博资考复习资料
概统
概率论
课程
Probability Space and Random Variables
A probability space is a triplet \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) consisting of:
Convergences
参考书：吴昊老师的讲义
Law of Large Numbers
Let \((X_n)_{n\ge 1}\) be i.i.d. random variables with finite mean \(m\) , and set
Central Limit Theorem
For a real random variable \(X\) with law \(\mu\) , its characteristic function is
Conditional Expectation
Theorem Let \(X\in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) and let \(\mathcal{A}\subset\mathcal{F}\) be a sub- \(\sigma\) -field. Then there exists a unique random variable \(Y\) such that:
Markov Chains
A sequence of random variables \(\left\{X_n\right\}\) is a Markov process with state space \(S\) and transition probabilities \(P\) if for all \(n\ge 0\) and all sequences \(x_0,\ldots,x_n,x_{n+1}\in S\) , we have that
GTM295
GTM295 Chapter 8
Exercise 8.1 Consider a population of \(n\) individuals and \(r \in \{1,\ldots,n-1\}\) .
GTM295 Chapter 9
Exercise 9.1
GTM295 Chapter 10
Exercise 10.1 In this exercise, to emphasize the dependence on the underlying probability measure, we speak of convergence in \(\mathbb{P}\) -probability instead of convergence in probability....
GTM295 Chapter 11
Exercise 11.1 (Bayes Formula)
GTM295 Chapter 12
Exercise 12.1 Let \((X_n)_{n\in\mathbb{N}}\) be a sequence of independent real random variables. Set \(S_0=0\) and \(S_n=X_1+\cdots+X_n\) for every \(n\in\mathbb{N}\) , and consider the canonical filtration \((\mathcal{F}_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}\) of the process \((S_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}\) . Prove that:
GTM295 Chapter 13
Exercise 13.1 Let \(E\) and \(F\) be two countable sets and let \(f:E\to F\) be a surjective map. Let \((X_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}\) be a Markov chain on \(E\) with transition matrix \(Q\) . Assume that, for every \(a\in F\) , and every \(x,x'\in E\)...
GTM295 Chapter 14
In Exercises 14.1 to 14.11, \((B_t)_{t\ge0}\) is a one-dimensional Brownian motion with \(B_0=0\) , and \(S_t=\sup\{B_s:0\le s\le t\}\) .
统计
课程
Probability Theory
样本空间(sample space) The set \(S\) of all possible outcomes of a particular experiment is called the sample space.
Transformation and expectation
Transformation Let \(X\) be a random variable with cdf \(F_X(x)\) and pdf (or pmf) \(f_X(x)\) . Let \(Y = g(X)\) , where \(g\) is a one-to-one function, mapping the original sample space of \(X\) , \(\mathcal{X}\) , to a new sam...
Common Families of Distributions
discrete uniform (1,N) distribution
Multiple Random Variables
An \(n\) -dimensional random vector is a function from a sample space \(S\) into \(\mathbb{R}^n\) , \(n\) -dimensional Euclidean space.
Properties of a Random Sample
The random variables \(X_1,\cdots,X_n\) are called a random sample of size \(n\) from the population \(f(x)\) if \(X_1,\cdots,X_n\) are mutually independent and the marginal pdf or pmf of each \(X_i\) is \(f(x)\) . Alternatively, \(X_1,\cdots,X_n\)...
Principles of Data Reduction
A sufficient statistic for a parameter \(\theta\) is a statistic that, in a certain sense, captures all the information about \(\theta\) contained in the sample. Any additional information in the...
Point Estimation
A point estimator is any function \(W(X_1, \cdots, X_n)\) of a sample; that is, any statistic is a point estimator.
Hypothesis Testing
A hypothesis is a statement about a population parameter.
AI 博资考
Deep Learning Crash Course
Transformer 的本质是摒弃了 RNN 的时序递归，用极其暴力的全局矩阵乘法来实现特征交互。 假设输入序列为 \(X \in \mathbb{R}^{n \times d}\) （ \(n\) 是序列长度， \(d\) 是词向量维度）。首先，输入 \(X\) 会乘上三个不同的权重矩阵 \(W^Q, W^K \in \mathbb{R}^{d \times d_k}\) 和 \(W^V \in \mathbb{R}^{d \times d_v}\) ，将特征映射到不同的子空间：
Machine Learning Crash Course
--- 在监督学习中，我们有一个输入空间 \(\mathcal{X}\) （比如图片的像素特征）和一个标签空间 \(\mathcal{Y}\) （比如分类类别）。
Optimization Methods Crash Course
如果函数 \(f(x)\) 是 \(L\) -smoothness 的，意味着它的梯度是 \(L\) -Lipschitz 连续的。对于定义域内的任意 \(x, y\) ，满足： \[||\nabla f(x) - \nabla f(y)|| \le L ||x - y||\] 等价的二阶泰勒展开上限形式：
人工智能博士资格考试复习资料
覆盖机器学习理论、深度学习与强化学习、人工智能中的优化方法和自然语言处理，可用于系统复习、证明训练与历年真题准备。
应用数学博资考
Approximation Interpolation Exercises
Consider the Newton's method for finding a solution \(x_{*}\) to \(f(x)=0\) , where \(f\in C^{2}(a,b)\) , \(x_{*}\in(a,b)\) .
Asymptotic Analysis Exercises
\[u^{\prime\prime}+(\lambda+\epsilon f(x))u=0, \quad 0<x<1\]
Convex Optimization Exercises
\[\max_{x}\langle c,x\rangle \quad \text{s.t.} \quad Ax=b, \quad x\ge0\]
Numerical Algebra Exercises
1: find an upper Hessenberg matrix \(H_{0}\) and a unitary matrix \(U_{0}\) such that \(H_{0}=U_{0}^{H}AU_{0}\) .
Numerical Integration Exercises
--- Assume that \(f\) is a periodic function with period \(2\pi\) . Considering the integration \(I(f)=\int_{0}^{2\pi}f(x)dx\) , prove the following statements on the order of convergence of composite trapezoidal rule...
Numerical Linear Algebra
Metric (度量) \(d(x, y)\) : 定义集合上的距离。映射 \(d: X \times X \to \mathbb{R}_{\ge 0}\) 满足： \(d(x, y) \ge 0\) 且 \(d(x, y) = 0 \iff x = y\) (非负性 & 唯一性) \(d(x, y) = d(y, x)\) (对称性) \(d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)\) (三角不等式)
Numerical Ode Exercises
\[\begin{array}{c|cc}
0 & 0 & \\
1 & 1 & 0 \\
\hline
& 1/2 & 1/2
\end{array}\]
Numerical Pde Exercises
\[u_{m}^{n+1}=\frac{1}{2}(u_{m+1}^{n}+u_{m-1}^{n})-\frac{1}{2}akh^{-3}(u_{m+2}^{n}-2u_{m+1}^{n}+2u_{m-1}^{n}-u_{m-2}^{n}),\]
练习题集
函数逼近与插值练习题
计算与应用数学博士资格考试复习资料
覆盖误差分析、逼近论、非线性问题、线性代数、常微分方程、偏微分方程、渐近分析与优化，可用于系统复习与历年真题准备。
密码学
密码分析学
密码分析学概述
Kerckhoffs 准则 ：密码体制的安全性仅依赖于密钥，其他一切包括算法本身都是公开的。
恩尼格玛密码机的破解
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分组密码的差分分析及相关分析方法
暂无预览
分组密码的线性分析及相关分析方法
暂无预览
积分分析
暂无预览
中间相遇攻击
暂无预览
分组密码的其他攻击方法
暂无预览
分组密码各种分析方法的等价性
暂无预览
区分器的自动化搜索
暂无预览
分组密码工作模式的攻击概述
暂无预览
序列密码的经典安全性分析技术
暂无预览
序列密码的立方攻击
暂无预览
杂凑函数的安全性分析概述
暂无预览
消息认证码的安全性分析概述
暂无预览
侧信道分析概述
暂无预览
附录：算法说明
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PDE 数值解
Chapter0
我们考虑一般形式的二阶PDE：
Chapter1
首先我们给出推广的定义。考虑高维 PDE
习题 1
设 \(\Omega\) 是一个 \(\mathbb{R}^n\) 中具有 Lipschitz 连续边界的有界开集， \(\partial \Omega_D\) 对应 Dirichlet 边界。在 \(\Omega\) 上定义网格，若最大步长 \(h_{max}\) 与最小步长 \(h_{min}\) 满足 \(\frac{h_{max}}{h_{min}}\le C\) ，则称该网格为拟一致网格。特别的若网格为均匀网格，则称该网格为一致网格。
习题 2
试引入适当的无量纲的空间和时间变量，将一维有限区域上均匀介质中无源热流运动在齐次 Dirichlet 边界条件下的初边值问题化为定义在 \((0,1) \times \mathbb{R}_+\) 上的标准形式的模型问题 \((2.2.1) \sim (2.2.3)\) 。
第二章：抛物型方程的有限差分法
我们考虑带有初值和 Dirichlet 边界条件的一维热方程：
第三章：双曲型方程的有限差分法
线性双曲型偏微分方程：输运方程、波动方程、特征线。 线性混合方程：对流扩散方程、拟线性双曲型方程。 双曲守恒律：通量、总变差减小、激波、Godunov 方法、ENO / WENO 格式、黎曼求解器。
第四章：有限元理论与有限元方法
1950s, 美国与德国 ：航空工程与机械工程领域。代表人物：Plantl 和 Coniant。 1950s, 苏联 ：基础数学与 Sobolev 空间。代表人物：Sobolev。 1965, 中国 ：基于变分原理的差分格式。代表人物：冯康（Kang Feng）。 他的十六字方针： 分整为零、裁弯取直、以简驭繁、化难为易 。
PDE 数值解大作业
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凸优化
凸分析
我们只考虑 \(\mathbb{R}^n\) 空间上的优化问题。 所有的向量约定为列向量。 \('\) 表示转置。 \(x'y\) 为 \(\sum_{i=1}^{n}\) 表示 \(x\) 和 \(y\) 的内积。 \(||x||_2 = (x'x)^{1/2}\) 为 \(x\) 的欧几里得范数。
凸多面体
一个 超平面(hyperplane) 是形如 \[H=\left\{ x\Big| a'x=b\right\}\] 的集合，其中 \(a\in \mathbb{R}^n,b\in \mathbb{R}\) 且 \(a\neq 0\) 。
凸优化
对任意 \(f:\mathbb{R}^n\rightarrow [-\infty,+\infty]\) ，其 共轭凸函数(conjugate convex function) 定义为 \[f^*(y)=\sup_{x\in \mathbb{R}^n} (x'y -f(x)), \forall y\in \mathbb{R}^n.\]
几何对偶框架
设 \(M\) 是 \(\mathbb{R}^{n+1}\) 的非空子集。 最小公共点问题(minimum common point problem) ：寻找点 \((x,w)\in M\) 使得 \(w\) 最小化。
凸优化课程作业
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大作业
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物理
经济学
其他
Autograd
Autograd 源码学习系列总览
用过自动微分之后，很自然会想知道：输入仍然是一段普通 Python 程序，梯度究竟是在什么时刻、由哪些对象算出来的？这个系列沿 HIPS/autograd 的实际调用链，把数学里的链式法则接到 Box、primitive、局部 VJP 和运行时状态上。
Autograd 源码学习（一）：自动微分与计算图
会用链式法则，并不意味着已经知道一段 Python 程序如何得到梯度。计算图把这个过程拆成了可以逐步检查的局部操作：先算出值，再沿依赖反向传回贡献。
Autograd 源码学习（二）：JVP、VJP 与两种自动微分模式
上一篇把导数沿计算图传播的过程拆开了。面对向量输入和向量输出，接下来的问题是：我们究竟要得到整个 Jacobian，还是只需要知道它对某个方向的作用？
Autograd 源码学习（三）：从 grad 开始追踪完整调用链
现在已经知道 grad 最终要做一次 VJP 查询，但 grad(f)(3.0) 中还夹着参数适配、装箱、primitive 调用和图节点创建。只看最后两行反向代码，很容易漏掉这些对象是从哪里来的。
Autograd 源码学习（四）：tracer.py 与动态计算图
上一篇已经走完 grad 的调用链，这里把镜头停在 primitive 收到 Box 的时刻。一个普通数值调用，要增加哪些状态，才能让后面的求导继续知道依赖来自哪里？
Autograd 源码学习（五）：Reverse Mode 的核心实现
上一篇已经看到 primitive 如何产生 VJPNode。这里从 forward 留下的 end node 开始，检查局部规则怎样接到输出 seed，又怎样把贡献交给同一个输入。
Autograd 源码学习（六）：NumPy Primitive 与 VJP
通用 reverse engine 已经知道怎样调用 node.vjp(g) ，但它并不知道 sin、exp 或乘法的导数。数学语义来自 NumPy 集成中为每个 primitive 登记的局部规则。
Autograd 源码学习（七）：Broadcasting 的反向传播
上一篇的 binary VJP 总会出现 unbroadcast_f 。即使局部导数的每个数字都算对了，若返回的 shape 不属于原输入空间，整个规则仍然是错的。
Autograd 源码学习（八）：Forward Mode 与 JVPNode
到这里，reverse mode 的保存、等待和反向遍历已经完整了。换成 forward mode 后，tracer 仍然可用，但一个 operation 在创建节点时就已经拿到了所有 parent tangents。
Autograd 源码学习（九）：为什么机器学习偏爱 Reverse Mode
两种模式都能正确使用链式法则，差别在一次查询能得到多少导数信息。机器学习常见的输入是大量参数，输出却只有一个 loss，这个维度关系决定了 reverse mode 的优势。
Autograd 源码学习（十）：高阶自动微分与 Nested Tracing
求完一阶导数后，Autograd 执行过的是一段由 VJP operations 组成的程序。若这段程序本身还能被追踪，就可以继续对它求导。
Autograd 源码学习（十一）：Jacobian、Hessian 与算子组合
有了 JVP、VJP 和 nested tracing，再看 jacobian、hessian、make_hvp，就不需要假设它们各自隐藏着一套求导引擎。它们主要改变查询方向、组织结果，或对导数程序再次求导。
Autograd 源码学习（十二）：Numerical Gradient Checking
源码中的局部规则写得简洁，并不能替代独立验证。有限差分只使用函数值，为 AD 的方向、符号和 shape 提供了另一条检查路线。
Autograd 源码学习（十三）：自定义 Primitive
如果一个计算已经被声明为 primitive，Autograd 就把它当作原子调用。原函数能算出值，并不意味着框架已经知道如何把 cotangent 拉回输入。
Autograd 源码学习（十四）：Mini Autograd：实现与源码对读
最后回到一个可以完整掌握的标量引擎。教材已有的 Mini Autograd 把值、父引用和梯度放在 Value 中，正好可以与 HIPS 中分开的 Box、VJPNode 和 outgrads 对照。