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实分析 Part 6 of 6

第 6 章：外测度、预测度和积测度

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§ 01外测度与 Caratheodory 扩张定理

定义 1.1抽象外测度

令 \(X\) 为集合，抽象外测度(abstract outer measure)为映射 \(\mu^*:2^X\rightarrow [0,+\infty]\) 满足：

  • \(\mu^*(\emptyset)=0\)

  • 若 \(E\subset F\)，则 \(\mu^*(E)\le \mu^*(F)\)

  • 若 \(E_1,E_2,\cdots\subset X\)，则

    \[ \mu^*(\bigcup_{n=1}^\infty E_n )\le \sum_{n=1}^\infty \mu^*(E_n) \]

定义 1.2Caratheodory 可测

设 \(\mu^*\) 为 \(X\) 的外测度，\(E\subset X\) 称作 Caratheodory 可测的，若对任意 \(A\subset X\) 有

\[ \mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E) \]

定理 1.3Caratheodory 扩张定理

令 \(\mu^*:2^X\rightarrow [0,+\infty]\) 为 \(X\) 的外测度，\(\mathcal{B}\) 为 \(X\) 的所有 Caratheodory 可测集，令 \(\mu:\mathcal{B}\rightarrow [0,+\infty]\) 为 \(\mu\) 在 \(\mathcal{B}\) 上的限制。则 \(\mathbb{B}\) 是 \(\sigma-\)代数，\(\mu\) 是测度。

§ 02预测度

定义 2.1

Boolean 代数 \(\mathcal{B}_0\) 的预测度(pre-measure) 为有限可加测度 \(\mu_0:\mathcal{B}_0\rightarrow [0,+\infty]\) 满足 \(\mu_0(\bigcup_{n=1}^\infty E_n)=\sum_{n=1}^\infty \mu_0(E_n)\) 对任意不交的集合 \(E_1,E_2,\cdots \mathcal{B}_0\) 且 \(\bigcup_{n=1}^\infty \in \mathcal{B}_0\) 成立。

命题 2.2

  • 上述定义中的有限可加可改成 \(\mu(\emptyset)=0\)。
  • 上述定义中的 \(\mu_0(\bigcup_{n=1}^\infty E_n)=\sum_{n=1}^\infty \mu_0(E_n)\) 可改成 \(\mu_0(\bigcup_{n=1}^\infty E_n)\le\sum_{n=1}^\infty \mu_0(E_n)\)
  • 这两者不能同时更改。

定理 2.3Hahn-Kolmogorov 扩张

任意 Boolean 代数 \(\mathcal{B}_0\) 上的预测度 \(\mu_0:\mathcal{B}_0\rightarrow [0,+\infty]\) 可扩张为可数可加测度 \(\mu:\mathcal{B}\rightarrow [0,+\infty]\)

注：若加上 \(\mu_0\) 是 \(\sigma-\)有限的条件，则该扩张唯一。

命题 2.4

设预测度 \(\mu_0:\mathcal{B}_0\rightarrow [0,+\infty]\) \(\sigma-\)有限(即 \(X\) 是 \(\mathcal{B}_0\) 中可数个测度有限集合的并)，令 \(\mu:\mathcal{B}\rightarrow [0,+\infty]\) 为其 Hahn-Kolmogorov 扩张。

  • 若 \(E\in \mathcal{B}\)，则存在 \(E\subset F\in \left<\mathcal{B}_0\right>\) 满足 \(\mu(F\setminus E)=0\)。
  • 若 \(E\in \mathcal{B}\) 测度有限，对任意 \(\varepsilon>0\) 存在 \(F\in \mathcal{B}_0\) 满足 \(\mu(E\bigtriangleup F)\le \varepsilon\)。
  • 反过来，若 \(E\) 满足对任意 \(\varepsilon>0\) 存在 \(F\in \mathcal{B}_0\) 满足 \(\mu(E\bigtriangleup F)\le \varepsilon\)，则 \(E\in \mathcal{B}\)。

§ 03积测度

定义 3.1

设 \((X,\mathcal{B}_X),(Y,\mathcal{B}_Y)\) 是可测空间，考虑投影 \(\pi_X:X\times Y\rightarrow X\) 与 \(\pi_Y:X\times Y\rightarrow Y\)，定义拉回

\[ \pi_X^*(\mathcal{B}_X):=\left\{\pi_X^{-1}(E)\Big| E\in \mathcal{B}_X\right\}=\left\{E\times Y\Big| E\in \mathcal{B}_X\right\} \]
\[ \pi_Y^*(\mathcal{B}_Y):=\left\{\pi_Y^{-1}(F)\Big| F\in \mathcal{B}_Y\right\}=\left\{X\times F\Big| F\in \mathcal{B}_Y\right\} \]

于是我们可以定义 \(X\times Y\) 上的\(\sigma-\)积代数（product \(\sigma-\)algebra \(\mathcal{B}_X\times \mathcal{B}_Y\) ：

\[ \mathcal{B}_X\times \mathcal{B}_Y:=\left<\pi^*_X(\mathcal{B}_X)\cup \pi^*_Y(\mathcal{B}_Y)\right> \]

命题 3.2

设 \((X, \mathcal{B}_X)\) 和 \((Y, \mathcal{B}_Y)\) 为可测空间。

  • \(\mathcal{B}_X \times \mathcal{B}_Y\) 是由集合 \(E \times F\)（其中 \(E \in \mathcal{B}_X\), \(F \in \mathcal{B}_Y\)）生成的 \(\sigma\)-代数。换言之，\(\mathcal{B}_X \times \mathcal{B}_Y\) 是 \(X \times Y\) 上最粗糙的 \(\sigma\)-代数，使得 \(\mathcal{B}_X\)-可测集与 \(\mathcal{B}_Y\)-可测集的笛卡尔积始终是 \(\mathcal{B}_X \times \mathcal{B}_Y\)-可测的。
  • \(\mathcal{B}_X \times \mathcal{B}_Y\) 是 \(X \times Y\) 上最粗糙的 \(\sigma\)-代数，使得投影映射 \(\pi_X, \pi_Y\) 均为可测态射。
  • 若 \(E \in \mathcal{B}_X \times \mathcal{B}_Y\)，则对每个 \(x \in X\)，集合 \(E_x := \{y \in Y : (x, y) \in E\}\) 属于 \(\mathcal{B}_Y\)；类似地，对每个 \(y \in Y\)，集合 \(E^y := \{x \in X : (x, y) \in E\}\) 属于 \(\mathcal{B}_X\)。
  • 若 \(f : X \times Y \rightarrow [0, +\infty]\) 是可测的，则对每个 \(x \in X\)，函数 \(f_x : y \mapsto f(x, y)\) 是 \(\mathcal{B}_Y\)-可测的；类似地，对每个 \(y \in Y\)，函数 \(f^y : x \mapsto f(x, y)\) 是 \(\mathcal{B}_X\)-可测的。
  • 若 \(E \in \mathcal{B}_X \times \mathcal{B}_Y\)，则切片 \(E_x := \{y \in Y : (x, y) \in E\}\) 属于一个可数生成的 \(\sigma\)-代数。即存在至多可数的集合族 \(\mathcal{A} = \mathcal{A}_E\)（可依赖于 \(E\)），使得 \(\{E_x : x \in X\} \subset \langle \mathcal{A} \rangle\)。特别地，不同切片 \(E_x\) 的数量至多为连续统的基数 \(c\)。

命题 3.3

  • 两个平凡 \(\sigma\)-代数（分别定义在空间 \(X, Y\) 上）的乘积仍是平凡的。
  • 两个原子 \(\sigma\)-代数的乘积仍是原子的。
  • 两个有限 \(\sigma\)-代数的乘积仍是有限的。
  • 两个 Borel \(\sigma\)-代数(分别定义在欧氏空间 \(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^{d'}\) 上，\(d, d' \geq 1\))的乘积仍是 Borel \(\sigma\)-代数（定义在 \(\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^{d'} \equiv \mathbb{R}^{d+d'}\) 上）。
  • 两个 Lebesgue \(\sigma\)-代数(分别定义在欧氏空间 \(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^{d'}\) 上，\(d, d' \geq 1\))的乘积不是 Lebesgue \(\sigma\)-代数。
  • \(\mathbb{R}^{d+d'}\) 上的 Lebesgue \(\sigma\)-代数是 \(\mathbb{R}^d\) 与 \(\mathbb{R}^{d'}\) 的 Lebesgue \(\sigma\)-代数乘积关于 \(d+d'\) 维 Lebesgue 测度的完备化。
  • 举例说明两个离散 \(\sigma\)-代数的乘积不一定是离散的。
  • 若至少有一个域 \(X\) 或 \(Y\) 是至多可数无限的，则两个离散 \(\sigma\)-代数 \(2^X, 2^Y\) 的乘积仍是离散 \(\sigma\)-代数。

定义 3.4

称测度空间 \((X,\mathcal{B},\mu)\) 是 \(\sigma-\)有限的，若 \(X\) 可以写成 \(\mathcal{B}\) 中可数个有限测度集合的并。

命题 3.5

令 \((X,\mathcal{B}_X,\mu_X),(Y,\mathcal{B}_Y,\mu_Y)\) 为 \(\sigma-\)有限测度空间，则 \(\mathcal{B}_X\times \mathcal{B}_Y\) 上存在唯一的测度 \(\mu_X\times \mu_Y\) 满足对任意 \(E\in \mathcal{B}_X,F\in \mathcal{B}_Y\)，有

\[ \mu_X\times \mu_Y(E\times F)=\mu_X(E)\mu_Y(F) \]

命题 3.6

设 \((X,\mathcal{B}_X),(Y,\mathcal{B}_Y)\) 是可测空间。

  • \((X,\mathcal{B}_X),(Y,\mathcal{B}_Y)\) 上的 Dirac 测度的积是 \((X\times Y,\mathcal{B}_X\times \mathcal{B}_Y)\) 上的 Dirac 测度。
  • 若 \(X,Y\) 是至多可数的，\((X,\mathcal{B}_X),(Y,\mathcal{B}_Y)\) 上的计数测度的积是 \((X\times Y,\mathcal{B}_X\times \mathcal{B}_Y)\) 上的计数测度。

命题 3.7

设 \((X,\mathcal{B}_X,\mu_X),(Y,\mathcal{B}_Y,\mu_Y),(Z,\mathcal{B}_Z,\mu_Z)\) 是 \(\sigma-\)有限可测空间，则

\[ (\mathcal{B}_X\times \mathcal{B}_Y)\times \mathcal{B}_Z=\mathcal{B}_X\times (\mathcal{B}_Y\times \mathcal{B}_Z),(\mu_X\times \mu_Y)\times \mu_Z=\mu_X\times (\mu_Y\times \mu_Z) \]

定义 3.8

定义 \(X\) 的单调类(monotone class) 为子集族 \(\mathcal{B}\) 满足：

  • 若 \(E_1\subset E_2\subset \cdots\) 为 \(\mathcal{B}\) 的可数单增集合列，则 \(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\in \mathcal{B}\)。
  • 若 \(E_1\supset E_2\supset \cdots\) 为 \(\mathcal{B}\) 的可数单减集合列，则 \(\bigcap_{n=1}^\infty E_n\in \mathcal{B}\)。

引理 3.9

令 \(\mathcal{A}\) 为 \(X\) 上的 Boolean 代数，则 \(\left<\mathcal{A}\right>\) 是包含 \(A\) 的最小单调类。

定理 3.10Tonelli 定理(不完备版本)

设 \((X,\mathcal{B}_X,\mu_X),(Y,\mathcal{B}_Y,\mu_Y)\) 为 \(\sigma-\)有限测度空间，\(f:X\times Y\rightarrow [0,+\infty]\) 可测，则：

  • \(x\mapsto \int_Y f(x,y)\mathrm{d} \mu_Y(y),y\mapsto \int_X f(x,y)\mathrm{d} \mu_X(x)\) 是可测的。

  • 我们有

    \[ \begin{aligned} \int_{X\times Y} f(x,y)\mathrm{d} \mu_X\times \mu_Y (x,y) &=\int_X(\int_Y f(x,y)\mathrm{d} \mu_Y(y))\mathrm{d} \mu_X(x)\\ &=\int_Y(\int_X f(x,y)\mathrm{d} \mu_X(x))\mathrm{d} \mu_Y(y)\\ \end{aligned} \]

推论 3.11

设 \((X,\mathcal{B}_X,\mu_X),(Y,\mathcal{B}_Y,\mu_Y)\) 为 \(\sigma-\)有限测度空间，\(E\in \mathcal{B}_X\times \mathcal{B}_Y\) 为 \(\mu_X\times \mu_Y-\)零测集，则几乎所有 \(x\in X\)，\(E_x:=\left\{y\in Y\Big| (x,y)\in E\right\}\) 是 \(\mu_Y-\)零测集，几乎所有 \(y\in Y\)，\(E_y:=\left\{x\in X\Big| (x,y)\in E\right\}\) 是 \(\mu_X-\)零测集。

由该推论，我们可以将 Tonelli 定理推广为其完备 \((X\times Y,\overline{\mathcal{B}_X\times \mathcal{B}_Y},\overline{\mu_X\times \mu_Y})\)。

定理 3.12Tonelli 定理(完备版本)

设 \((X,\mathcal{B}_X,\mu_X),(Y,\mathcal{B}_Y,\mu_Y)\) 为 完备 \(\sigma-\)有限测度空间，\(f:X\times Y\rightarrow [0,+\infty]\) 可测，则

  • 几乎所有 \(x\in X\)，\(y\mapsto f(x,y)\) \(\mathcal{B}_Y-\)可测，特别的 \(\int_Yf(x,y)\mathrm{d} \mu_Y(y)\) 存在。进一步，我们有几乎所有 \(x\in X\)，\(x\mapsto \int_Yf(x,y)\mathrm{d} \mu_Y(y)\) \(\mathcal{B}_X-\)可测。

  • 几乎所有 \(y\in Y\)，\(x\mapsto f(x,y)\) \(\mathcal{B}_X-\)可测，特别的 \(\int_Xf(x,y)\mathrm{d} \mu_X(x)\) 存在。进一步，我们有几乎所有 \(y\in Y\)，\(y\mapsto \int_Xf(x,y)\mathrm{d} \mu_X(x)\) \(\mathcal{B}_Y-\)可测。

  • 我们有

    \[ \begin{aligned} \int_{X\times Y} f(x,y)\mathrm{d} \overline{\mu_X\times \mu_Y} (x,y) &=\int_X(\int_Y f(x,y)\mathrm{d} \mu_Y(y))\mathrm{d} \mu_X(x)\\ &=\int_Y(\int_X f(x,y)\mathrm{d} \mu_X(x))\mathrm{d} \mu_Y(y)\\ \end{aligned} \]

推论 3.13Fubini-Tonelli 定理

设 \((X,\mathcal{B}_X,\mu_X),(Y,\mathcal{B}_Y,\mu_Y)\) 为 完备 \(\sigma-\)有限测度空间，\(f:X\times Y\rightarrow [0,+\infty]\) 可测，若

\[ \int_X(\int_Y\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}\mu_Y(y))\mathrm{d} \mu_X(x)<\infty \]

则 \(f\) 在 \(\overline{\mathcal{B}_X\times \mathcal{B}_Y}\) 上绝对可积，特别的，Fubini 定理成立。

题设条件中换成 \(\int_Y(\int_X\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}\mu_X(X))\mathrm{d} \mu_Y(y)\) 结论同样成立。

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完

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