下面我们考虑如何对 \(M\) 上切向量场 \(V\) 求导。
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§ 01\(\mathbb{R}^3\) 中曲面的微分几何
定义 1.1曲面的参数化
一个参数化曲面为一个光滑映射：
\[
\begin{aligned}
\Omega \subseteq \mathbb{R}^2&\stackrel{F}{\rightarrow}M\stackrel{i}{\hookrightarrow}\mathbb{R}^3
\\
\left( \begin{array}{c}
u\\
v\\
\end{array} \right) &\mapsto \left( \begin{array}{c}
x\circ i\circ F(u,v)\\
y\circ i\circ F(u,v)\\
z\circ i\circ F(u,v)\\
\end{array} \right)
\end{aligned}
\]
简单起见，我们记 \(r=i\circ F:\Omega\rightarrow \mathbb{R}^3\)。
考虑参数化曲面(\(\Omega\stackrel{r}{\rightarrow }F\))上的曲线
\[
\begin{aligned}
I&\stackrel{\beta}{\longrightarrow}\Omega\stackrel{r}{\longrightarrow}M\subseteq \mathbb{R}^3
\\
t&\stackrel{\beta}{\mapsto}\left( \begin{array}{c}
u(t)\\
v(t)\\
\end{array} \right)\stackrel{r}{\mapsto}\left( \begin{array}{c}
x\circ r(u,v)\\
y\circ r(u,v)\\
z\circ r(u,v)\\
\end{array} \right)
\end{aligned}
\]
我们有：
\[
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} (r\circ \beta)}{\mathrm{d} t}=&\frac{\mathrm{d} (x\circ r)(u(t),v(t))}{\mathrm{d} t}\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\mathrm{d} (y\circ r)(u(t),v(t))}{\mathrm{d} t}\frac{\partial }{\partial y}+\frac{\mathrm{d} (z\circ r)(u(t),v(t))}{\mathrm{d} t}\frac{\partial }{\partial z}
\\
=&\left(\frac{\partial (x\circ r)(u(t),v(t))}{\partial u}\frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial (x\circ r)(u(t),v(t))}{\partial v}\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}\right)\frac{\partial }{\partial x}
\\
+&\left(\frac{\partial (y\circ r)(u(t),v(t))}{\partial u}\frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial (y\circ r)(u(t),v(t))}{\partial v}\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}\right)\frac{\partial }{\partial y}
\\
+&\left(\frac{\partial (z\circ r)(u(t),v(t))}{\partial u}\frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial (z\circ r)(u(t),v(t))}{\partial v}\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}\right)\frac{\partial }{\partial z}
\\
=&\left(\frac{\partial (x\circ r)(u(t),v(t))}{\partial u}\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial (y\circ r)(u(t),v(t))}{\partial u}\frac{\partial }{\partial y}+\frac{\partial (z\circ r)(u(t),v(t))}{\partial u}\frac{\partial }{\partial z}\right)\frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t}
\\
+&\left(\frac{\partial (x\circ r)(u(t),v(t))}{\partial v}\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial (y\circ r)(u(t),v(t))}{\partial v}\frac{\partial }{\partial y}+\frac{\partial (z\circ r)(u(t),v(t))}{\partial v}\frac{\partial }{\partial z}\right)\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}
\\
(T\mathbb{R}^3\cong \mathbb{R}^3)=&\frac{\partial r(u(t),v(t))}{\partial u}\frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial r(u(t),v(t))}{\partial v}\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}
\\
:=&r_u\frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t}+r_v\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
T_pM=&\left\{\left.\frac{\mathrm{d} (\text{过 } p \text{ 的道路})}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0}\right\}\subseteq T_p\mathbb{R}^3=\mathbb{R}^3
\\
(\text{取特殊的道路 } \beta \text{，通过 } \gamma\circ \beta )=&\mathrm{span}_{\mathbb{R}}\left\{\left.r_u\right|_p,\left.r_v\right|_p\right\}
\end{aligned}
\]
其中
\[
r_u=r_*\frac{\partial }{\partial u},r_v=r_*\frac{\partial }{\partial v},r:\Omega\rightarrow M
\subseteq \mathbb{R}^3
\]
\(M\) 上的度量
\[
\begin{aligned}
&g_{\mathbb{R}^3}=\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} x\otimes \mathrm{d} x+\mathrm{d} y\otimes \mathrm{d} y+\mathrm{d} z\otimes \mathrm{d} z
\\
&\left.g_{\mathbb{R}^3}\right|_M:\Gamma(M,TM)\times \Gamma(M,TM)\rightarrow A^0(M)
\\
&\left.g_{\mathbb{R}^3}\right|_{p\in M}(X_p,Y_p)=g_{\mathbb{R}^3}(X_p,Y_p)
\end{aligned}
\]
取 \(T_pM\) 的基 \(r_u,r_v\)，则 \(g(r_u,r_u)=\left<r_u,r_u\right>,g(r_v,r_v)=\left<r_v,r_v\right>,g(r_u,r_v)=\left<r_u,r_v\right>\)
定义 1.2第 I 基本型
定义参数化曲面 \(r:\Omega\rightarrow M\subseteq \mathbb{R}^3\) 的第 I 基本型为 \(I=\left.g_{\mathbb{R}^3}\right|_M\) 在 \(TM\) 的基 \(r_u,r_v\) 和局部坐标系 \(u,v\) 下(此时 \(r:\Omega\rightarrow M\) 为局部平凡化映射的逆)
\[
\begin{aligned}
I=&\left<r_u,r_u\right>\mathrm{d} u\otimes \mathrm{d} u+\left<r_u,r_u\right>\mathrm{d} u\otimes \mathrm{d} u+\left<r_u,r_v\right>\mathrm{d} u\otimes \mathrm{d} v+\left<r_v,r_u\right>\mathrm{d} v\otimes \mathrm{d} u+\left<r_v,r_v\right>\mathrm{d} v\otimes \mathrm{d} v
\\
:=&\left<r_u\mathrm{d} u+r_v\mathrm{d} v,r_u\mathrm{d} u+r_v\mathrm{d} v\right>_{\mathbb{R}^3}=\left<\mathrm{d} r,\mathrm{d} r\right>_{\mathbb{R}^3}
\end{aligned}
\]
命题 1.3
\(I\) 不依赖于 \(\Omega\) 坐标的选取，即在 \(\Omega\) 的新坐标 \(\left(\tilde{u},\tilde{v}\right)=\phi(u,v)\)，其中 \(\phi\) 是 \(\Omega\rightarrow \Omega\) 的微分同胚，那么
\[
I=\sum_{k,l}\left<r_{u^k},r_{u^l}\right>\mathrm{d} u^k\otimes \mathrm{d} u^l=\phi^*\left(\sum_{k,l}\left<r_{\tilde{u}^k},r_{\tilde{u}^l}\right>\mathrm{d} \tilde{u}^k\otimes \mathrm{d} \tilde{u}^l\right)
\]
证明
\(r,\mathrm{d} r\) 不依赖于 \(\Omega\) 上坐标的选取，故 \(I=r^*g_M\) 不依赖于坐标的选取。
\(r\) 局部浸入，我们有 \(r_u,r_v\) 局部线性无关，故
\[
N(u,v)=\frac{r_u\times r_v}{\left|r_u \times r_v\right|}\in \Gamma(\Omega,r^*T\mathbb{R}^3)
\]
定义 1.4第 II 基本型
参数化曲面 \(r:\Omega\rightarrow M\subseteq \mathbb{R}^3\) 的第 II 基本型为 \(\text{II} =-\left<\mathrm{d} r,\mathrm{d} N\right>_{\mathbb{R}^3}\)
考虑线性映射
\[
\begin{aligned}
b:\Gamma(\Omega,r^*TM)&\rightarrow\Gamma(\Omega,r^*TM)
\\
r_u&\mapsto -N_u
\\
r_v&\mapsto -N_v
\end{aligned}
\]
从而 II \(=-\left<\mathrm{d} r,\mathrm{d} N\right>_{\mathbb{R}^3}=\left<\mathrm{d} r,b(\mathrm{d} r)\right>_{\mathbb{R}^3}\)，其中
\[
b(\mathrm{d} r)=b(\sum_{k=1}^2 r_{u^k}\mathrm{d} u^k)=\sum_{k=1}^2 b(r_{u^k})\mathrm{d} u^k=-\sum_{k=1}^2 N_{u^k}\mathrm{d} u^k=-\mathrm{d} N
\]
有时也称 \(b\) 为第 II 基本型。
命题 1.5
线性映射 \(b\) 为自伴随映射，即在 \(\left<bx,y\right>=\left<x,b^*y\right>\) 中有 \(b^*=b\)
证明
取 \(\Gamma(\Omega,r^*TM)\) 的基 \(r_{u^k},k=1,2\)
\[
LHS=-\left<N_{u^k},r_{u^l}\right>=\left<N,r_{u^lu^k}\right>=\left<N,r_{u^ku^l}\right>=RHS
\]
定义双线性型
\[
\begin{aligned}
B:\Gamma(\Omega,r^*TM)\otimes \Gamma(\Omega,r^*TM)&\rightarrow \mathbb{R}
\\
(X,Y)&\mapsto B(X,Y)=\left<X,bY\right>
\end{aligned}
\]
则 \(b\) 自伴随 \(\Longleftrightarrow\) \(B\) 对称。
定理 1.6
考虑
\[
\kappa_1(p)=\max\limits_{\substack{
X_p\in \left.TM\right|_p
\\
\left|X_p\right|=1
}}B(X_p,X_p),\kappa_2(p)=\min\limits_{\substack{
X_p\in \left.TM\right|_p
\\
\left|X_p\right|=1
}}B(X_p,X_p)
\]
称 \(\kappa_1,\kappa_2\) 为 \(M\) 在 \(p\) 处的主曲率，对应取到极值的向量 \(X_p\) 称为主方向。则
- 最大、最小值可以被取到。
- \(\kappa_1,\kappa_2\) 为映射 \(b\) 的特征值，此时对应的主方向即为所对的特征向量。
- \(\kappa_1\neq \kappa_2\) 时主方向正交。
证明
\(B=U^T \mathrm{diag}\left\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\right\}U\)，其中 \(U\) 为正交阵，\(\lambda_1\le \cdots \le \lambda_n\)，做坐标变换可不妨 \(B(x,x)=\sum \lambda_i x_i^2\)，从而结论显然。
定义 1.7
考虑 \(\Omega\overset{r}{\rightarrow}M\overset{i}{\hookrightarrow}\mathbb{R}^3\) 以及 \(b:\Gamma(\Omega,r^*TM)\rightarrow\Gamma(\Omega,r^*TM)\)。
定义 \(p\) 处的 Gauss 曲率 为 \(\kappa=\det b=\kappa_1\kappa_2\)，平均曲率为 \(H=\mathrm{Tr}b=\kappa_1+\kappa_2\)。
命题 1.8
令 \(b_{kl}=B(r_k,r_l)=\left<r_k,b(r_l)\right>=\left<r_{kl},N\right>\)，\(g_{kl}=\left<r_k,r_l\right>\)，则
\[
\kappa=\frac{\det (b_{kl})}{\det (g_{kl})},H=\sum g^{kl}b_{kl}
\]
下面我们讲介绍高斯绝妙定理(Gauss's theorem egregium)。
对 Gauss 曲面方程 \(\Omega\overset{r}{\rightarrow}M\overset{i}{\hookrightarrow}\mathbb{R}^3\)，考虑正交投影，
\[
\begin{aligned}
r_{jk}&=r_i\Gamma_{jk}^i+\left<r_{jk},N\right>N\qquad r_k=\frac{\partial r}{\partial u_k},r_{kl}=\frac{\partial ^2r}{\partial u^k\partial u^l}
\\
&=r_i\Gamma_{jk}^i+B_{jk}N
\end{aligned}
\]
这给出了 \(\Gamma_{jk}^i\) 的定义。
命题 1.9
\[
\Gamma_{jk}^i=\frac{1}{2}g^{il}(\frac{\partial g_{lk}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{lj}}{\partial u^k}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^l})
\]
其中 \(g_M=\mathrm{d} s^2=\sum g_{jk}\mathrm{d} u^j\otimes \mathrm{d} u^k\)
证明
注意到 \(r_{jk}\) 关于 \(j,k\) 对称，故 \(\Gamma_{jk}^i=\Gamma_{kj}^i\)
考虑
\[
\left<r_{jk},r_l\right>=\left<r_i\Gamma_{jk}^i+B_{jk}N,r_l\right>=g_{il}\Gamma_{jk}^i
\]
\[
\begin{aligned}
\partial_ig_{jk}=\partial_i\left<r_j,r_k\right>=&\left<\partial_ir_j,r_k\right>+\left<r_j,\partial_ir_k\right>
\\
=&\left<r_{ij},r_k\right>+\left<r_{ik},r_j\right>
\\
=&g_{ak}\Gamma^a_{ij}+g_{bj}\Gamma_{ki}^b
\end{aligned}
\]
注意到 \(\partial_ig_{jk}\) 关于 \(j,k\) 对称。对上式中的 \(i,j,k\) 做轮换，有
\[
\begin{aligned}
&\partial_j g_{ki}+\partial_k g_{ij}-\partial_i g_{jk}
\\
=&(g_{ai}\Gamma_{jk}^a+g_{bk}\Gamma_{ij}^b)+(g_{aj}\Gamma_{ki}^a+g_{bi}\Gamma_{jk}^b)-(g_{ak}\Gamma_{ij}^a+g_{bj}\Gamma_{ik}^b)
\\
=&2g_{ai}\Gamma_{jk}^a
\end{aligned}
\]
\[
\Longrightarrow \frac{1}{2}g^{ai}(\partial_j g_{ki}+\partial_k g_{ij}+\partial_i g_{jk})=\Gamma_{jk}^a
\]
可积性条件指的是 \(r_{ijk}\) 与 \(i,j,k\) 顺序无关。
命题 1.10
\[
0=r_{ijk}-r_{ikj}\overset{\text{Gauss 方程}}{=}r_a(R_{ijk}^a-U_{ijk}^a)+V_{ijk}N
\]
其中
\[
\begin{aligned}
&R_{ikj}^a=(\partial_k\Gamma_{ij}^a-\partial_j\Gamma_{ik}^a)+(\Gamma_{kb}^a\Gamma_{ij}^b-\Gamma_{jb}^a\Gamma_{ki}^b)\text{称为 \textbf{Riemann 曲率张量}}
\\
&U^a_{ijk}=B^a_kB_{ij}-B_j^aB_{ik},B_j^i=g^{ik}B_{kj}
\\
&V_{ijk}=\Gamma_{ij}^aB_{ak}+\partial_kB_{ij}-\Gamma_{ik}^aB_{aj}-\partial_jB_{ik}
\end{aligned}
\]
特别的，称 \(R_{ikj}^a=U_{ijk}^a\) 为 Gauss 方程，\(V_{ijk}=0\) 为 Codazzi-Peterson 方程
推论 1.11
\(\Gamma^i_{jk}\) 不是张量，\(R^a_{bkl}\) 是张量，且关于 \(k,l\) 反对称。
证明
为方便记录，在下文中我们约定涉及旧坐标系 \(\left\{ {x}^{i}\right\}\) 的指标均以拉丁字母表示，涉及新坐标系 \(\left\{ {y}^{\alpha }\right\}\) 的指标均以希腊字母表示，采取 Einstein 求和约定,并适当省略计算过程。简记 \({\partial }_{i} \mathrel{\text{:=}} \frac{\partial }{\partial {x}^{i}},{\partial }_{\alpha } \mathrel{\text{:=}} \frac{\partial }{\partial {y}^{\alpha }}\) ,其可由 \({\partial }_{\alpha } = {\partial }_{\alpha }{x}^{j}{\partial }_{j}\) 联系. 记 \(g,\Gamma ,R\) 在新坐标系中的对应分量为
\[
{\widetilde{g}}_{\alpha \beta } \mathrel{\text{:=}} g\left( { {\partial }_{\alpha },{\partial }_{\beta }}\right) ,{\widetilde{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma } \mathrel{\text{:=}} \frac{1}{2}{\widetilde{g}}^{\gamma \delta }\left( { {\partial }_{\alpha }{\widetilde{g}}_{\delta \beta } + {\partial }_{\beta }{\widetilde{g}}_{\delta \alpha } - {\partial }_{\delta }{\widetilde{g}}_{\alpha \beta }}\right) ,{\widetilde{R}}_{\beta \gamma \delta }^{\alpha } \mathrel{\text{:=}} {\partial }_{\gamma }{\widetilde{\Gamma }}_{\beta \delta }^{\alpha } - {\partial }_{\delta }{\widetilde{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha } + {\widetilde{\Gamma }}_{\gamma \varepsilon }^{\alpha }{\widetilde{\Gamma }}_{\beta \delta }^{\varepsilon } - {\widetilde{\Gamma }}_{\delta \varepsilon }^{\alpha }{\widetilde{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\varepsilon }
\]
由 \(g\) 是一个(2,0)-型张量可知 \({\widetilde{g}}_{\alpha \beta } = {\partial }_{\alpha }{x}^{i}{\partial }_{\beta }{x}^{j}{g}_{ij}\) ,左右以 \({\partial }_{\delta } = {\partial }_{\delta }{x}^{k}{\partial }_{k}\) 求导可得
\[
{\partial }_{\delta }{\widetilde{g}}_{\alpha \beta } = {\partial }_{\delta }{\partial }_{\alpha }{x}^{i}{\partial }_{\beta }{x}^{j}{g}_{ij} + {\partial }_{\alpha }{x}^{i}{\partial }_{\delta }{\partial }_{\beta }{x}^{j}{g}_{ij} + {\partial }_{\delta }{x}^{k}{\partial }_{\alpha }{x}^{i}{\partial }_{\beta }{x}^{j}{\partial }_{k}{g}_{ij}.
\]
注意指标轮换, 计算可得
\[
{\partial }_{\alpha }{\widetilde{g}}_{\beta \delta } + {\partial }_{\beta }{\widetilde{g}}_{\delta \alpha } - {\partial }_{\delta }{\widetilde{g}}_{\alpha \beta } = 2{\partial }_{\alpha }{\partial }_{\beta }{x}^{i}{\partial }_{\delta }{x}^{j}{g}_{ij} + {\partial }_{\alpha }{x}^{k}{\partial }_{\beta }{x}^{i}{\partial }_{\delta }{x}^{j}\left( { {\partial }_{k}{g}_{ij} + {\partial }_{i}{g}_{jk} - {\partial }_{j}{g}_{ki}}\right) .
\]
最后两边同乘 \(\frac{1}{2}{\widetilde{g}}^{\gamma \delta } = \frac{1}{2}{\partial }_{l}{y}^{\gamma }{\partial }_{j}{y}^{\delta }{g}^{lj}\) ,由 \({\widetilde{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma } = \frac{1}{2}{\widetilde{g}}^{\gamma \delta }\left( { {\partial }_{\alpha }{\widetilde{g}}_{\beta \delta } + {\partial }_{\beta }{\widetilde{g}}_{\delta \alpha } - {\partial }_{\delta }{\widetilde{g}}_{\alpha \beta }}\right)\) 得
\[
{\widetilde{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma } = {\partial }_{l}{y}^{\gamma }{\partial }_{\alpha }{\partial }_{\beta }{x}^{l} + {\partial }_{l}{y}^{\gamma }{\partial }_{\alpha }{x}^{k}{\partial }_{\beta }{x}^{i}{\Gamma }_{ki}^{l} = \frac{\partial {y}^{\gamma }}{\partial {x}^{i}}\frac{ {\partial }^{2}{x}^{i}}{\partial {y}^{\alpha }\partial {y}^{\beta }} + \frac{\partial {y}^{\gamma }}{\partial {x}^{k}}\frac{\partial {x}^{i}}{\partial {y}^{\alpha }}\frac{\partial {x}^{j}}{\partial {y}^{\beta }}{\Gamma }_{ij}^{k}.
\]
如果 \({\Gamma }_{ij}^{k}\) 为张量分量，则其应只有后一项,易见多出来的一项与 Jacobi 矩阵和 Hesse 矩阵均有关，一般情况下其并不平凡，故 \({\Gamma }_{ij}^{k}\) 不为某张量的分量。
对于 \(R\)，由上得到
\[
\begin{aligned}
{\partial }_{\gamma }{\widetilde{\Gamma }}_{\beta \delta }^{\alpha } &= {\partial }_{\gamma }{x}^{a}{\partial }_{p}\left( { {\partial }_{a}{y}^{\alpha }}\right) {\partial }_{\beta }{\partial }_{\delta }{x}^{p} + {\partial }_{a}{y}^{\alpha }{\partial }_{\beta }{\partial }_{\gamma }{\partial }_{\delta }{x}^{a}
\\
&+ {\partial }_{\gamma }\left( { {\partial }_{a}{y}^{\alpha }{\partial }_{\beta }{x}^{b}{\partial }_{\delta }{x}^{t}}\right) {\Gamma }_{bt}^{a} + {\partial }_{a}{y}^{\alpha }{\partial }_{\beta }{x}^{b}{\partial }_{\gamma }{x}^{k}{\partial }_{\delta }{x}^{l}{\partial }_{k}{\Gamma }_{bl}^{a},
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
{\widetilde{\Gamma }}_{\gamma \varepsilon }^{\alpha }{\widetilde{\Gamma }}_{\beta \delta }^{\varepsilon } &= {\partial }_{a}{y}^{\alpha }{\partial }_{p}\left( { {\partial }_{\gamma }{x}^{a}}\right) {\partial }_{\beta }{\partial }_{\delta }{x}^{p} + {\partial }_{p}{y}^{\alpha }{\partial }_{a}\left( { {\partial }_{\gamma }{x}^{p}}\right) {\partial }_{\beta }{x}^{b}{\partial }_{\delta }{x}^{t}{\Gamma }_{bt}^{a}
\\
&+ {\partial }_{\delta }\left( { {\partial }_{\beta }{x}^{b}}\right) {\partial }_{a}{y}^{\alpha }{\partial }_{\gamma }{x}^{t}{\Gamma }_{tb}^{a} + {\partial }_{a}{y}^{\alpha }{\partial }_{\beta }{x}^{b}{\partial }_{\gamma }{x}^{k}{\partial }_{\delta }{x}^{l}{\Gamma }_{kp}^{a}{\Gamma }_{bl}^{p}.
\end{aligned}
\]
注意指标置换,将上两式代入 \({\widetilde{R}}_{\beta \gamma \delta }^{\alpha } = {\partial }_{\gamma }{\widetilde{\Gamma }}_{\beta \delta }^{\alpha } - {\partial }_{\delta }{\widetilde{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha } + {\widetilde{\Gamma }}_{\gamma \varepsilon }^{\alpha }{\widetilde{\Gamma }}_{\beta \delta }^{\varepsilon } - {\widetilde{\Gamma }}_{\delta \varepsilon }^{\alpha }{\widetilde{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\varepsilon }\) ,由一系列计算可得
\[
{\widetilde{R}}_{\beta \gamma \delta }^{\alpha } = {\partial }_{a}{y}^{\alpha }{\partial }_{\beta }{x}^{b}{\partial }_{\gamma }{x}^{k}{\partial }_{\delta }{x}^{l}{R}_{bkl}^{a} = \frac{\partial {y}^{\alpha }}{\partial {x}^{a}}\frac{\partial {x}^{b}}{\partial {y}^{\beta }}\frac{\partial {x}^{k}}{\partial {y}^{\gamma }}\frac{\partial {x}^{l}}{\partial {y}^{\delta }}{R}_{bkl}^{a}.
\]
故由上式形式知 \({R}_{bkl}^{a}\) 是某张量的分量。
考虑 \(M\overset{i}{\hookrightarrow} \mathbb{R}^3\)，则 \(R_{bkl}^a\overset{\text{Gauss 方程}}{=} B_k^aB_{bl}-B_l^aB_{bk}\) 由 \(\partial \Gamma-\partial \Gamma+\Gamma\Gamma-\Gamma\Gamma\) 给出。
\(\dim M=n=2\) 时，\(R^a_{bkl}\) 中独立的分量之集 \(R_{b12}^a(R^a_{b11}=R^a_{b22}=0,R_{b21}^a=-R_{b12}^a)\)
考虑 \(g^{cb}R^a_{bkl}\) 中独立的分量
\[
\begin{aligned}
g^{2b}R^1_{b12}\overset{\text{Gauss 方程}}{=}&g^{2b}(B^1_1B_{b2}-B^1_2B_{b1})
\\
=&B^1_1B_2^2-B^1_2B_1^2=K
\end{aligned}
\]
定理 1.12高斯绝妙定理
\(K\) 仅与 \(g_M\) 有关，与 \(M\overset{i}{\hookrightarrow} \mathbb{R}^3,r:\Omega\rightarrow M\) 无关。
证明
\(K=g^{2b}R^1_{b12}\)，\(R=\partial \Gamma-\partial \Gamma+\Gamma\Gamma-\Gamma\Gamma\) 仅与 \(\Gamma\) 有关，\(\Gamma=\frac{1}{2}g(\partial g+\partial g-\partial g)\) 仅与 \(g\) 有关，故 \(K\) 仅与 \(g\) 有关。
定义 1.13等距映射
设 \((M,g_M),(N,g_N)\) 为赋予了度量的微分流形，称 \(\phi:M\rightarrow N\) 为等距同构，若
- \(\phi\) 为微分同胚。
- \(\phi^*g_N=g_M(\forall X,Y\in \Gamma(M,TM),g_M(X,Y)=g_N(\phi^*X,\phi^*Y))\)
注：等距映射保持切向量场之间的内积，而不是两点的距离。
于是我们可以如下陈述高斯绝妙定理：\(K\) 在等距同构意义下不变。
定理 1.14Bonnet
若满足 Gauss,Codazzi-Peterson 方程，则局部存在流形 \(M\) 以及度量 \(g_M\) 使得由 \(g_M\) 定义的 \(R\) 满足 Gauss-Codazzi-Peterson 的 \(R\)。
定理 1.15Frenet
给定 \(\kappa(s),\tau(s)\)，存在空间曲线 \(\gamma\) 使得其曲率，挠率分别为 \(\kappa(s),\tau(s)\)。
§ 02高维切向量场的导数
在参数化曲面上，按前文所述，如果要给出 \(r:\Omega\rightarrow M\) 在 \(u_i\) 上的导数，我们需要取出正交投影，而这要求其上有度量结构。我们希望，通过某种方式定义导数而不依赖度量。
定义 2.1
\[
\begin{aligned}
\mathrm{d} :\Gamma(M,TM)\otimes C^{\infty}(M,\mathbb{R})\rightarrow &C^{\infty}(M,\mathbb{R})
\\
(X,f)\mapsto &X(f)=\mathrm{d} f(x):=\mathrm{d}_Xf
\end{aligned}
\]
满足：
- \(\mathrm{d}_Xf\) 关于 \(X\) 线性，满足 \(\mathrm{d}_{gX}f=g\mathrm{d}_Xf\)。
- \(\mathrm{d}_Xf\) 关于 \(f\) 线性。
- \(\mathrm{d}_Xf\) 关于 \(f\) 满足 Leibnitz 法则。
则 \(\mathrm{d}\) 可视为 \(C^{\infty}(M,\mathrm{R})\rightarrow \Gamma(M,TM)^*\otimes C^{\infty}(M,\mathbb{R})\cong \Gamma(M,T^*M)\otimes C^{\infty}(M,\mathbb{R})\)或等价地视为
\[
d\in \Gamma(M,T^*M)\otimes \left\{Map(C^{\infty}(M,\mathbb{R}),C^{\infty}(M,\mathbb{R}))\Big|\text{线性、满足 Leibnitz 法则}\right\}
\]
在局部坐标图 \((U,\varphi,x)\) 取局部 \(\Gamma(M,TM)\) 的基 \(e_k=\frac{\partial }{\partial x^k}\) 与 \(\Gamma(M,TM)^*=\Gamma(M,T^*M)\) 的对偶基 \(\omega^k=\mathrm{d} x^k\)，则
\[
\mathrm{d} =\sum_{k=1}^n\mathrm{d} x^k\otimes \frac{\partial }{\partial x^k}(-)\qquad \mathrm{d}_Xf=\sum_{k=1}^n\mathrm{d} x^k(X)\frac{\partial }{\partial x^k}f
\]
按定义 \(\mathrm{d}\) 不依赖 \(\left\{e_k\right\}\) 及对偶基 \(\left\{\omega^k\right\}\) 的选取。
定义 2.2协变导数
\[
\begin{aligned}
\nabla:\Gamma(M,TM)\otimes \Gamma(M,TM)\rightarrow &\Gamma(M,TM)
\\
(X,V)\mapsto &\nabla_XV
\end{aligned}
\]
称为切向量场 \(V\) 沿 \(X\) 的协变导数，若 \(\nabla\) 满足：
- \(\nabla_XV\) 关于 \(X\) 线性，满足 \(\nabla_{gX}V=g\nabla_XV\)。
- \(\nabla_XV\) 关于 \(V\) 线性。
- \(\nabla_XV\) 关于 \(V\) 满足 Leibnitz：\(\nabla_X(fV)=(\nabla_Xf)V+f\nabla_XV=(\mathrm{d}_Xf)Vf\nabla_XV\)
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