Z_g\) 是 \(g\) 在 \(G\) 中的中心化子，则

\[ \sum_V\chi_V(g)\overline{\chi_V(h)}=\begin{cases} \left|Z_g\right|, g,h \text{共轭}\\ 0,otherwise\\ \end{cases} \]

其中求和符号对所有不可约表示 \(V\) 求和。

证明

由上知 \(\overline{\chi_V(h)}=\chi_{V^*}(h)\)，故结合 Maschke 定理原式\(=\)

\[ \sum_V\chi_V(g)\chi_{V^*}(h)=\mathrm{Tr}\big|_{\bigoplus_V V\otimes V^*}(g\otimes h)=\mathrm{Tr}\big|_{\bigoplus_V \mathrm{End}V}(x\mapsto gxh^{-1})=\mathrm{Tr}\big|_{\mathbb{C}[G]}(x\mapsto gxh^{-1}) \]

其中第二个等号是因为

\[ \begin{aligned} V\otimes V^*&\cong \mathrm{End} V\\ x\otimes y&\mapsto (\varphi_{x,y}:v\mapsto (y,v)\cdot x)\\ \end{aligned} \]

又

\[ \begin{aligned} (g\otimes h)(x\otimes y)(v)=(\rho_V(g)x\otimes \rho_{V^*}(h)y)(v)&=\left<\rho_{V^*}(h)y,v\right>\cdot \rho_V(g)x\\ &=\left<y,\rho_{V}(h^{-1})v\right>\cdot \rho_V(g)x \end{aligned} \]

故 \((g\otimes h)(\varphi_{x,y})=g\circ \varphi_{x,y} \circ h^{-1}\)

若 \(g,h\) 不共轭，则该迹显然为 \(0\)(考虑 \(x\mapsto gxh^{-1}\) 在群元素构成的基下对应的矩阵对角线为 \(0\))。另一方面，若 \(g,h\) 共轭，则迹为满足 \(x=gxh^{-1}\) 的元素 \(x\) 的个数，即中心化子 \(Z_g\) 的元素个数。

§ 05酉表示与 Maschke 定理的另一个对复表示的证明

定义 5.1

一个群 \(G\) 的有限维酉(unitary)表示为一个有限维复向量空间 \(V\) 伴有 \(G-\)不变正定的 Hermitian 形式 \((\text{ },\text{ })\)，这里 \(G-\)不变指对任意 \(g\in G\)，\((\rho_V(g)v,\rho_V(g)w)=(v,w)\)。

定理 5.2

若 \(G\) 有限，则任意 \(G\) 的有限维表示均有一个酉结构。若该表示为不可约的，则这个结构在相差一个正倍数的关系下是唯一的。

证明

对任意 \(V\) 上的正定 Hermitian 形式 \(B\)，定义

\[ \overline{B}(v,w)=\sum_{g\in G}B(\rho_V(g)v,\rho_V(g)w) \]

则 \(\overline{B}\) 是 \(V\) 上的正定 Hermitian 形式，且 \(\rho_V(g)\) 是酉算子。若 \(V\) 是不可约表示，对 \(V\) 的两个正定 Hermitian 形式 \(B_1,B_2\)，则 \(B_1(v,w)=B_2(Av,w)\) 对某个同态 \(A:V\rightarrow V\) 成立。由 Schur 引理，\(A=\lambda Id\)，且显然 \(\lambda>0\)，得证。

定理 5.3

任意群 \(G\) 的有限维酉表示 \(V\) 是完全可约的。

证明

令 \(W\) 为 \(V\) 的子表示。令 \(W^\bot\) 为 \(W\) 在 \(V\) 中对 Hermitian 内积的正交补。则 \(W^\bot\) 为 \(W\) 的子表示，且 \(V=W\oplus W^\bot\)。这表明 \(V\) 是完全可约的。

考虑 \(G=\mathbb{Z}\cap \mathbb{C}^2,n(a,b):=(a+nb,b)\)，则该表示不可分解，但不是不可约的，其上没有酉结构。

§ 06矩阵元素的正交性

设 \(V\) 为有限群 \(G\) 的不可约表示，令 \(v_1,\cdots,v_n\) 为 \(V\) 的正交基(在 Hermitian 形式下)。\(V\) 的矩阵元素(matrix elements) \(t_{ij}^V(x)=(\rho_V(x)v_i,v_j)\)。

回忆在 \(F(G,\mathbb{C})\) 上定义的形式 \((f,g)=\frac{1}{\left|G\right|}\sum _{x\in G}f(x)\overline{g(x)}\)

命题 6.1

\(V,W\) 是不可约表示，

\[ (t^V_{ij},t^W_{i'j'})=\begin{cases} 0,V\ncong W\\ \delta_{ii'}\delta_{jj'}\cdot \frac{1}{\dim V},V\cong W\\ \end{cases} \]

即 \(G\) 的不可约表示的矩阵元素构成了一组 \(F(G,\mathbb{C})\) 的正交基。

证明

设 \(\left\{v_i\right\},\left\{w_i\right\}\) 分别为 \(V,W\) 在对应正定不变 Hermitian 形式下的正交基。取 \(w^*_i:u\mapsto (u,w_i)\in W^*\)。

断言：这给出了一个 \(W^*\) 上的酉结构，\((gw)^*=g\cdot w^*\)。

则对 \(x\in G\) 我们有 \((xw^*_i,w^*_j)=\overline{(xw_i,w_j)}\)，于是我们有

\[ (t^V_{ij},t^W_{i'j'})=\left|G\right|^{-1}\sum_{x\in G}(xv_i,v_j)\overline{(xw_{i'},w_{j'})}=\left|G\right|^{-1}\sum_{x\in G} (xv_i,v_j)(xw^*_{i'},w^*_{j'})=(P(v_i\otimes w^*_i),v_j\otimes w^*_{j'}) \]

其中 \(P=\frac{1}{\left|G\right|}\sum_{x\in G} x\)。若 \(V\ncong W\)，由于 \(P\) 投影到平凡表示，而该表示在 \(V\otimes W\) 中并不存在，故上式为 \(0\)。若 \(V\cong W\)，\((t_{ij}^V,t_{i'j'}^V)=(P(v_i\otimes v_{i'}^*),v_j\otimes v_{j'}^*)\)，注意到 \((V\otimes V^*)^G\) 由单位向量 \(f:=\frac{1}{\sqrt{\dim V}}\sum_{i} v_i\otimes v_i^*\) 生成，故 \((V\otimes V^*)^G\cong \mathbb{C}\)。故 \(P(v_i\otimes v^*_{i'})=(v_i\otimes v_{i'}^*,f)\cdot f=\frac{1}{\sqrt{\dim V}}\cdot f\cdot \delta_{ii'}\)，故

\[ (t_{ij}^V,t_{i'j'}^V)=\frac{1}{\sqrt{\dim V}}\delta_{ii'} (f,v_j\otimes v^*_{j'})=\frac{1}{\dim V} \delta_{ii'}\delta_{jj'} \]

由于 \(\dim F(G,\mathbb{C})=\left|G\right|=\sum_V (\dim V)^2\)，故确实为 基。

§ 07特征表

在本节中，\(k = \mathbb{C}\)，\(G\) 是一个有限群。

\(G\) 的特征表结构如下：

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline G & g_1 & g_2 & \cdots & g_i\\ \hline \# & & & &\\ \hline V_1 \, (\text{平凡}) & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline V_2 & \dim V_2 & & & \\ \hline \vdots & \vdots & & & \\ \hline V_i& \dim V_i & & &\chi_V(g_i) \\ \hline \end{array} \]

其中第一行为 \(G\) 的共轭类，第二行为对应共轭类的元素个数。

已证明结论：

  • 正交关系：

    \[ \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_{V_i}(g) \overline{\chi_{V_j}(g)} = \frac{1}{|G|} \sum_{C_i} |C_i| \chi_{V_i}(g) \overline{\chi_{V_j}(g)} = \begin{cases} 1 & \text{若 } V_i = V_j \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]

  • 特征标和关系：

    \[ \sum_{V_i} \chi_{V_i}(g) \cdot \overline{\chi_{V_j}(h)} = \begin{cases} |Z_g| & \text{若 } g \text{ 与 } h \text{ 共轭} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]

我们来看一些简单的例子：

  • \(G=S_3\)

    \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline S_3 & \mathrm{Id} & (12) & (123)\\ \hline \# &1 & 3& 2\\ \hline \mathbb{C} & 1 & 1 & 1 \\ \hline \text{sign} & 1 & -1& 1 \\ \hline \mathbb{C}^2 & 2 &0 & 1 \\ \hline \end{array} \]

    这里 \(S_3\curvearrowright \mathbb{C}^2=\left\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{C}^3\Big| x_1+x_2+x_3=0\right\}\)。

    断言：

    \[ S_n\curvearrowright \mathbb{C}^{n-1}=\left\{(x_1,\cdots,x_n)\in \mathbb{C}^{n}\Big| x_1+\cdots+x_n=0\right\} \]

    为不可约表示，这称为 \(S_n\) 的标准表示(standard representation)。

    断言：若 \(V\) 是不可约表示，则 \(V\otimes \text{sign}\) 也是不可约表示。由 \(\chi_{V\otimes \text{sign}}(g)=\chi_V\cdot (-1)^{\text{l}(g)}\) 即得。

  • \(G=S_4\)

    \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline S_4 & \mathrm{Id} & (12) & (12)(34)&(123)&(1234)\\ \hline \# &1 & 6&3&8&6\\ \hline \mathbb{C} & 1 & 1 & 1& 1& 1 \\ \hline \text{sign} & 1 & -1& 1 & -1& 1 \\ \hline \mathbb{C}^3 & 3&1 & -1&0 &-1 \\ \hline \mathbb{C}^3\otimes \text{sign} & 3&-1 & 1&0 &1 \\ \hline \mathbb{C}^2 & 2&0 & 2&-1 &0 \\ \hline \end{array} \]

    最后一个由 \(H:=\left\{\mathrm{Id},(12)(34),(13)(24),(14)(23)\right\}\triangleleft S_4\) 与 \(S_4\twoheadrightarrow S_4/H\cong S_3\) 给出。

  • \(G=A_4\)

    \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline A_4 & \mathrm{Id} &(123) &(132)&(12)(34)\\ \hline \# &1 & 4 &4&3\\ \hline \mathbb{C} & 1 & 1 & 1& 1 \\ \hline \mathbb{C}_\omega& 1 & \omega& \omega^2 & 1 \\ \hline \mathbb{C}_\omega^2& 1 & \omega^2& \omega & 1 \\ \hline \mathbb{C}^3 & 3&0 &0 &-1 \\ \hline \end{array} \]

我们可以通过特征表来计算 \(V_i\otimes V_j=\sum N_{ij}^k V_k\) 中的系数 \(N_{ij}^k=(\chi_i\chi_j,\chi_k)\)。

§ 08Frobeniu 行列式

设 \(G\) 是有限群，\(\left\{x_g\Big| g\in G\right\}\) 为变量。

定义 8.1

考虑 \(\left|G\right|\times \left|G\right|\) 矩阵 \(X_G\)，其中 \(a_{g,h}:=x_{g^{-1}h}\)，称 \(\det(X_G)\) 为 Frobenius 行列式。

例 8.2

考虑 \(G=C_n=\left<r\Big| r^n=1\right>\)，则

\[ X_G=\left( \begin{matrix} x_0& x_1& \cdots& x_{n-1}\\ x_{n-1}& x_0& \cdots& x_{n-2}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ x_1& x_2& \cdots& x_0\\ \end{matrix} \right) \]

断言：

\[ \begin{aligned} \det(X_{c_n})&=\prod_{j=0}^{n-1}(\sum_{k=0}^{n-1}\zeta^{jk}x_k),\zeta=e^{2\pi j/n}\\ &=\prod_{j=0}^{n-1}(\sum_{k=0}^{n-1}\chi_j(r^k)x_k),\chi_j \text{为第} j \text{个不可约表示}\\ \end{aligned} \]

定理 8.3Dedekind

设 \(G\) 是有限群，则

\[ \det X_G=\prod_\chi (\prod_{g\in G} \chi(g)x_g) \]

\(\chi\) 对所有 \(G\rightarrow \mathbb{C}^*\) 的群同态求和。

定理 8.4Frobenius

存在互不成比例的不可约多项式 \(P_j(x)\) 满足：

\[ \det X_G=\prod_{j=1}^{r} P_j(x)^{\deg P_j} \]

其中 \(r\) 为 \(G\) 的共轭类数。

证明

先证明一个引理：

引理 8.5

设 \(Y=(y_{ij})\)，则 \(\det Y\) 在 \(\left\{y_{ij}\right\}\) 上为不可约多项式。

引理的证明

设 \(X=t\cdot \mathrm{Id} +\sum_{i=1}^n x_i E_{i,i+1}\)，其中下标模 \(n\) 理解，\(E_{i,j}\) 是初等矩阵。则 \(\det(X)=t^n-(-1)^nx_1\cdots x_n\) 显然不可约。因此，行列式 \(\det(Y)\) 是不可约的（这是因为当 \(Y\) 特化为 \(X\) 时行列式保持不可约性，且齐次多项式的不可约因子本身必须是齐次的，因此无法通过特化得到非零常数）。

回到原题。令 \(V = \mathbb{C}[G]\) 为群 \(G\) 的正则表示。考虑

\[ L(\mathbf{x}) = \sum_{g \in G} x_g \rho(g), \]

其中 \(\rho(g) \in \text{End}(V)\) 由 \(g\) 诱导。\(L(\mathbf{x})\) 作用于元素 \(h \in G\) 的结果为

\[ L(\mathbf{x})h = \sum_{g \in G} x_g \rho(g)h = \sum_{g \in G} x_g gh = \sum_{z \in G} x_{zh^{-1}} z. \]

因此，线性算子 \(L(\mathbf{x})\) 在基 \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) 下的矩阵为 \(X_G\) 的列置换矩阵，故其行列式至多相差一个符号。

根据 Maschke 定理，我们有

\[ \det\nolimits_V L(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^r \left( \det\nolimits_{V_i} L(\mathbf{x}) \right)^{\dim V_i}, \]

其中 \(V_i\) 是 \(G\) 的不可约表示。令 \(P_i = \det_{V_i} L(\mathbf{x})\)。设 \(\{e_{im}\}\) 为 \(V_i\) 的基，\(E_{i,j,k} \in \text{End}(V_i)\) 为这些基下的矩阵单位元。则 \(\{E_{i,jk}\}\) 构成 \(\mathbb{C}[G]\) 的一组基，且

\[ L(\mathbf{x})|_{V_i} = \sum_{j,k} y_{i,jk} E_{i,jk}, \]

其中 \(y_{i,j,k}\) 是 \(\mathbb{C}[G]\) 上通过线性变换与 \(x_g\) 关联的新坐标。于是

\[ P_i(\mathbf{x}) = \det\nolimits_{V_i} L(\mathbf{x}) = \det (y_{i,jk}). \]

因此，由引理 \(P_i\) 是不可约的且互不成比例（因为它们依赖于不同的变量集合 \(y_{i,jk}\)）。定理得证。

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完

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