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参考书：梅加强

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注：本文仅作为本人复习笔记，大部分的简单定义并不会给出，不能用作初学者的教材。

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确界定理 设 \(A\subset \mathbb{R}\) 非空，若 \(A\) 有上界，则 \(A\) 有上确界，记为 \(\sup A\)；若 \(A\) 有下界，则 \(A\) 有下确界，记为 \(\inf A\)。

确界的刻画 设 \(A\subset \mathbb{R}\) 非空，若 \(A\) 以 \(\beta\) 为上界，则 \(\beta=\sup A\) 当且仅当对任意正整数 \(n\)，存在 \(a_n\in A\) 满足 \(a_n>\beta-\frac{1}{n}\)；若 \(A\) 以 \(\alpha\) 为下界，则 \(\alpha=\inf A\) 当且仅当对任意正整数 \(n\)，存在 \(a_n\in A\) 满足 \(a_n<\alpha+\frac{1}{n}\)。

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Cauchy列 设 \(\{a_n\}\) 为数列，如果任给 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(N=N(\varepsilon)\)，当 \(m,n>N\) 时，有

\[ |a_m-a_n|<\varepsilon \]

则称 \(\{a_n\}\) 为 Cauchy 列。

Cauchy 准则 数列 \(\{a_n\}\) 收敛当且仅当 \(\{a_n\}\) 为 Cauchy 列。

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区间套 设 \(\{I_n\}\) 为一列区间，如果 \(I_1\supset I_2\supset I_3\supset \cdots\)，则称 \(\{I_n\}\) 为区间套，当 \(\{I_n\}\) 均为闭区间时，称为闭区间套。

闭区间套定理(Cantor) 设 \(\{[a_n,b_n]\}\) 为闭区间套，如果 \(\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0\)，则这些区间有一个唯一的公共点。

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开集 设 \(U\subset \mathbb{R}\)，如果对任意 \(x\in U\)，存在 \(\varepsilon=\varepsilon(x)>0\)，使得 \((x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset U\)，则称 \(U\) 为 \(\mathbb{R}\) 中的开集。

闭集 如果一个集合在 \(\mathbb{R}\) 中的补集是开集，则称该集合为 \(\mathbb{R}\) 中的闭集。

Heine-Borel 设 \(\left\{U_\alpha\right\}_{\alpha \in \Gamma}\) 为 \(\mathbb{R}\) 中的开集族，如果 \([a,b]\subset \bigcup_{\alpha \in \Gamma} U_\alpha\)，则存在有限子集 \(\left\{U_{\alpha_1}, U_{\alpha_2}, \ldots, U_{\alpha_n}\right\}\) 使得 \([a,b]\subset \bigcup_{i=1}^{n} U_{\alpha_i}\)。

Bolzano 有界数列必有收敛子列。

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Heine 设函数 \(f\) 在 \(x_0\) 的一个空心开邻域内有定义，则 \(f\) 在 \(x_0\) 处的极限为 \(\alpha\) 当且仅当对空心开邻域中任何收敛于 \(x_0\) 的数列 \(\{x_n\}\)，都有 \(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\alpha\)。

Cauchy 设 \(f\) 在 \(x_0\) 的空心开邻域中有定义，则 \(f\) 在 \(x_0\) 处有极限当且仅当任给 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得当 \(x,y\in V(x_0,\delta)\) 时，有 \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\)。

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振幅 设 \(f\) 为区间 \(I\) 中的有界函数，记

\[ \omega(f;I)=\sup\left\{|f(x)-f(y)| \Big| x,y\in I\right\} \]

称为 \(f\) 在 \(I\) 中的振幅。设 \(x_0\in I\)，当 \(n\) 为正整数时，记

\[ \omega_n(f;x_0)=\omega\left(f,\left(x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}\right)\cap I\right) \]

显然，数列 \(\left\{\omega_n(f;x_0)\right\}\) 单调递减且有界，其极限记为 \(\omega(f;x_0)\)，称为 \(f\) 在 \(x_0\) 处的振幅。

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最值定理 设 \(f\in C^0[a,b]\)，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 中必定取到最大值和最小值，即存在 \(x_*,x^*\in[a,b]\)，使得

\[ f(x_*)\le f(x)\le f(x^*),\quad \forall x\in[a,b] \]

零值定理 设 \(f\in C^0[a,b]\)，如果 \(f(a)f(b)\le 0\)，则存在 \(\xi \in [a,b]\)，使得 \(f(\xi)=0\)。

介值定理 设 \(f\in C^0[a,b]\)，如果 \(f(a)<\mu <f(b)\)，则存在 \(\xi \in (a,b)\)，使得 \(f(\xi)=\mu\)。

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Cantor 闭区间中的连续函数是一致连续的。

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积分中值定理 设 \(f,g\in C^0[a,b]\)。如果 \(g\) 不变号，则存在 \(\xi\in [a,b]\)，使得

\[ \int_b^a f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi)\int_a^b g(x)\mathrm{d}x \]

Weierstrass 逼近定理 设 \(f\in C^0[a,b]\)，则任给 \(\varepsilon>0\)，存在多项式 \(P(x)\)，使得 \(|P(x)-f(x)|<\varepsilon\) 在 \([a,b]\) 中处处成立。

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4.2.13 设 \(f\in C^0[a,b]\)，如果 \(f\) 在 \((a,b)\) 中左导数存在且恒为零，证明 \(f\) 恒为常数。

证明： 引理： 设 \(f\in C^0[a,b]\)，如果 \(f\) 在 \((a,b)\) 中左导数存在且定号，则 \(f\) 在 \((a,b)\) 上单调。

不妨 \(f'_-(x)>0\)。若不然，存在 \(x_1<x_2\)，使得 \(f(x_1)> f(x_2)\)。考虑

\[ S=\left\{x\in[x_1,x_2]\Big|f(x)\le f(x_2)\right\} \]

则 \(S\) 非空，由 \(f\) 连续得到 \(S\) 是闭集，因而 \(c=\inf S\in S\)。由 \(f(c)\le f(x_2)<f(x_1)\)，故 \(c\in (x_1,x_2]\)。因此

\[ 0<f'_-(c)=\lim_{x\to c^-}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}<0 \]

矛盾！由引理，考虑 \(f+\epsilon x\) 和 \(f-\epsilon x\)，可知 \(f\) 恒为常数。

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Wallis \(I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\mathrm{d}x\)，则 \(I_{2n}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{\pi}{2}\)，\(I_{2n+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\)。

Euler 替换 可以考虑 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+t, tx+\sqrt{c}, t(x-\alpha)\) 换元，其中 \(\alpha\) 为 \(ax^2+bx+c=0\) 的实根。

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4.4.6 设 \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上可微，且满足条件

\[ f'(\frac{x+y}{2})=\frac{f(y)-f(x)}{y-x},\quad \forall x\ne y \]

证明 \(f\) 为次数不超过 2 的多项式。

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4.4.7 设 \(f\) 在 \((0,+\infty)\) 中可导且 \(2f(x)=f(x^2)\)，证明 \(f(x)=c\ln x\)。

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4.4.8 设 \(p,q\) 为连续函数，\(f\) 在 \([a,b]\) 上满足方程 \(f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=0\)，且 \(f(a)=f(b)=0\)，证明 \(f\equiv 0\)。

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Fermat 设 \(x_0\) 是函数 \(f\) 在 \(I\) 中的极值点，如果 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导，且 \(x_0\) 为 \(I\) 的内点，则 \(f'(x_0)=0\)。

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5.1.10 设连续函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 中有唯一的极值点，则该极值点为最值点。

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Darboux 设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可导，则 \(f'\) 可以取到介于 \(f'_+(a)\) 和 \(f'_-(b)\) 之间的任意值。

反函数定理 设 \(f\) 在 \(I\) 中可导，如果 \(f'\) 处处非零，则函数 \(f:I\to f(I)\) 可逆，且其反函数也可导。

Rolle 设 \(f\in C^0[a,b]\)。如果 \(f\) 在 \((a,b)\) 中可导且 \(f(a)=f(b)\)，则存在 \(\xi\in(a,b)\)，使得 \(f'(\xi)=0\)。

Lagrange 设 \(f\in C^0[a,b]\)。如果 \(f\) 在 \((a,b)\) 中可导，则存在 \(\xi\in(a,b)\)，使得

\[ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

Cauchy 设 \(f,g\in C^0[a,b]\) 且在 \((a,b)\) 中可导。如果 \(g'\) 在 \((a,b)\) 中处处非零，则存在 \(\xi \in (a,b)\)，使得

\[ \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

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凸函数 设 \(f\) 为区间 \(I\) 中定义的函数，如果任给 \(a\neq b\in I\) 以及 \(t\in(0,1)\)，都有

\[ f(ta+(1-t)b)\le tf(a)+(1-t)f(b) \]

则称 \(f\) 为 \(I\) 中的凸函数，不等式反号时称为凹函数。

Jensen 设 \(f\) 为区间 \(I\) 中的凸函数，任给 \(\left\{x_i\right\}_{i=1}^{n}\subset I\)，当 \(\lambda_i\ge 0\) 且 \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1\) 时，有

\[ f\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i\right)\le \sum_{i=1}^{n}\lambda_i f(x_i) \]

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Taylor 设 \(f\) 为 \(n\) 阶可导函数，则

\[ \begin{aligned} f(x)&=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n) (x\to x_0) (\text{Peano余项})\\ f(x)&=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\int_{x_0}^{x}f^{(n)}(t)\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{d}t (\text{积分余项})\\ f(x)&=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-x_0)^{n} (\text{Lagrange余项})\\ f(x)&=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n)}(\zeta)}{(n-1)!}(x-\zeta)^{n-1}(x-x_0) (\text{Cauchy余项}) \end{aligned} \]

其中 \(\xi=x_0+\theta(x-x_0),\zeta=x_0+\theta'(x-x_0)\)，且 \(0<\theta,\theta'<1\)。