实分析 Part 3 of 6

第 3 章：Lebesgue 积分

本章中，我们将通过 Lebesgue 测度定义函数 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\cup \left\{\infty\right\}\) 的 Lebesgue 积分

发布于 2025-11-19 更新于 2026-10-15 1,013 字 · 约 3 分钟

\[ \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x \]

§ 01简单函数的积分

定义 1.1

简单函数(simple function) \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\) 形如

\[ f=c_11_{E_1}+\cdots+c_k1_{E_k} \]

其中 \(E_i\subset {\mathbb{R}^d}\) 是 Lebesgue 可测集，\(c_i\in \mathbb{C}\)。

无符号简单函数(unsigned simple function) 为 \(c_i\in [0,+\infty]\) 其余同上定义。

容易得到复值简单函数构成了向量空间 \(\mathrm{Simp}({\mathbb{R}^d})\)，且在乘法与共轭下封闭。无符号简单函数也同样构成了向量空间 \(\mathrm{Simp}^+({\mathbb{R}^d})\)，且为 \([0,+\infty]-\)模。

在该定义中，我们并不要求 \(E_i\) 两两不交。事实上我们可以证明任意 \(k\) 个集合将 \({\mathbb{R}^d}\) 分成 \(2^k\) 个不交的部分，于是 \(f\) 可以写成不交的 \(E'_i\) 的形式。

自然地希望对可测集 \(E\) 有

\[ \int_{\mathbb{R}^d} 1_E(x)\mathrm{d} x=m(E) \]

为了保证积分的性质，我们如下定义无符号简单函数的积分：

定义 1.2

对 \(f=c_11_{E_1}+\cdots+c_k1_{E_k}\)，定义 \(f\) 的积分

\[ \mathrm{Simp}\int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x:=c_1m(E_1)+\cdots+c_km(E_k) \]

引理 1.3良定义

若 \(c_11_{E_1}+\cdots+c_k1_{E_k}=c'_11_{E'_1}+\cdots+c'_k1_{E'_k}\)，则

\[ c_1m(E_1)+\cdots+c_km(E_k)=c'_1m(E'_1)+\cdots+c'_km(E'_k) \]

定义 1.4

一个对 \(x\in {\mathbb{R}^d}\) 的性质 \(P(x)\) 称为几乎处处的(almost everywhere)，若不满足 \(P(x)\) 的 \(x\) 构成的集合是零测集，简记为 a.e.。

定义 1.5

\(f\) 的支集(support)定义为

\[ \mathrm{supp} f:=\left\{x\in {\mathbb{R}^d}\Big| f(x)\neq 0\right\} \]

命题 1.6简单函数积分的性质

\[ \mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)+g(x)\mathrm{d} x=\mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x+\mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} g(x)\mathrm{d} x \]
对 \(c\in [0,+\infty]\)，有

\[ \mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} cf(x)\mathrm{d} x=c\times \mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x \]
\(\mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x\) 有限当且仅当 \(f\) 几乎处处有限且支集测度有限。
\(\mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x=0\) 当且仅当 \(f\) 几乎处处为 \(0\)。
若 \(f\) 和 \(g\) 几乎处处相等，则

\[ \mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x=\mathrm{Simp} \int _{\mathbb{R}^d} g(x)\mathrm{d} x \]
若 \(f\le g\) 几乎处处成立，则

\[ \mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x\le \mathrm{Simp} \int _{\mathbb{R}^d} g(x)\mathrm{d} x \]
对任意 Lebesgue 可测集 \(E\)，

\[ \mathrm{Simp} \int _{\mathbb{R}^d} 1_E(x)\mathrm{d} x=m(E) \]

定义 1.7

称复值简单函数 \(f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}\) 为绝对可积的(absolutely integrable)，若

\[ \text{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} |f(x)| \, \mathrm{d} x < \infty, \]

当 \(f\) 绝对可积时，对于实值有符号函数，其积分 \(\text{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \,\mathrm{d} x\) 定义为：

\[ \text{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, \mathrm{d} x := \text{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f_+(x) \, \mathrm{d} x - \text{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f_-(x) \, \mathrm{d} x, \]

其中 \(f_+(x) := \max(f(x), 0)\) ， \(f_-(x) := \max(-f(x), 0)\)。

对于复值函数，其积分定义为：

\[ \text{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, \mathrm{d} x := \text{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} \operatorname{Re} f(x) \, \mathrm{d} x + i \text{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} \operatorname{Im} f(x) \, \mathrm{d} x. \]

命题 1.8

设 \(f,g:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\) 为绝对可积简单函数。

\[ \mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)+g(x)\mathrm{d} x=\mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x+\mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} g(x)\mathrm{d} x \]
对 \(c\in \mathbb{C}\)，有

\[ \mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} cf(x)\mathrm{d} x=c\times \mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x \]
\[ \mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} \overline{f}(x)\mathrm{d} x=\overline{\mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x} \]
若 \(f\) 和 \(g\) 几乎处处相等，则

\[ \mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x=\mathrm{Simp} \int _{\mathbb{R}^d} g(x)\mathrm{d} x \]

§ 02可测函数

定义 2.1

一个无符号函数 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 称为无符号 Lebesgue 可测的(unsigned Lebesgue measurable)，或者 Lebesgue 可测的，若有一列无符号函数逐点收敛于 \(f\)，即存在无符号简单函数 \(f_1,f_2\cdots:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 满足对任意 \(x\in {\mathbb{R}^d}\)，\(f_n(x)\rightarrow f(x)\)。

虽然这个定义往往无法直接被验证，但是所幸我们有如下等价形式：

引理 2.2

令 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 为无符号函数，则如下命题等价：

\(f\) 是无符号 Lebesgue 可测函数。
存在一列无符号简单函数 \(f_n\) 逐点收敛于 \(f\)。
存在一列无符号简单函数 \(f_n\) 几乎处处逐点收敛于 \(f\)。
\(f(x)=\sup_n f_n(x)\) 为一列不减有界且支集测度有限的无符号简单函数 \(f_n\) 的上确界。
对任意 \(\lambda\in [0,+\infty]\)，\(\left\{x\in {\mathbb{R}^d}\Big| f(x)> \lambda\right\}\) Lebesgue 可测。
对任意 \(\lambda\in [0,+\infty]\)，\(\left\{x\in {\mathbb{R}^d}\Big| f(x)\ge \lambda\right\}\) Lebesgue 可测。
对任意 \(\lambda\in [0,+\infty]\)，\(\left\{x\in {\mathbb{R}^d}\Big| f(x)< \lambda\right\}\) Lebesgue 可测。
对任意 \(\lambda\in [0,+\infty]\)，\(\left\{x\in {\mathbb{R}^d}\Big| f(x)\le \lambda\right\}\) Lebesgue 可测。
对任意区间 \(I\subset [0,+\infty]\)，\(f^{-1}(I):=\left\{x\in {\mathbb{R}^d}\Big| f(x)\in I\right\}\) Lebesgue 可测。
对任意开集 \(U\subset [0,+\infty)\)，\(f^{-1}(U):=\left\{x\in {\mathbb{R}^d}\Big| f(x)\in U\right\}\) Lebesgue 可测。
对任意闭集 \(K\subset [0,+\infty)\)，\(f^{-1}(K):=\left\{x\in {\mathbb{R}^d}\Big| f(x)\in K\right\}\) Lebesgue 可测。

命题 2.3

任意连续函数 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 是可测的。
任意无符号简单函数是可测的。
无符号函数的 \(\sup\)、\(\inf\)、\(\limsup\)、\(\liminf\) 是可测的。
若一个无符号函数与一个无符号可测函数几乎处处相等，则是可测的。
一列无符号可测函数几乎处处逐点收敛于无符号函数 \(f\)，则 \(f\) 是可测的。
若 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 可测，\(\phi:[0,+\infty]\rightarrow [0,+\infty]\) 连续，则 \(\phi\circ f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 可测。
若 \(f,g\) 是无符号可测函数，则 \(f+g\) 和 \(fg\) 是可测的。

习题 2.4

设 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\)，证明 \(f\) 是有界无符号可测函数当且仅当存在一列有界简单函数一致收敛于 \(f\)。

定义 2.5

一个几乎处处有定义的复值函数 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\) 称为 Lebesgue 可测的，若存在一列复值简单函数几乎处处逐点收敛于 \(f\)。

类似的，我们有如下等价形式：

引理 2.6

令 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 为几乎处处有定义的复值函数，则如下命题等价：

\(f\) 是无符号 Lebesgue 可测函数。
存在一列复值简单函数 \(f_n\) 几乎处处逐点收敛于 \(f\)。
\(\Re f\) 与 \(\mathrm{Im}f\) 是无符号可测函数。
对任意开集 \(U\subset \mathbb{C}\)，\(f^{-1}(U):=\left\{x\in {\mathbb{R}^d}\Big| f(x)\in U\right\}\) Lebesgue 可测。
对任意闭集 \(K\subset\mathbb{C}\)，\(f^{-1}(K):=\left\{x\in {\mathbb{R}^d}\Big| f(x)\in K\right\}\) Lebesgue 可测。

命题 2.7

所有连续函数 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\) 是可测的。
\(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\) 是简单的当且仅当 \(f\) 可测且取值有限。
若一个复值函数与一个可测函数几乎处处相等，则是可测的。
一列复值可测函数几乎处处逐点收敛于复值函数 \(f\)，则 \(f\) 是可测的。
若 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\) 可测，\(\phi:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\) 连续，则 \(\phi\circ f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\) 可测。
若 \(f,g\) 是可测函数，则 \(f+g\) 和 \(fg\) 是可测的。

§ 03无符号 Lebesgue 积分

定义 3.1

令 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 为无符号函数，定义无符号 Lebesgue 下积分(lower unsigned Lebesgue integral) 为

\[ \underline{\int _{\mathbb{R}^d}} f(x)\mathrm{d} x:=\sup_{\substack{0\le g\le f\\ g\text{ simple }}}\mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} g(x)\mathrm{d} x \]

同理定义无符号 Lebesgue 上积分(upper unsigned Lebesgue integral) 为

\[ \overline{\int _{\mathbb{R}^d}} f(x)\mathrm{d} x:=\inf_{\substack{h\ge f\\ h\text{ simple }}}\mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} h(x)\mathrm{d} x \]

命题 3.2

令 \(f,g:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 为无符号函数。

若 \(f\) 是简单函数，则

\[ \overline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)\mathrm{d} x=\underline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)\mathrm{d} x=\mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x \]
若 \(f\le g\) 几乎处处成立，则

\[ \underline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)\mathrm{d} x\le \underline{\int _{\mathbb{R}^d}}g(x)\mathrm{d} x\qquad\overline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)\mathrm{d} x\le \overline{\int _{\mathbb{R}^d}}g(x)\mathrm{d} x \]
若 \(c\in [0,+\infty )\)，则

\[ \underline{\int _{\mathbb{R}^d}}cf(x)\mathrm{d} x=c\underline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)\mathrm{d} x \]
若 \(f,g\) 几乎处处相等，则

\[ \underline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)\mathrm{d} x= \underline{\int _{\mathbb{R}^d}}g(x)\mathrm{d} x\qquad\overline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)\mathrm{d} x= \overline{\int _{\mathbb{R}^d}}g(x)\mathrm{d} x \]
\[ \underline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)+g(x)\mathrm{d} x\ge \underline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)\mathrm{d} x+\underline{\int _{\mathbb{R}^d}}g(x)\mathrm{d} x \]
\[ \overline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)+g(x)\mathrm{d} x\le \overline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)\mathrm{d} x+\overline{\int _{\mathbb{R}^d}}g(x)\mathrm{d} x \]
对可测集 \(E\)，有

\[ \underline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)\mathrm{d} x=\underline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)1_E(x)\mathrm{d} x+\underline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)1_{ {\mathbb{R}^d}\setminus E}(x)\mathrm{d} x \]
\[ \lim_{n\rightarrow \infty} \underline{\int_{\mathbb{R}^d}} \min(f(x),n)\mathrm{d} x=\underline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)\mathrm{d} x \]
\[ \lim_{n\rightarrow \infty} \underline{\int_{\mathbb{R}^d}} f(x)1_{\left|x\right|\le n}\mathrm{d} x=\underline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)\mathrm{d} x \]
若 \(f+g\) 是有界简单函数且支集测度有限，则

\[ \mathrm{Simp} \int_{\mathbb{R}^d} f(x)+g(x)\mathrm{d} x= \underline{\int _{\mathbb{R}^d}}f(x)\mathrm{d} x+\overline{\int _{\mathbb{R}^d}}g(x)\mathrm{d} x \]

定义 3.3

若 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 是可测函数，定义其无符号积分为无符号 Lebesgue 下积分 \(\underline{\int_{\mathbb{R}^d}} f(x)\mathrm{d} x\)

命题 3.4

设 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 为有界可测集且支集测度有限，则其上积分与下积分相同。

推论 3.5

令 \(f,g:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 是可测的，则

\[ \int_{\mathbb{R}^d} f(x)+g(x)\mathrm{d} x=\int _{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x+\int _{\mathbb{R}^d} g(x)\mathrm{d} x \]

习题 3.6勒贝格积分的唯一性

证明勒贝格积分 \(f \mapsto \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, dx\) 是唯一一个从可测无符号函数 \(f : \mathbb{R}^d \to [0, +\infty]\) 到 \([0, +\infty]\) 的映射，满足以下性质：

(与简单积分的相容性)若 \(f\) 是简单函数，则

\[ \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, \mathrm{d} x = \text{Simp } \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, \mathrm{d} x. \]
(有限可加性)

\[ \int_{\mathbb{R}^d} (f(x) + g(x)) \, \mathrm{d} x = \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, \mathrm{d} x + \int_{\mathbb{R}^d} g(x) \, \mathrm{d} x. \]
(水平截断)

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^d} \min(f(x), n) \, \mathrm{d} x = \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, \mathrm{d} x. \]
(垂直截断)

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^d} f(x) \cdot \mathbf{1}_{|x| \leq n} \, \mathrm{d} x = \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, \mathrm{d} x. \]

习题 3.7线性变量替换

设 \(f : \mathbb{R}^d \to [0, +\infty]\) 为可测函数，\(T : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\) 为可逆线性变换。证明：

\[ \int_{\mathbb{R}^d} f(T^{-1}(x)) \, \mathrm{d} x = |\det T| \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, \mathrm{d} x, \]

或等价地，

\[ \int_{\mathbb{R}^d} f(Tx) \, \mathrm{d} x = \frac{1}{|\det T|} \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, \mathrm{d} x. \]

引理 3.8Markov 不等式

令 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 是可测的，则对任意 \(0<\lambda<\infty\)，有

\[ m\left(\left\{ x\in {\mathbb{R}^d}\Big| f(x)\ge \lambda\right\}\right)\le \frac{1}{\lambda }\int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x \]

命题 3.9

令 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow [0,+\infty]\) 是可测函数.

\(\int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x<\infty\) 当且仅当 \(f\) 几乎处处有限。
\(\int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x=0\) 当且仅当 \(f\) 几乎处处为 \(0\)。

§ 04绝对可积性

定义 4.1

几乎处处有定义的可测函数 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\) 称为绝对可积的(absolutely integrable)，若

\[ \left\| f\right\|_{L^1({\mathbb{R}^d})}:=\int_{\mathbb{R}^d} \left|f(x)\right|\mathrm{d} x \]

是有限的。\(\|f\|_{L^1(\mathbb{R}^d)}\) 称为 \(f\) 的 \(L^1(\mathbb{R}^d)\) 范数，并用 \(L^1(\mathbb{R}^d)\) 或 \(L^1(\mathbb{R}^d \to \mathbb{C})\) 表示绝对可积函数空间。

若 \(f\) 是实值且绝对可积的，则其勒贝格积分 \(\int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, \mathrm{d} x\) 定义为

\[ \quad \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, \mathrm{d} x := \int_{\mathbb{R}^d} f_+(x) \, \mathrm{d} x - \int_{\mathbb{R}^d} f_-(x) \, \mathrm{d} x, \]

若 \(f\) 是复值且绝对可积的，则其勒贝格积分 \(\int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, \mathrm{d} x\) 定义为

\[ \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, \mathrm{d} x := \int_{\mathbb{R}^d} \operatorname{Re} f(x) \, \mathrm{d} x + i \int_{\mathbb{R}^d} \operatorname{Im} f(x) \, \mathrm{d} x, \]

命题 4.2

设 \(f,g\in L^1({\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C})\)，则

\[ \left\|f+g\right\|_{L^1({\mathbb{R}^d})}\le \left\|f\right\|_{L^1({\mathbb{R}^d})}+\left\|g\right\|_{L^1({\mathbb{R}^d})} \]
\[ \left\|cf\right\|_{L^1({\mathbb{R}^d})}=\left|c\right| \left\|f\right\|_{L^1({\mathbb{R}^d})} \]
\[ \int_{\mathbb{R}^d} f(x)+g(x)\mathrm{d} x=\int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x+\int_{\mathbb{R}^d} g(x)\mathrm{d} x \]
\[ \int_{\mathbb{R}^d} cf(x)\mathrm{d} x =c\int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x \]
\[ \int_{\mathbb{R}^d} \overline{f(x)}\mathrm{d} x=\overline{\int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x} \]

注：若我们在 \(L^1({\mathbb{R}^d})\) 上定义距离 \(d_{L^1}(f,g):=\left\|f-g\right\|_{L^1({\mathbb{R}^d})}\)，则 \((L^1({\mathbb{R}^d}),d)\) 为度量空间。

习题 4.3

设 \(\left\{c_n\right\}_{n\in \mathbb{Z}}\) 是复数列，\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}\) 由下式给出：

\[ f(x):=\sum_{n\in \mathbb{Z}} c_n 1_{[n,n+1)}(x)=c_{\lfloor x\rfloor} \]

证明 \(f\) 绝对可积当且仅当 \(\sum_{n\in \mathbb{Z}}c_n\) 绝对收敛，在该条件下

\[ \int_\mathbb{R} f(x)\mathrm{d} x=\sum_{n\in \mathbb{Z}} c_n \]

习题 4.4

若 \(E,F\) 为 \({\mathbb{R}^d}\) 的不交可测集，且 \(f:E\cup F\rightarrow \mathbb{C}\) 是可测的，证明

\[ \int_Ef(x)\mathrm{d} x=\int_{E\cup F}f(x)1_E(x)\mathrm{d} x \]
\[ \int_E f(x)\mathrm{d} x+\int _F f(x)\mathrm{d} x=\int_{E\cup F} f(x)\mathrm{d} x \]

引理 4.5三角不等式

令 \(f\in L^1({\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C})\)，则

\[ \left|\int_{\mathbb{R}^d} f(x)\mathrm{d} x\right|\le \int_{\mathbb{R}^d} \left|f(x)\right| \mathrm{d} x \]

§ 05小木头三主角

Littlewood 三原则是一组非正式的启发式准则，概括了勒贝格测度论背后的基本直觉。简而言之，这三个原则如下：

每个可测集几乎是一个区间的有限和；
每个绝对可积函数几乎连续；
每个逐点收敛的函数序列几乎一致收敛。

前文给出了第一原则的多种表现形式。现在我们转向第二原则。

定义 5.1

阶梯函数(step function)为长方体 \(B\) 的示性函数 \(\mathbf{1}_B\) 的有限线性组合。

定理 5.2\(L^1\) 函数的逼近

设 \(f \in L^1(\mathbb{R}^d)\) 且 \(\varepsilon > 0\)。

存在绝对可积的简单函数 \(g\)，使得

\[ \|f - g\|_{L^1(\mathbb{R}^d)} \leq \varepsilon. \]
存在阶梯函数 \(g\)，使得

\[ \|f - g\|_{L^1(\mathbb{R}^d)} \leq \varepsilon. \]
存在连续且紧支集的函数 \(g\)，使得

\[ \|f - g\|_{L^1(\mathbb{R}^d)} \leq \varepsilon. \]

定义 5.3

称一列函数 \(f_n:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\) 局部一致(locally uniformly)收敛于 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\)，若对任意有界集 \(E\subset {\mathbb{R}^d}\)，\(f_n\) 在 \(E\) 上一致收敛于 \(f\)。

定理 5.4Egorov 定理

令一列可测函数 \(f_n:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\) 几乎处处逐点收敛于 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\)，对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 Lebesgue 可测集 \(A\)，\(m(A)\le \varepsilon\) 满足 \(f_n\) 在 \({\mathbb{R}^d}\setminus A\) 上局部一致收敛于 \(f\)。

定理 5.5Lusin 定理

令 \(f:{\mathbb{R}^d}\rightarrow \mathbb{C}\) 为绝对可积函数，对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 Lebesgue 可测集 \(E\subset {\mathbb{R}^d}\)，\(m(E)\le \varepsilon\)，满足 \(f\) 在 \({\mathbb{R}^d}\setminus E\) 上连续。

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完