第 3 章：内积空间与 Hilbert 空间

范数给出误差大小，但只凭范数未必能谈正交方向。对于最小二乘、Fourier 展开和能量方法，我们还需要角度与投影。内积把这些几何工具带入函数空间，而完备性保证正交展开和最佳逼近的极限存在。

发布于 2026-10-04 7,460 字 · 约 21 分钟

§ 01为什么要引入内积

全篇约定第一变量共轭线性、第二变量线性：\(\langle f,g\rangle_{L^2}=\int\overline f g\)。

§ 02半双线性形式与内积

定义 2.1半双线性形式

\(a:H\times H\to\mathbb C\) 对第一变量共轭线性、第二变量线性时，称半双线性形式。若 \(a(x,y)=\overline{a(y,x)}\)，称 Hermitian 形式；若 \(a(x,x)\ge0\)，称正形式。

正形式且 \(a(x,x)=0\) 只发生在 \(x=0\) 时，称内积。其诱导范数为 \(\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}\)。内积空间在此范数下完备，称 Hilbert 空间。

定理 2.2Cauchy–Schwarz 与平行四边形恒等式

\[ |\langle x,y\rangle|\le\|x\|\|y\|, \]

\[ \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2. \]

证明

对 \(y\ne0\)，令 \(c=\langle y,x\rangle/\|y\|^2\)，展开 \(0\le\|x-cy\|^2\) 得 Cauchy–Schwarz；\(y=0\) 显然。平行四边形恒等式直接展开内积。

Cauchy–Schwarz 给出 \(\|x+y\|^2\le(\|x\|+\|y\|)^2\)，所以内积确实诱导范数。

对正半双线性形式同样有 Cauchy–Schwarz。其零空间中的向量与所有向量都配对为零，因此可先商去零空间，再完备化。第四章会把矩数据产生的正形式这样变为 Hilbert 空间。

从二次型恢复形式

令 \(Q(x)=a(x,x)\)。采用本篇约定时，极化公式为

\[ a(x,y)=\frac14\big[Q(x+y)-Q(x-y)-iQ(x+iy)+iQ(x-iy)\big]. \]

展开右边即可验证。这说明能量中的二次型已经包含全部半双线性信息。相反，一般范数未必来自内积，例如 \(\ell^1\) 的范数不满足平行四边形恒等式。

§ 03正交与最佳逼近

3.1 有限正交展开

对标准正交向量 \(e_1,\ldots,e_n\)，令

\[ P_nx=\sum_{j=1}^n\langle e_j,x\rangle e_j. \]

\(x-P_nx\) 与各 \(e_j\) 正交，勾股恒等式给出

\[ \|x\|^2=\sum_{j=1}^n|\langle e_j,x\rangle|^2+\|x-P_nx\|^2. \]

这既给出 Bessel 不等式，也说明 \(P_nx\) 是张成空间中的最佳逼近。Gram–Schmidt 正交化就是逐次减去已有投影，再把非零余项归一化。

3.2 闭子空间上的投影

定理 3.1正交投影定理

设 \(M\) 是 Hilbert 空间 \(H\) 的闭线性子空间。每个 \(x\in H\) 唯一写成

\[ x=P_Mx+(x-P_Mx),\qquad P_Mx\in M,\quad x-P_Mx\in M^\perp. \]

\(P_Mx\) 是 \(M\) 中距离 \(x\) 最近的点，\(P_M\) 线性、有界且 \(\|P_M\|\le1\)。

证明：最小化序列为何一定收敛

令 \(d=\inf_{m\in M}\|x-m\|\)，选 \(m_n\in M\) 使 \(\|x-m_n\|\to d\)。平行四边形恒等式给出

\[ \|m_n-m_k\|^2 =2\|x-m_n\|^2+2\|x-m_k\|^2 -4\left\|x-\frac{m_n+m_k}{2}\right\|^2. \]

最后一项中的范数至少为 \(d\)，故 \(m_n\) 是 Cauchy 列。完备性与 \(M\) 闭性给出 \(m_n\to m\in M\)，且 \(\|x-m\|=d\)。

对 \(v\in M\)，函数 \(\|x-m-tv\|^2\) 在实数 \(t=0\) 取最小值，得到 \(\operatorname{Re}\langle v,x-m\rangle=0\)；再以 \(iv\) 代替 \(v\)，得到虚部也为零。

若有两个正交分解，其 \(M\) 分量之差同时属于 \(M\) 与 \(M^\perp\)，只能为零。唯一性给出 \(P_M\) 线性；勾股恒等式给出范数估计。

因此 \(H=M\oplus M^\perp\)，\(P_M^2=P_M=P_M^*\)。对于任意线性子空间 \(E\)，

\[ (E^\perp)^\perp=\overline E, \qquad \overline E=H\Longleftrightarrow E^\perp=\{0\}. \]

例 3.2Galerkin 投影中的误差

在能量内积 \(a(\cdot,\cdot)\) 下，若精确解 \(u\) 和离散解 \(u_h\) 满足 \(a(v_h,u-u_h)=0\)，则 \(u_h\) 是离散空间中的能量正交投影，故

\[ \|u-u_h\|_a=\inf_{v_h}\|u-v_h\|_a. \]

这是对称椭圆问题有限元误差分析的核心。一般非对称问题需要第八章的 Céa 估计。

3.3 正交基与 Parseval

定义 3.3Hilbert 正交基

标准正交族 \((e_j)_{j\in J}\) 的线性张成稠密时，称正交基。它通常不是 Hamel 基：向量往往需要无穷多个项的范数极限来展开。

定理 3.4正交展开

对 Hilbert 正交基，

\[ x=\sum_{j\in J}\langle e_j,x\rangle e_j, \qquad \|x\|^2=\sum_{j\in J}|\langle e_j,x\rangle|^2. \]

若 \(J\) 不可数，和按有限子集网理解；每个固定向量只有至多可数个非零系数。\(H\) 等距同构于 \(\ell^2(J)\)。

证明

Bessel 不等式使平方系数和有限，因此有限部分和是 Cauchy 网。完备性给出极限 \(y\)。对每个 \(e_j\)，\(\langle e_j,x-y\rangle=0\)；稠密性推出 \(x=y\)，勾股恒等式取极限即得 Parseval。

反过来，对任意 \(\ell^2(J)\) 系数，正交部分和同样 Cauchy，所以每组平方可和系数都能恢复一个向量。由此得到满射等距同构。一般正交基的存在可用 Zorn 引理；可分空间则可对一列稠密向量作 Gram–Schmidt。

§ 04Hilbert 空间的 Riesz 表示

定理 4.1Riesz–Fréchet 表示定理

对每个 \(f\in H^*\)，存在唯一的 \(y\in H\)，使

\[ f(x)=\langle y,x\rangle,\qquad \|f\|=\|y\|. \]

按我们的内积约定，\(y\mapsto f\) 是共轭线性等距双射。

证明

\(f=0\) 时取 \(y=0\)。否则 \(M=\ker f\) 是真闭子空间。取 \(u\) 使 \(f(u)\ne0\)，令 \(q=u-P_Mu\)，则 \(q\ne0\)、\(q\in M^\perp\)。

对任意 \(x\)，\(x-f(x)q/f(q)\in M\)，所以

\[ \langle q,x\rangle=\frac{f(x)}{f(q)}\|q\|^2. \]

因此取 \(y=\overline{f(q)}q/\|q\|^2\) 即可。唯一性：若 \(\langle y_1-y_2,x\rangle=0\) 对所有 \(x\) 成立，取 \(x=y_1-y_2\)。范数上界由 Cauchy–Schwarz，下界用 \(x=y/\|y\|\) 测试。

两个 Riesz 定理的区别

第一章的 Riesz–Markov 定理把 \(C_0(X)\) 上的泛函表示为测度；本章把 \(H\) 上的泛函表示为空间里的向量。前者依赖连续函数与测度结构，后者依赖内积和完备性。谱定理会同时用到两者。

§ 05从形式到算子，从算子到伴随

5.1 半双线性形式的表示

设 \(a(x,y)\) 有界，即 \(|a(x,y)|\le C\|x\|\|y\|\)。固定 \(y\) 后它对 \(x\) 共轭线性，Riesz 定理给出唯一的 \(Ay\)，使

\[ a(x,y)=\langle x,Ay\rangle. \]

第二变量的线性和唯一性保证 \(A\) 线性，且 \(\|A\|=\|a\|\)。因此有界半双线性形式与有界算子等价。若 \(a\) Hermitian，则 \(A=A^*\)；若 \(a\) 正，则 \(A\ge0\)。

5.2 伴随算子

定义 5.1有界算子的伴随

对 \(T\in\mathcal B(H,K)\)，\(T^*\in\mathcal B(K,H)\) 由

\[ \langle Tx,y\rangle_K=\langle x,T^*y\rangle_H \]

定义。固定 \(y\) 时左端关于 \(x\) 共轭线性，Riesz 定理保证表示向量存在。

有

\[ (ST)^*=T^*S^*,\qquad (T^*)^*=T, \qquad\|T^*\|=\|T\|,\qquad\|T^*T\|=\|T\|^2. \]

最后一个等式中，上界由范数次乘性；下界由

\[ \|Tx\|^2=\langle x,T^*Tx\rangle\le\|T^*T\|\|x\|^2 \]

得到。核与像的关系为

\[ (\operatorname{Ran}T)^\perp=\ker T^*, \qquad\overline{\operatorname{Ran}T}=(\ker T^*)^\perp. \]

注意第二式需要闭包，像空间可能不闭。

定义 5.2三个重要算子类型

\(T=T^*\) 称自伴；\(T^*T=TT^*\) 称正规；\(U^*U=UU^*=I\) 称酉。仅有 \(U^*U=I\) 时，\(U\) 是等距映射，未必满射。

例如 \(\ell^2(\mathbb N_0)\) 上的右移 \(S(x_0,x_1,\ldots)=(0,x_0,x_1,\ldots)\) 等距，但没有覆盖第一坐标非零的向量，所以不是酉算子。

§ 06无穷矩阵与算子拓扑

6.1 矩阵的每一列存在还不够

在正交基下，\(T\) 的矩阵系数为 \(a_{ij}=\langle e_i,Te_j\rangle\)。任意无穷矩阵并不自动定义有界算子。准确条件是：对所有有限支撑系数 \(x,y\)，

\[ \left|\sum_{i,j}\overline{y_i}a_{ij}x_j\right| \le C\|x\|_2\|y\|_2. \]

这个有界形式由 Riesz 表示产生唯一的 \(T\)。其乘积应通过算子复合定义，而不是未经检验交换多重无穷和。例如对角矩阵 \(\operatorname{diag}(1,2,3,\ldots)\) 每列都属于 \(\ell^2\)，却不是有界算子。

6.2 三种收敛强度

定义 6.1范数、强算子、弱算子拓扑

对 \(T_\alpha,T\in\mathcal B(H,K)\)：

名称	条件
算子范数收敛	\(\\|T_\alpha-T\\|\to0\)
SOT，强算子收敛	对每个 \(x\)，\(\\|(T_\alpha-T)x\\|\to0\)
WOT，弱算子收敛	对每个 \(x,y\)，\(\langle y,(T_\alpha-T)x\rangle\to0\)

有范数收敛 \(\Rightarrow\) SOT 收敛 \(\Rightarrow\) WOT 收敛，反向一般不成立。

例 6.2有限秩截断与移位

在 \(\ell^2\) 中令 \(P_n\) 投影到前 \(n\) 个坐标。平方尾和趋于零，所以 \(P_n\to I\) 强收敛；但 \(\|I-P_n\|=1\)，故不在范数下收敛。

双边移位 \(U\) 在 \(\ell^2(\mathbb Z)\) 上酉，\(U^n\to0\) 弱算子收敛：先检查有限支撑向量，再用统一范数界扩张。它不强趋于零，因为 \(\|U^nx\|=\|x\|\)。

若 \(T_\alpha\to T\)、\(S_\alpha\to S\) 强收敛，且 \(\sup_\alpha\|T_\alpha\|\le M\)，则

\[ \|(T_\alpha S_\alpha-TS)x\| \le M\|(S_\alpha-S)x\|+\|(T_\alpha-T)Sx\|\to0. \]

故在统一有界条件下，强收敛与乘积相容，进而与多项式演算相容。弱算子收敛一般不能这么乘：\(U^n\to0\)、\(U^{-n}\to0\) 弱收敛，但乘积一直为 \(I\)。

6.3 向量的弱收敛

\(x_n\rightharpoonup x\) 在 Hilbert 空间中等价于对每个 \(y\)，\(\langle y,x_n\rangle\to\langle y,x\rangle\)。Bessel 不等式给出 \(e_n\rightharpoonup0\)，但 \(\|e_n\|=1\)。

定理 6.3弱收敛加范数收敛

若 \(x_n\rightharpoonup x\)，则 \(\|x\|\le\liminf\|x_n\|\)。并且

\[ x_n\to x\text{ 强收敛} \Longleftrightarrow\|x_n\|\to\|x\|. \]

证明

下半连续性可对 \(y=x/\|x\|\) 测试得到。若范数趋于极限范数，则

\[ \|x_n-x\|^2=\|x_n\|^2+\|x\|^2-2\operatorname{Re}\langle x,x_n\rangle\to0. \]

反向由范数连续性。对网也成立。

Hilbert 空间闭单位球弱紧：Riesz 表示把它对应到某个对偶闭单位球，应用 Banach–Alaoglu 即可。第九章把这种性质推广到自反 Banach 空间。

§ 07半双线性形式与正交结构

本节的 \(V,W\) 可以只是内积空间，\(H,K,M\) 表示完备的 Hilbert 空间。内积第一变量共轭线性、第二变量线性；省略共轭符号会改变 Riesz 映射和矩阵的含义。

正性决定形式的结构

从二次型出发，极化恢复交叉项，正性给 Cauchy–Schwarz。零范数向量必须先商掉，剩下的形式才是内积；这一构造以后也用于矩问题和能量空间。

定义 7.1共轭线性映射

\(T:V\to W\) 共轭线性，指 \(T(a\xi+b\eta)=\overline aT\xi+\overline bT\eta\)。

定义 7.2半双线性形式

\(\omega:V\times W\to\mathbb C\) 对第一变量共轭线性、对第二变量线性时称半双线性。定义在 \(V\times V\) 时，其二次型为 \(q_\omega(\xi)=\omega(\xi,\xi)\)。

定义 7.3形式的伴随

定义 \(\omega^*(\eta,\xi)=\overline{\omega(\xi,\eta)}\)，这是 \(W\times V\) 上的半双线性形式。

定义 7.4Hermitian 形式

形式满足 \(\omega^*=\omega\)，即 \(\omega(\eta,\xi)=\overline{\omega(\xi,\eta)}\) 时称 Hermitian 形式。

命题 7.5Hermitian 性的二次型判据

复半双线性形式是 Hermitian 形式，当且仅当全部 \(\omega(\xi,\xi)\) 都为实数。

证明 3.1.6

若形式 Hermitian，\(\omega(\xi,\xi)=\overline{\omega(\xi,\xi)}\)，故对角值实。反过来，\(\omega\) 与 \(\omega^*\) 的二次型相同。一般复半双线性形式满足极化公式

\[ \omega(\xi,\eta)=\frac14\sum_{k=0}^3i^kq_\omega(i^k\xi+\eta). \]

直接展开右侧，常数项与反向交叉项相消，只留下 \(\omega(\xi,\eta)\)。因此二次型决定形式，\(\omega=\omega^*\)，即得 Hermitian 性。

定义 7.6正形式

若全部 \(\omega(\xi,\xi)\geq0\)，称 \(\omega\) 正或半正定，记 \(\omega\geq0\)。令 \(\|\xi\|_\omega=\sqrt{\omega(\xi,\xi)}\)；其值为一的向量称单位向量。

定义 7.7形式的序

对 Hermitian 形式，\(\omega_1\leq\omega_2\) 指每个 \(\xi\) 都有 \(\omega_1(\xi,\xi)\leq\omega_2(\xi,\xi)\)。由极化公式，这是形式空间上的偏序。

定理 7.8Cauchy–Schwarz 不等式

对任意正形式，\(|\omega(\xi,\eta)|\leq\|\xi\|_\omega\|\eta\|_\omega\)，即使形式退化也成立。

证明 3.1.9

若 \(\omega(\eta,\eta)>0\)，对任意 \(t\in\mathbb C\) 展开 \(0\leq\omega(\xi+t\eta,\xi+t\eta)\)，取 \(t=-\omega(\eta,\xi)/\omega(\eta,\eta)\)，得到

\[ 0\leq\omega(\xi,\xi)-\frac{|\omega(\xi,\eta)|^2}{\omega(\eta,\eta)}. \]

若 \(\omega(\eta,\eta)=0\)，展开式成为 \(\omega(\xi,\xi)+2\operatorname{Re}(t\omega(\xi,\eta))\geq0\)。若交叉项非零，可选择相位并让 \(|t|\) 增大使其为负，矛盾。因此交叉项也为零，退化情形同样成立。

推论 7.9正形式的零空间

\(\{\xi:\|\xi\|_\omega=0\}=\{\xi:\omega(\xi,\psi)=0\text{ 对全部 }\psi\}\)，是线性子空间。

证明 3.1.10

Cauchy–Schwarz 使 \(\|\xi\|_\omega=0\) 时全部 \(\omega(\xi,\psi)=0\)。反过来取 \(\psi=\xi\) 即可。后一个集合是所有共轭线性映射 \(\xi\mapsto\omega(\xi,\psi)\) 的核的交，因此是线性子空间。

推论 7.10正形式给出半范数

\(\|\cdot\|_\omega\) 满足齐次性和三角不等式，故为半范数。

证明 3.1.11

齐次性来自 \(\omega(a\xi,a\xi)=|a|^2\omega(\xi,\xi)\)。三角不等式来自

\[ \|\xi+\eta\|_\omega^2 =\|\xi\|_\omega^2+\|\eta\|_\omega^2+ 2\operatorname{Re}\omega(\xi,\eta) \leq(\|\xi\|_\omega+\|\eta\|_\omega)^2. \]

两侧开平方即可；不需要非退化性。

内积如何控制算子

内积中的估计最终要变成范数估计。有界形式的对角值能够控制全部矩阵元，而平行四边形恒等式说明哪些范数确实来自内积。

定义 7.11内积空间

非退化正半双线性形式称内积。配备内积的复向量空间称内积空间或预 Hilbert 空间，其范数为 \(\sqrt{\langle\xi,\xi\rangle}\)。

定义 7.12共轭空间

共轭空间 \(\overline V\) 的元素记 \(\overline\xi\)，规定 \(a\overline\xi+b\overline\eta=\overline{\overline a\xi+\overline b\eta}\) 和 \(\langle\overline\xi,\overline\eta\rangle_{\overline V}=\overline{\langle\xi,\eta\rangle_V}\)。自然映射 \(V\to\overline V\) 为反酉映射，二次共轭自然识别为 \(V\)。

定义 7.13有界半双线性形式

\(\|\omega\|=\sup_{\|\xi\|,\|\eta\|\leq1}|\omega(\xi,\eta)|\)；有限时称有界。记其空间为 \(\operatorname{Ses}(V\mid W)=\mathcal L(\overline V\times W,\mathbb C)\)。

命题 7.14二次型控制形式

证明 3.2.12

正交展开的有限与无限

有限正交分解只需代数；无限展开还需要平方可和与完备性。Bessel 不等式先控制系数，Parseval 等式再判断正交族是否穷尽了整个空间。

定义 7.15正交族与标准正交族

不同向量两两内积为零时称正交族；再要求每个向量范数为一时称标准正交族。

命题 7.16勾股恒等式

若 \(\xi\perp\eta\)，则 \(\|\xi+\eta\|^2=\|\xi\|^2+\|\eta\|^2\)，特别 \(\|\xi\|\leq\|\xi+\eta\|\)。

证明 3.3.3

展开 \(\langle\xi+\eta,\xi+\eta\rangle\)，两个交叉项因正交性为零，所以只剩 \(\|\xi\|^2+\|\eta\|^2\)。后者不小于 \(\|\xi\|^2\)，得到附带不等式。

命题 7.17Gram–Schmidt 的投影步骤

若 \(e_1,\ldots,e_n\) 标准正交，则 \(\xi-\sum_je_j\langle e_j,\xi\rangle\) 与所有 \(e_j\) 正交。递归使用并归一化非零余项，得到 Gram–Schmidt 正交化。

证明 3.3.5

对任意 \(k\)，\(\langle e_k,\xi-\sum_je_j\langle e_j,\xi\rangle\rangle=\langle e_k,\xi\rangle-\langle e_k,\xi\rangle=0\)。从给定向量依次减去已取得的正交投影；余项非零时归一化，余项为零时该向量已在已有张成中，略过即可。每一步都保留到当前为止的线性张成。

推论 7.18Bessel 不等式

对标准正交族 \((e_i)_{i\in I}\)，\(\sum_i|\langle e_i,\xi\rangle|^2\leq\|\xi\|^2\)。非零系数的指标至多可数。

证明 3.3.7

对有限 \(F\)，投影步骤和勾股恒等式给出

\[ \|\xi\|^2=\left\|\xi-\sum_{i\in F}e_i\langle e_i,\xi\rangle\right\|^2+ \sum_{i\in F}|\langle e_i,\xi\rangle|^2. \]

因此有限和不超过 \(\|\xi\|^2\)，取上确界就是无序和的 Bessel 不等式。每个集合 \(\{i:|\langle e_i,\xi\rangle|\geq1/n\}\) 必有限，否则有限和无界；其可数并包含全部非零系数，故后者至多可数。

定义 7.19正交分解

相对于线性子空间 \(U\) 的分解为 \(\xi=\eta+\psi\)，其中 \(\eta\in U\)、\(\psi\perp U\)。存在时唯一，\(\eta\) 称 \(\xi\) 在 \(U\) 上的正交投影。

定义 7.20投影算子

若每个向量均有上述分解，定义 \(P\xi=\eta\)。则 \(P\) 线性，\(\|P\|\leq1\)，并称为空间到 \(U\) 的正交投影算子。

命题 7.21最佳逼近

正交分解 \(\xi=\eta+\psi\) 满足 \(\|\xi-\eta\|=\inf_{u\in U}\|\xi-u\|\)，且最佳逼近向量唯一。

证明 3.3.11

对 \(u\in U\)，\(\xi-u=(\eta-u)+\psi\) 的两部分正交，因此 \(\|\xi-u\|^2=\|\eta-u\|^2+\|\psi\|^2\geq\|\psi\|^2\)。等号当且仅当 \(u=\eta\)。所以投影是唯一的最佳逼近向量。

定义 7.22有限正交直和

\(V_1\oplus\cdots\oplus V_n\) 取分量线性运算，内积为 \(\sum_j\langle\xi_j,\eta_j\rangle\)；各分量自然嵌入且互相正交。

定义 7.23正交补

\(S^\perp=\{\xi:\langle\xi,s\rangle=0\text{ 对全部 }s\in S\}\)，是闭线性子空间。也记 \(V\ominus U=U^\perp\)。

命题 7.24投影与直和

若存在到 \(U\) 的正交投影 \(P\)，则 \(V=U\oplus U^\perp\)，\(1-P\) 投影到 \(U^\perp\)，并有 \(\operatorname{ran}P=\ker(1-P)=U\)、\(\ker P=\operatorname{ran}(1-P)=U^\perp\)、\(U^{\perp\perp}=U\)。

证明 3.3.18

分解的唯一性使 \(P\) 线性，并对 \(u\in U\) 有 \(Pu=u\)，对 \(\psi\in U^\perp\) 有 \(P\psi=0\)。于是 \(P^2=P\)，各核像关系直接成立，\(1-P\) 取得正交余项。若 \(\xi\in U^{\perp\perp}\)，把它写成 \(u+\psi\)，则 \(0=\langle\psi,\xi\rangle=\|\psi\|^2\)，故 \(\xi=u\in U\)；相反包含显然。

推论 7.25有限维子空间闭

内积空间的每个有限维线性子空间均闭。

证明 3.3.19

给有限维 \(U\) 取标准正交基 \(e_1,\ldots,e_n\)，有限投影公式对整个空间有定义且有界。由命题 3.3.18，\(U=\ker(1-P)\)，连续映射的核闭，故 \(U\) 闭。这个论证不需要整个空间完备。

推论 7.26投影的正性

正交投影满足 \(P^2=P\)，且 \(\langle\xi,P\eta\rangle\) 是正形式，因为 \(\langle\xi,P\xi\rangle=\|P\xi\|^2\)。

证明 3.3.20

将 \(\xi=P\xi+(1-P)\xi\) 分成正交两项，得到 \(\langle\xi,P\xi\rangle=\|P\xi\|^2\geq0\)。对任意 \(\xi,\eta\) 同样有 \(\langle\xi,P\eta\rangle=\langle P\xi,P\eta\rangle\)，因此其形式 Hermitian 且正。\(P\) 在自身像上恒等，所以 \(P^2=P\)。

定义 7.27标准正交基

标准正交族的线性张成稠密时称标准正交基。这里的基按范数收敛展开，区别于仅允许有限线性组合的 Hamel 基。

定理 7.28正交展开

对标准正交基 \((e_i)\)，\(\xi=\sum_ie_i\langle e_i,\xi\rangle\)，无序有限部分和在范数下收敛。

证明 3.3.24

给定 \(\varepsilon>0\)，稠密性让某个有限线性组合 \(u=\sum_{i\in F_0}a_ie_i\) 满足 \(\|\xi-u\|<\varepsilon\)。对任何 \(F\supset F_0\)，有限投影 \(P_F\xi\) 是到该有限维张成的最佳逼近，因此 \(\|\xi-P_F\xi\|\leq\|\xi-u\|<\varepsilon\)。这直接证明无序有限部分和收敛，不需要先假设整个空间完备。

推论 7.29Parseval 恒等式

\(\langle\xi,\eta\rangle=\sum_i\langle\xi,e_i\rangle\langle e_i,\eta\rangle\)，特别 \(\|\xi\|^2=\sum_i|\langle e_i,\xi\rangle|^2\)。

证明 3.3.25

由正交展开，\(P_F\eta\to\eta\)。连续性给出 \(\langle\xi,\eta\rangle=\lim_F\langle\xi,P_F\eta\rangle=\sum_i\langle\xi,e_i\rangle\langle e_i,\eta\rangle\)。Bessel 和 Cauchy–Schwarz 保证该标量和绝对收敛。取 \(\eta=\xi\) 得 Parseval。

推论 7.30坐标等距嵌入

若内积空间 \(V\) 有标准正交基 \((e_x)_{x\in X}\)，则 \(\xi\mapsto(\langle e_x,\xi\rangle)_x\) 是到 \(\ell^2(X)\) 的线性等距嵌入，像稠密，但 \(V\) 不完备时未必满射。

证明 3.3.26

坐标对第二变量线性，Parseval 保证等距，所以单射。像包含全部有限支集坐标族，它们在 \(\ell^2(X)\) 中稠密，故像稠密。若原空间不完备，其等距像未必闭，不能据此宣布满射。

完备性与投影

正交级数的极限及闭子空间的投影都是完备性的表现。投影把一般向量拆成子空间部分与正交误差，随后 Riesz 表示就能把泛函沿这个几何分解恢复成向量。

定理 7.31Hilbert 空间的等价定义

内积空间的以下条件等价：完备；每个标准正交族 \((e_i)\) 与每个平方可和系数族 \((a_i)\) 的无序和 \(\sum_i a_ie_i\) 都在空间中收敛；与某个 \(\ell^2(X)\) 酉等价。满足这些条件称 Hilbert 空间。

证明 3.4.1

完备性推出平方可和正交和收敛：两个有限部分和之差的范数平方就是系数尾和，故为 Cauchy 网；完备空间中 Cauchy 网有极限。

反过来假设全部这类和都存在。用 Zorn 引理取极大标准正交族 \((e_i)\)。对任意 \(\xi\)，Bessel 使其坐标平方可和，假设便产生 \(\eta=\sum_ie_i\langle e_i,\xi\rangle\)。每个 \(\langle e_i,\xi-\eta\rangle=0\)；若余项非零，可归一化后加入原正交族，与极大性矛盾。因此余项为零，原族为基。坐标映射等距；又对任意 \(\ell^2\) 系数族，假设给出的正交和提供其原像，所以它满射。

最后 \(\ell^2\) 完备，酉同构把 Cauchy 极限传回原空间。这同时证明三种条件等价，且避免预先使用闭子空间投影定理。

推论 7.32标准正交基的存在

每个 Hilbert 空间都有标准正交基；空间可分当且仅当可取至多可数的标准正交基。

证明 3.4.5

基的存在已在定理 3.4.1 的极大正交族构造中得到。若基可数，有限有理实虚系数组合构成可数稠密集。反过来，标准正交族不同向量的距离为 \(\sqrt2\)，以它们为中心、半径小于 \(\sqrt2/2\) 的球两两不交；可数稠密集必须为每个球提供不同点，因此这族至多可数。

定理 7.33Hilbert 空间的坐标表示

Hilbert 空间的标准正交基给出酉同构 \(H\to\ell^2(X)\)，\(\xi\mapsto(\langle e_x,\xi\rangle)_x\)。

证明 3.4.6

命题 3.3.26 已给出等距且像稠密的坐标映射。Hilbert 完备性使等距像闭：像中 Cauchy 序列对应原空间 Cauchy 序列。闭且稠密的像就是全部 \(\ell^2(X)\)，故映射酉。

定理 7.34闭子空间投影定理

Hilbert 空间中，每个闭线性子空间 \(U\) 均有正交投影，且 \(H=U\oplus U^\perp\)。

证明 3.4.7

记 \(d=\inf_{u\in U}\|\xi-u\|\)，取 \(u_n\in U\) 使距离趋于 \(d\)。平行四边形恒等式给出

\[ \|u_n-u_m\|^2 =2\|\xi-u_n\|^2+2\|\xi-u_m\|^2- 4\left\|\xi-\frac{u_n+u_m}{2}\right\|^2 \leq2\|\xi-u_n\|^2+2\|\xi-u_m\|^2-4d^2. \]

右侧趋零，所以 \((u_n)\) Cauchy。完备性给出极限，闭性使极限 \(u\) 留在 \(U\)。对任意 \(v\in U\)，\(\|\xi-u-tv\|^2\) 在 \(t=0\) 最小；分别令 \(t\) 为实数及纯虚数，得到 \(\langle v,\xi-u\rangle=0\)。因此最佳逼近产生正交分解，唯一性使这些分解定义投影。

推论 7.35双正交补

Hilbert 空间中，对任意线性子空间 \(U\)，\(U^{\perp\perp}=\overline U\)。

证明 3.4.8

连续性给出 \(U^\perp=(\overline U)^\perp\)。对闭子空间 \(\overline U\) 应用投影定理及命题 3.3.18，即有 \(U^{\perp\perp}=(\overline U)^{\perp\perp}=\overline U\)。

推论 7.36稠密性的正交判据

Hilbert 空间中的线性子空间 \(U\) 稠密当且仅当 \(U^\perp=\{0\}\)。

证明 3.4.9

若 \(U\) 稠密，任何与它正交的向量也与整个空间正交，取自身测试便为零。反过来，\(U^\perp=0\) 时，推论 3.4.8 给出 \(\overline U=U^{\perp\perp}=H\)。

完备性与平方可和展开

平方可和正交和的尾部范数平方等于系数的平方和，所以它是 Cauchy 网。反过来，给定 Cauchy 序列，可用 Gram–Schmidt 正交化它所张成的可分子空间；在所有基方向上的系数存在极限，Bessel 不等式给出平方可和性。假设这些正交和都存在，即可恢复序列的范数极限。

取极大标准正交族。如果它的闭线性张成不等于空间，对闭子空间投影后可得到一个非零正交余项，归一化后便能扩大正交族，矛盾。因此它是基。坐标映射等距且具有稠密像，完备性使像闭，故满射。可分空间的任意标准正交族至多可数，因为不同基向量周围的小球两两不交，必须对应不同的可数稠密点。

§ 08形式、矩阵和算子拓扑

从矩阵元恢复算子

Riesz 表示先恢复一个泛函的代表向量，再逐变量恢复有界形式对应的算子。伴随、乘法和矩阵表达都必须与复内积的反线性变量约定一致。

定义 8.1算子的形式

线性 \(T:V\to W\) 对应形式 \(\omega_T(w,v)=\langle w,Tv\rangle\)。

命题 8.2形式与算子的范数

\(\|\omega_T\|=\|T\|\)，允许二者同时无穷。因此二者同时有界，且 \(T\mapsto\omega_T\) 单射。

证明 3.5.2

Cauchy–Schwarz 给出 \(|\langle w,Tv\rangle|\leq\|w\|\|Tv\|\)，所以 \(\|\omega_T\|\leq\|T\|\)。对固定 \(v\) 且 \(Tv\ne0\)，取 \(w=Tv/\|Tv\|\)，便使配对模等于 \(\|Tv\|\)；再对单位球内的 \(v\) 取上确界，得到反向不等式。有界性可以不预设，以上上确界论证对无穷值仍有效。若形式为零，逐个 \(v\) 用 \(Tv\) 测试得 \(Tv=0\)，所以映射单射。

定理 8.3Riesz–Fréchet 定理及完备性判据

内积空间 \(W\) 的映射 \(\Phi:W\to(\overline W)^*\)，\(\Phi(\xi)(\overline w)=\langle w,\xi\rangle\)，是线性等距嵌入；它满射当且仅当 \(W\) 是 Hilbert 空间。等价地，Hilbert 空间上每个线性有界泛函唯一写成 \(v\mapsto\langle h,v\rangle\)。

证明 3.5.3

Cauchy–Schwarz 和用自身归一化测试，说明 \(\Phi\) 是线性等距嵌入。若 \(W\) 完备，取标准正交基 \((e_i)\)，对 \(\Lambda\in(\overline W)^*\) 令 \(b_i=\Lambda(\overline{e_i})\)。在有限坐标族上用等号测试，得到 \(\sum_i|b_i|^2\leq\|\Lambda\|^2\)，所以 \(\xi=\sum_ib_ie_i\) 存在。\(\Phi(\xi)\) 与 \(\Lambda\) 在有限坐标张成上相同，连续性使它们处处相同，故满射。

反过来，若 \(\Phi\) 满射，则 \(W\) 与一个连续对偶等距同构；对偶总完备，所以 \(W\) 完备。线性泛函的通常版本由共轭变换得到：\(\Lambda(v)=\langle h,v\rangle\)，其表示向量唯一，且 \(\|\Lambda\|=\|h\|\)。

定义 8.4Riesz 映射

上述 \(\Phi\) 称 Riesz 等距映射；Hilbert 空间中称 Riesz 同构。它对应于内积的柯里化。

定理 8.5有界形式与算子的等价

对 Hilbert 空间 \(H,K\)，\(T\mapsto\omega_T\) 给出 \(\mathcal L(H,K)\cong\operatorname{Ses}(K\mid H)\) 的线性等距同构。

证明 3.5.5

对固定 \(\xi\in H\)，\(w\mapsto\omega(w,\xi)\) 为有界共轭线性泛函。\(K\) 上的 Riesz 同构唯一给出 \(T\xi\in K\)，满足 \(\langle w,T\xi\rangle=\omega(w,\xi)\)。形式对 \(\xi\) 的线性及代表向量唯一性使 \(T\) 线性；\(\|T\xi\|\leq\|\omega\|\|\xi\|\) 使它有界。命题 3.5.2 给出范数相等。反方向由算子取形式，两个构造互逆。

定义 8.6伴随算子

\(T^*:K\to H\) 由 \(\langle\eta,T\xi\rangle=\langle T^*\eta,\xi\rangle\) 唯一确定。它有界且 \(\|T^*\|=\|T\|\)，对应形式 \(\omega_T^*\)。

定义 8.7自伴算子

有界算子 \(T\) 满足 \(T=T^*\) 时称自伴；等价于 \(\omega_T\) 为 Hermitian 形式。

定义 8.8算子的序与正性

自伴 \(A\leq B\) 指 \(\langle\xi,A\xi\rangle\leq\langle\xi,B\xi\rangle\) 对全部 \(\xi\) 成立。正算子指 \(A\geq0\)；其形式正。

引理 8.9复合算子的正交展开

若 \((e_i)\) 为中间 Hilbert 空间 \(K\) 的标准正交基，\(S:M\to K\)、\(T:K\to H\) 有界，则 \(TS\xi=\sum_iTe_i\langle e_i,S\xi\rangle\)，范数收敛。

证明 3.5.12

中间空间中 \(S\xi=\sum_ie_i\langle e_i,S\xi\rangle\) 范数收敛。有界 \(T\) 可与这个极限交换，因此 \(TS\xi=\sum_iTe_i\langle e_i,S\xi\rangle\)。有界性是把向量展开变成算子复合展开所必需的条件。

定义 8.10形式的复合

对 \(\omega\in\operatorname{Ses}(H\mid K)\)、\(\sigma\in\operatorname{Ses}(K\mid M)\)，定义 \((\omega\circ\sigma)(\psi,\xi)=\sum_i\omega(\psi,e_i)\sigma(e_i,\xi)\)，得到 \(\operatorname{Ses}(H\mid M)\) 中的形式。和绝对收敛、与基无关，且 \(\omega_{TS}=\omega_T\circ\omega_S\)。中间内积空间只要具有标准正交基，也可用同一公式。

命题 8.11复合范数估计

赋范空间间的有界映射满足 \(\|TS\|\leq\|T\|\|S\|\)；算子复合为范数至多一的双线性映射。

证明 3.5.14

对任意 \(\xi\)，\(\|TS\xi\|\leq\|T\|\|S\xi\|\leq\|T\|\|S\|\|\xi\|\)，取单位球上确界即得结论。逐变量线性来自复合的分配律，该估计使复合双线性映射的范数至多为一。

推论 8.12代数的范数闭包

\(\mathcal L(V)\) 中任意子代数的算子范数闭包仍为子代数。

证明 3.5.15

设 \(A_n,B_n\) 位于子代数且范数趋于 \(A,B\)。收敛序列 \((A_n)\) 有界，故

\[ \|A_nB_n-AB\|\leq\|A_n\|\|B_n-B\|+\|A_n-A\|\|B\|\to0. \]

每个 \(A_nB_n\) 留在原子代数，所以 \(AB\) 留在其闭包。加法及标量乘法同样与范数极限相容，故闭包仍为子代数。

推论 8.13预解式的 Neumann 展开

对 Hilbert 空间上的 \(T\in\mathcal L(H)\)，若 \(|z|>\|T\|\)，则 \(zI-T\) 有有界逆 \(R_T(z)=\sum_{n\geq0}z^{-n-1}T^n\)。每个矩阵元 \(\langle\eta,R_T(z)\xi\rangle\) 在此区域全纯。

证明 3.5.16

此处 \(T\in\mathcal L(H)\)，\(H\) 完备。复合范数估计给出 \(\|z^{-n-1}T^n\|\leq|z|^{-n-1}\|T\|^n\)，右侧几何级数收敛，故算子级数在完备的 \(\mathcal L(H)\) 中收敛。

有限部分和 \(S_N\) 满足 \((zI-T)S_N=S_N(zI-T)=I-z^{-N-1}T^{N+1}\)。余项范数趋零，取极限得双侧逆。对紧集 \(K\subset\{|z|>\|T\|\}\)，存在统一几何比率小于一，因此各矩阵元级数在 \(K\) 上一致绝对收敛。每项全纯，局部一致极限仍全纯。

固定哪些变量来测极限

WOT 固定两个测试向量，只看矩阵元；SOT 固定输入向量，要求像的范数收敛。下面的判据说明稠密测试何时足够，以及乘法为什么需要额外的统一界。

定义 8.14无限矩阵及其范数

\(X\times Y\) 矩阵为标量族 \(A(x,y)\)。定义 \(\|A\|\) 为 \(|\sum_{x,y}\overline{\xi(x)}A(x,y)\eta(y)|\) 在有限支集 \(\xi,\eta\) 且 \(\|\xi\|_2,\|\eta\|_2\leq1\) 下的上确界；值有限称有界矩阵。

定义 8.15矩阵表示

相对于两侧标准正交基，形式的矩阵为 \([\omega](x,y)=\omega(e_x,e_y)\)，算子的矩阵为 \([T](x,y)=\langle e_x,Te_y\rangle\)。

定理 8.16矩阵表示定理

有界形式到矩阵的映射单射，像恰为全部有界矩阵，并保持范数。相应矩阵唯一给出 \(\ell^2(Y)\to\ell^2(X)\) 的有界算子。

证明 3.6.3

用坐标酉同构把两空间化为 \(\ell^2(X),\ell^2(Y)\)。有界形式在有限支集向量上的限制给出矩阵 \(A\)；矩阵范数正是该限制的范数，稠密延拓保范数，故 \(\|A\|=\|\omega\|\)。若矩阵为零，则形式在稠密乘积上为零，连续性使它处处为零，得到单射。

反过来，给定有界矩阵，在有限支集向量上定义 \(\omega(\xi,\eta)=\sum_{x,y}\overline{\xi(x)}A(x,y)\eta(y)\)。定义中的矩阵范数保证它有界，所以唯一延拓到全部 \(\ell^2(X)\times\ell^2(Y)\)。延拓的矩阵仍为 \(A\)，并由 Riesz 同构产生唯一有界算子。

定义 8.17有界矩阵的乘法

定义 \((AB)(x,z)=\sum_yA(x,y)B(y,z)\)。每个和由行列的 \(\ell^2\) 性及 Cauchy–Schwarz 不等式绝对收敛，并与算子复合一致，因此乘法结合且 \(\|AB\|\leq\|A\|\|B\|\)。

弱收敛与范数收敛的距离

弱收敛只控制内积坐标，范数可以仍有误差。Hilbert 结构允许用“弱收敛加范数收敛”消掉这个误差，并使闭单位球具有弱紧性。

定义 8.18内积诱导的弱拓扑

内积空间 \(V\) 上，通过 Riesz 等距映射拉回弱-* 拓扑，得到以所有内积坐标检测的弱拓扑：\(\xi_\alpha\rightharpoonup\xi\) 当且仅当全部 \(\langle\eta,\xi_\alpha\rangle\to\langle\eta,\xi\rangle\)。Hilbert 空间中它等于 \(\sigma(V,V^*)\)；不完备时须区别这两种定义。

命题 8.19弱收敛与范数

证明 3.7.3

若 \(\xi\ne0\)，以 \(\eta=\xi/\|\xi\|\) 测试弱收敛，得 \(\|\xi\|=|\langle\eta,\xi\rangle|\leq\liminf_\alpha\|\xi_\alpha\|\)；\(\xi=0\) 时直接成立。若范数也趋于 \(\|\xi\|\)，则

\[ \|\xi_\alpha-\xi\|^2=\|\xi_\alpha\|^2+\|\xi\|^2- 2\operatorname{Re}\langle\xi,\xi_\alpha\rangle\to0. \]

反向由范数连续性。整个论证适用于网，也不依赖完备性。

定理 8.20Hilbert 球的弱紧性

Hilbert 空间的闭单位球弱紧。

证明 3.7.5

Riesz 同构把 Hilbert 闭单位球等距对应到 \((\overline H)^*\) 的闭单位球。其每个弱-* 坐标恰为一个内积测试坐标，因此这个对应还是拓扑同构。Banach–Alaoglu 给出对偶球的弱-* 紧性，拉回就是原球的弱紧性。

定义 8.21SOT 与 WOT

强算子拓扑由全部 \(T\mapsto Tv\) 的范数坐标诱导；弱算子拓扑由全部 \(T\mapsto\langle w,Tv\rangle\) 诱导。形式空间的弱-* 拓扑为逐对变量的数值收敛，WOT 就是经 \(T\mapsto\omega_T\) 的拉回拓扑。

命题 8.22迭代极限

若 \(T_\alpha\to T\) 强算子收敛，\(\xi_\beta\to\xi\) 范数收敛，则两种迭代极限 \(\lim_\alpha\lim_\beta T_\alpha\xi_\beta\) 与 \(\lim_\beta\lim_\alpha T_\alpha\xi_\beta\) 均为 \(T\xi\)。此结论本身不声称乘积网收敛。

证明 3.7.10

固定 \(\alpha\)，有界 \(T_\alpha\) 使 \(\lim_\beta T_\alpha\xi_\beta=T_\alpha\xi\)；再取 \(\alpha\) 极限得 \(T\xi\)。固定 \(\beta\)，强算子收敛给出 \(\lim_\alpha T_\alpha\xi_\beta=T\xi_\beta\)；有界 \(T\) 再给出 \(\beta\) 极限。这里先后固定一个指标，尚未使用统一算子范数界，所以只推出两种迭代极限。

推论 8.23算子复合的迭代极限

若 \(T_\alpha\to T\) 和 \(S_\beta\to S\) 均为 SOT 收敛，则对每个 \(u\)，两种迭代极限 \(T_\alpha S_\beta u\) 均为 \(TSu\)。

证明 3.7.11

令 \(\xi_\beta=S_\beta u\)，则 \(\xi_\beta\to Su\)。把它代入命题 3.7.10，得到两种迭代极限都为 \(TSu\)。

定理 8.24一致有界下的联合极限

若再有 \(\sup_\alpha\|T_\alpha\|<\infty\)，则乘积网 \(T_\alpha\xi_\beta\to T\xi\)。同一指标时也有 \(T_\alpha\xi_\alpha\to T\xi\)。

证明 3.7.13

记 \(C=\sup_\alpha\|T_\alpha\|\)。直接估计

\[ \|T_\alpha\xi_\beta-T\xi\| \leq C\|\xi_\beta-\xi\|+\|(T_\alpha-T)\xi\|. \]

两项分别由 \(\beta\) 和 \(\alpha\) 的尾部控制，因此在乘积有向集上趋零。共用一个指标时，同一指标可以同时超过两个要求的下界，故对角网也收敛。

推论 8.25多个算子的联合复合

若 \(T^j_{\alpha_j}:V_{j-1}\to V_j\) 各自 SOT 趋于 \(T^j\)，且 \(j\geq2\) 的族一致有界，则对每个 \(\xi\)，乘积指标网 \(T^k_{\alpha_k}\cdots T^1_{\alpha_1}\xi\to T^k\cdots T^1\xi\)。共用指标时对角网也收敛。

证明 3.7.14

先以第一族的强收敛得到 \(T^1_{\alpha_1}\xi\to T^1\xi\)。第二族统一有界，定理 3.7.13 给出两族联合复合极限。再将这个乘积网作为新的向量网，与第三族复合，依次归纳便得到全部 \(k\) 个因子的联合极限。第一族无需统一范数界，因为它在这里仅作用于固定的 \(\xi\)。

推论 8.26多项式保持有界 SOT 极限

一致有界且 SOT 趋于 \(T\) 的算子网满足 \(p(T_\alpha)\to p(T)\) 强算子收敛，对任意复多项式成立。

证明 3.7.15

对每个固定 \(n\)，把 \(n\) 个同样的一致有界算子族代入推论 3.7.14，并取共同指标的对角网，得到 \(T_\alpha^n\xi\to T^n\xi\)。有限线性组合可与极限交换，故任意多项式 \(p\) 保持强算子收敛。

区分正规性与对称性

有界正规算子包含自伴与酉算子。它的实、虚部交换，为下一章之后的联合谱演算提供代数条件。

定义 8.27Hilbert 完备化

内积空间 \(V\) 的 Hilbert 完备化是等距线性嵌入 \(V\to H\)，其中 \(H\) 完备且像稠密。可用 Cauchy 序列等价类构造，线性运算与内积取极限定义；任意两个完备化之间有唯一保持原空间的酉同构。

联合极限需要的估计

有界矩阵乘法中的行和列分别是 \(\ell^2\) 向量，故单个乘积系数的和绝对收敛。但三重乘积不宜未经证明任意交换两层和；将矩阵还原为有界算子后，有限部分和在范数下收敛，复合的连续性保证两种迭代计算给出同一结果。

§ 09练习

习题 9.1平均值作为正交投影

在 \(L^2[0,1]\) 中，把 \(f\) 投影到常数函数空间。再求在条件 \(\int_0^1u=0\) 下离 \(f\) 最近的 \(u\)。

解

常数函数 \(1\) 的范数为 \(1\)，故 \(P f=\langle1,f\rangle1=(\int_0^1f)1\)。零均值空间是常数空间的正交补，最佳逼近为 \(u=f-\int_0^1f\)。

习题 9.2像空间为什么需要闭包

在 \(\ell^2\) 上取 \(Tx=(x_n/n)_{n\ge1}\)。证明像稠密却不闭，并核对 \((\operatorname{Ran}T)^\perp=\ker T^*\)。

解

像包含所有有限支撑数列，故稠密。\(y=(1/n)\) 属于 \(\ell^2\)，但原像必须是全为 \(1\) 的数列，不属于 \(\ell^2\)，故 \(y\) 不在像中。其有限截断属于像且趋于 \(y\)，所以像不闭。\(T=T^*\)、核为零，因此像的正交补也为零。

习题 9.3强收敛不保证伴随强收敛

在 \(\ell^2(\mathbb N_0)\) 上取右移 \(S\)。证明 \((S^*)^n\to0\) 强收敛，而其伴随 \(S^n\) 不强趋于零。

解

\(\|(S^*)^nx\|^2\) 是 \(x\) 的平方尾和，趋于零。但 \(\|S^nx\|=\|x\|\)。伴随在 WOT 下保持收敛，在 SOT 下则需额外条件。

接下来，我们会用正形式构造 Hilbert 空间，再把乘以变量的映射解释为一个算子，使矩问题进入谱理论。

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完