泛函分析学习笔记 Part 8 of 12

第 7 章：自伴算子、能量形式与 Fourier 分析

上一章告诉我们自伴性是谱定理的入口。但遇到一个微分表达式，怎样实际构造自伴算子？本章使用两条路线：由正能量构造闭形式及其算子；由连续的酉演化构造自伴生成元。Fourier 变换会把二者连起来。

发布于 2026-10-04 11,077 字 · 约 32 分钟

§ 01本章的两种构造方法

§ 02闭算子为什么产生自伴的 \(T^*T\)

定理 2.1\(T^*T\) 的自伴性

若 \(T:H\supset D(T)\to K\) 稠密定义且闭，则

\[ A=T^*T,\qquad D(A)=\{u\in D(T):Tu\in D(T^*)\} \]

是非负自伴算子，且 \(\langle u,Au\rangle=\|Tu\|^2\)。

证明：先解变分问题，再确定算子

\(D(T)\) 在图内积下是 Hilbert 空间。给定 \(f\in H\)，Riesz 定理给出唯一 \(u\in D(T)\)，满足

\[ \langle v,u\rangle+\langle Tv,Tu\rangle=\langle v,f\rangle \quad\forall v\in D(T). \]

按伴随定义，\(Tu\in D(T^*)\)，且 \((I+T^*T)u=f\)。所以 \(I+A\) 满射。取 \(v=u\)，得 \(\|u\|\le\|f\|\)。

令 \(Rf=u\)。变分等式给出 \(R\) 是有界自伴正算子，且单射：\(Rf=0\) 时 \(\langle v,f\rangle=0\) 对稠密的 \(D(T)\) 成立。于是 \(\operatorname{Ran}R\) 稠密。

有界谱定理把 \(R\) 变成乘以非负函数，零点的谱投影为零；其逆在像空间上是乘以倒数的自伴算子。因此 \(A=R^{-1}-I\) 自伴，其定义域正是 \(\operatorname{Ran}R=D(T^*T)\)。正性由 \(\|Tu\|^2\) 得到。

这里并没有先假定 \(D(T^*T)\) 稠密；它由变分问题的逆算子自动得到。若 \(T\) 仅可闭，通常应该先用 \(\overline T{}^*\overline T\)，而不能不经检查地断言 \(T^*T\) 已自伴。

§ 03闭形式与 Friedrichs 扩张

3.1 形式定义域比算子定义域大

定义 3.1非负闭形式

非负 Hermitian 形式 \(q\) 定义在稠密子空间 \(Q\subset H\) 上。若 \(Q\) 在

\[ \|u\|_q^2=\|u\|^2+q(u,u) \]

下完备，称 \(q\) 闭。它与闭算子图范数的构造相似，但只控制能量而未必控制整个算子输出。

定理 3.2闭形式的表示

对稠密非负闭形式 \(q\)，存在唯一非负自伴 \(A\)，满足

\[ D(A)=\{u\in Q:\exists f\in H,\ q(v,u)=\langle v,f\rangle\ \forall v\in Q\},\qquad Au=f. \]

而且 \(Q=D(A^{1/2})\)，\(q(v,u)=\langle A^{1/2}v,A^{1/2}u\rangle\)。

证明

在 \(Q\) 的 Hilbert 内积 \(\langle v,u\rangle+q(v,u)\) 中，用 Riesz 定理解

\[ \langle v,u\rangle+q(v,u)=\langle v,f\rangle. \]

与上一节相同，得到有界正自伴单射 \(R\)，再定义 \(A=R^{-1}-I\)。等式本身正好给出上述定义域。

\(D(A)=\operatorname{Ran}R\) 在形式范数下稠密：若 \(w\) 在形式内积下与所有 \(Rf\) 正交，变分等式给出 \(\langle w,f\rangle=0\) 对全部 \(f\) 成立，因此 \(w=0\)。

在 \(D(A)\) 上，\(q(u,u)=\langle u,Au\rangle=\|A^{1/2}u\|^2\)。谱截断表明 \(D(A)\) 在 \(D(A^{1/2})\) 的图范数下也稠密；两者完备化一致，得到全部形式域的表示。唯一性由形式对 \(Au\) 的测试定义得到。

3.2 从对称正算子到闭形式

定理 3.3Friedrichs 扩张

每个稠密定义、下有界的对称算子 \(S\) 都有一个规范的下有界自伴扩张 \(S_F\)。它由原始能量形式

\[ q_0(v,u)=\langle v,Su\rangle,\qquad u,v\in D(S) \]

的闭包决定。下有界指 \(\langle u,Su\rangle\ge c\|u\|^2\)。

证明：抽象梯度

先减去 \(cI\)，可假设 \(S\ge0\)。将 \(D(S)\) 按 \(q_0\) 的零空间取商，再完成为 Hilbert 空间 \(K\)，令 \(Ju=[u]\in K\)。则

\[ \langle Jv,Ju\rangle_K=\langle v,Su\rangle_H. \]

\(J\) 可闭：若 \(u_n\to0\) 于 \(H\)、\(Ju_n\to z\) 于 \(K\)，对 \(v\in D(S)\) 有

\[ \langle Jv,z\rangle=\lim_n\langle v,Su_n\rangle =\lim_n\langle Sv,u_n\rangle=0. \]

\(J(D(S))\) 稠密，故 \(z=0\)。取闭梯度 \(\overline J\)，形式 \(q(v,u)=\langle\overline Jv,\overline Ju\rangle\) 闭，关联算子 \(\overline J{}^*\overline J\) 自伴非负，并扩张 \(S\)。它只由 \(q_0\) 的闭包决定，与商空间的具体实现无关。最后把 \(cI\) 加回。

Friedrichs 扩张是由能量选择的规范扩张，并不声称是唯一的自伴扩张。不同边界形式可能给出别的自伴算子。

3.3 Dirichlet 与 Neumann Laplacian

在开集 \(\Omega\) 上，弱导数由

\[ \int u\,\partial_j\phi=-\int v_j\phi, \qquad\phi\in C_c^\infty(\Omega) \]

定义，记 \(v_j=\partial_ju\)。令 \(H^1=\{u\in L^2:\partial_ju\in L^2\}\)，\(H_0^1\) 为紧支撑光滑函数的 \(H^1\) 闭包。

同一能量 \(q(v,u)=\int_\Omega\overline{\nabla v}\cdot\nabla u\)，在形式域 \(H_0^1\) 上产生 Dirichlet 算子 \(A_D=-\Delta_D\)，在形式域 \(H^1\) 上产生 Neumann 算子 \(A_N=-\Delta_N\)。这两个形式域都稠密且闭。

在光滑有界区域上可用迹解释边界条件；在一般开集上，形式定义仍有意义。在 \((0,1)\) 上，

\[ D(A_D)=H^2(0,1)\cap H_0^1(0,1), \]

\[ D(A_N)=\{u\in H^2(0,1):u'(0)=u'(1)=0\}, \]

两者都作用为 \(-u''\)。Dirichlet 算子是 \(C_c^\infty\) 上最初 \(-\Delta\) 的 Friedrichs 扩张；Neumann 算子来自较大的能量域。

§ 04Stone 定理：酉演化与自伴生成元

定义 4.1强连续酉群

\(U(t+s)=U(t)U(s)\)、\(U(0)=I\)，每个 \(U(t)\) 酉，且对每个 \(x\)，\(\|U(t)x-x\|\to0\) 当 \(t\to0\)。这是 SOT 连续性，不要求算子范数连续。

定理 4.2Stone 定理

强连续酉群与自伴算子一一对应：

\[ U(t)=e^{itA},\qquad D(A)=\left\{x:\lim_{t\to0}\frac{U(t)x-x}{t}\text{ 存在}\right\}, \]

且上述极限为 \(iAx\)。正负号的约定必须与群的定义一致。

证明：先构造生成元，再证明它自伴

自伴 \(A\) 的方向：谱演算给出酉性和群性质，\(|e^{it\lambda}|=1\)，控制收敛给出强连续性。若 \(x\in D(A)\)，由 \(|(e^{it\lambda}-1)/t|\le|\lambda|\) 得差商趋于 \(iAx\)。反过来，差商收敛则范数有界，Fatou 引理给出 \(\int\lambda^2\,\mathrm d\mu_x<\infty\)，因此定义域恰为上式。

反向，令 \(Gx\) 为差商极限，\(A=-iG\)。用 \(\phi\in C_c^\infty(\mathbb R)\) 平滑向量

\[ x_\phi=\int\phi(t)U(t)x\,\mathrm dt, \qquad Gx_\phi=-\int\phi'(t)U(t)x\,\mathrm dt. \]

近似单位的 \(\phi\) 使 \(x_\phi\to x\)，所以 \(D(G)\) 稠密。这些向量积分的定义见本章第 8 节。

\(G\) 闭：对 \(x\in D(G)\) 有 \(U(t)x-x=\int_0^tU(s)Gx\,\mathrm ds\)。若 \(x_n\to x\)、\(Gx_n\to y\)，此等式取极限后再除以 \(t\to0\)，得到 \(x\in D(G)\)、\(Gx=y\)。

将 \(\langle U(t)x,U(t)y\rangle=\langle x,y\rangle\) 求导，得 \(G\) 反对称，所以 \(A=-iG\) 对称。对 \(\lambda>0\)，Laplace 积分

\[ R_\lambda y=\int_0^\infty e^{-\lambda t}U(t)y\,\mathrm dt \]

通过平移积分变量可验证 \(R_\lambda y\in D(G)\)，且 \((\lambda I-G)R_\lambda y=y\)。用 \(U(-t)\) 得到 \(\lambda I+G\) 也满射。取 \(\lambda=1\)，便有 \(A\pm iI\) 满射，第六章判据给出 \(A\) 自伴。

最后 \(U(t)\) 与 \(e^{itA}\) 有相同生成元。在 \(D(A)\) 上对 \(U(t-s)e^{isA}x\) 求导，导数为零，故二者相同，再由稠密性扩张到 \(H\)。这也给出唯一性。

有限维时此定理只是 Hermitian 矩阵指数。无穷维时生成元可能无界，但 \(U(t)\) 对每个 \(t\) 仍然是定义在全空间的有界酉算子。

对 \(\mathbb R^N\) 的强连续酉表示，逐坐标应用 Stone 定理得到强交换生成元 \(A_j\)，有 \(U(t)=e^{i\sum_jt_jA_j}\)。坐标群互相交换，因而其谱投影强交换。

§ 05Fourier 变换就是平移的谱分解

5.1 规范与 Plancherel

在 \(\mathbb R^d\) 上采用酉归一化

\[ \mathcal F f(\xi)=(2\pi)^{-d/2}\int e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,\mathrm dx. \]

同时记未归一化的变换为 \(\widehat f=(2\pi)^{d/2}\mathcal F f\)。卷积代数中使用 \(\widehat f\)，而 \(L^2\) 中的等距与谱模型使用 \(\mathcal F\)。

Schwartz 空间 \(\mathcal S\) 由全部导数都比任意多项式倒数衰减得快的光滑函数组成。它在 \(L^2\) 中稠密，Fourier 变换在其上保持 Schwartz 性，并有逆变换和

\[ \langle\mathcal F f,\mathcal F g\rangle=\langle f,g\rangle. \]

Plancherel 的证明组织

对 Schwartz 函数，分部积分说明 \(\mathcal F f\) 也快速衰减。先在逆积分中加入 \(e^{-\varepsilon|\xi|^2/2}\)，此时所有重积分绝对可积，可用 Fubini。Gaussian 积分将逆变换写成 \(f\) 与 Gaussian 近似单位的卷积。

令 \(\varepsilon\downarrow0\)，得到 Fourier 反演。再将反演式代入 \(\int\overline f g\)，用 Fubini 得内积等式。Schwartz 空间的稠密性使等距映射唯一扩张到 \(L^2\)，其逆也扩张，因此得到酉变换。

对一般 \(L^2\) 元素，Fourier 变换由这个扩张定义；不能要求原来的绝对积分公式对每个 \(L^2\) 函数都存在。

5.2 平移、动量与 Laplacian

令 \(U_+(t)f(x)=f(x+t)\)。则

\[ \mathcal F(U_+(t)f)(\xi)=e^{it\cdot\xi}\mathcal F f(\xi), \qquad\mathcal F(-i\partial_jf)(\xi)=\xi_j\mathcal F f(\xi). \]

因此动量 \(P_j=-i\partial_j\) 的自伴实现是

\[ P_j=\mathcal F^{-1}M_{\xi_j}\mathcal F, \qquad D(P_j)=\{f:\xi_j\mathcal F f\in L^2\}. \]

左平移 \(U_-(t)f(x)=f(x-t)\) 则对应 \(e^{-it\cdot\xi}\)，生成元为 \(-P_j\)。两种平移方向不能混用符号。

对 \(A=-\Delta\)，

\[ \mathcal FA\mathcal F^{-1}=M_{|\xi|^2}, \qquad D(A)=\{f:|\xi|^2\mathcal F f\in L^2\}=H^2(\mathbb R^d). \]

\(\mathcal S\) 和 \(C_c^\infty\) 都是它的核心：先截断频率得到图范数逼近，再用光滑化与空间截断逼近，导数误差由乘积法则控制。这里是在整空间上，不存在额外边界条件。

例 5.1热方程与 Schrödinger 方程

对 \(A\ge0\) 自伴，定义 \(u(t)=e^{-tA}u_0\) 与 \(\psi(t)=e^{-itA}\psi_0\)。前者是收缩半群，后者是酉群。

若初值在 \(D(A)\)，它们分别满足 \(u_t=-Au\)、\(i\psi_t=A\psi\)。一般 \(L^2\) 初值先得到强连续的温和解，不应直接断言它在 \(t=0\) 有强导数。热演化在 \(t>0\) 还会通过指数衰减改善谱可积性。

§ 06调和分析、子表示与核心

6.1 把群积分成有界算子

对 \(f\in L^1(\mathbb R^d)\)，令

\[ U(f)x=\int f(t)U(-t)x\,\mathrm dt. \]

有 \(\|U(f)\|\le\|f\|_1\)，\(U(f*g)=U(f)U(g)\)，\(U(f)^*=U(f^*)\)，其中 \(f^*(t)=\overline{f(-t)}\)。证明使用 Fubini 和群性质。

若 \(U(t)=e^{it\cdot A}\)，联合谱模型给出

\[ U(f)=(2\pi)^{d/2}(\mathcal F f)(A)=\widehat f(A). \]

Fourier 变换把卷积变为点乘，这与算子乘法正相配。

闭子空间 \(M\) 对全部 \(U(t)\) 不变时，对 \(U(-t)\) 也不变，因此它约化整个群。其正交投影与所有 \(U(t)\)、所有谱投影及有界联合演算可交换。这样的限制群称子表示。

6.2 指数函数的稠密性

对任意有限 Borel 测度 \(\mu\)，\(e^{it\cdot x}\) 的线性张成在 \(L^2(\mu)\) 中稠密。若 \(h\) 与全部指数正交，则有限复测度 \(\overline h\,\mu\) 的 Fourier 变换为零。用 Gaussian 卷积及 Fourier 反演可知该测度为零，故 \(h=0\)。

若进一步 \(\int e^{r\sum_j|x_j|}\,\mathrm d\mu<\infty\) 对某个 \(r>0\) 成立，则多项式也在 \(L^2(\mu)\) 中稠密。证明：与多项式正交的 \(h\) 给出在复条带内解析的 Fourier 变换，全部原点导数为零；解析唯一性使变换恒为零，再用上述测度唯一性。

仅有全部矩有限，不保证多项式稠密，也不保证矩问题唯一。这一点在第九章有具体例子。

6.3 用群不变性检查核心

定理 6.1群不变的稠密子空间是核心

设 \(A=f(A_1,\ldots,A_d)\)，\(f\) 为实 Borel 函数，\(A_j\) 强交换自伴。若 \(D_0\subset D(A)\) 在 \(H\) 中稠密，且对所有 \(t\) 有 \(U(t)D_0\subset D_0\)，其中 \(U(t)=e^{it\cdot A_\bullet}\)，则 \(D_0\) 是 \(A\) 的核心。

证明

第六章估计表明 \(A+iI\) 是 \(D(A)\) 的图范数到 \(H\) 的等距满射。因此只需证明 \((A+iI)D_0\) 在 \(H\) 中稠密。

若 \(h\) 与该像正交，对任意 \(v\in D_0\)，不变性及谱交换给出

\[ \langle h,U(t)(A+iI)v\rangle=0\quad\forall t. \]

左端是有限复谱测度的 Fourier 变换。上一节的唯一性使该测度为零，因此也可用任意有界 Borel 函数测试。取 \(g(x)=1/(f(x)+i)\)，便得 \(\langle h,v\rangle=0\)。\(D_0\) 稠密推出 \(h=0\)。

此定理把难以直接控制的图范数问题转化成群不变性。使用时必须同时检查 \(D_0\subset D(A)\)，不能只检查它在 \(H\) 中稠密。

§ 07自伴扰动与方程求解

定义 7.1相对有界

\(B\) 称 \(A\)-有界，若 \(D(A)\subset D(B)\)，且存在 \(a,b\ge0\) 使

\[ \|Bu\|\le a\|Au\|+b\|u\|,\qquad u\in D(A). \]

这里要求小的是乘在 \(\|Au\|\) 前的系数，不是要求 \(B\) 本身有界。

定理 7.2Kato–Rellich 定理

若 \(A\) 自伴、\(B\) 对称且 \(A\)-有界，某个可用的相对界 \(a<1\)，则 \(A+B\) 在 \(D(A)\) 上自伴。两者图范数等价，因此 \(A\) 的核心也是 \(A+B\) 的核心。

证明：用预解式把扰动变成小有界算子

对 \(z=\pm is\)、\(s>0\)，谱演算给出

\[ \|(A-zI)^{-1}\|\le1/s, \qquad\|A(A-zI)^{-1}\|\le1. \]

因此 \(\|B(A-zI)^{-1}\|\le a+b/s<1\) 当 \(s\) 充分大。分解

\[ A+B-zI=[I+B(A-zI)^{-1}](A-zI). \]

Neumann 级数使第一个因子可逆，所以两个非实方向均满射。对称算子的满射判据给出自伴性。

图范数的上界来自相对有界估计；反向由

\[ (1-a)\|Au\|\le\|(A+B)u\|+b\|u\| \]

得到。于是图闭包不改变核心。

例 7.3三维 Coulomb 势

取 \(A=-\Delta\)、\(B=-\gamma/|x|\)，\(\gamma>0\)。Hardy 不等式给出 \(\|u/|x|\|_2\le2\|\nabla u\|_2\)，而 \(\|\nabla u\|_2^2\le\|u\|_2\|\Delta u\|_2\)。于是

\[ \|Bu\|_2\le\varepsilon\|\Delta u\|_2+\frac{\gamma^2}{\varepsilon}\|u\|_2. \]

相对界可以任意小，Kato–Rellich 给出 \(H^2(\mathbb R^3)\) 上的自伴实现。Hardy 不等式可由展开 \(\int|\nabla u+\tfrac12x|x|^{-2}u|^2\ge0\) 并分部积分证明，先对紧支撑光滑函数再取极限。

能量也有下界：\(\|\nabla u\|_2^2-\gamma\int|u|^2/|x|\ge-\gamma^2\|u\|_2^2\)。这种估计说明形式构造与算子扰动能够在同一问题中配合。

对非对称的一阶项也可以用同一因子分解证明大参数方程可解。若 \(A=-\Delta_D\ge0\)，\(Bu=\sum_jb_j\partial_ju+cu\)，系数有界，则

\[ \|\nabla(A+\lambda I)^{-1}\|\le\frac1{2\sqrt\lambda}, \qquad\|(A+\lambda I)^{-1}\|\le\frac1\lambda. \]

因此 \(\|B(A+\lambda I)^{-1}\|<1\) 对充分大 \(\lambda\) 成立，从而 \(A+B+\lambda I\) 可逆。此论证给出存在性与估计；若 \(B\) 不对称，结论并不包含自伴性。

§ 08向量积分的补充

以上的群平均是 Hilbert 空间值积分。可从有限值简单函数 \(s=\sum_jx_j\mathbf1_{E_j}\) 定义 \(\int s=\sum_j\mu(E_j)x_j\)，再按 \(\int\|s_n-f\|\to0\) 扩张，得到 Bochner 积分。

要求 \(f\) 强可测，即几乎处处是简单函数的点态极限，并满足 \(\int\|f\|<\infty\)。有

\[ \left\|\int f\right\|\le\int\|f\|, \qquad T\int f=\int Tf\quad(T\text{ 有界}). \]

可积标量函数乘以强连续向量轨道满足这些条件。强连续轨道的像落在一个可分子空间中，所以非可分 Hilbert 空间也不妨碍这里的积分。不能仅凭标量配对可测，就不加条件地断言 Bochner 可积。

§ 09正算子、极分解与 Friedrichs 扩张

本节全部无界算子默认稠密定义。写 \(\overline T\) 表示闭包，\(|T|\) 表示绝对值；二者不能省略为同一记号。

从闭算子得到正自伴算子

平方范数 \(\|T\xi\|^2\) 自然产生 \(T^*T\)。图像 Hilbert 空间使它的正性进一步变成自伴性，极分解则说明平方根保留了原算子的图像范数。

定义 9.1正性、严格正性与下界

\(T\) 正指全部 \(\xi\in D(T)\) 满足 \(\langle\xi,T\xi\rangle\geq0\)。若存在 \(c>0\) 使 \(T-cI\) 正，称严格正；若存在实 \(c\) 使 \(T+cI\) 正，称下有界。正性通过极化蕴含对称性。

命题 9.2正自伴的满射判据

对固定 \(\lambda>0\)，以下等价：\(T\) 正且自伴；\(T\) 自伴且谱位于 \([0,\infty)\)；\(T\) 正且 \(\operatorname{ran}(\lambda+T)=H\)。

证明 7.1.2

自伴时谱积分直接给出正性与非负谱的等价。正自伴时 \((\lambda+T)^{-1}\) 是谱函数 \((\lambda+x)^{-1}\)，处处有界。反向若 \(T\) 正且 \(\lambda+T\) 满射，7.10.3 说明对称算子 \(\lambda+T\) 自伴，从而 \(T\) 自伴。该引理的证明只用伴随核像关系，不依赖本结论。

定义 9.3图像投影映射

\(\Pi_T:G(T)\to H\) 将 \(\xi\oplus T\xi\) 送到 \(\xi\)。这是范数至多一的线性映射；闭 \(T\) 时其定义域为 Hilbert 空间，故可取有界伴随。

定理 9.4\(T^*T\) 的自伴性

若 \(T:D(T)\subset H\to K\) 稠密定义且闭，则 \(T^*T\) 为正自伴算子，且 \(D(T^*T)\) 是 \(T\) 的核域。

证明 7.1.7

令 \(\Pi:G(T)\to H\) 为第一分量投影。它有界、单射、像稠密，因此 \(\Pi^*\) 单射且像在图像中稠密。其无界逆 \(\Psi\xi=(\xi,T\xi)\) 满足

\[ \Psi^*\Psi=I+T^*T,\qquad (I+T^*T)^{-1}=\Pi\Pi^*. \]

第一式由 \(\langle\Psi\eta,\Psi\xi\rangle=\langle\eta,\xi\rangle+\langle T\eta,T\xi\rangle\) 逐项检查伴随域；第二式由闭逆的伴随及复合逆得到。因此 \(I+T^*T\) 满射。又 \(\Psi\) 把 \(D(T^*T)=\operatorname{ran}(\Pi\Pi^*)\) 送到 \(\operatorname{ran}\Pi^*\)，后者在 \(G(T)\) 稠密。这同时证明核域性质和 \(D(T^*T)\) 稠密。最后正性 \(\langle\xi,T^*T\xi\rangle=\|T\xi\|^2\) 及 7.1.2 给出自伴性。

定义 9.5部分等距

有界 \(U:H\to K\) 在某个闭子空间 \(V\) 上等距、在 \(V^\perp\) 上为零时称部分等距。源空间为 \((\ker U)^\perp=V\)，目标空间为其闭像。

定理 9.6闭算子的极分解

稠密定义的闭 \(T\) 的 \(|T|=(T^*T)^{1/2}\) 正自伴，并有唯一部分等距 \(U\)，源空间为 \(\overline{\operatorname{ran}|T|}\)，满足 \(T=U|T|\)。\(D(T)=D(|T|)\) 且两者的图像内积相同。

证明 7.1.11

令 \(B=\sqrt{T^*T}\)。\(B^2=T^*T\)，由 7.1.7，\(D(T^*T)\) 同时是 \(T\) 与 \(B\) 的核域。该域上

\[ \langle B\xi,B\eta\rangle=\langle\xi,T^*T\eta\rangle=\langle T\xi,T\eta\rangle. \]

故 \(B\xi\mapsto T\xi\) 良定义且等距，延拓到 \(\overline{\operatorname{ran}B}\)，在正交补取零，得到部分等距 \(U\)。共同核域的图像闭包使 \(T=UB\)，并给出 \(D(T)=D(B)\) 和图像内积相同。\(U\) 在稠密的 \(\operatorname{ran}B\) 上由等式唯一确定，在其正交补上规定为零，故唯一。

定义 9.7Dirichlet 与 Neumann Laplacian

令 \(G\) 为 \(C_c^\infty(\Omega)\) 上梯度的闭包，\(D\) 为紧支集光滑向量场上散度的闭包。定义 \(\Delta_D=-G^*G\)、\(\Delta_N=-DD^*\)，二者负自伴；对应的非负算子为 \(-\Delta_D,-\Delta_N\)。

证明 7.1.12

\(G\) 闭且稠密定义，7.1.7 给 \(G^*G\) 正自伴。\(D^*\) 也闭且稠密定义，对它应用同一定理得到 \(DD^*\) 正自伴。因此取负号后的两个 Laplacian 负自伴。它们的形式分别为 \(\|Gf\|^2\) 和 \(\|D^*f\|^2\)，边界条件体现在两个梯度域的差别中。

能量形式决定扩张

正算子的二次型可看成一个抽象梯度的平方范数。先闭合梯度，再取其伴随乘积，就得到 Friedrichs 扩张；关键是形式完备化与梯度选择无关。

定义 9.8抽象梯度

正算子 \(A\) 的抽象梯度是某 Hilbert 空间 \(K\) 中的算子 \(T:H\to K\)，满足 \(D(T)=D(A)\) 和 \(A=T^*T\)，此处等式在初始域上成立。

引理 9.9抽象梯度的形式判据

在 \(D(T)=D(A)\) 条件下，\(T\) 为抽象梯度当且仅当对全部 \(\xi,\eta\in D(A)\)，\(\langle\xi,A\eta\rangle=\langle T\xi,T\eta\rangle\)。

证明 7.2.2

若 \(A=T^*T\)，伴随恒等式立即给出形式等式。反向，对固定 \(\eta\in D(A)=D(T)\)，等式说明 \(\xi\mapsto\langle T\xi,T\eta\rangle\) 由向量 \(A\eta\) 在原空间中表示，因此 \(T\eta\in D(T^*)\) 且 \(T^*T\eta=A\eta\)。复合域只能包含于 \(D(T)=D(A)\)，故域也相等。

命题 9.10抽象梯度可闭

正算子的每个抽象梯度均可闭。

证明 7.2.3

若 \(\xi_n\to0\) 且 \(T\xi_n\to v\)，对 \(\eta\in D(A)\)， \(\langle T\eta,v\rangle=\lim_n\langle A\eta,\xi_n\rangle=0\)。另一方面 \(v\) 属于 \(\overline{\operatorname{ran}T}\)，因此既属于该闭空间又垂直它，必为零。由图像判据 \(T\) 可闭。

命题 9.11抽象梯度的等距对应

两个抽象梯度 \(T:H\to K\)、\(S:H\to M\) 之间存在唯一源空间为 \(\overline{\operatorname{ran}T}\) 的部分等距 \(U:K\to M\)，使 \(S=UT\)。

证明 7.2.4

两个梯度满足 \(\langle T\xi,T\eta\rangle=\langle S\xi,S\eta\rangle\)。故映射 \(T\xi\mapsto S\xi\) 良定义并等距，延拓到 \(\overline{\operatorname{ran}T}\)，在其正交补上取零即得 \(U\)。其源空间、作用和唯一性均由这一构造给出。

定理 9.12抽象梯度的存在与独立性

每个正算子都有抽象梯度；对任意两个选择，\((\overline T)^*\overline T=(\overline S)^*\overline S\)。

证明 7.2.5

正形式 \(\omega(\xi,\eta)=\langle\xi,A\eta\rangle\) 的零范数空间 \(N\) 是线性空间；Cauchy–Schwarz 保证它与全部向量形式正交。于是商 \(D(A)/N\) 获得内积，完备化为 \(K\)，映射 \(T\xi=\xi+N\) 满足梯度形式判据。

两个选择由 7.2.4 的 \(U\) 对应；闭图像极限给 \(\overline S=U\overline T\)，且 \(U^*U\) 是到 \(\overline{\operatorname{ran}T}\) 的投影。因此

\[ (\overline S)^*\overline S =(\overline T)^*U^*U\overline T =(\overline T)^*\overline T, \]

其中有界左因子的伴随公式也保证域相等。

定义 9.13Friedrichs 扩张

定义 \(A_F=(\overline T)^*\overline T\)，其中 \(T\) 为任意抽象梯度。它与选择无关，是扩张 \(A\) 的正自伴算子。

证明 7.2.6

7.2.5 保证定义与梯度选择无关，7.1.7 保证 \(A_F\) 正自伴。若 \(\eta\in D(A)\)，梯度恒等式在图像极限下延拓为 \(\langle\overline T\xi,T\eta\rangle=\langle\xi,A\eta\rangle\) 对全部 \(\xi\in D(\overline T)\) 成立，故 \(T\eta\in D((\overline T)^*)\)，\(A_F\eta=A\eta\)。所以它确为扩张。

定理 9.14Friedrichs 扩张的核域判据

若正自伴 \(B\) 扩张正 \(A\)，则以下等价：\(B=A_F\)；\(D(A)\) 是 \(\sqrt B\) 的核域；\(D(A)\) 是 \(\sqrt B|_{D(B)}\) 的核域。

证明 7.2.9

取梯度 \(T=\sqrt B|_{D(A)}\)。它的闭包是 \(\sqrt B\) 当且仅当 \(D(A)\) 为其核域；此时 \(A_F=T^*T=B\)。反向若 \(A_F=B\)，对 \(\overline T\) 用极分解得 \(|\overline T|=\sqrt B\)，两者图像范数相同；原域是 \(\overline T\) 的核域，故也是 \(\sqrt B\) 的核域。谱截断说明 \(D(B)\) 是 \(\sqrt B\) 的核域，所以第三条件与第二条件等价。

命题 9.15已自伴时的扩张

正自伴算子的 Friedrichs 扩张就是它自身。

证明 7.2.10

\(A_F\) 是 \(A\) 的自伴扩张；自伴算子没有严格对称扩张，故必等于 \(A\)。也可用 7.2.9：谱截断证明 \(D(A)\) 是 \(\sqrt A\) 的核域。

命题 9.16闭包不改变 Friedrichs 扩张

正算子 \(A\) 与其闭包的 Friedrichs 扩张相同。

证明 7.2.11

若 \(\xi_n\to\xi\)、\(A\xi_n\to\overline A\xi\)，则 \(\langle\xi_n-\xi_m,A(\xi_n-\xi_m)\rangle\leq\|\xi_n-\xi_m\|\|A\xi_n-A\xi_m\|\to0\)。所以原域在闭包域的形式范数下稠密。两个域再作形式完备化得到同一梯度闭包，因而得到同一 Friedrichs 扩张。

命题 9.17有界正扰动

若 \(B=A_F\)，\(x\) 为有界正算子，则 \(x+B\) 是 \(x+A\) 的 Friedrichs 扩张；特别允许加非负标量。

证明 7.2.12

两种形式范数分别为 \(\|\xi\|^2+\langle\xi,A\xi\rangle\) 与再加 \(\langle\xi,x\xi\rangle\)；它们互相控制，因为 \(0\leq\langle\xi,x\xi\rangle\leq\|x\|\|\xi\|^2\)。故闭形式域相同，闭形式只增加有界项 \(\langle\xi,x\eta\rangle\)。表示算子的定义要求形式对第一变量在原范数下有界，有界项不改变此条件，所以表示算子为 \(B+x\)，即所述扩张。

定义 9.18等价内积

同一向量空间上的两个内积等价，指其二次型互相以正的固定常数控制。等价内积给出等价范数和相同的完备性。

定义 9.19等价范数

存在 \(c,C>0\) 使 \(c\|\xi\|_1\leq\|\xi\|_2\leq C\|\xi\|_1\) 时称范数等价；等价于恒等映射及其逆均有界。

定义 9.20下有界算子的 Friedrichs 扩张

若 \(A+\lambda\) 正，定义 \(A_F=(A+\lambda)_F-\lambda\)。有界正扰动性质保证它与允许的 \(\lambda\) 无关，并保留 \(A\) 的下界。

抽象梯度及极分解的构造

在 \(D(A)\) 上取正形式 \(q(\xi,\eta)=\langle\xi,A\eta\rangle\)，除去零空间并完备化为 \(K\)。自然映射 \(T:D(A)\to K\) 满足梯度形式恒等式。若 \(\xi_n\to0\)、\(T\xi_n\to y\)，对每个 \(\eta\in D(A)\) 有 \(\langle y,T\eta\rangle=\lim\langle\xi_n,A\eta\rangle=0\)；梯度像稠密，所以 \(y=0\)，证明可闭。两个梯度的像具有相同 Gram 矩阵，因而等距对应，闭包后的 \(T^*T\) 相同。

对闭 \(T\)，图像 Hilbert 空间中的 Riesz 表示解决 \((1+T^*T)\xi=f\)，从而由正算子满射判据证明自伴性。谱截断显示 \(D(T^*T)\) 在图像范数下稠密。此域上 \(\|T\xi\|=\||T|\xi\|\)，核域逼近将等式扩大到全部域，再把 \(|T|\xi\mapsto T\xi\) 延拓为部分等距，得到极分解。

§ 10酉群、卷积代数与核域

连续时间由生成元描述

酉群给出连续时间的演化，生成元给出瞬时变化率。Stone 定理需要证明差商域稠密并自伴，平滑向量与亏方程正是这两个步骤的工具。

定义 10.1强连续酉表示

\(U:\mathbb R^N\to\mathcal L(H)\) 满足各 \(U(t)\) 酉、\(U(s+t)=U(s)U(t)\)、\(U(0)=1\) 时称酉表示；每个 \(t\mapsto U(t)\xi\) 范数连续时称强连续。一维情形称单参数酉群。

定理 10.2Stone 定理

强连续 \(\mathbb R^N\) 酉表示与有限个强交换自伴生成元 \(T_j\) 一一对应，\(U(t)=e^{i\sum_jt_jT_j}\)。\(D(T_j)\) 恰由在原点存在第 \(j\) 个范数差商极限的向量构成，极限为 \(iT_j\xi\)。

证明 7.3.3

由 7.3.8，从强交换自伴族得到强连续群。反向将表示限制到各坐标轴，7.3.10 给出自伴生成元 \(T_j\)；原群交换，7.3.13 保证这些生成元强交换。群律给 \(U(t)=\prod_je^{it_jT_j}=e^{it\cdot T}\)。差商域及唯一性由 7.3.9 给出。

定义 10.3生成元

上述唯一的自伴族 \((T_j)\) 称表示的生成元，约定指数符号为 \(+i\)。

引理 10.4从生成元构造群

强交换自伴族的 \(e^{it\cdot T}\) 为强连续酉表示，连续性由向量谱测度上的控制收敛得到。

证明 7.3.8

在乘法模型中 \(e^{it\cdot T}=M_{e^{it\cdot x}}\)，其模为一且指数满足加法群律。对每个 \(\xi\)，

\[ \|(U(t)-U(s))\xi\|^2=\int|e^{it\cdot x}-e^{is\cdot x}|^2\,d\mu_\xi\to0, \]

因被积函数逐点趋零并被 \(4\) 控制，向量测度有限。

引理 10.5差商的定义域

对自伴 \(T_j\)，\(\lim_{s\to0}(e^{isT_j}\xi-\xi)/s\) 存在当且仅当 \(\xi\in D(T_j)\)，此时等于 \(iT_j\xi\)。

证明 7.3.9

若 \(\xi\in D(T_j)\)，点态差商趋于 \(ix_j\)，且 \(|(e^{isx_j}-1)/s|\leq|x_j|\)，支配收敛给范数极限 \(iT_j\xi\)。反向差商范数收敛必有界，Fatou 给 \(\int|x_j|^2\,d\mu_\xi\leq\liminf_s\|(e^{isT_j}-1)\xi/s\|^2<\infty\)，故 \(\xi\in D(T_j)\)。

引理 10.6单参数生成元的存在与唯一

每个强连续单参数酉群存在唯一自伴 \(T\) 满足 \(U(t)=e^{itT}\)；无须假设 \(H\) 可分。

证明 7.3.10

在差商存在的域定义 \(T\xi=-i\,\partial_tU(t)\xi|_0\)。酉性经内积求导给对称性。取 \(h\in C_c^\infty(\mathbb R)\)，平滑向量 \(\xi_h=\int h(s)U(s)\xi\,ds\) 满足 \(T\xi_h=i\int h'(s)U(s)\xi\,ds\)；积分下求导合法，因为紧支撑光滑核给可积控制。近似单位 \(h_\varepsilon\) 及强连续性使 \(\xi_{h_\varepsilon}\to\xi\)，所以该域含稠密且群不变的平滑子空间 \(D_0\)。

若 \(T^*v=iv\)，则对 \(\eta\in D_0\)，\(F(t)=\langle v,U(t)\eta\rangle\) 满足 \(F'=F\)。但 \(F\) 全实轴有界，故 \(F=0\)；稠密性使 \(v=0\)。另一个亏核同样由 \(F'=-F\) 消失，因此 \(T\) 本质自伴。这里差商生成元本身闭：若 \(\xi_n\to\xi\)、\(T\xi_n\to\eta\)，由

\[ U(t)\xi_n-\xi_n=i\int_0^tU(s)T\xi_n\,ds \]

取极限再求导，得到 \(\xi\in D(T)\)、\(T\xi=\eta\)。故 \(T\) 已自伴。

最后对 \(D_0\) 中向量比较 \(U(t)\) 与 \(e^{itT}\)，内积函数 \(\langle e^{itT}\zeta,U(t)\eta\rangle\) 的导数两项相消，所以恒等于初值；取稠密的平滑 \(\zeta,\eta\) 再连续延拓，得 \(U(t)=e^{itT}\)。7.3.9 从差商恢复 \(T\)，保证唯一。

命题 10.7与酉群的交换

酉 \(V\) 满足 \(VT=TV\)（含域条件）当且仅当它与全部 \(e^{itT}\) 交换。

证明 7.3.12

若 \(V\) 保持域并与 \(T\) 交换，伴随共轭及谱演算唯一性给 \(Ve^{itT}=e^{itT}V\)。反向对群差商应用 \(V\)，差商域被 \(V\) 及 \(V^{-1}\) 保持，且差商极限给 \(VT=TV\)。

定理 10.8强交换的群判据

自伴 \(T_1,T_2\) 强交换、全部 \(e^{itT_1}T_2=T_2e^{itT_1}\)、全部 \(e^{isT_2}T_1=T_1e^{isT_2}\)、两群的任意成员交换，四者等价。

证明 7.3.13

强交换的联合演算立即给两群交换及各群与另一生成元交换。反向由 7.3.12，任意一种单边域交换条件均化为两群交换。此时各群成员与另一生成元及其 Cayley 变换交换；再对另一群使用 7.3.12 和 Cayley 判据，得到两个 Cayley 变换交换，即强交换。

用积分把群表示线性化

把群成员按 \(L^1\) 函数加权积分，群律就变成卷积乘法。Fourier 变换把卷积转成逐点乘法，为群表示与谱演算的关系提供可计算的桥梁。

命题 10.9\(L^1\) 卷积

\(f,g\in L^1(\mathbb R^N)\) 的 \((f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)\,dy\) 几乎处处存在，属于 \(L^1\)，且 \(\|f*g\|_1\leq\|f\|_1\|g\|_1\)。

证明 7.4.2

Tonelli 给

\[ \int\!\int|f(x-y)g(y)|\,dy\,dx=\|f\|_1\|g\|_1. \]

所以内积分几乎处处绝对收敛，且积分后的函数在 \(L^1\)；三角不等式给所述范数界。

定理 10.10卷积星代数

\(L^1\) 配备卷积和 \(f^\dagger(x)=\overline{f(-x)}\) 是交换星代数；\(C_c(\mathbb R^N)\) 是星子代数。除零维情形外，此代数没有 \(L^1\) 单位元。

证明 7.4.3

换元给卷积交换性，三重积分的绝对可积性给结合律；复共轭和 \(x\mapsto-x\) 的换元给 \((f*g)^\dagger=g^\dagger*f^\dagger\)。紧支集卷积的支集包含于两支集之和，连续性由平移连续性得到，故 \(C_c\) 为星子代数。若有 \(L^1\) 单位 \(e\)，则 \(\widehat e\,\widehat f=\widehat f\)，在每点选择变换非零的 \(f\) 得 \(\widehat e=1\)；Riemann–Lebesgue 与此矛盾，所以正维数时无单位。

定理 10.11群表示的积分形式

定义 \(U(f)\xi=\int f(x)U(-x)\xi\,dx\)，得到卷积星代数的酉表示，且 \(\|U(f)\|\leq\|f\|_1\)。积分为向量值积分，负号与 Fourier 符号相配。

证明 7.4.4

轨道函数连续且值域可分，\(\|f(t)U(-t)\xi\|=|f(t)|\|\xi\|\)，故向量积分存在并满足算子范数界。Fubini 与群律给

\[ U(f)U(g)\xi=\iint f(s)g(t)U(-s-t)\xi\,ds\,dt=U(f*g)\xi. \]

取内积、酉伴随并换元 \(t\mapsto-t\) 给 \(U(f)^*=U(f^\dagger)\)。

定义 10.12\(L^1\) Fourier 变换

定义未归一化变换 \(\widehat f(t)=\int f(x)e^{-it\cdot x}\,dx\) 及 \(\check f(t)=\int f(x)e^{it\cdot x}\,dx=\widehat f(-t)\)。这里“逆号变换”尚未包含 Fourier 反演的归一化常数。

命题 10.13平移与调制

令 \(\tau_yf(x)=f(x-y)\)，则 \(\widehat{\tau_yf}(t)=e^{-it\cdot y}\widehat f(t)\)，\(\widehat{e^{is\cdot x}f}(t)=\widehat f(t-s)\)。

证明 7.4.6

平移式令 \(x=u+y\)，指数分出 \(e^{-it\cdot y}\)；调制式将 \(e^{is\cdot x}e^{-it\cdot x}\) 合成 \(e^{-i(t-s)\cdot x}\)。两者都由绝对可积积分直接得到。

定理 10.14Riemann–Lebesgue 与唯一性

Fourier 映射 \(L^1\to C_0(\mathbb R^N)\) 有界、范数至多一、单射且像一致稠密；满足 \(\widehat{f*g}=\widehat f\widehat g\) 和 \(\widehat{f^\dagger}=\overline{\widehat f}\)，故为星同态。逆号变换也具有这些性质。

证明 7.4.7

\(|\widehat f|\leq\|f\|_1\)，支配收敛给连续性。先对矩形指标显式计算，其变换在无穷远消失；矩形阶梯函数在 \(L^1\) 稠密，范数估计再给任意 \(f\) 的消失性质。Fubini 及换元给卷积和星运算公式。7.4.8 给像的一致稠密性，7.4.10 给单射性；二者的证明如下，分别不使用单射结论。逆号情形由反射得到。

定理 10.15紧支集变换的稠密性

\(\widehat{C_c(\mathbb R^N)}\) 是 \(C_0(\mathbb R^N)\) 中一致稠密的星子代数。

证明 7.4.8

卷积和星运算保持 \(C_c\)，所以变换像为星子代数。它无共同零点：给定 \(t\)，取 \(f(x)=e^{it\cdot x}h(x)\)，其中 \(h\geq0\)、\(\int h>0\)。它分离点：若 \(s\ne t\)，连续函数 \(e^{-is\cdot x}-e^{-it\cdot x}\) 在某小球非零，选该球内适当紧支集 \(f\) 使差的积分非零。局部紧 Stone–Weierstrass 定理遂给一致稠密。

命题 10.16Fourier 配对公式

对 \(f,g\in L^1\)，\(\int\widehat f(t)g(t)\,dt=\int f(x)\widehat g(x)\,dx\)，两边绝对可积，由 Fubini 得到。

证明 7.4.9

双重绝对积分至多 \(\|f\|_1\|g\|_1\)，故 Fubini 可交换次序；共同双积分为 \(\iint f(x)g(t)e^{-it\cdot x}\,dx\,dt\)，恰是两边。

引理 10.17Fourier 唯一性

\(f\in L^1\) 且 \(\widehat f=0\) 时，\(f=0\) 几乎处处。

证明 7.4.10

\(\widehat f=0\) 及配对公式给 \(\int f\widehat g=0\) 对全部 \(g\in C_c\) 成立。由 7.4.8 及积分泛函的一致范数连续性，得到 \(\int fh=0\) 对全部 \(h\in C_0\) 成立。连续紧支集单位球在 \(L^\infty\) 单位球中弱-* 稠密，因此可逼近相位 \(h=\bar f/|f|\)（零点取零），得到 \(\int|f|=0\)。

哪些子空间保留全部谱作用

群不变性使闭子空间的投影与群交换。积分表示、Fourier 稠密性和 Borel 强逼近依次将这种交换扩到整个函数演算。

定义 10.18酉子表示

对强连续酉表示的不变闭子空间 \(K\)，\(U|_K\) 仍为强连续酉表示，称子表示。

定理 10.19积分表示与函数演算

若 \(T_j\) 为强交换自伴族，\(f\in L^1\)，则 \(\int f(t)e^{-it\cdot T}\,dt=\widehat f(T_1,\ldots,T_N)\)，按每个向量的积分解释。

证明 7.5.2

在联合乘法模型中，对每个矩阵元作 Fubini；绝对控制来自 \(\int|f(t)|\,dt\) 和 \(\int|\eta(x)\xi(x)|\,d\mu(x)\leq\|\eta\|_2\|\xi\|_2\)。内积分为 \(\widehat f(x)\)，所以积分算子等于 \(M_{\widehat f}\)，换回模型得到公式。

定理 10.20不变子空间的等价条件

闭子空间 \(K\) 对全部 \(U(t)\) 不变，当且仅当对生成元的全部有界 Borel 联合演算 \(f(T_\bullet)\) 不变。

证明 7.5.4

若 \(K\) 群不变，因 \(U(-t)\) 也在群中，它正交约化，投影 \(P_K\) 与每个群成员交换。向量积分使 \(P_K\) 与 \(\widehat f(T_\bullet)\) 交换；7.4.8 的一致稠密性使它与全部 \(C_0\) 演算交换，再用有界 Borel 函数的强逼近得全部 Borel 演算交换。反向将条件用于指数函数即可。

稠密域怎样成为核域

原空间稠密不自动等于图像稠密。群不变性补足这个差别：它使潜在的缺失方向也保留谱截断，而有界截断最终排除这些方向。

引理 10.21核域的稠密像判据

自伴 \(T\) 的线性子空间 \(D_0\subset D(T)\) 为核域，当且仅当 \((T+i)D_0\) 在 \(H\) 中稠密。

证明 7.6.1

映射 \(\xi\mapsto(T+i)\xi\) 从图像范数域到 \(H\) 满射等距，因为 \(\|(T+i)\xi\|^2=\|\xi\|^2+\|T\xi\|^2\)。它将图像稠密性恰好转成目标空间稠密性，所以得到判据。

定理 10.22群不变核域

对强连续表示及其生成元族，若实 Borel \(f\) 的算子 \(f(T_\bullet)\) 的某个子域 \(D_0\) 在原空间稠密，且对全部 \(U(t)\) 不变，则 \(D_0\) 为 \(f(T_\bullet)\) 的核域。

证明 7.6.2

令 \(A=f(T_\bullet)\)、\(K=((A+i)D_0)^\perp\)。先有 \(K\cap D(A)=0\)：属于交集的向量满足 \(A\xi=i\xi\)，而自伴算子无非实特征值。因 \(D_0\) 群不变且 \(A\) 与群交换，\((A+i)D_0\) 及其正交补均群不变。7.5.4 遂使 \(K\) 对全部有界联合演算不变。

取 \(g_n=\mathbf1_{\{|f|\leq n\}}\)。对 \(\xi\in K\)，\(g_n(T_\bullet)\xi\) 仍在 \(K\)，且 \(fg_n\) 有界，7.6.3 保证它也在 \(D(A)\)，故为零。另一方面谱上的支配收敛给 \(g_n(T_\bullet)\xi\to\xi\)，所以 \(K=0\)。7.6.1 得出核域结论。

引理 10.23有界右因子的精确乘法

Borel \(f\) 与有界 Borel \(g\) 满足 \(f(T_\bullet)g(T_\bullet)=(fg)(T_\bullet)\)，包含定义域等式。若 \(fg\) 有界，则复合处处有界，特别 \(g(T_\bullet)H\subset D(f(T_\bullet))\)。

证明 7.6.3

在乘法模型中 \(M_g\) 处处有界。\(M_fM_g\) 的域正是 \(fg\xi\in L^2\) 的条件，因为 \(g\xi\) 已自动在 \(L^2\)；这与 \(M_{fg}\) 的最大域相同。若 \(fg\) 有界，条件对全部向量成立，得到后续结论。

推论 10.24全空间导数的本质自伴性

\(i\partial_{x_j}\) 在 \(C_c^\infty(\mathbb R^N)\) 上本质自伴，各闭包强交换，生成正则平移 \(U_-(t)f(x)=f(x-t)\)。

证明 7.6.7

平移群的第 \(j\) 个差商在测试函数上趋于 \(-\partial_jf\)，所以生成元在该域等于 \(i\partial_j\)。测试域在 \(L^2\) 稠密并被所有平移保持，7.6.2 使它成为生成元的核域，故初始导数本质自伴。生成元来自同一个交换平移群，因此强交换。

推论 10.25实常系数多项式微分算子

实多项式 \(p\) 的 \(p(i\partial_{x_1},\ldots,i\partial_{x_N})\) 在 \(C_c^\infty\) 上本质自伴，闭包等于导数闭包的联合 Borel 演算；换成 Schwartz 域给出同一闭包。

证明 7.6.8

各生成元在测试函数上的复合就是相应微分，测试域由所有平移保持且稠密。将 7.6.2 用于实谱函数 \(p\)，得到本质自伴和所述闭包。Schwartz 域同样稠密、平移不变，并包含于该多项式演算域，故给出同一核域结论。

推论 10.26全空间 Laplacian

\(\Delta\) 在 \(C_c^\infty(\mathbb R^N)\) 上本质自伴，闭包等于 \(\Delta_D=\Delta_N\)。并有 \(H_0^1(\mathbb R^N)=H^1(\mathbb R^N)=D(\sqrt{-\overline\Delta})\)。

证明 7.6.9

取 \(p(x)=-\sum_jx_j^2\)，7.6.8 给 \(\Delta\) 本质自伴。Dirichlet 与 Neumann 构造均扩张初始 \(\Delta\) 且自伴，故由扩张唯一性等于其闭包。7.1.11 的极分解使 \(D(G)=D(\sqrt{G^*G})\)、\(D(D^*)=D(\sqrt{DD^*})\)，两正算子相同，所以两个 Sobolev 域也相同。

群不变性如何推出图像稠密

设 \(A=f(T_\bullet)\)。令 \(M=\overline{(A+i)D_0}\)，群交换与 \(D_0\) 不变使 \(M\) 对群不变，因此也对全部有界演算不变。若 \(\eta\perp M\)，用有界演算 \((A-i)^{-1}\) 将正交关系转成与 \(D_0\) 的正交关系；其像只能为零，预解式单射便使 \(\eta=0\)。所以 \(M=H\)，由核域判据得到结论。

正则平移保持 \(C_c^\infty\)，其范数导数分别是 \(-\partial_j\)；因此采用 \(e^{itT}\) 的约定时生成元为 \(+i\partial_j\)。另一平移 \(U_+(t)f(x)=f(x+t)\) 的生成元是 \(-i\partial_j\)。这两套符号可互换，但同一计算中必须保持一致。

§ 11指数矩、Schwartz 空间与 Fourier 谱模型

用稠密向量检验完备性

指数函数及 Gaussian 多项式提供具体的稠密测试族。指数矩使 Fourier 配对延拓为全纯函数，从而把所有矩为零转换成整个函数为零。

命题 11.1指数函数的稠密性

对任意有限正 Borel 测度 \(\mu\)，\(\operatorname{span}\{e^{it\cdot x}:t\in\mathbb R^N\}\) 在 \(L^2(\mu)\) 中稠密。

证明 7.7.1

若 \(h\in L^2(\mu)\) 与全部指数正交，则有限复测度 \(h\,d\mu\) 的 Fourier 变换为零；其有限性由 Cauchy–Schwarz 得到。为说明测度唯一性，将 Fourier 配对公式用于紧支集函数并用 7.4.8 的一致稠密性，得到该测度对全部 \(C_0\) 测试为零，故测度为零。于是 \(h=0\)，正交补判据给出稠密性。

定义 11.2多变量全纯函数

开集 \(\Omega\subset\mathbb C^N\) 上的连续函数若对每个变量单独全纯，则称全纯。有限维情形中这与通常的联合全纯定义一致。

定理 11.3指数矩保证多项式稠密

若有限正 Borel 测度满足某个 \(r>0\) 的 \(\int e^{r\sum_j|x_j|}\,d\mu<\infty\)，则全部复多项式在 \(L^2(\mu)\) 中稠密。条件等价于 \(\sum_{n\in\mathbb N^N}r^{|n|}(\prod_j n_j!)^{-1}\int\prod_j|x_j|^{n_j}\,d\mu<\infty\)。

证明 7.7.4

展开 \(e^{r\sum|x_j|}\)，非负项的 Tonelli 定理给两条件等价。若 \(h\in L^2(\mu)\) 与全部多项式正交，定义 \(F(z)=\int\bar h(x)e^{iz\cdot x}\,d\mu(x)\)。在 \(|\operatorname{Im}z_j|<r/2\) 的较小闭条带上，Cauchy–Schwarz 和指数矩控制所有导数，可逐变量求导，故 \(F\) 全纯。原点全部偏导均为零，Taylor 级数及连通域恒等定理使 \(F\) 恒零。实轴上用 7.7.1 的测度唯一性得 \(h=0\)，因此多项式稠密。

定义 11.4Gaussian 多项式空间

\(\mathcal S_0(\mathbb R^N)\) 为 \(x^\alpha e^{-|x|^2/2}\) 的有限线性组合空间。

推论 11.5Gaussian 多项式稠密

\(\mathcal S_0\) 在 \(L^2(\mathbb R^N,dx)\) 中稠密。

证明 7.7.7

取 Gaussian 测度 \(d\mu=e^{-|x|^2}dx\)，它具有每个正半径的指数矩，7.7.4 保证多项式在 \(L^2(\mu)\) 稠密。酉映射 \(h\mapsto he^{-|x|^2/2}\) 把该空间送到 \(L^2(dx)\)，并把多项式送到 \(\mathcal S_0\)，所以后者稠密。

命题 11.6完备特征族判据

若对称 \(T\) 的定义域包含标准正交基 \((e_i)\) 且 \(Te_i=\lambda_ie_i\)，\(\lambda_i\in\mathbb R\)，则 \(T\) 本质自伴。对其闭包的任意有限值 Borel \(f\)，\(e_i\in D(f(\overline T))\) 且 \(f(\overline T)e_i=f(\lambda_i)e_i\)。

证明 7.7.9

若 \(\xi\in\ker(T^*\mp i)\)，则 \(\langle e_j,T^*\xi\rangle=\langle Te_j,\xi\rangle=\lambda_j\langle e_j,\xi\rangle\)，与 \(T^*\xi=\pm i\xi\) 比较使每个系数为零。基完备给 \(\xi=0\)，故本质自伴。闭包的谱测度在 \(e_j\) 上集中于 \(\lambda_j\)，因此任何有限值 Borel \(f\) 的积分平方有限，且作用为 \(f(\lambda_j)e_j\)。

Fourier 变换给出谱模型

Schwartz 空间使求导、乘坐标和积分下运算都合法。Gaussian 先给可控的变换公式，稠密延拓再给全 \(L^2\) 的酉变换，动量算子便成为坐标乘法。

定义 11.7Schwartz 函数

光滑 \(f\) 满足每个 \(\sup_x|x^\alpha\partial^\beta f(x)|<\infty\) 时称 Schwartz 函数，空间记 \(\mathcal S\)；它包含于全部 \(L^p\)，\(1\leq p\leq\infty\)。

命题 11.8Schwartz 空间与 Fourier 运算

微分、乘坐标和 Fourier 变换保持 \(\mathcal S\)。对未归一化变换有 \(\widehat{\partial_jf}(t)=it_j\widehat f(t)\)、\(\widehat{x_jf}(t)=i\partial_{t_j}\widehat f(t)\)；逆号变换的两处 \(i\) 改为 \(-i\)。

证明 7.8.2

微分及乘坐标保持各 Schwartz 半范数，可用 Leibniz 公式直接核对。积分下求导给 \(\partial_{t_j}\widehat f=\widehat{-ix_jf}\)，分部积分给 \(\widehat{\partial_jf}=it_j\widehat f\)；快速衰减消除边界项。反复组合两式，用 \(L^1\) 范数控制变换，得到全部 \(t^\alpha\partial^\beta\widehat f\) 有界，故变换仍 Schwartz。逆号同理。

命题 11.9Gaussian 的变换

采用酉归一化 \(\mathcal F=(2\pi)^{-N/2}\widehat{\phantom f}\)，令 \(\phi=e^{-|x|^2/2}\)、\(f=x^\alpha\phi\)、\(g=\partial^\alpha\phi\)。则 \(\mathcal Ff=i^{|\alpha|}g\)、\(\mathcal Fg=i^{|\alpha|}f\)；逆变换将 \(i\) 换成 \(-i\)。未归一化公式还须乘 \((2\pi)^{N/2}\)。

证明 7.8.3

一维 Gaussian 积分及积分下求导给 \(\mathcal F\phi=\phi\)，多维由乘积和 Fubini 得到。然后反复用 \(\mathcal F(x_jf)=i\partial_j\mathcal Ff\) 和 \(\mathcal F(\partial_jf)=ix_j\mathcal Ff\)，得两式。逆变换反射频率，故 \(i\) 变为 \(-i\)。

定理 11.10Plancherel 与反演

酉归一化变换在 \(\mathcal S\) 上唯一延拓为 \(L^2\) 酉算子 \(\mathcal F\)，满足 \(\mathcal F^2f(x)=f(-x)\)、\(\mathcal F^4=1\)、\(\mathcal F^{-1}=\mathcal F^3\)，并将 \(\mathcal S\) 与 \(\mathcal S_0\) 各自双射到自身。

证明 7.8.4

7.8.3 先使 \(\mathcal F_0\) 在 \(\mathcal S_0\) 上双射，且平方为反射。Fourier 配对公式与复共轭关系给 \(\|\mathcal F_0f\|_2=\|f\|_2\)。对一般 Schwartz \(f\) 及 \(g\in\mathcal S_0\)，配对公式给

\[ \left|\int\widehat f\,g\right| \leq\|f\|_2\|\widehat g\|_2=\|f\|_2\|g\|_2 \]

（此处变换均含酉归一化）。\(\mathcal S_0\) 稠密遂给 \(\|\mathcal Ff\|_2\leq\|f\|_2\)，所以变换延拓到全 \(L^2\)。它在稠密子空间等距且像稠密，延拓因此酉。平方、四次方等式由稠密子空间延续；逆号变换保持 Schwartz 且与正号变换在稠密 \(\mathcal S_0\) 上互逆，连续性得全部 Schwartz 上的反演与满射。

定理 11.11平移与动量的谱模型

对 \(U_-(t)f(x)=f(x-t)\)，\(\mathcal FU_-(t)\mathcal F^{-1}=M_{e^{-it\cdot x}}\)。若 \(P_j=\overline{-i\partial_j|_{C_c^\infty}}\)，则 \(\mathcal FP_j\mathcal F^{-1}=M_{x_j}\)，包括最大定义域；\(U_-(t)=e^{-it\cdot P}\)。

证明 7.8.5

平移公式先在 Schwartz 上给 \(\mathcal FU_-(t)\mathcal F^{-1}=M_{e^{-it\cdot x}}\)，有界性使等式扩到 \(L^2\)。两群的自伴生成元由差商唯一确定，故 \(-P_j\) 被共轭为 \(-M_{x_j}\)，亦即 \(P_j\) 对应 \(M_{x_j}\)；生成元唯一性同时确定最大定义域。

指数矩为何能决定多项式

若 \(h\in L^2(\mu)\) 与所有指数函数正交，则复测度 \(h\mu\) 的 Fourier 变换为零；测度版 Fourier 唯一性给出 \(h=0\)，证明指数族稠密。

指数矩条件下，若 \(h\) 与全部多项式正交，\(F(z)=\int h(x)e^{iz\cdot x}\,d\mu(x)\) 在原点附近的复带状域全纯。Cauchy–Schwarz 和指数矩控制所有差商与导数；原点全部导数为零。解析唯一性使 \(F\) 在该域为零，并沿实方向推广到全部实参数。指数族稠密性于是给出 \(h=0\)。Gaussian 测度满足任意有限指数矩，乘 Gaussian 的等距换元得到 \(\mathcal S_0\) 稠密。

§ 12相对有界扰动与正定函数

小扰动怎样保持域与可逆性

相对界比较扰动与主算子的图像范数。界小于一时，Neumann 级数控制预解式，图像范数等价保持核域；Sobolev 估计再把这些抽象条件用于势函数和一阶项。

定义 12.1相对有界

\(B\) 为 \(A\)-有界，指 \(D(A)\subset D(B)\) 且 \(\|B\xi\|\leq\alpha\|A\xi\|+\beta\|\xi\|\)。\(\alpha\) 称一个相对界；\(\beta=0\) 时称严格相对有界。

命题 12.2相对界传到闭包

若 \(A,B\) 均可闭，则上述定义域包含和估计传到 \(\overline A,\overline B\)，常数不变。

证明 7.9.3

若 \(\xi_n\in D(A)\) 图像趋于 \(\xi\in D(\overline A)\)，相对界使 \(B\xi_n\) Cauchy。因 \(B\) 可闭，极限为 \(\overline B\xi\)，所以 \(\xi\in D(\overline B)\)。在原估计中取极限，常数不变。

定理 12.3小扰动保持可逆

若 \(A^{-1}\) 处处有界，\(B\) 严格 \(A\)-有界且 \(\alpha<1\)，则 \((A+B)^{-1}\) 处处有界，定义域为 \(D(A)\)。

证明 7.9.4

令 \(C=BA^{-1}\)，严格相对界给 \(\|C\|\leq\alpha<1\)。于是 \(I+C\) 有 Neumann 逆，且在 \(D(A)\) 上 \(A+B=(I+C)A\)。故逆为 \(A^{-1}(I+C)^{-1}\)，处处有界；相对有界性使共同域就是 \(D(A)\)。

命题 12.4非实大参数处可逆

若 \(A\) 自伴，\(B\) 为 \(A\)-有界且相对界小于一，则对充分大的正 \(y\)，\(A+B\pm iy\) 均有处处有界逆；不要求 \(B\) 对称。

证明 7.9.5

谱估计 \(\|A(A\pm iy)^{-1}\|\leq1\)、\(\|(A\pm iy)^{-1}\|\leq y^{-1}\) 给

\[ \|B(A\pm iy)^{-1}\|\leq\alpha+\beta/y<1 \]

当 \(y\) 充分大。用 7.9.4 的同一 Neumann 分解便得两处有界逆。

定理 12.5Kato–Rellich 定理

自伴 \(A\) 与对称 \(B\) 满足相对界 \(\alpha<1\) 时，\(A+B\) 在 \(D(A)\) 上自伴，且与 \(A\) 有相同核域。

证明 7.9.6

\(A+B\) 在 \(D(A)\) 对称，7.9.5 使它加、减充分大的非实参数均满射。对称算子的满射判据（将参数缩放为 \(i\)）给自伴性。7.9.7 给图像范数等价，所以两者核域相同。

命题 12.6图像范数的等价

若 \(A,B\) 取值于同一 Hilbert 空间，\(B\) 为 \(A\)-有界且 \(\alpha<1\)，则 \(A\) 与 \(A+B\) 的图像范数等价。二者核域相同，且同时可闭。

证明 7.9.7

上界由三角不等式得到。反向

\[ (1-\alpha)\|A\xi\|\leq\|(A+B)\xi\|+\beta\|\xi\|, \]

故图像范数等价，并给同样的图像稠密子域。若 \(A\) 可闭，对 \(\xi_n\to0\)、\((A+B)\xi_n\) 收敛，反向估计使 \(A\xi_n\) Cauchy，其极限为零，再用相对界得 \(B\xi_n\to0\)。反向若 \(A+B\) 可闭、\(A\xi_n\) 收敛，相对界使 \(B\xi_n\) Cauchy；和的极限为零，于是上式迫使 \(A\xi_n\to0\)。故可闭性也等价。

推论 12.7本质自伴的扰动

若 \(A\) 本质自伴，\(B\) 对称且为 \(A\)-有界、相对界小于一，则 \(A+B\) 本质自伴。

证明 7.9.8

\(B\) 对称故可闭，7.9.3 将相对界传到自伴 \(\overline A\)。Kato–Rellich 使 \(\overline A+\overline B|_{D(\overline A)}\) 自伴，原域由等价图像范数是其核域，所以原 \(A+B\) 本质自伴。

引理 12.8低维 Sobolev 估计

\(N=1,2,3\) 时，对每个 \(\alpha>0\) 存在 \(\beta>0\)，使 \(f\in\mathcal S(\mathbb R^N)\) 满足 \(\|f\|_\infty\leq\alpha\|\Delta f\|_2+\beta\|f\|_2\)。

证明 7.9.9

Fourier 反演给 \(\|f\|_\infty\leq(2\pi)^{-N/2}\|\mathcal Ff\|_1\)。引入参数 \(R>0\) 并用 Cauchy–Schwarz：

\[ \|\mathcal Ff\|_1 \leq\left(\int_{\mathbb R^N}(R^2+|x|^2)^{-2}dx\right)^{1/2} \|(R^2+|x|^2)\mathcal Ff\|_2. \]

积分在 \(N<4\) 时有限，平方根为常数乘 \(R^{N/2-2}\)。故右侧至多为 \(C_NR^{N/2-2}(\|\Delta f\|_2+R^2\|f\|_2)\)。取充分大的 \(R\) 使第一系数小于给定 \(\alpha\)，第二系数即为 \(\beta\)。

定理 12.9\(L^2+L^\infty\) 势

\(N=1,2,3\) 且实 \(V\in L^2+L^\infty\) 时，\(-\overline\Delta+M_V\) 在 \(D(\overline\Delta)=H^2(\mathbb R^N)\) 上自伴，\(C_c^\infty\) 为核域；初始域上的 \(-\Delta+V\) 本质自伴。乘势具有任意小的 Laplacian 相对界。

证明 7.9.11

写 \(V=V_2+V_\infty\)。有 \(\|Vf\|_2\leq\|V_2\|_2\|f\|_\infty+\|V_\infty\|_\infty\|f\|_2\)。7.9.9 允许把 \(\Delta\) 系数任意缩小，得到任意小相对界。将估计由 Schwartz 核域延拓到 \(D(\overline\Delta)\)，再用 Kato–Rellich 得自伴性和原测试核域。Fourier 模型中该域由 \(|x|^2\widehat f\in L^2\) 定义，正是 \(H^2\)。

定理 12.10正参数处的逆

若 \(A\) 正自伴，\(B\) 为 \(A\)-有界且相对界小于一，则存在 \(\lambda_0\)，使每个 \(\lambda\geq\lambda_0\) 的 \(\lambda+A+B\) 有处处有界逆。

证明 7.9.14

正谱上 \(\|A(\lambda+A)^{-1}\|\leq1\)、\(\|(\lambda+A)^{-1}\|\leq\lambda^{-1}\)。于是 \(\|B(\lambda+A)^{-1}\|\leq\alpha+\beta/\lambda<1\) 对全部充分大的 \(\lambda\) 成立，Neumann 逆给出结论。

推论 12.11下界在小扰动下保留

若再要求 \(B\) 对称，则 \(A+B\) 自伴且下有界；上述 \(L^2+L^\infty\) 实势 Hamiltonian 因而下有界。

证明 7.9.15

Kato–Rellich 已给自伴性。7.9.14 排除全部充分大的负实数属于其谱，故谱有下界；谱积分说明同一下界也是算子二次型下界。势函数情形满足相同假设。

命题 12.12平方根相对界

若 \(A\) 正自伴而 \(B\) 为 \(\sqrt A\)-有界，则 \(B\) 对 \(A\) 具有任意小的正相对界。

证明 7.9.16

定理 12.13Dirichlet 一阶扰动

对开集 \(\Omega\)、有界可测系数 \(a_j,b\)，令 \(X_j=\overline{\partial_j|_{C_c^\infty}}\)。有 \(D(\sqrt{-\Delta_D})\subset D(X_j)\)；\(T=-\Delta_D+\sum_jM_{a_j}X_j+M_b\) 定义域为 \(D(\Delta_D)\)，充分大的 \(\lambda\) 使 \(\lambda+T\) 有处处有界逆。复系数时不额外声称自伴。

证明 7.9.17

极分解给 \(D(\sqrt{-\Delta_D})=D(G)\)、\(\|\sqrt{-\Delta_D}\xi\|=\|G\xi\|\)。梯度各分量 \(X_j\) 满足 \(\|X_j\xi\|\leq\|G\xi\|\)。有界系数因而使一阶项对 \(\sqrt{-\Delta_D}\) 相对有界；7.9.16 使其对 \(-\Delta_D\) 有任意小相对界，再用 7.9.14 得正参数处有界逆。

定理 12.14Neumann 一阶扰动

相同系数条件下，\(D(\sqrt{-\Delta_N})\subset D(X_j^*)\)；\(S=-\Delta_N-\sum_jM_{a_j}X_j^*+M_b\) 的定义域为 \(D(\Delta_N)\)，充分大的 \(\lambda\) 使 \(\lambda+S\) 有处处有界逆。

证明 7.9.18

对闭散度 \(D\) 的伴随用极分解，得 \(D(\sqrt{-\Delta_N})=D(D^*)\) 及 \(\|\sqrt{-\Delta_N}\xi\|=\|D^*\xi\|\)。从伴随测试恒等式逐分量可知 \(\xi\in D(X_j^*)\)，且 \(D^*\xi=(X_j^*\xi)_j\)，故每个分量由该范数控制。其余相对界与 Neumann 逆步骤同 7.9.17。

形式序、正定函数与解析向量

形式序同时比较能量与形式域。正定函数通过内积构造恢复酉群，解析向量则通过指数矩控制所有幂，三者都把无穷信息组织为可用的估计。

定义 12.15正自伴算子的形式序

\(A\leq B\) 指 \(D(\sqrt B)\subset D(\sqrt A)\)，且全部 \(\xi\in D(\sqrt B)\) 满足 \(\|\sqrt A\xi\|^2\leq\|\sqrt B\xi\|^2\)。这是包括形式域包含的序，不能只比较原算子域上的数值。

引理 12.16对称满射即自伴

稠密定义对称 \(A\) 若 \(\operatorname{ran}A=H\)，则 \(A\) 自伴。

证明 7.10.3

若 \(\xi\in D(A^*)\)，满射性允许选 \(\eta\in D(A)\) 使 \(A\eta=A^*\xi\)。对称性给 \(A\subset A^*\)，故 \(\xi-\eta\in\ker A^*=(\operatorname{ran}A)^\perp=0\)。所以 \(D(A^*)\subset D(A)\)，与反向包含合起来得到自伴。

定义 12.17测度的 Fourier 变换

有限正 Borel 测度的 \(\widehat\mu(t)=\int e^{-it\cdot x}\,d\mu(x)\) 有界连续，且 \(|\widehat\mu(t)|\leq\mu(\mathbb R^N)\)。

定义 12.18正定函数

\(\gamma:\mathbb R^N\to\mathbb C\) 正定，指对任意有限点 \(t_j\) 与系数 \(c_j\)，\(\sum_{j,k}\overline c_j\gamma(t_j-t_k)c_k\geq0\)。连续于零的正定函数自动处处连续，并唯一是有限正测度的 Fourier 变换，即 Bochner 定理。

证明 7.10.5

正定性给 \(\gamma(-t)=\overline{\gamma(t)}\)、\(|\gamma(t)|\leq\gamma(0)\)。在有限形式和 \(\sum c_t e_t\) 上定义 \(\langle e_s,e_t\rangle=\gamma(s-t)\)，商去零范数并完备化。平移 \(U(a)e_t=e_{t+a}\) 保持内积；\(\|U(a)e_t-e_t\|^2=2(\gamma(0)-\operatorname{Re}\gamma(a))\to0\)，所以由稠密性及统一等距界得到强连续酉群。

Stone 定理给强交换自伴生成元，取循环向量 \(e_0\) 的谱测度 \(\mu\)，则 \(\gamma(t)=\langle U(t)e_0,e_0\rangle=\int e^{-it\cdot x}\,d\mu\)，质量为 \(\gamma(0)\)。反向测度表示的正定性来自 \(\int|\sum c_je^{it_j\cdot x}|^2d\mu\geq0\)。测度 Fourier 唯一性给唯一，支配收敛给处处连续。

定义 12.19联合光滑向量

\(C^\infty(T_\bullet)\) 为全部有限算子单词 \(T_{i_1}\cdots T_{i_k}\) 的定义域之交，其中 \(k\geq1\)。它对各 \(T_j\) 不变；其中向量称联合光滑向量。

定义 12.20联合解析向量

强交换自伴族的光滑向量 \(\xi\) 解析，指存在 \(r>0\) 使 \(\sum_{n\in\mathbb N^N}r^{|n|}(\prod_jn_j!)^{-1}\|T_1^{n_1}\cdots T_N^{n_N}\xi\|<\infty\)。等价于存在某个正半径使相应项的上确界有限，必要时缩小半径。此条件也等价于向量谱测度具有某个正指数矩。

证明 7.10.7

若幂范数的加权和在半径 \(r\) 有限，上确界显然有限；若上确界在 \(r\) 有限，缩小到 \(s<r\) 后由 \(\sum_{n\in\mathbb N^N}(s/r)^{|n|}<\infty\) 得和有限。

指数矩为 \(M=\int e^{a\sum|x_j|}\,d\mu_\xi<\infty\) 时， \(\|T^n\xi\|^2=\int|x|^{2n}d\mu_\xi\leq M(2n)!a^{-2|n|}\)（阶乘逐坐标相乘）。因 \(\sqrt{(2k)!}/k!\leq2^k\)，取 \(r<a/2\) 得解析级数收敛。反向，若 \(K=\sum r^{|n|}\|T^n\xi\|/n!<\infty\)，Cauchy–Schwarz 给 \(\int|x|^n\,d\mu_\xi\leq\|\xi\|\|T^n\xi\|\)；非负级数与 Tonelli 得 \(\int e^{r\sum|x_j|}d\mu_\xi\leq\|\xi\|K\)。

小相对界与有界逆

写 \(A+B=(1+BA^{-1})A\)；严格相对界使 \(\|BA^{-1}\|<1\)，Neumann 级数给出逆。对自伴 \(A\)，\(\|(A\pm iy)^{-1}\|\leq1/y\) 且 \(\|A(A\pm iy)^{-1}\|\leq1\)，所以扰动预解式的范数至多为 \(\alpha+\beta/y<1\)。两种非实满射性加对称性得到自伴。

两侧图像估计来自 \(\|B\xi\|\leq\alpha\|A\xi\|+\beta\|\xi\|\) 和 \((1-\alpha)\|A\xi\|\leq\|(A+B)\xi\|+\beta\|\xi\|\)。平方根相对界用标量不等式 \(\sqrt t\leq\varepsilon t+C_\varepsilon\) 降为任意小相对界。低维 Sobolev 估计在 Fourier 侧将 \(\int|\widehat f|\) 分为球内和球外，球外的 \(|\xi|^{-4}\) 在 \(N<4\) 可积；增大球半径使高频系数任意小。

§ 13Hilbert 空间值积分

设 \((X,\mathcal M,\mu)\) 为测度空间，\(H\) 为 Hilbert 空间。“可测”指相对于 \(H\) 的范数 Borel 结构。

向量积分的存在与极限

向量积分先由全部内积测试定义，范数可积性给有界配对，再用 Riesz 表示恢复积分向量。可分值域及可数极限保证可测性，控制收敛使积分下取极限和求导合法。

命题 13.1A.1：可分值域的可测性

若 \(f:X\to H\) 的值域可分，则 \(f\) 可测当且仅当对每个 \(\eta\in H\)，标量函数 \(\langle\eta,f(\cdot)\rangle\) 可测。

证明 7.A.1

可测函数与连续内积测试复合当然可测。反向取包含值域的可分闭子空间及其可数稠密集 \((v_n)\)，弱可测性使 \(\|f-v_n\|^2=\|f\|^2-2\operatorname{Re}\langle v_n,f\rangle+\|v_n\|^2\) 可测；这里 \(\|f\|\) 可由可数单位向量测试的上确界表示。可数球构成该子空间的拓扑基，故每个开集原像可测。

推论 13.2A.3：可测函数的运算

可测且值域可分的 \(f,g\)，以及可测标量 \(\gamma\)，给出可测函数 \(f+g\)、\(\gamma f\)、\(\langle f,g\rangle\)。

证明 7.A.3

两个可分值域的线性闭张成仍可分。\(f+g\)、\(\gamma f\) 的全部固定向量测试可测，7.A.1 得向量可测。取可数正交基将内积写成部分和的极限，得到 \(\langle f,g\rangle\) 可测；也可通过可测简单向量逼近得到。

推论 13.3A.4：逐点序列极限

可测且各自值域可分的 \(f_n\) 若逐点范数趋于 \(f\)，则 \(f\) 仍可测且值域可分。

证明 7.A.4

所有值域的可数并的闭线性张成是可分空间，且包含极限值域。对固定向量，内积测试是可测标量函数的逐点极限，故可测；7.A.1 再给向量可测。

定义 13.4A.5：弱积分

可测 \(f\) 弱可积，指所有标量 \(\langle\eta,f\rangle\) 可积，且存在 \(I\in H\) 使 \(\langle\eta,I\rangle=\int\langle\eta,f\rangle\,d\mu\) 对全部 \(\eta\) 成立。\(I\) 唯一，记 \(\int f\,d\mu\)，积分对可积函数线性。

命题 13.5A.6：积分的范数界

弱可积函数满足 \(\|\int f\,d\mu\|\leq\int\|f\|\,d\mu\)，右侧允许无穷。

证明 7.A.6

命题 13.6A.7：有界线性映射与积分

弱可积 \(f\) 和有界 \(T:H\to K\) 满足 \(Tf\) 弱可积，且 \(T\int f=\int Tf\)。

证明 7.A.7

对 \(\eta\in K\)，\(\langle\eta,Tf\rangle=\langle T^*\eta,f\rangle\) 可积，且其积分等于 \(\langle T^*\eta,\int f\rangle=\langle\eta,T\int f\rangle\)。因此 \(T\int f\) 满足弱积分定义，唯一性给等式。

命题 13.7A.8：积分所在的子空间

弱积分属于 \(\overline{\operatorname{span}f(X)}\)，因为与该子空间正交的全部向量测试积分为零。

证明 7.A.8

令 \(M=\overline{\operatorname{span}f(X)}\)。任何 \(\eta\in M^\perp\) 都有 \(\langle\eta,f(x)\rangle=0\)，积分后 \(\langle\eta,\int f\rangle=0\)。故积分属于 \(M^{\perp\perp}=M\)。

定义 13.8A.9：可积与 Bochner 可积

可测 \(f\) 若 \(\int\|f\|<\infty\)，称范数可积。若另有可分值域，称 Bochner 可积；允许先删去零测集再要求可分值域时，给出通常的等价类定义。

定理 13.9A.10：范数可积保证弱积分

每个范数可积的 Hilbert 值函数均弱可积：积分配对为有界泛函，Riesz 表示给出对应向量。

证明 7.A.10

配对 \(\eta\mapsto\int\langle\eta,f\rangle\) 是反线性有界泛函，其范数至多 \(\int\|f\|\)。Hilbert 空间的 Riesz 表示给唯一向量 \(I\)，使该配对等于 \(\langle\eta,I\rangle\)，这恰是弱积分定义。

定理 13.10A.11：向量控制收敛

第一可数指标上的 Bochner 可积网 \(f_\alpha\) 若逐点范数趋于 \(f\)，且 \(\|f_\alpha\|\leq g\in L^1\)，则 \(f\) Bochner 可积，\(\int\|f_\alpha-f\|\to0\)，故向量积分范数收敛。

证明 7.A.11

第一可数有向指标允许取递增共尾序列，故极限是可数个可分值域函数的范数极限；7.A.4 保证可测及可分值域，且 \(\|f\|\leq g\)。标量函数 \(\|f_\alpha-f\|\leq2g\) 趋零，第一可数网的标量控制收敛定理给积分趋零，再由 7.A.6 得向量积分收敛。第一可数性不能任意删掉：一般网的逐点极限不自动适用标量控制收敛。

推论 13.11A.12：积分下求导

若区间 \(I\) 上每个 \(f(\cdot,t)\) Bochner 可积，每个 \(x\) 的 \(t\mapsto f(x,t)\) 可微且导数连续，并有同一个 \(g\in L^1\) 控制全部 \(\|\partial_tf(x,t)\|\)，则导数截面 Bochner 可积，且 \(\frac d{dt}\int f(x,t)\,d\mu=\int\partial_tf(x,t)\,d\mu\)。端点按单侧导数解释。

证明 7.A.12

导数是可数差商的逐点极限，故可测且值域可分；范数被 \(g\) 控制，因而 Bochner 可积。微积分基本定理给小差商的范数也被 \(g\) 控制，7.A.11 将差商极限移入积分，得到求导公式。端点只取允许方向的差商。

命题 13.12A.13：积分向量的内积

对 Bochner 可积 \(f,g\)，\(\langle\int f,\int g\rangle=\int_X\int_X\langle f(x),g(y)\rangle\,d\mu(x)d\mu(y)\)，两种迭代次序相同；绝对可积性由 \(\|f(x)\|\|g(y)\|\) 控制。

证明 7.A.13

绝对值被 \(\|f(x)\|\|g(y)\|\) 控制，其双积分等于两个有限范数积分的乘积，故 Fubini 合法。先对 \(y\) 用弱积分定义，再对 \(x\) 使用共轭线性关系，得到双积分等于 \(\langle\int f,\int g\rangle\)；换序同样合法。

可测性和控制收敛

可分值域的闭线性张成有可数标准正交基。标量坐标可测使各有限坐标投影可测；投影范数极限等于原函数，所以原函数可测。逐点序列极限的值域包含于全部值域并集的闭包，仍可分。

第一可数指标允许取共尾序列，其值域闭包为可分空间并包含全部极限值。标量控制收敛作用于 \(\|f_\alpha-f\|\)，再由积分范数界得到积分收敛。求导时差商由导数的积分平均表示，统一控制函数和导数连续性使控制收敛可应用。

§ 14练习

习题 14.1形式域与算子域

对 \(A_D=-u''\) 于 \((0,1)\)，说明 \(u\in H_0^1\) 只够定义能量，并不自动保证 \(u\in D(A_D)\)。

解

取满足端点为零的分段线性帐篷函数。它的一阶弱导数是有界分段常数，故属于 \(H_0^1\)。但二阶分布导数含顶点处的 Dirac 测度，不属于 \(L^2\)，所以不在 \(H^2\cap H_0^1\)。

习题 14.2生成元的定义域

在 \(\ell^2\) 上令 \(U(t)x=(e^{int}x_n)\)。求自伴生成元，并说明为何群强连续但不是算子范数连续。

解

生成元为 \(Ax=(nx_n)\)，定义域是 \(\sum n^2|x_n|^2<\infty\)。对固定 \(x\)，控制收敛保证强连续。取 \(t_k=\pi/k\)，则第 \(k\) 个坐标的乘子为 \(-1\)，故 \(\|U(t_k)-I\|=2\)。

习题 14.3有界势

若 \(V\in L^\infty(\mathbb R^d,\mathbb R)\)，证明 \(-\Delta+V\) 在 \(H^2\) 上自伴，并给出能量下界。

解

实乘法算子 \(M_V\) 有界自伴，相对界 \(a=0\)。Kato–Rellich 给出自伴性。\(\langle u,(-\Delta+V)u\rangle\ge-\|V_-\|_\infty\|u\|^2\)，其中 \(V_-=\max\{-V,0\}\)。

下一章利用紧性，把有界区域上的自伴微分算子化成离散谱。

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