第四章：有限元理论与有限元方法

0. 简介与历史背景

• 1950s, 美国与德国：航空工程与机械工程领域。代表人物：Plantl 和 Coniant。
• 1950s, 苏联：基础数学与 Sobolev 空间。代表人物：Sobolev。
• 1965, 中国：基于变分原理的差分格式。代表人物：冯康（Kang Feng）。
  • 他的十六字方针：分整为零、裁弯取直、以简驭繁、化难为易。

1. 有限元理论基础

1.1 两个引例

在引入抽象理论前，先考察三种问题的等价性：

1. 线性系统

   • (L) 线性方程组：\(Ax=b\), \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\)；
   • (M) 优化问题：\(\min J(x)=\frac{1}{2}\langle x,Ax\rangle-\langle b,x\rangle\)；
   • (V) 变分问题：\(\langle Ax-b,y\rangle=0\), \(\forall y\in\mathbb{R}^{n}\)。
   • 若 \(A\) 对称正定，则 \((L)\Leftrightarrow(M)\Leftrightarrow(V)\)。

2. 微分方程（1维 Poisson 方程边值问题）

   • (D) 微分方程：

     \[ \begin{cases}-u^{\prime\prime}(x)=f(x), \quad 0<x<1 \\ u(0)=u(1)=0.\end{cases} \]

   • (M) 泛函极值问题：

     \[ \min~J(u)=\frac{1}{2}\langle u^{\prime},u^{\prime}\rangle-\langle f,u\rangle \]

     s.t. \(u\in V:=\{u|u(0)=u(1)=0, u \text{ 满足光滑条件}\}\)。

   • (V) 变分问题：\(\langle u^{\prime},v^{\prime}\rangle=\langle f,v\rangle\), \(\forall v\in V\)。

   • 通常情况下 \((M)\Rightarrow(V)\)，若 \(J\) 正定则 \((V)\Leftrightarrow(M)\)。

这引入了求解 PDE 的三种思路：

• (D) \(\rightarrow\) 有限差分法 (Finite Difference Method)
• (M) \(\rightarrow\) Ritz 方法
• (V) \(\rightarrow\) Galerkin 方法
• (最终) 有限元方法 (FEM)：(Bubnov-) Galerkin 方法 + 分段多项式空间。

1.2 抽象变分问题与微商

许多物理问题可以通过能量极小化原理求解，相应的变分问题是：

抽象变分问题

\[ \text{求 }u\in \mathbb{U},\quad \text{使得 } J(u) = \min_{v\in \mathbb{U}} J(v) \]

其中 \(\mathbb{U}\) 是 Banach 空间 \(\mathbb{V}\) 的一个非空闭子集，\(J:\mathbb{U}\to \mathbb{R}\) 是定义在 \(\mathbb{U}\) 上的能量泛函。特别的，在许多问题中 \(\mathbb{V}\) 是 Hilbert 空间，\(\mathbb{U}\) 是 \(\mathbb{V}\) 的一个闭线性子空间，泛函 \(J\) 具有如下形式：

\[ J(v) = \frac{1}{2} a(v,v) - f(v) \]

其中 \(a(\cdot,\cdot): \mathbb{V}\times \mathbb{V}\to \mathbb{R}\) 是一个双线性形式，\(f:\mathbb{V}\to \mathbb{R}\) 是一个连续的线性泛函。

这类问题一般直接求解，或利用变分问题的 Euler-Lagrange 方程进行求解。两种方法都会用到微商的概念。

Fréchet 微商

\(F\) 称为在 \(x\in \Omega\) 处 Fréchet 可微 的，若存在线性映射 \(A:\mathbb{X}\to \mathbb{Y}\)，使得对任意的 \(\varepsilon >0\)，存在 \(\delta >0\)，当 \(z\in \mathbb{X}\) 满足 \(\|z\|\le \delta\) 时，有

\[ \|F(x+z) - F(x) - Az\|_{\mathbb{Y}} \le \varepsilon \|z\|_{\mathbb{X}} \]

这时称 \(A\) 为 \(F\) 在 \(x\) 处的 Fréchet 微商，记为 \(F'(x)=A\) 或 \(\mathrm{d}F(x)=A\)。如果 \(F'(x)\) 是零映射，则称 \(x\) 为 \(F\) 的驻点。

Gâteaux 微商

\(F\) 称为在 \(x\in \Omega\) 处沿方向 \(z\in \mathbb{X}\) 是 Gâteaux 可微 的，若以下极限存在：

\[ \mathrm{D}F(x;z)=\lim_{t\to 0}\frac{F(x+tz)-F(x)}{t} \]

这时称 \(\mathrm{D}F(x;z)\) 为 \(F\) 在点 \(x\) 处沿方向 \(z\) 的 Gâteaux 微分。若 \(\mathrm{D}F(x;z)\) 关于 \(z\) 是线性的，即存在一个线性映射 \(A:\mathbb{X}\to \mathbb{Y}\)，使得 \(\mathrm{D}F(x;z)=Az\)，则称 \(A\) 是 \(F\) 在点 \(x\) 处的 Gâteaux 微商。

若 Fréchet 可微的函数 \(F\) 在 \(x\) 处取得极小值，则对任意的 \(z\in \mathbb{X}\)，\(F(x+tz)\) 作为 \(t\) 的函数在 \(t=0\) 处也取得极小值，因此有 Euler-Lagrange 方程的弱形式：

\[ F'(x)z=0, \forall z\in \mathbb{X} \]

例

设 \(J=\frac{1}{2}a(v,v)-f(v)\)，且 \(a\) 对称，则

\[ \lim_{t\to 0}\frac{1}{t}(J(u+tv)-J(u)) = a(u,v) - f(v) \]

若 \(J\) 在 \(u\) 处取得极小值，则 \(u\) 满足方程 \(a(u,v)-f(v)=0, \forall v\in \mathbb{U}\)。这建立了 \((M) \Rightarrow (V)\)。 反之，若 \(J\) 满足椭圆性条件（正定性），则 \((V) \Rightarrow (M)\)。

1.3 Lax-Milgram 定理

Lax-Milgram 定理

设 \(\mathbb{V}\) 是 Hilbert 空间，\(a(\cdot,\cdot):\mathbb{V}\times \mathbb{V}\to \mathbb{R}\) 是一个连续的双线性泛函，且满足 \(\mathbb{V}\) 椭圆性条件(也称为 强制性条件)：

\[ \exists \alpha >0, \quad a(v,v)\ge \alpha \|v\|^2, \forall v\in \mathbb{V} \]

设 \(f:\mathbb{V}\to \mathbb{R}\) 是一个连续的线性泛函，则抽象变分问题

\[ \text{求 }u\in \mathbb{V},\quad \text{使得 } a(u,v)=f(v), \forall v\in \mathbb{V} \]

存在唯一解。

证明

由双线性泛函 \(a(\cdot,\cdot)\) 的连续性可知，存在常数 \(M>0\)，使得 \(a(u,v)\le M\|u\|\|v\|\)。 对任意 \(u\in \mathbb{V}\)，由 Riesz 表示定理，存在算子 \(A: \mathbb{V} \to \mathbb{V}\) 使得 \(a(u,v) = \langle Au, v \rangle\)。 同理存在 \(\tau f \in \mathbb{V}\) 使得 \(f(v) = \langle \tau f, v \rangle\)。 原问题等价于求解 \(Au = \tau f\)。 构造迭代 \(u_{k+1} = u_k - \rho (Au_k - \tau f)\)。当 \(0 < \rho < \frac{2\alpha}{M^2}\) 时，映射 \(F(v) = v - \rho(Av - \tau f)\) 是压缩映射。 由 Banach 不动点定理可知存在唯一不动点。

1.4 Sobolev 空间与弱解

1.4.1 弱导数与 Sobolev 空间定义

Poisson 方程的边值问题通常有如下形式：

\[ \begin{cases} -\Delta u=f ,&x\in \Omega\\ u=\bar{u}_0,&x\in \partial \Omega_0\\ \frac{\partial u}{\partial n}+bu=g,&x\in \partial \Omega_1 \end{cases} \]

弱导数 (Weak Derivative)

设 \(u\in \mathbb{L}_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)\)，若存在 \(v_\alpha\in \mathbb{L}_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)\)，使得对任意的 \(\phi\in C_0^\infty(\Omega)\)，有

\[ \int_{\Omega} \phi v_\alpha \mathrm{d}x = (-1)^{|\alpha|} \int_{\Omega} u \partial^\alpha \phi \mathrm{d}x \]

则称 \(v_\alpha\) 为 \(u\) 关于多重指标 \(\alpha\) 的一个 \(\left|\alpha\right|\) 阶 弱导数，记为 \(\partial^\alpha u = v_\alpha\)。

Sobolev 空间

设 \(m\) 为非负整数，\(1\le p\le \infty\)，定义

\[ \mathbb{W}^{m,p}(\Omega)=\left\{u\in \mathbb{L}^p(\Omega): \partial^\alpha u \in \mathbb{L}^p(\Omega), \forall |\alpha|\le m\right\} \]

范数为 \(\|u\|_{m,p,\Omega} = \left( \sum_{|\alpha|\le m} \|\partial^\alpha u\|_{0,p,\Omega}^p \right)^{1/p}\)。 特别地，当 \(p=2\) 时，记 \(\mathbb{H}^m(\Omega) = \mathbb{W}^{m,2}(\Omega)\)，这是一个 Hilbert 空间。 \(\mathbb{H}_0^m(\Omega)\) 定义为 \(C_0^\infty(\Omega)\) 在 \(\mathbb{H}^m(\Omega)\) 中的闭包（即迹为零的函数空间）。

1.4.2 常用不等式与嵌入定理

• Minkowski 不等式：

  \[ \|u+v\|_{0,p,\Omega} \le \|u\|_{0,p,\Omega} + \|v\|_{0,p,\Omega} \]

• Holder 不等式：

  \[ \int_{\Omega} |uv| \mathrm{d}x \le \|u\|_{0,p,\Omega} \|v\|_{0,q,\Omega}, \quad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \]

• Cauchy-Schwarz 不等式：当 \(p=q=2\) 时。

  \[ \int_{\Omega} |uv| \mathrm{d}x \le \|u\|_{0,2,\Omega} \|v\|_{0,2,\Omega} \]

• Poincaré-Friedrichs 不等式：

  \[ \exists \alpha >0 \text{ s.t. } a(v,v)\ge \alpha \|v\|_{1,2}^2, \forall v\in H_0^1(\Omega). \]

  这保证了 \(a(\cdot,\cdot)\) 在 \(H_0^1\) 上的椭圆性。

• 迹定理 (Trace Theorem)： 对于 \(H^1(\Omega)\) 中的函数，虽然其在边界 \(\partial \Omega\)（测度为0）上无经典定义，但可定义迹算子 \(\nu: H^1(\Omega) \to L^2(\partial \Omega)\)，且该算子连续（紧）。即 \(H^1(\Omega) \hookrightarrow L^2(\partial \Omega)\)。

1.5 椭圆边值问题的变分形式

1.5.1 Dirichlet 边值问题

考虑 (D1): \(\begin{cases}-\Delta u=f,&x\in\Omega,\\ u=\bar{u}_{0},&x\in\partial\Omega.\end{cases}\)

由 Green 公式 \(\int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v~dx=\int_{\partial\Omega}v\frac{\partial u}{\partial n}dx+\int_{\Omega}vf~dx\)，取 \(v \in C_0^\infty(\Omega)\)，边界项消失。

Dirichlet 问题的弱解

定义试探空间 \(\mathbb{V}(\bar{u}_0;\Omega)=\{u\in H^1(\Omega) | u|_{\partial\Omega} = \bar{u}_0\}\)，检验空间 \(H_0^1(\Omega)\)。 若 \(u\in \mathbb{V}(\bar{u}_0;\Omega)\) 满足：

\[ a(u,v) := \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{d}x = \int_{\Omega} f v \mathrm{d}x, \quad \forall v\in H_0^1(\Omega) \]

则称 \(u\) 为弱解。

存在唯一性

由 Lax-Milgram 定理及 Poincaré 不等式，若 \(\bar{u}_0\) 可延拓至 \(H^1\) 且边界光滑，则弱解存在且唯一。

1.5.2 Neumann 边值问题

考虑 (D2): \(\begin{cases}-\Delta u=f,&x\in\Omega,\\ \frac{\partial u}{\partial n}=g,&x\in\partial\Omega.\end{cases}\)

Neumann 问题的弱解

求 \(u\in H^1(\Omega)\)，使得

\[ a(u,v) = (f,v) + (g,v)_{\partial \Omega}, \quad \forall v\in H^1(\Omega) \]

其中 \((g,v)_{\partial \Omega} = \int_{\partial \Omega} gv ds\)。

• 注意：Dirichlet 边界是强制边界条件（定义在空间中），Neumann 边界是自然边界条件（包含在变分方程中）。
• 唯一性：Neumann 问题解不唯一（相差常数）。若限制在空间 \(\mathbb{V}_0=\{v\in H^1(\Omega) | \int_\Omega v dx = 0\}\) 中，则解唯一。

2. 有限元方法 (FEM)

2.1 Ritz 与 Galerkin 方法

对于变分问题：求 \(u\in V\)，使得 \(a(u,v)=(f,v), \forall v\in V\)。

• Ritz 方法（基于极小化）：在有限维子空间 \(V_h \subset V\) 中寻找 \(u_h\)，使得 \(J(u_h) = \min_{v_h \in V_h} J(v_h)\)。

• Galerkin 方法（基于正交化）：在有限维子空间 \(V_h \subset V\) 中寻找 \(u_h\)，使得

  \[ a(u_h, v_h) = (f, v_h), \quad \forall v_h \in V_h \]

设 \(V_h = \text{span}\{\varphi_1, \dots, \varphi_{N_h}\}\)，令 \(u_h = \sum_{j=1}^{N_h} U_j \varphi_j\)。代入 Galerkin 方程，取 \(v_h = \varphi_i\)，得线性方程组：

\[ \sum_{j=1}^{N_h} a(\varphi_j, \varphi_i) U_j = (f, \varphi_i), \quad i=1,\dots,N_h \]

即 \(KU=F\)，其中： * \(K_{ij} = a(\varphi_j, \varphi_i)\) 为刚度矩阵（Stiffness Matrix）。 * \(F_i = (f, \varphi_i)\) 为载荷向量（Load Vector）。

2.2 有限元空间的构造

FEM 的核心在于构造具有局部支集的基函数 \(\varphi_i\)，使得 \(K\) 稀疏。

2.2.1 一维 Lagrange 单元

对于 \(\Omega=(0,1)\)，剖分为 \(0=x_0 < x_1 < \dots < x_N=1\)。 定义“帽函数”（Hat functions）\(\varphi_i(x)\)：

\[ \varphi_{i}(x)=\begin{cases}\frac{x-x_{i-1}}{h},&x_{i-1}\le x\le x_{i},\\ \frac{x_{i+1}-x}{h},&x_{i}\le x\le x_{i+1},\\ 0,&\text{otherwise}.\end{cases} \]

此时刚度矩阵 \(K\) 为三对角矩阵：\(K=\frac{1}{h}\text{tridiag}(-1, 2, -1)\)。

2.2.2 二维三角剖分与重心坐标

将 \(\Omega\) 剖分为三角形集合 \(\mathcal{T}_h=\{T_e\}\)。 在每个单元 \(T_e\) 上，线性基函数 \(\lambda_\alpha^e\) (\(\alpha=1,2,3\)) 由重心坐标（Barycentric coordinates）给出。

• 重心坐标性质：\(\lambda_i(A_j) = \delta_{ij}\)，且 \(\sum \lambda_i = 1\)。

• 刚度矩阵计算转化为单元上的积分：

  \[ k_{ij} = \sum_{e} \int_{T_e} \nabla \varphi_j \cdot \nabla \varphi_i dx \]

  仅当节点 \(i, j\) 属于同一单元时，积分非零。

2.2.3 刚度矩阵计算算法（仿射变换法）

实际计算中，利用参考单元 \(T_{ref}\)（顶点 \((0,0), (1,0), (0,1)\)）和仿射变换 \(L_e: T_{ref} \to T_e\)。

\[ x = L_e(\hat{x}) = A_e \hat{x} + a_e \]

单元刚度矩阵计算公式：

\[ K^e = \int_{T_{ref}} (\nabla_{\hat{x}} \lambda^S) A_e^{-1} (A_e^{-1})^T (\nabla_{\hat{x}} \lambda^S)^T |\det A_e| d\hat{x} \]

其中 \(A_e\) 为雅可比矩阵。这种方法将所有积分转化到固定的参考单元上进行，便于编程实现。

算法流程：

1. 初始化 \(K=0, F=0\)。
2. 循环遍历每个单元 \(e=1 \dots M\)：
   • 计算单元刚度矩阵 \(K^e\) 和单元载荷向量 \(F^e\)。
   • 将 \(K^e, F^e\) 累加到全局矩阵 \(K, F\) 的对应位置（Assembly）。
3. 处理边界条件。
4. 求解 \(KU=F\)。

2.3 一般有限元定义与实例

有限元三要素 \((K, P_K, \Sigma_K)\)

• \(K\)：几何单元（三角形、四边形、四面体等）。
• \(P_K\)：单元上的函数空间（通常为多项式空间，如 \(\mathbb{P}_k\) 或 \(\mathbb{Q}_k\)）。
• \(\Sigma_K\)：自由度集合（Degrees of Freedom, DOFs），其为 \(P_K\) 的对偶基。

2.3.1 Lagrange 单元（单纯形）

• \(K\) 为三角形，\(\Sigma_K\) 为点值。
• \(k=1\)：\(\mathbb{P}_1\)，节点为顶点。
• \(k=2\)：\(\mathbb{P}_2\)，节点为顶点+边中点。

2.3.2 矩形单元（张量积结构）

• \(K\) 为矩形。
• \(\mathbb{Q}_1\) 单元（双线性）：\(span\{1, x, y, xy\}\)，节点为4个顶点。
• \(\mathbb{Q}_2\) 单元（双二次）：节点为9个（顶点+边中点+中心）。

2.3.3 Hermite 型有限元与 \(C^1\) 单元

为了解决四阶方程（如板弯曲问题），需要 \(C^1\) 连续性。

• Argyris 三角形：\(P_K = \mathbb{P}_5\)（21个自由度）。自由度包括：顶点函数值、一阶导、二阶导，以及边法向导数。
• Bogner-Fox-Schmidt 矩形：\(P_K = \mathbb{Q}_3\)（16个自由度）。自由度包括：顶点值、\(\partial_x, \partial_y, \partial_{xy}\)。

3. 有限元误差分析

3.1 Céa 引理

Céa 引理

设 \(u\) 为变分问题解，\(u_h\) 为有限元解。若 \(a(\cdot,\cdot)\) 满足连续性和椭圆性，则存在常数 \(C\)，使得

\[ \|u-u_h\|_V \le C \inf_{v_h\in \mathbb{V}_h} \|u-v_h\|_V \]

特别地，若 \(a\) 对称，则 \(u_h\) 是 \(u\) 在能量范数 \(\|\cdot\|_a\) 下的最佳逼近，即 \(\|u-u_h\|_a = \inf_{v_h\in V_h} \|u-v_h\|_a\)。

这意味着 FEM 的误差估计转化为插值误差估计。

3.2 插值误差估计

Sobolev 插值定理

设 \(u\in H^{r+1}(\Omega)\)，\(\Pi_h u\) 为 \(k\) 次分段多项式插值（\(k \le r\)），且剖分满足正则性条件（Regularity assumption），则：

\[ \|u-\Pi_h u\|_{H^m} \le C h^{r+1-m} |u|_{H^{r+1}}, \quad 0 \le m \le r \]

结合 Céa 引理（取 \(m=1\)），可得能量范数误差：

\[ \|u-u_h\|_{H^1} \le C h^k |u|_{H^{k+1}} \]

对于线性元 (\(k=1\))：\(\|u-u_h\|_{H^1} = O(h)\)。

3.3 \(L^2\) 范数误差估计 (Aubin-Nitsche 对偶技巧)

Céa 引理只能给出 \(H^1\) 范数下的最佳逼近。由插值定理知 \(\|u-\Pi_h u\|_{L^2} = O(h^{k+1})\)，但直接推导只能得到 \(\|u-u_h\|_{L^2} \le \|u-u_h\|_{H^1} = O(h^k)\)，这并非最优。

利用 Aubin-Nitsche 对偶技巧 可证明最优 \(L^2\) 估计：

引入对偶问题：求 \(\varphi \in V\)，使得

\[ a(v, \varphi) = (e, v), \quad \forall v \in V \]

其中 \(e = u - u_h\)。假设对偶问题满足 \(H^2\) 正则性，即 \(\|\varphi\|_{H^2} \le C \|e\|_{L^2}\)。 则：

\[ \|e\|_{L^2}^2 = (e, e) = a(e, \varphi) = a(e, \varphi - \Pi_h \varphi) \]

利用 Galerkin 正交性 \(a(e, v_h)=0\)。

\[ \le M \|e\|_{H^1} \|\varphi - \Pi_h \varphi\|_{H^1} \le M (Ch^k |u|_{H^{k+1}}) (Ch |\varphi|_{H^2}) \le C h^{k+1} |u|_{H^{k+1}} \|e\|_{L^2} \]

消去 \(\|e\|_{L^2}\) 得：

\[ \|u-u_h\|_{L^2} \le C h^{k+1} |u|_{H^{k+1}} \]

对于线性元 (\(k=1\))：\(\|u-u_h\|_{L^2} = O(h^2)\)。

3.2 插值定理的详细证明（补充）

在上一节中我们给出了插值误差的结论，这里根据讲义补充定理 7（插值定理）的详细证明。

定理 7 (插值定理)

设 \(u\in H^{r+1}(\Omega)\)，\(\Pi_h u|_K \in \mathbb{P}_r(K)\)，且网格剖分 \(K\) 是“正则”的。则对于满足 \(\Pi_h u(A_i)=u(A_i)\) 的插值函数，有：

\[ \|u-\Pi_h u\|_{H^m} \le C h^{r+1-m} |u|_{H^{r+1}}, \quad m=0,\dots,r \]

其中 \(|v|_{H^m} := (\sum_{|\alpha|=m} \int |D^\alpha v|^2 dx)^{1/2}\) 是半范数。

证明

1. 一维情形 (\(\mathbb{R}^1\)) 且 \(r=1\) 的证明：

设 \(e = u - \Pi_h u\)，节点为 \(x_0 < x_1 < \dots < x_N\)。 由于是线性插值，我们在节点处有 \(e(x_j) = 0\)。根据 Rolle 定理，存在 \(\xi_j \in (x_{j-1}, x_j)\) 使得 \(e'(\xi_j) = 0\)。

对于任意 \(x \in [x_{j-1}, x_j]\)，由微积分基本定理：

\[ e'(x) = \int_{\xi_j}^x e''(s) ds \]

注意到 \(\Pi_h u\) 在单元上是线性的，故 \((\Pi_h u)'' = 0\)，因此 \(e''(s) = u''(s)\)。于是：

\[ e'(x) = \int_{\xi_j}^x u''(s) ds \]

两边取平方并利用 Cauchy-Schwarz 不等式：

\[ |e'(x)|^2 \le \left( \int_{x_{j-1}}^{x_j} 1^2 ds \right) \left( \int_{x_{j-1}}^{x_j} |u''(s)|^2 ds \right) = h \int_{x_{j-1}}^{x_j} |u''(s)|^2 ds \]

对上式在 \([x_{j-1}, x_j]\) 上积分：

\[ \int_{x_{j-1}}^{x_j} |e'(x)|^2 dx = h \cdot |e'(\tilde{x})|^2 \le h^2 \int_{x_{j-1}}^{x_j} |u''(s)|^2 ds \]

这就证明了半范数估计：

\[ \|e'\|_{L^2}^2 \le h^2 \|u''\|_{L^2}^2 \implies |e|_{H^1} \le h |u|_{H^2} \]

接下来估计 \(L^2\) 误差。由于 \(e(x_j)=0\)，有 \(e(x) = \int_{x_{j-1}}^x e'(s) ds\)。

\[ |e(x)|^2 \le \left( \int_{x_{j-1}}^{x_j} |e'(s)| ds \right)^2 \le h \int_{x_{j-1}}^{x_j} |e'(s)|^2 ds \]

将之前 \(|e'|^2\) 的界代入：

\[ |e(x)|^2 \le h \cdot (h^2 \int_{x_{j-1}}^{x_j} |u''(s)|^2 ds) = h^3 \int_{x_{j-1}}^{x_j} |u''(s)|^2 ds \]

再次在单元上积分：

\[ \int_{x_{j-1}}^{x_j} |e(x)|^2 dx \le h^4 \int_{x_{j-1}}^{x_j} |u''(s)|^2 ds \]

这就证明了：

\[ \|e\|_{L^2} \le h^2 |u|_{H^2} \]

2. 二维情形 (\(\mathbb{R}^2\)) 且 \(r=1\) 的证明思路：

设 \(h_K\) 为单元 \(K\) 的最长边，\(\rho_K\) 为 \(K\) 的内切圆直径。 若存在 \(\beta > 0\) 使得 \(\rho_K / h_K \ge \beta, \forall K\)，则称网格是“正则”的。 对于 \(u \in H^2\)，\(\Pi_h u|_K \in \mathbb{P}_1(K)\)，可以证明点态误差估计：

\[ \max_{x\in K} |u - \Pi_h u| \le 2 h^2 \max_{|\alpha|=2} |D^\alpha u| \]

\[ \max_{x\in K} |D^\alpha(u - \Pi_h u)| \le 6 \frac{h^2}{\rho_K} \max_{|\alpha|=2} |D^\alpha u| \]

通过积分可得：

\[ \|u - \Pi_h u\|_{L^2} \le C h^2 |u|_{H^2} \]

\[ |u - \Pi_h u|_{H^1} \le C h |u|_{H^2} \]

这就完成了定理 7 的证明。因此，若 \(u\) 越光滑（\(r\) 越大），有限元解的收敛阶越高。

3.4 负范数误差估计 (Negative Norm Estimate)

除了通常的 \(H^1\) 和 \(L^2\) 误差估计外，我们还可以考虑更弱的范数下的误差，即负范数误差。

负范数

定义 \(H^{-r}\) 范数为：

\[ \|u\|_{H^{-r}} := \sup_{0\ne v \in H^r} \frac{\langle u, v \rangle}{\|v\|_{H^r}} = \sup_{\|v\|_{H^r}=1} \langle u, v \rangle \]

我们继续使用 Aubin-Nitsche 对偶技巧来推导。 考虑对偶问题：

\[ \begin{cases} -\Delta \varphi = \phi, & x \in \Omega \\ \varphi = 0, & x \in \partial \Omega \end{cases} \]

对于任意 \(\phi \in H^r\)，根据高阶椭圆正则性，有 \(\|\varphi\|_{H^{r+2}} \le C \|\phi\|_{H^r}\)。

令 \(e = u - u_h\)。对于任意 \(\phi \in H^r\)，我们有：

\[ \langle e, \phi \rangle = a(e, \varphi) \]

利用 Galerkin 正交性 \(a(e, \Pi_h \varphi) = 0\)（注意这里 \(\Pi_h \varphi \in V_h\)）：

\[ \langle e, \phi \rangle = a(e, \varphi - \Pi_h \varphi) \]

利用 Cauchy-Schwarz 不等式和插值误差估计：

\[ \begin{aligned} \langle e, \phi \rangle &\le \|e\|_{H^1} \cdot \|\varphi - \Pi_h \varphi\|_{H^1} \\ &\le \|e\|_{H^1} \cdot (C h^{r+1} |\varphi|_{H^{r+2}}) \\ &\le \|e\|_{H^1} \cdot C h^{r+1} \|\varphi\|_{H^{r+2}} \\ &\le \|e\|_{H^1} \cdot C h^{r+1} \|\phi\|_{H^r} \end{aligned} \]

最后一步用到了正则性估计。 将 \(\|\phi\|_{H^r}\) 除到左边，并取上确界：

\[ \|e\|_{H^{-r}} = \sup_{0\ne \phi \in H^r} \frac{\langle e, \phi \rangle}{\|\phi\|_{H^r}} \le C h^{r+1} \|e\|_{H^1} \]

如果我们已知 \(\|e\|_{H^1} \le C h^k |u|_{H^{k+1}}\)（假设使用 \(k\) 次多项式单元），那么：

\[ \|u - u_h\|_{H^{-r}} = O(h^{k+r+1}) \]

这表明在负范数意义下，有限元解具有更高的收敛阶。