表示论 Part 5 of 8

第 5 章：对称群 S_n 的表示

回忆 \(\forall \lambda\in P(n),P_\lambda=S_{\lambda_1}\times S_{\lambda_2}\times \cdots \times S_{\lambda_2}\subseteq S_n\)

发布于 2025-11-19 更新于 2026-10-15 4,565 字 · 约 13 分钟

§ 01对称函数

定义 1.1

一个划分(partition)为任意(有限或无限)非负整数序列 \(\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots)\) 满足 \(\lambda_1\ge \lambda_2\ge \cdots\) 且仅含有限多个非零元。有时我们将 \(\lambda\) 记作 \((1^{m_1}2^{m_2}\cdots)\)，其中 \(m_i=\#\left\{j\Big| \lambda_{j}=i\right\}\)。仅当两个划分仅相差末尾的 \(0\) 时，称这两个划分相等，例如 \((3,1)=(3,1,0)=(3,1,0,0,\cdots)\)

定义 \(\lambda\) 的长度(length) \(l(\lambda):=\#\left\{i\Big| \lambda_i\neq 0\right\}\)，\(\lambda\) 的权(weight) \(\left|\lambda\right|:=\sum \lambda_i\)。

若 \(\left|\lambda\right|=n\)，我们称 \(\lambda\) 为一个 \(n\) 的划分，这样的划分构成集合 \(P_n\)，记 \(P:=\bigcup_n P_n\)。

定义 1.2

\(P\) 上的优于关系：\(\lambda\trianglerighteq \mu\) 当且仅当 \(\left|\lambda\right|=\left|\mu \right|\) 且 \(\lambda_1+\cdots+\lambda_i\ge \mu_1+\cdots+\mu_i,\forall i\ge 1\)。

\(\lambda\triangleright \mu\) 当且仅当 \(\lambda\trianglerighteq \mu\) 且 \(\lambda \neq \mu\)。

定义 1.3

\(\lambda\) 的Young 图定义为

\[ Y_\lambda=\left\{(i,j)\in \mathbb{Z}^2\Big| 1\le j \le \lambda_i\right\} \]

定义 1.4

\(\lambda\) 的共轭划分 \(\lambda'\) 定义为

\[ \lambda_j':=\#\left\{(i,j)\in Y_\lambda\Big| i\ge 1\right\} \]

等价的，\(Y_{\lambda'}\) 与 \(Y_\lambda\) 关于对角线对称。

命题 1.5

\[ \lambda \trianglerighteq \mu\Longleftrightarrow \mu'\trianglerighteq \lambda' \]

定义 1.6

\[ \wedge _n:=\mathbb{Z}[x_1,\cdots,x_n]^{S_n}=\bigoplus_{r\ge 0} \wedge _n^r \]

为 \(n\) 元对称多项式，其中 \(\wedge _n^r\) 为 \(r\) 次齐次 \(n\) 元多项式。

定义 1.7

对每个 \(\alpha =(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\in \mathbb{N}^n\)，令 \(x^\alpha:=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}\)。令 \(\lambda\) 为划分满足 \(l(\lambda)\le n\)，定义

\[ m_\lambda(x_1,\cdots,x_n)=\sum_\alpha x^\alpha \]

其中求和号对所有 \(\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\) 的不同排列求和。

命题 1.8

\(\left\{m_\lambda\Big| l(\lambda)\le n\right\}\) 为 \(\wedge _n\) 的 \(\mathbb{Z}-\)基。
\(\left\{m_\lambda\Big| l(\lambda)\le n,\left|\lambda\right|=r\right\}\) 为 \(\wedge _n^r\) 的 \(\mathbb{Z}-\)基。
当 \(n\ge r\) 时 \(\left\{m_\lambda\Big| \left|\lambda\right|=r\right\}\) 为 \(\wedge _n^r\) 的 \(\mathbb{Z}-\)基。

通常，使用无限多个变量的对称函数更为方便。对分次环存在满射

\[ \wedge ^{n+1}\rightarrow \wedge ^n,x_{n+1}\mapsto 0 \]

由定义

\[ m_\lambda(x_1,\cdots,x_{n+1})\mapsto\begin{cases} m_\lambda(x_1,\cdots,x_n)&,l(\lambda)\le n\\ 0&,l(\lambda)>n \end{cases} \]

将其限制在 \(r\) 次多项式上就有 \(\wedge _{n+1}\twoheadrightarrow \wedge _{n}^r\) 且当 \(r\le n\) 时为双射。

定义 1.9

定义 \(\wedge ^r:=\mathop {\underleftarrow{\lim}}\limits_ {n} \wedge _n^r,\forall r\ge 0\)，\(\wedge :=\bigoplus_{r\ge 0} \wedge ^r\)。由定义，\(\wedge ^r\) 中的元素形如 \(f=(f_n)_{n\ge 0}\)，其中 \(f_n\in \wedge _n^r\) 满足 \(f_{n+1}\big|_{x_{n+1}=0}=f_n\)。\(\wedge\) 为对称函数环。

由于当 \(r\le n\) 时 \(\wedge _{n+1}^r\mapsto \wedge _n^r\) 为同构，故此时投影 \(\rho_n^r:\wedge ^r\mapsto \wedge _n^r,f\mapsto f_n\) 为同构。

定义 1.10

令 \(m_\lambda:=(\rho_n^r)^{-1}(m_\lambda(x_1,\cdots,x_n))\in \wedge ^r\)，其中 \(\left|\lambda\right|=r\)，\(m_\lambda\) 称作对称单项式(monomial symmetric functions)。

命题 1.11

\(\left\{m_\lambda\Big| \left|\lambda\right|=r\right\}\) 为 \(\wedge ^r\) 的 \(\mathbb{Z}-\)基。
\(\left\{m_\lambda\right\}\) 是 \(\wedge\) 的 \(\mathbb{Z}-\)基。

定义 1.12初等对称多项式

\(\forall r\in \mathbb{Z}_{\ge 0}\)，令

\[ e_r:=m_{(1^r)}=\sum_{i_1<\cdots<i_r} x_{i_1}\cdots x_{i_r},r_0:=1 \]
\(\forall \lambda\in P\)，定义

\[ e_\lambda:=e_{\lambda_1}\cdot e_{\lambda_2} \cdots \]

命题 1.13

\[ E(t):=\sum_{r\ge 0}e_r t^r =\prod_{i\ge 1}(1+x_i t) \]
\(\left\{e_\lambda\Big| \lambda \in P\right\}\) 是 \(\wedge\) 的 \(\mathbb{Z}-\)基。

证明

\((1)\) 是显然的。

\((2)\) 提示：证明

\[ e_{\lambda'}=m_\lambda+\sum_{\mu\triangleleft \lambda} a_{\lambda,\mu }m_\mu，a_{\lambda,\mu}\in \mathbb{Z}_{\ge 0} \]

于是 \(\wedge =\mathbb{Z}[e_1,e_2,\cdots]\) 且 \(\left\{e_1,e_2,\cdots\right\}\) 在 \(\mathbb{Z}\) 上线性独立。

定义 1.14完全对称多项式

\(\forall r\in \mathbb{Z}_{\ge 0}\)，令

\[ h_r:=m_{(1^r)}=\sum_{i_1\le\cdots\le i_r} x_{i_1}\cdots x_{i_r},h_0:=1 \]
\(\forall \lambda\in P\)，定义

\[ h_\lambda:=h_{\lambda_1}\cdot h_{\lambda_2} \cdots \]

定义 1.15

对 \(\wedge =\mathbb{Z}[e_1,e_2,\cdots]\)，令 \(\omega:\wedge \rightarrow\wedge ,e_r\mapsto h_r\) 为环同态。

命题 1.16

\[ H(t):=\sum_{r\ge 0} h_r t ^r =\prod_{i\ge 1} (1-x_it)^{-1} \]
\[ \sum_{r=0}^n (-1)^r e_r h_{n-r}=0,\forall n\ge 1 \]
\(\left\{h_\lambda\Big| \lambda \in P\right\}\) 是 \(\wedge\) 的 \(\mathbb{Z}-\)基。

证明

\((1)\)：由 \(\frac{1}{1-x_it}=\sum_{n\ge 0} x_i^n t^n\) 即得。

\((2)\)：由 \(E(-t)H(t)=1\) 即得。

\((3)\)：由 \((2)\) 知 \(\omega(h_r)=e_r\)，于是 \(\omega^2=1\)，即 \(\omega\) 是 \(\wedge\) 上的对合元，结合 \(\omega(e_r)=h_r\) 即证。

定义 1.17等幂和

\(\forall r\ge 1\)，令

\[ P_r:=m_(r)=\sum_i x_i^r \]
\(\forall \lambda\in P\)，定义

\[ P_\lambda:=P_{\lambda_1}\cdot P_{\lambda_2}\cdots \]

命题 1.18

\[ P(t):=\sum_{r\ge 1} P_r \cdot t^{r-1}=\sum_i \frac{x_i}{1-x_i t} \]
\(\left\{P_\lambda\Big| \lambda\in P\right\}\) 是 \(\wedge _\mathbb{Q}:=\mathbb{Q}\otimes_\mathbb{Z} \wedge\) 的 \(\mathbb{Q}-\)基。
\[ \omega(P_r)=(-1)^{r-1}P_r,\omega(P_\lambda)=(-1)^{\left|\lambda\right|-l(\lambda)}P_\lambda \]
对 \(\lambda=(1^{m_1}2^{m_2}\cdots)\)，定义 \(z_\lambda=\prod_{r\ge 1} (r^{m_r}\cdot m_r!)\)，则

\[ h_n=\sum_{\left|\lambda\right|=n} z_\lambda^{-1}\cdot P_\lambda \]

证明

\((1)\)：显然。

\((2)\)：回忆 \(H(t)=\prod_{i\ge 1} \frac{1}{1-x_it}\)，故 \(P(t)=\frac{H'(t)}{H(t)}\)，于是 \(H'(t)=P(t)H(t)\)，此即 \(nh_n=\sum_{r=1}^nP_rh_{n-r}\)，故 \(h_n\in \mathbb{Q}[P_1,\cdots,P_n],P_n\in \mathbb{Z}[h_1,\cdots,h_n]\)，故 \(\mathbb{Q}[P_1,\cdots,P_n]=\mathbb{Q}[h_1,\cdots,h_n]\)，于是 \(\wedge_\mathbb{Q}=\mathbb{Q}[P_1,P_2,\cdots]\) 且 \(\wedge^r_\mathbb{Q}=\mathrm{Span}_{\mathbb{Q}} \left\{P_\lambda\Big| \left|\lambda\right|=r\right\}=\mathrm{Span}_{\mathbb{Q}} \left\{h_\lambda\Big| \left|\lambda\right|=r\right\}\)，由于 \(\dim \wedge^r_\mathbb{Q} =\left\{\lambda \Big| \left|\lambda\right|=r\right\}\)，故 \(\left\{P_\lambda\Big| \lambda\in P\right\}\) 是 \(\wedge_\mathbb{Q}\) 的 \(\mathbb{Q}-\)基。

\((3)\)：回忆 \(E(t)=\prod_{i\ge 1} (1+x_it)\)，故 \(P(-t)=\sum_i \frac{x_i}{1+x_it}=\frac{E'(t)}{E(t)}\)，结合 \(P(t)=\frac{H'(t)}{H(t)}\) 与 \(\omega(e_r)=h_r\) 知 \(\omega(P(-t))=P(t)\)，即 \(\omega(P_r)=(-1)^{r-1}P_r\)。

\((4)\)：\(P(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\log H(t))\)，故

\[ H(t)=\exp (\sum_{r\ge 1} \frac{P_r t^r}{r})=\prod_{r\ge 1} \exp (\frac{P_rt^r}{r})=\prod_{r\ge 1} (\sum_{m_r\ge 0} \frac{1}{m_r !}(\frac{P_rt}{r})^{m_r}) \]

对应系数即证。

定义 1.19标量乘法

设 \(x=(x_1,x_2,\cdots),y=(y_1,y_2,\cdots)\) 为两个独立变量列。\(\forall f\in \wedge\)，记 \(f(x),f(y),f(xy)\) 为对应的对称函数。

命题 1.20

\[ P_n(xy)=\sum_{i,j} (x_iy_j)^n =P_n(x)P_n(y) \]

进一步有 \(P_\lambda(xy)=P_\lambda(x)P_\lambda(y)\)

定义 1.21

\[ \prod(x,y):=\prod_{i,j} (1-x_iy_j)^{-1} \]

引理 1.22

\[ \prod (x,y)=\sum_\lambda z_\lambda^{-1} P_\lambda(x)P_\lambda(y)=\sum_\lambda h_\lambda(x)m_\lambda(y)=\sum_\lambda m_\lambda(x)h_\lambda(y) \]

证明

由于 \(\sum_{r\ge 0} h_rt^r=\prod_{i\ge 1} (1-x_it)^{-1}\)，故

\[ \prod (x,y)=\sum_{n\ge 0}h_n(xy)=\sum_\lambda z_\lambda^{-1} P_\lambda(xy)=\sum_\lambda z_\lambda^{-1}P_\lambda (x)P_\lambda(y)5 \]

另一方面我们有

\[ \prod (x,y)=\prod_j H(y_j)=\prod _j (\sum_{\alpha_j\ge 0} h_{\alpha_j}(x)y_j^{\alpha_j})=\sum_\lambda h_\lambda(x)m_\lambda(y)=\sum_\lambda m_\lambda(x)h_\lambda(y) \]

定义 1.23

定义\(\left<-,-\right>:\wedge \times \wedge \rightarrow \mathbb{Z}\) 满足 \(\left<h_\lambda,m_\mu\right>=\delta_{\lambda\mu}\)。

引理 1.24

\(\forall n\ge 0\)，\(\left\{u_\lambda\right\},\left\{v_\lambda\right\}\) 是 \(\wedge ^n_\mathbb{Q}\) 的 \(\mathbb{Q}-\)基，则

\[ \left<u_\lambda,v_\mu\right> =\delta_{\lambda\mu} \Longleftrightarrow \sum_\lambda u_\lambda(x)v_\lambda(y)=\prod(x,y) \]

证明

设 \(u_\lambda=\sum_\rho a_{\lambda,\rho}h_\rho,v_\mu =\sum_\sigma b_{\mu ,\sigma} m_\sigma\)，则

\[ \left<u_\lambda,v_\mu\right>=\delta_{\lambda,\mu}\Longleftrightarrow \sum_\rho a_{\lambda,\rho}b_{\mu,\rho}=\delta_{\lambda,\mu} \]

\[ \sum u_\lambda(x)v_\lambda (y)=\prod (x,y)=\sum h_\rho(x)m_\rho(y)\Longleftrightarrow \sum_\lambda a_{\lambda,\rho}b_{\lambda,\sigma}=\delta_{\rho,\sigma} \]

推论 1.25

\[ \left<P_\lambda,P_\mu\right>=\delta_{\lambda\mu}z_\lambda \]

于是 \(\left<-,-\right>\) 是对称的且正定。
\(\omega\) 是等距同构，即 \(\forall f,g\in \wedge\)，有

\[ \left<\omega f,\omega g\right>=\left<f,g\right> \]

证明

\((1)\)：由 \(\prod (x,y)=\sum z_\lambda^{-1}P_\lambda(x)P_\lambda(y)\) 与引理 4.7即证。

\((2)\)：由 \((1)\) 与 \(\omega(P_r)=(-1)^{r-1}P_r\) 即证。

定义 1.26Schur 多项式

\(\forall \alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots)\in \mathbb{Z}_{\ge 0}^n\)，令

\[ a_\alpha:=\det(x_i^{\alpha_j})_{1\le i,j\le n}=\sum_{\sigma\in S_n} \varepsilon(\sigma)\cdot \sigma(x^\alpha) \]

其中 \(\varepsilon(\sigma)=\mathrm{sgn} (\sigma),x^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}\)
对 \(\lambda=(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in P\)，定义 Schur 多项式

\[ S_\lambda(x_1,\cdots,x_n)=a_{\lambda+\delta}/a_\delta \]

其中 \(\delta=(n-1,n-2,\cdots,2,1,0)\)。

由 Vandermonde 行列式知 \(a_\delta=\prod_{i<j} (x_i-x_j)\)。

\(a_{\lambda+\delta}\) 被 \(a_\delta\) 整除，于是 \(S_\lambda\in \wedge _n^{\left|\lambda\right|}\)，进一步有存在 Schur 多项式 \(S_\lambda\in \wedge\) 使得 \(S_\lambda\big|_{x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots=0}=S_\lambda(x_1,\cdots,x_n)\) 对任意 \(n\ge l(\lambda)\) 成立。

\(S_\lambda(x_1,\cdots,x_n)=a_{\lambda+\delta}/a_\delta\) 对 \(\lambda=(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in \mathbb{Z}_{\ge 0}^n\) 也适用，这是因为 \(a_{\lambda+\delta}=\varepsilon(\sigma)a_{\sigma(\lambda+\delta)}\)，且 \(S_\lambda=0\) 当且仅当 \(\lambda+\delta\) 有两个相等的项。

命题 1.27

对任意 \(\lambda\in P\)，存在 \(K_{\lambda,\mu}\in \mathbb{Z}\) 满足

\[ S_\lambda=m_\lambda +\sum_{\mu\triangleleft \lambda} K_{\lambda,\mu} m_\mu \]

于是 \(\left\{ S_\lambda \Big| \lambda \in P\right\}\) 是 \(\wedge\) 的 \(\mathbb{Z}-\)基。这里的 \(K_{\lambda,\mu}\in \mathbb{Z}_{\ge 0}\) 称作 Kostka 数。

证明

考虑 \(n\) 个变量的情形，\(n\ge \left|\lambda\right|\)。

\[ m_\lambda\cdot a_\delta=\sum_{\substack{\mu \text{ 为 }\lambda \text{ 的任一排列}\\ \sigma \in S_n}} \varepsilon(\sigma) x^{\mu +\sigma(\delta)}=\sum_{\mu,\sigma} \varepsilon(\sigma) x^{\sigma(\mu+\delta)}=\sum_\mu a_{\mu+\delta} \]

这意味着

\[ m_\lambda=\sum_{\substack{\mu \text{ 为 }\lambda \text{ 的任一排列}}} x^{\mu}=\sum_{\mu} x^{\sigma(\mu)},\forall \sigma \in S_n \]

故

\[ m_\lambda=\sum_{\mu \text{ 为 }\lambda \text{ 的任一排列}} S_\mu\in \wedge _n \]

对 \(n\ge \left|\lambda\right|\) 成立，故在 \(\wedge\) 中同样成立。由上文知要么 \(S_\mu=0\)，要么 \(s_\mu=\varepsilon(\sigma)\cdot s_v\)，其中 \(v\in P\) 且 \(v+\delta=\sigma(\mu+\delta)\) 对任意 \(\sigma\in S_n\)。由于 \(\mu\) 是 \(\lambda\) 的任一排列，故 \(v\trianglelefteq \lambda\)，因此

\[ m_\lambda=S_\lambda+\sum_{v\triangleleft \lambda} a_{\lambda,v} S_v \]

定理 1.28

对任意 \(\lambda,\mu\in P\)，有

\[ \left<S_\lambda,S_\mu\right>=\delta_{\lambda,\mu} \]

证明

只需证

\[ \sum_\lambda S_\lambda(x)S_\lambda(y)=\prod (x,y) \]

考虑 Cauchy 行列式我们有

\[ \det \left(\frac{1}{x_i+y_j}\right)_{1\le i,j\le n}=\frac{a_\delta(x)a_\delta(y)}{\prod_{1\le i,j\le n} (x_i+y_j)} \]

在上式中用 \(-x_i^{-1}\) 替换掉 \(x_i\) 得

\[ \det \left(\frac{1}{1-x_iy_j}\right)_{1\le i,j\le n}={a_\delta(x)a_\delta(y)}{\prod (x,y)} \]

另一方面我们有

\[ \begin{aligned} \det \left(\frac{1}{1-x_iy_j}\right)_{1\le i,j\le n}&=\det \left(\sum_{\alpha\ge 0}x_i^{\alpha_j}y_j^{\alpha_j}\right)\\ &=\sum_{\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\in \mathbb{Z}^n_{\ge 0}} a_\alpha(x)\cdot y^\alpha\\ &=\sum_{\substack{\lambda\in P\\l(\lambda)\le n}} \sum_{\substack{\alpha\in \sigma(\lambda+\delta)\\\sigma\in S_n}} \varepsilon (\sigma)\cdot a_{\lambda+\delta}(x)\cdot \sigma(y^{\lambda+\delta})\\ &=\sum_{\substack{\lambda\in P\\l(\lambda)\le n}} a_{\lambda+\delta}(x)\sum_{\sigma\in S_n} \varepsilon (\sigma)\cdot \sigma(y^{\lambda+\delta})\\ &=\sum_{\substack{\lambda\in P\\l(\lambda)\le n}} a_{\lambda+\delta}(x)a_{\lambda+\delta}(y)\\ \end{aligned} \]

故

\[ \prod(x,y)=\sum_{\lambda\in P,l(\lambda)\le n} S_\lambda(x)S_\lambda(y) \]

令 \(n\rightarrow \infty\) 即证。

命题 1.29Jacobi-Trudy 等式/Giambelli 公式

对 \(\forall \lambda\in P,l(\lambda)\le n\)，有

\[ S_\lambda=\det (h_{\lambda_i-i+j})_{1\le i,j\le n} \]

这里约定对 \(r<0\)，\(h_r=0\)。
对 \(\forall \lambda\in P,l(\lambda')\le m\)，有

\[ S_\lambda=\det (e_{\lambda'_i-i+j})_{1\le i,j\le m} \]

证明

\((1)\)：对 \(x=(x_1,\cdots,x_n),y=(y_1,\cdots,y_n)\)，回忆我们有

\[ H(t)=\sum_{r\ge 0} h_r(x)t^r=\prod_i \frac{1}{1-x_it} \]

带入

\[ \prod{\left( x,y \right) =\prod_{i,j}{\frac{1}{1-x_iy_j}=\prod_{i=1}^n{H\left( y_j \right)}}} \]

我们有：

\[ \begin{aligned} \prod\left( x,y \right) \cdot a_{\delta}\left( y \right) &=\det \left( y_{i}^{n-j}\cdot H\left( y_i \right) \right) \\ &=\det \left( \sum_{\alpha _j\ge 0}{h_{\alpha _j}\left( x \right) y_{i}^{n-j+\alpha _j}} \right) \\ &=\sum_{\alpha =\left( \alpha _1,\cdots ,\alpha _n \right) \in \mathbb{Z} _{\ge 0}^{n}}{h_{\alpha}\left( x \right) \cdot a_{\alpha +\delta}\left( y \right)} \end{aligned} \]

对于 \(\lambda\in P\)，\(l(\lambda)\le n\)，\(\prod (x,y)\cdot a_\delta (y)\) 中 \(a_{\lambda+\delta }(y)\) 的系数为

\[ \sum_{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\cdot h_{\sigma(\lambda+\delta)-\delta}=\det(h_{\lambda_i-i+j})_{1\le i,j\le n} \]

而

\[ \prod (x,y)a_\delta(y)=\sum_{\mu \in P,l(\mu)\le n} S_\mu(x)S_\mu(y)a_\delta(y)=\sum_{\mu \in P,l(\mu)\le n} S_\mu(x)a_{\mu+\delta}(y) \]

其中 \(a_{\lambda+\delta }(y)\) 的系数为 \(S_\lambda(x)\)，由此即证。

\((2)\)：先证明如下引理

引理 1.30

设 \(\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) 和 \(\mu = (\mu_1, \ldots, \mu_m) = \lambda\)（蕴含 \(\lambda_1 = m, \mu_1 = n\)），则集合：

\[ \{\lambda_i + n + 1 - i \mid 1 \leq i \leq n\} \quad \text{和} \quad \{n + j - \mu_j \mid 1 \leq j \leq m\} \]

构成集合 \(\{1, 2, \cdots, n+m\}\) 的一个不交并。

证明

画出 Young 表的对角线即证。

设 \(A, B \in \operatorname{Mat}_r(\mathbb{C})\)，且 \(A\cdot B = c\cdot I_r\)=。令 \((s, s')\) 和 \((t, t')\) 为 \((1, 2, \cdots, n)\) 的置换，满足 \(\left|s\right|=\left|t\right|= k\)。定义\(A_{S,T} = \det\left(a_{s_i,t_j}\right)_{i,j}\)。类似地定义 \(B_{T',S'}\)，则有：

\[ c^{r-k} A_{S,T} = \sigma \cdot \det(A) \cdot B_{T',S'} \]

其中 \(\sigma\) 是两个置换的 \(\mathrm{sgn}\) 乘积。这是因为考虑三个置换矩阵 \(P, Q,\) 满足

\[ PAQ = \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix}, \quad \det A_1 = A_{S,T} \]

\[ Q^{-1} B P^{-1} = \begin{pmatrix} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \end{pmatrix}, \quad B_{T',S'} = \det B_{4} \]

\[ \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{k} & B_2 \\ 0 & B_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ A_3 & cI_{r-k} \end{pmatrix} \]

对上述等式两边取行列式即得。

需证明：

\[ S_n = \det \left( e_{\lambda_i'-i+j} \right)_{1\le i,j\le m} \]

定义下三角矩阵 \(H=(h_{i-j})_{1\le i,j\le N}\) 和 \(E=((-1)^{i-j}e_{i-j})_{1\le i,j\le N}\)，其中 \(N=n+m\)，\(H,E\) 是上对角矩阵且对角线为 1。回忆我们有

\[ \sum_{r=0}^{n} (-1)^re_r h_{h-r} = 0, \quad \forall n \geq 1 \]

从而有：

\[ H \cdot E = I_{N} \]

对以下序列应用引理：

\[ \begin{aligned} S &= (\lambda_1 + n, \cdots, \lambda_i + n+1-i, \cdots, \lambda_n+1)\\ T &= (n, n-1, \cdots, n-j+1, \cdots, 1)\\ S'& = (n+1-\mu_1, \cdots, n+i-\mu_i, \cdots,n+m-\mu_m)\\ T' &= (n+1, \cdots, n+j, \cdots, n+m)\\ \end{aligned} \]

则有：

\[ H_{S,T} = \det \left(h_{\lambda_i-i+j}\right) = S_\lambda \]

\[ \begin{aligned} E_{T',S'} &= \det\left( (-1)^{i-j+\mu_j}e_{\mu_j+i-j}\right)_{1\le i, j\le m}\\ &=(-1)^{\sum (\mu_j-j)+\sum i}\det \left(e_{\mu_j+i-j}\right)_{1\le i,j\le m}\\ &=(-1)^{\left|\lambda\right|}\det (e_{\mu_i+j-i})_{1\le i,j\le m}\\ \end{aligned} \]

推论 1.31

\[ \omega(S_\lambda)=S_{\lambda'} \]

考虑 \(S_\lambda\cdot S_\mu =\sum_\nu c_{\lambda\mu}^\nu S_\nu\)，\(c_{\lambda\mu}^\nu \in \mathbb{Z}\) 称为 Littlewood-Richardson 常数。我们之后会证明 \(c_{\lambda\mu}^\nu\in \mathbb{Z}_{\ge 0}\)。

令 \(\mu=(r)\)，则 \(S_{\mu}=h_r\)，我们有如下公式：

命题 1.32Pieri 公式

\[ S_\lambda \cdot h_r=\sum_\lambda S_\lambda \]

这里求和遍历满足 \(\lambda\setminus \mu\) 是水平 \(r-\)条(horizontal r-strip)的分拆 \(\lambda\)。即 \(\lambda\) 的 Young 图包含了 \(\mu\) 的 Young 表且仅相差 \(r\) 个方格，且这 \(r\) 个方格两两均不同列，即 \(\lambda_1\ge \mu_1\ge \lambda_2\ge \mu_2\ge\cdots \ge \lambda_l\ge \mu_l\ge 0,\left|\lambda\right|=\left|\mu\right|+r\)。

推论 1.33

设 \(K_{\lambda,\mu}\) 为满足以下条件的填法数目：用 \(\mu_1\) 个 \(1\)，\(\mu_2\) 个 \(2\)，\(\cdots\)，\(\mu_l\) 个 \(l\) 填充 Young 表 \(Y(\lambda)\) 的方框，使得每行的数字非递减且每列的数字严格递增。

注：此类填法被称为分拆 \(\lambda\) 上类型为 \(\mu\) 的半标准 Young 表。

命题 1.34

\(K_{\lambda,\mu}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}\)
\(K_{\lambda,\lambda}=1\)
\(K_{\lambda,\mu}\neq 0\Longrightarrow \mu \trianglelefteq \lambda\)
\(K_{\lambda,(1^n)}=\#\left\{Y(\lambda) \text{的标准 Young 表}\right\}\)。即将 \(\left\{1,2,\cdots,n\right\}\) 填入 \(Y(\lambda)\) 满足每行每列的数字严格递增的填法数。

证明

\[ h_\mu=\sum_\lambda K_{\lambda,\mu}S_\lambda=h_{\mu_1}\cdots h_{\mu_l}=S_{(\mu_1)}h_{\mu_2}\cdots h_{\mu_l} \]

再用

\[ S_\mu\cdot h_r=\sum_{\substack{\lambda\\ \lambda-\mu \text{ 为水平 }r-\text{条}}}S_\lambda \]

§ 02\(S_n\) 表示的分类定理

定义 2.1

设 \(\lambda \in P(n)\) 是一个 \(n\) 的分划。\(Y_\lambda\) 是其 Young 表，标准填充 Young 表 \(T_\lambda\) 为将 \(\left\{1,2,\cdots,n\right\}\) 填入 \(Y(\lambda)\) 满足每行每列的数字严格递增的填法。对这个标准填充 \(T_\lambda\) 定义列子群(row subgroup)

\[ P_\lambda:=\left\{g\in S_n\Big| i \text{ 与 } g(i) \text{ 在同一行 },\forall 1\le i\le n\right\} \]

行子群(column subgroup)

\[ Q_\lambda:=\left\{g\in S_n\Big| i \text{ 与 } g(i) \text{ 在同一列 },\forall 1\le i\le n\right\} \]

注： \(P_\lambda\cap Q_\lambda=\left\{1\right\}\)。

定义 2.2

定义 Young 投影子(projectors)，

\[ a_\lambda:=\sum_{g\in P_\lambda} g,b_\lambda:=\sum_{g\in Q_\lambda} \varepsilon(g)\cdot g,c_\lambda:=a_\lambda b_\lambda \]

定理 2.3

\(V_\lambda:=\mathbb{C}[S_n]\cdot c_\lambda\) 在左乘运算下为 \(S_n\) 的不可约表示。任意 \(S_n\) 的不可约表示同构于某个 \(V_\lambda\)。

注：\(V_\lambda\) 称为 Specht 模。

推论 2.4

任意 \(S_n\) 的不可约表示可以由有理数构成的矩阵集合给出。

§ 03对称群 \(S_n\)的表示的分类定理的证明

引理 3.1

存在线性函数 \(l_\lambda:\mathbb{C}[S_n]\rightarrow \mathbb{C}\) 满足对任意 \(x\in \mathbb{C}[S_n]\)，有

\[ a_\lambda\cdot x \cdot b_\lambda=l_\lambda(x)\cdot c_\lambda \]

证明

若 \(g \in P_\lambda Q_\lambda\)，则 \(g\) 可唯一表示为 \(pq\)（其中 \(p \in P_\lambda\)，\(q \in Q_\lambda\)），故 \(a_\lambda g b_\lambda = (-1)^q c_\lambda\)。因此，只需证明：若置换 \(g \notin P_\lambda Q_\lambda\)，则 \(a_\lambda g b_\lambda = 0\)。

要证明这一点，只需找到一个对换 \(t\) 满足 \(t \in P_\lambda\) 且 \(g^{-1} t g \in Q_\lambda\)；此时

\[ a_\lambda g b_\lambda = a_\lambda t g b_\lambda = a_\lambda g \cdot (g^{-1} t g) \cdot b_\lambda = -a_\lambda g b_\lambda, \]

故 \(a_\lambda g b_\lambda = 0\)。换言之，我们需要找到两个元素 \(i,j\)，它们在 \(T = T_\lambda\) 的同一行中，且在 \(T' = gT\) 的同一列中（其中 \(gT\) 是与 \(T\) 形状相同的 Young 表，由置换 \(g\) 置换 \(T\) 的元素得到）。因此，只需证明：若不存在这样的元素对，则 \(g \in P_\lambda Q_\lambda\)，即存在 \(p \in P_\lambda\)，\(q' \in Q'_\lambda := g Q_\lambda g^{-1}\) 使得 \(pT = q' T'\)（此时 \(g = p q^{-1}\)，且 \(q = g^{-1} q' g \in Q_\lambda\)）。

\(T\) 第一行中的任意两个元素在 \(T'\) 中必处于不同列，因此存在 \(q'_1 \in Q'_\lambda\) 将这些元素全部移到第一行。于是存在 \(p_1 \in P_\lambda\) 使得 \(p_1 T\) 与 \(q'_1 T'\) 的第一行相同。

对第二行执行相同步骤，找到元素 \(p_2, q'_2\) 使得 \(p_2 p_1 T\) 与 \(q'_2 q'_1 T'\) 的前两行相同。依此类推，可构造出所需的元素 \(p, q'\)。得证。

定义 3.2Lexicographic 序

对 \(\lambda,\mu\in P(n)\)，定义 \(\lambda>\mu\) 当且仅当 \(\lambda_i-\mu_i\) 的第一个非零元是正的。

引理 3.3

若 \(\lambda>\mu\)，则

\[ a_\lambda \mathbb{C}[S_n]b_\mu=0 \]

证明

与前一个引理类似，只需证明：对任意 \(g \in S_n\)，存在对换 \(t \in P_\lambda\) 使得 \(g^{-1} t g \in Q_\mu\)。

设 \(T = T_\lambda\) 且 \(T' = gT_\mu\)。我们断言存在两个整数，它们既在 \(T\) 的同一行中，又在 \(T'\) 的同一列中。事实上，若 \(\lambda_1 > \mu_1\)，由抽屉原理（仅看第一行即得）可知这一点显然成立。反之，若 \(\lambda_1 = \mu_1\)，则如前一个引理的证明，可找到元素 \(p_1 \in P_\lambda\)、\(q'_1 \in g Q_\mu g^{-1}\)，使得 \(p_1 T\) 与 \(q'_1 T'\) 的第一行相同；对第二行重复该论证，依此类推。最终，在完成 \(i-1\) 步后，必有 \(\lambda_i > \mu_i\)，这意味着第一个表格第 \(i\) 行中存在两个元素在第二个表格的同一列中，得证。

引理 3.4

对任意 \(\lambda\in P(n)\)，\(V_\lambda\) 是 \(S_n\) 的不可约表示。
对任意 \(\lambda\neq \mu\in P(n)\)，则 \(V_\lambda\ncong V_\mu\)。

推论 3.5

\[ c_\lambda ^2=\frac{n!}{\dim V_\lambda} \cdot c_\lambda \]

证明

引理 5.4 表明 \(c_\lambda^2\) 与 \(c_\lambda\) 成比例。此外，易见 \(c_\lambda\) 在正则表示中的迹为 \(n!\)（因 \(c_\lambda\) 中单位元的系数为 1）。由此可得所述结论。

§ 04诱导表示

定义 4.1

\[ M_\lambda:=\mathrm{Ind}_{P_\lambda}^{S_n} (\text{trival})=\mathrm{Ind}_{P_\lambda}^{S_n}\mathbb{C} \]

注：回忆 \(a_n=\sum_{g\in P_\lambda} g\) ，故 \(M_\lambda=\mathbb{C}[S_n]\otimes _{\mathbb{C}[P_\lambda]}\mathbb{C}\cong \mathbb{C}[S_n]a_\lambda\)

引理 4.2

设 \(A\) 为含幺代数，\(e\in A\) 为一幂等元，即 \(e^2=e\)。则对任意 \(A-\)模 \(M\)，有

\[ \mathrm{Hom}_A(Ae,M)\cong eM \]

证明

任意 \(f\in \mathrm{Hom}_A(Ae,M)\) 由 \(f(e)=f(e^2)=ef(e)\in eM\) 唯一确定。

又注意到 \(\frac{1}{\left|P_\lambda\right|}\sum_{g\in P_\lambda} g=\frac{1}{\left|P_\lambda\right|}a_\lambda\in \mathbb{C}[S_n]\) 是幂等元，故：

命题 4.3

若 \(\mu<\lambda\)，则 \(\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}[S_n]}(M_\lambda,V_\mu)=0\)，\(\dim\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}[S_n]}(M_\lambda,V_\lambda)=1\)。于是 \(M_\lambda=\bigoplus_{\mu\ge \lambda} k_{\mu,\lambda}V_\mu\)，其中 \(k_{\mu,\lambda}\in \mathbb{Z}_{\ge 0},k_{\lambda,\lambda}=1\)。

注：回忆 \(s_\lambda=m_\lambda+\sum_{\mu \triangleleft \lambda}K_{\lambda,\mu} m_\mu\in \wedge\)，我们将会证明 \(k_{\mu,\lambda}=K_{\mu,\lambda}\)。

证明

由引理，

\[ \mathrm{Hom}_{\mathbb{C}[S_n]} (M_\lambda,V_\mu)=a_\lambda \mathbb{C}[S_n]a_\mu b_\mu=\begin{cases} 0 &,\lambda>\mu\\ \mathbb{C}\cdot c_\lambda &,\lambda=\mu\\ \end{cases} \]

最后一个等号由引理 5.4与引理 5.5给出。

定义 4.4

对 \(\mu=(1^{m_1}2^{m_2}\cdots)\in P(n)\)，设 \(C_\mu\subset S_n\) 为有 \(m_i\) 个长度为 \(i\) 的循环的的共轭类。对任意 \(S_n\) 的表示 \(V\)，\(\chi_V(C_\mu):=\chi_V(g)\)，其中 \(g\in C_\mu\)。

回忆 \(P_\mu(x)=P_{\mu_1}\cdot P_{\mu_2}\cdots\) 为对称等幂和函数。对任意多项式 \(f\) 与 \(\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_l)\in \mathbb{Z}_{\ge 0}^l\)，记 \([x^\alpha](f)\) 为 \(f\) 中 \(x^\alpha\) 的系数。

定理 4.5

表示 \(M_\lambda\) 的特征在共轭类 \(C_\mu\) 上取值为

\[ \chi_{M_\lambda} (C_\mu)=[x^\lambda](P_\mu) \]

推论 4.6

我们有

\[ P_\mu=\sum_\lambda \chi_{M_\lambda}(C_\mu)\cdot m_\lambda,h_\lambda=\sum_\mu \frac{1}{z_\mu} \chi_{M_\lambda}(C_\mu)\cdot P_\mu \]

其中 \(\mu=(1^{m_1}2^{m_2}\cdots),z_\mu=\prod_{r\ge 1} (r^{m_r}\cdot m_r!)=\# Z_{S_n}(g),g\in C_\mu\)

§ 05表示环和对称函数

定义 5.1

\(R_n:=\) \(S_n\) 的不可约表示的同构类上的自由阿贝尔群。

注：\(S_n\) 的表示 \(V\) 给出了 \(R_n\) 上一个元素 \([V]\)，等价地，\(R_n=\) \(S_n\) 的表示的 Grothendieck 群 \(:= \left\{\text{同构类} [V]\right\}/\left\{[V\oplus W]=[V]\oplus [W]\right\}\)

定义 5.2

\[ R:=\bigoplus_{n\ge 0} R_n \]

其中 \(R_0=\mathbb{Z}\)，伴有 \(R_n\times R_m\rightarrow R_{n+m},[V]\cdot [W]=[\mathrm{Ind}_{S_n\times S_m}^{S_{n+m}} V\otimes W]\)。这里 \(S_n=\left\{1,2,\cdots,n\right\}\) 的置换 \(\subseteq S_{n+m}\)，\(S_m=\left\{n+1,\cdots,n+m\right\}\) 的置换 \(\subseteq S_{n+m}\)，\(S_n\times S_m \curvearrowright V\otimes W\) 由 \((\sigma \times \tau )(v\otimes w)=\sigma v\otimes \tau w\) 给出。

容易验证 \((R,\circ )\) 为有结合律交换律的含幺分次环。

定义 5.3

\[ \begin{aligned} \left<-,-\right>:R\times R&\rightarrow \mathbb{Z}\\ ([V],[W])&\mapsto \begin{cases} \frac{1}{n!}\sum_{g\in S_n} \chi_V(g)\cdot \overline{\chi_W(g)}&,[V],[W]\in R_n\\ 0&,otherwise \end{cases} \end{aligned} \]

注：由于 \(S_n\) 的任意不可约表示 \(V_\lambda\) 都有 \(\chi_{V_\lambda}(g)\in \mathbb{R}\)，故

\[ \begin{aligned} ([V],[W])=&\frac{1}{n!}\sum_{g\in S_n} \chi_V(g)\cdot \chi_W(g)\\ (\left|z_\mu\right|\cdot \left|C_\mu\right|=\left|S_n\right|)=&\sum_{\mu\in P(n)} \frac{1}{z_\mu} \chi_V(C_\mu)\chi_W(C_\mu) \end{aligned} \]

定义 5.4

定义可加同态

\[ \begin{aligned} \varphi:\wedge &\rightarrow R\\ h_\lambda &\mapsto [M_\lambda]\\ \end{aligned} \]

定理 5.5

\(\varphi\) 是环同态，且 \(\varphi\) 是两者的等距变换。
\(\varphi(s_\lambda)=V_\lambda\)，其中 \(s_\lambda\) 是 Schur 多项式。

证明

\((1)\)：回忆 \(\Lambda = \mathbb{Z}[h_1, h_2, \dots]\)，\(\{ h_\lambda \mid \lambda \in P \}\) 为 \(\Lambda\) 的 \(\mathbb{Z}\)-基。\(\varphi(h_n) = M_{(n)} = \mathbb{C}_n\) 为 \(S_n\) 的平凡表示。于是，要证 \(\varphi\) 是环同态，只需证 \(\varphi(h_\lambda) = \varphi(h_{\lambda_1} \cdots h_{\lambda_l}) = \varphi(h_{\lambda_1}) \cdots \varphi(h_{\lambda_l})\)。即 \(M_\lambda \cong \mathbb{C}_{\lambda_1} \circ \mathbb{C}_{\lambda_2} \circ \cdots \circ \mathbb{C}_{\lambda_l}\)，其中 \(\lambda = (\lambda_1 \ge \cdots \ge \lambda_l > 0)\) 。

由定义

\[ \begin{aligned} \mathbb{C}_{\lambda_1} \circ \mathbb{C}_{\lambda_2}& = \mathrm{Ind}_{\mathbb{C}[S_{\lambda_1} \times S_{\lambda_2}]}^{\mathbb{C}[S_{\lambda_1 + \lambda_2}]} \mathbb{C} \\ \mathbb{C}_{\lambda_1} \circ \mathbb{C}_{\lambda_2} \circ \mathbb{C}_{\lambda_3} &= \mathrm{Ind}_{\mathbb{C}[S_{\lambda_1 + \lambda_2} \times S_{\lambda_3}]}^{\mathbb{C}[S_{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}]} \left( \mathrm{Ind}_{\mathbb{C}[S_{\lambda_1} \times S_{\lambda_2}]}^{\mathbb{C}[S_{\lambda_1 + \lambda_2}]} \mathbb{C} \right) \\ &= \mathrm{Ind}_{\mathbb{C}[S_{\lambda_1 + \lambda_2} \times S_{\lambda_3}]}^{\mathbb{C}[S_{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}]} \left( \mathrm{Ind}_{\mathbb{C}[S_{\lambda_1} \times S_{\lambda_2} \times S_{\lambda_3}]}^{\mathbb{C}[S_{\lambda_1 + \lambda_2} \times S_{\lambda_3}]} \mathbb{C} \right) \\ &= \mathrm{Ind}_{\mathbb{C}[S_{\lambda_1} \times S_{\lambda_2} \times S_{\lambda_3}]}^{\mathbb{C}[S_{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}]} \mathbb{C}\\ &\cdots\\ \mathbb{C}_{\lambda_1} \circ \mathbb{C}_{\lambda_2} \circ \cdots \circ \mathbb{C}_{\lambda_l} &\cong M_\lambda \end{aligned} \]

故 \(\varphi\) 是环同态。由于 \([M_\lambda]=\sum_{\mu\ge \lambda} k_{\mu,\lambda}[V_\mu],k_{\lambda,\lambda}=1\)，故 \(\left\{[M_\lambda]\Big| \lambda\in P\right\}\) 为 \(R\) 的基。故 \(\varphi\) 是 \(\mathbb{Z}-\)代数的同构。

对另一论断，我们构造逆映射

\[ \psi:R\rightarrow \land \otimes \mathbb{Q} \]

回忆我们有

\[ h_\lambda=\sum_\mu \frac{1}{z_\mu }\chi_{M_\lambda}(C_\mu)P_\mu \]

于是，定义

\[ \psi([V])=\sum_\mu \frac{1}{z_\mu}\chi_V(C_\mu)P_\mu \]

则 \(\psi\circ \varphi\) 为 \(\land\) 到 \(\land\otimes \mathbb{Q}\) 的嵌入。但 \(\varphi\) 是同构，故 \(\psi\) 是逆同构。要证明 \(\varphi\) 是等距变换，只需证 \(\psi\) 是等距变换。

\[ \begin{aligned} \left<\psi([V]),\psi([W])\right>&=\sum_{\lambda,\mu} \frac{1}{z_\lambda\cdot z_\mu}\chi_V(C_\lambda)\chi_W(C_\mu)\left<P_\lambda,P_\mu\right>\\ &=\sum_\lambda \frac{1}{z_\lambda}\chi_V(C_\lambda)\chi_W(C_\mu)\\ &=([V],[W])\\ \end{aligned} \]

\((2)\)：回忆我们有

\[ h_\lambda=S_\lambda+\sum_{v\triangleright\lambda} K_{v\lambda}s_v \]

\[ [M_\lambda]=[V_\lambda]+\sum_{v>\lambda}k_{v,\lambda}[V_v] \]

回忆 \(v\triangleright \lambda\) 当且仅当 \(\left|v\right|=\left|\lambda\right|,v_1+\cdots+v_i\ge \lambda_1+\cdots+\lambda_i,\forall i\)。于是，\(v\triangleright \lambda\Longrightarrow v> \lambda\)。故

\[ \varphi(S_\lambda)=[V_\lambda]+\sum_v m_{v\lambda}[V_v] \]

其中 \(m_{v,\lambda}\) 为整数，由 \(\varphi\) 是等距变换知

\[ 1+\sum_v m_{v,\lambda}^2=(\varphi(S_\lambda),\varphi(S_\lambda))=(S_\lambda,S_\lambda)=1 \]

故 \(\varphi(S_\lambda)=[V_\lambda]\)。

推论 5.6

\(K_{\lambda,\mu}=k_{\lambda,\mu}\in \mathbb{Z}_{\ge 0}\)

推论 5.7

\[ P_\mu =\sum_\lambda \chi_{V_\lambda} (C_\mu)\cdot s_\lambda \]

或等价的，

\[ s_\lambda=\sum_\mu \frac{1}{z_\mu} \chi_{V_\lambda}(C_\mu)P_\mu \]

证明

由 \(\psi([V_\lambda])=S_\lambda\) 即得。

推论 5.8

回忆 Littlewood-Richardson 常数定义为

\[ S_\lambda S_\mu =\sum_v\nu c^\nu_{\lambda\mu }S_\nu \]

我们有 \(c^\nu_{\lambda\mu }\in \mathbb{Z}_{\ge 0}\)

证明

由前述命题知

\[ \mathrm{Ind}_{S_{\left|\lambda\right|}\times S_{\left|\mu\right|}}^{S_{\left|\lambda\right|+\left|\mu\right|}}(V_\lambda\times V_\mu)=\bigoplus_v c_{\lambda\mu}^v V_v\Longrightarrow c_{\lambda,\mu}^v\in \mathbb{Z}_{\ge 0} \]

定义 5.9

对 \(S_n\) 的表示 \(V\) 定义其 Frobenius 特征为

\[ F_V(x):=\sum_\mu \frac{1}{z_\mu}\chi_V(c_\mu )\cdot P_\mu\in \wedge _\mathbb{Q} \]

则我们已有

\[ F_{M_\lambda}(x)=h_\lambda(x)\qquad F_{V_\lambda}(x)=s_\lambda(x) \]

命题 5.10

对 \(\lambda\in P(n),N\ge l(\lambda),\delta=(N-1,N-2,\cdots,1,0)\)，则

\[ \chi_{V_\lambda}(c_\mu )=[\prod_{i=1}^N x_i^{\lambda_i+N-i}](\prod_{1\le i<j\le N} (x_i-x_j)\cdots P_\mu (x_1,\cdots,x_N)) \]

定义 5.11

对 Young 图 \(Y_\lambda\) 中的格 \((i,j)\)，定义

\[ h(i,j):=\# \left\{(i',j')\in Y_\lambda\Big| i'\ge i,j'=j \text{ 或 } i'=i,j'\ge j \right\} \]

推论 5.12hook length fomula

\[ \dim V_\lambda=\frac{n!}{\prod_{(i,j)\in Y_\lambda}h(i,j)} \]

回忆 \(\wedge\) 上的对合 \(\omega\)，\(\omega(e_\lambda)=f_\lambda,\omega(P_\lambda)=(-1)^{\left|\lambda\right|-l(\lambda)}P_\lambda\)。

定义 5.13

定义加法对合

\[ \begin{aligned} \omega:R_n&\rightarrow R_n\\ [v]&\mapsto [v\otimes \text{sign}]\\ \end{aligned} \]

命题 5.14

\(\psi :R\rightarrow \wedge\) 与 \(\omega\) 可交换。

推论 5.15

\[ V_\lambda \otimes \text{sign} \cong V_{\lambda'} \]

§ 06\(A_n\) 的表示

交错群 \(A_n=\left\{\text{偶置换}\right\}\triangleleft S_n\)，指数为 2。

引理 6.1

\[ \mathrm{Ind}_{A_n}^{S_n} \mathbb{C}\cong \mathbb{C}\oplus \text{sign} \]

定理 6.2

\(\lambda\in P(n)\),\(V_\lambda\) 为 \(S_n\) 的 Specht 模。则

若 \(\lambda\neq \lambda'\) 则 \(\mathrm{Res}_{A_n}^{S_n} V_\lambda\) 是不可约的。
若 \(\lambda=\lambda'\) 则 \(\mathrm{Res}_{A_n}^{S_n} V_\lambda \cong W_\lambda \oplus W_{\lambda}'\)，其中 \(W_\lambda,W_{\lambda}'\) 是不同构的 \(A_n\) 的不可约表示，满足对任意 \(S_n\) 中的奇置换 \(w\in S_n\)，有 \(w(W_\lambda)=W'_\lambda\)。
\(A_n\) 的任意不可约复表示均出现在某个 \(V_\lambda\) 中，且 \(\lambda\) 在取转置的意义下唯一确定。

§ 07Schur-Weyl 对偶

先来考虑 \(\mathfrak{gl}(V)\) 的情形。

定理 7.1双中心化子定理(double centralizer theorem)

设 \(E\) 是 \(k\) 上的有限维向量空间。\(A,B\subseteq \mathrm{End}(E)\) 为子代数，且 \(A\) 是半单的，\(B=\mathrm{End}_A(E)\)，则

\(A=\mathrm{End}_B(E)\)。
\(B\) 是半单的。
作为 \(A\otimes B\) 的表示

\[ E=\bigoplus_i V_i\oplus W_i \]

其中 \(\left\{V_i\right\}\) 为所有 \(A\) 的不可约表示\(:=\mathrm{Irr}(A)\)，\(\left\{W_i\right\}\) 为所有 \(B\) 的不可约表示\(:=\mathrm{Irr}(B)\) 。特别的，存在 \(\mathrm{Irr}(A)\) 与 \(\mathrm{Irr}(B)\) 间的自然双射。

将该定理应用在 \(E=V^{\otimes n}\) 上，其中 \(V\) 是 \(\mathbb{C}\) 上的有限维向量空间。\(S_n\) 在 \(E\) 上作用为自然的交换。定义 \(A:=\mathrm{Im}(\mathbb{C}[S_n]\rightarrow \mathrm{End}(E))\)。回忆 \(\mathfrak{gl}(V):=\text{李代数}(\mathrm{End}(V),[-,-])\)，其中 \([a,b]=ab-ba\)。

定理 7.2

代数 \(B=\mathrm{End}_A(E)\) 是泛包络代数 \(\mathcal{U}(\mathfrak{gl}(V))\) 在其对 \(E=V^{\otimes n}\) 的自然作用下的像。即 \(B\) 由

\[ \Delta_n(n):=b\otimes 1\otimes \cdots \otimes 1+1\otimes b\otimes1 \otimes \cdots \otimes 1+\cdots+1\otimes 1\otimes \cdots \otimes 1\otimes b \]

生成，其中 \(b\in \mathfrak{gl}(V)\)。

引理 7.3

\(\mathrm{char}k=0\)。

任意 \(k\) 上有限维向量空间 \(U\)，\(S^nU\) 由 \(u\otimes \cdots \otimes u,u\in U\) 生成。
任意 \(k\) 上代数 \(A\)，\(S^nA\) 由 \(\Delta_n(a),a\in A\) 生成。

回忆我们有若 \(A=\mathrm{Im}(\mathbb{C}[S_n]\rightarrow \mathrm{End}(V^{\otimes n}))\) 且 \(\mathbb{C}[S_n]\) 半单，则有 \(A\) 是半单的。结合双中心化子定理我们有：

定理 7.4Schur-Weyl 对偶

\(\mathbb{C}[S_n]\) 的像 \(A\) 和 \(\mathcal{U}(\mathfrak{gl}(V))\) 的像 \(B\) 在 \(\mathrm{End}(V^{\otimes n})\) 中互为中心化子。
\(A\),\(B\) 均为半单的。特别的，\(V^{\otimes n}\) 是半单的 \(\mathfrak{gl}(V)-\)模。
作为 \(A\otimes B-\)模，

\[ V^{\otimes n}=\bigoplus_{\lambda\in P(n)} V_\lambda\otimes L_\lambda \]

其中 \(V_\lambda\) 是 \(S_n\) 的 Specht 模，\(L_\lambda\) 是 \(\mathfrak{gl}(V)\) 的不相交的不可约表示或 0。

习题 7.5

当 \(\lambda=(n)\) 时，\(V_{(n)}=S_n\) 的平凡表示。\(L_\lambda=\mathrm{Hom}_{S_n}(\mathbb{C},V^{\otimes n})=(V^{\otimes n})^{S_n}=S^nV\)
当 \(\lambda=(1^n)\) 时，\(V_{(1^n)}=S_n\) 的符号表示。\(L_\lambda=\mathrm{Hom}_{S_n}(\text{sign},V^{\otimes n})=\wedge^nV\)

下面我们来考虑 \(L_\lambda\) 的特征。令 \(N=\dim V_\lambda\)，令 \(x_1,\cdots,x_N\) 为 \(g\in \mathrm{GL}(V)\) 的特征根，我们希望计算特征 \(\chi_{L_\lambda}(g)\)。由 Schur-Weyl 知 \(V^{\otimes n}=\bigoplus_{\lambda\in P(n)} V_\lambda\otimes L_\lambda\)，取 \(s\in S_n\)，设 \(s\in c_\mu=\mu=(1^{m_1}2^{m_2}\cdots )\) 的共轭类。

引理 7.6

\[ \mathrm{Tr}_{V\otimes n}(g^{\otimes n} s)=\prod_m P_m(x_1,\cdots,x_m)^{i_m} \]

证明

设 \(\left\{e_1,\cdots,e_N\right\}\) 是 \(V\) 的标准基，\(ge_i=\sum_j g_{ji}e_j\)。设 \((12\cdots m)\in S_n\) 是长为 \(m\) 的循环，

\[ g^{\otimes m}(12\cdots m)(e_{i_1}\otimes \cdots \otimes e_{i_m})=ge_{i_m}\otimes ge_{i_1} \otimes \cdots \otimes ge_{i_{m-1}} \]

故

\[ \begin{aligned} \mathrm{Tr}_{V\otimes m}(g^{\otimes m}(j_1\cdots j_m))&=\sum_{1\le i_1,\cdots,i_m\le N} g_{i_mi_1}g_{i_1i_2}\cdots g_{i_{m-1}i_m}\\ &=\mathrm{Tr}(g^m)=(x_1^m+\cdots+x_N^m)=P_m(x_1,\cdots,x_N)\\ \end{aligned} \]

定理 7.7Weyl 特征公式

\(L_\lambda=0\) 当且仅当 \(N<l(\lambda)\)。若 \(N\ge l(\lambda)\)，则

\[ \chi_{L_\lambda}(g)=s_\lambda(x_1,\cdots,x_N) \]

推论 7.8

\[ \dim h_\lambda=\prod_{1\le i<j\le N} \frac{\lambda_i-\lambda_j+j-i}{j-i} \]

推论 7.9

\[ L_{\lambda+(1^N)}\cong L_\lambda \otimes \wedge^N V \]

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完