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第零章:基本定义

二阶PDE的分类

我们考虑一般形式的二阶PDE：

\[ \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)u_{x_ix_j}+\sum_{i=1}^{n}b_i(x)u_{x_i}+c(x)u=f(x) \]

其中 \(u=u(x_1,\cdots,x_n)\) 是未知解，\(a_{ij},b_i,c,f\) 为 \(x=(x_1,\cdots,x_n)\) 的已知函数，且 \(a_{ij}=a_{ji}\)。设 \(A=[a_{ij}]^n_{i,j=1}\)，则 PDE 通过 \(A\) 分为如下几类：

定义

  • 若 \(A\) 的特征值符号为 \(\{+,+,\cdots,+\}\) 或 \(\{-,-,\cdots,-\}\)，则称为 椭圆型(elliptic) PDE。
  • 若 \(A\) 的特征值符号为 \(\{+,+,\cdots,+,0\}\) 或 \(\{-,-,\cdots,-,0\}\)，则称为 抛物型(parabolic) PDE。
  • 若 \(A\) 的特征值符号为 \(\{+,+,\cdots,+,-\}\) 或 \(\{-,-,\cdots,-,+\}\)，则称为 双曲型(hyperbolic) PDE。

考虑 \(n=2\) 与 \(u=u(x,y)\)，则 PDE 可写成

$$au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_x+eu_y+fu=g $$我们有

\[ \|A\|=ac-b^2=\begin{cases} >0 \quad &\text{elliptic}\\ =0 &\text{parabolic}\\ <0 &\text{hyperbolic} \end{cases} \]

为了简化书写，我们定义如下记号：

定义

  • 对 \(f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}\)，定义 \(\nabla f=\text{grad} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^T\)
  • 对 \(F:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n\)，定义 \(\nabla \cdot F=\text{div} F=\sum_{i=1}^n \frac{\partial F_i}{\partial x_i}\)
  • 对 \(f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}\)，定义 \(\Delta f =\nabla \cdot \nabla f=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\)

Elliptic

考虑带边界条件的一般形式 $$ \begin{cases} \mathcal{L}u=f, \quad x \in \Omega \\ u=g, \quad x \in \partial \Omega \end{cases} $$

其中 \(\mathcal{L}\) 是椭圆型算子。进一步的例子有 \(\Delta u=0,x\in \Omega\)(Laplace 方程)，\(\Delta u=f,x\in \Omega\)(Poisson 方程)。

Parabolic

考虑带边界条件的一般形式

\[ \begin{cases} u_t=\mathcal{L}u+f,\\ u|_{t=0}=u_0,\\ u|_{x\in \partial \Omega}=g \end{cases} \]

其中 \(\mathcal{L}\) 是椭圆型算子。进一步的例子有 \(u_t=\beta\Delta u+f\)(热方程)。

Hyperbolic

考虑带边界条件的一般形式

\[ \begin{cases} u_{tt}=\mathcal{L}u+f,\\ u|_{t=0}=u_0,u_t|_{t=0}=\hat{u}_0,\\ u|_{x\in \partial \Omega}=g \end{cases} \]

其中 \(\mathcal{L}\) 是椭圆型算子。进一步的例子有 \(u_{tt}=c^2\Delta u+f\)(波动方程)。

下面我们介绍另一种分类方法。

设 \(\vec{u}(t,x):\mathbb{R}\times \mathbb{R}^m\) 且 \(\vec{u}_t+A\vec{u}_x=\vec{F},A\in \mathbb{R}^{m\times m}\)。

定义

  • 若 \(A\) 无实特征值，则称为 椭圆型(elliptic) PDE。
  • 若 \(A\) 有 \(m\) 个互不相同的实特征向量和 \(m\) 个实特征值，即可对角化，则称为 双曲型( hyperbolic) PDE。
  • 若 \(A\) 有 \(m\) 个互不相同的实特征值，则称为 严格双曲型(strictly hyperbolic) PDE。

事实上我们可以从物理角度考虑，视 \(u(x,t)\) 为密度函数，由如下方式改变 \(u\):

$$\begin{cases} \text{flux: }F,\\ \text{source: }G, \end{cases} $$则 \(u_t+F_x=G\)。于是有如下三种有物理意义的例子：

例子

  • Advection：若 \(F=au\)，\(G=0\)，则 \(u_t+au_x=0\)。
  • Diffusion：若 \(F=-\beta u_x\)，\(G=0\)，则 \(u_t=\beta u_{xx}\)。
  • Steady：若 \(F=-\beta u_x\)，\(G\neq 0\)，\(u_t\rightarrow 0(t\rightarrow \infty)\)，则 \(-\beta u_{xx}=G\)。

Fourier 分析

回忆，我们有

命题

  • 对 \(e^{i\xi x}\)，有 \(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}e^{i\xi x}=i\xi e^{i\xi x}\)。
  • 定义 \(D_hV_j:=\frac{1}{2h}(V_{j+1}-V_{j-1})\) 是定义在 \(\{V_j\}\) 上的算子。对 \(\omega_j=e^{ijh\xi}\)，\(D_h\omega_j=\frac{1}{2h}(\omega_{j+1}-\omega_{j-1})=\frac{1}{h}\sin(h\xi )\omega_j\).

于是我们可以将 \(e^{i\xi x}\) 视作 \(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\) 与 \(D_h\) 的特征函数。

定义

设 \(V(x)\in L^2(\mathbb{R})\)，即 \(|V|^2_{L^2}=\int_\mathbb{R} |V(x)|^2\mathrm{d} x<\infty\) ，则 Fourier 变换(Fourier Transformation) 定义为 $$ \mathcal{F}(V(x))=\hat{V}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R} V(x)e^{-i\xi x}\mathrm{d} x $$ 反过来，\(\hat{V}(\xi )\) 有逆 Fourier 变换： $$ \mathcal{F}^{-1}(\hat{V}(\xi))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R} \hat{V}(\xi )e^{i\xi x}\mathrm{d} \xi =V(x) $$

Theorem: Parseval equation

\[ \|V(x)\|_{L^2}=\|\hat{V}(\xi)\|_{L^2} \]

我们可以将其运用到 PDE 中。

对 \(u(x,t)\in L^2(\mathbb{R})\)，则 \(u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_\mathbb{R} \hat{u}(\xi,t)e^{i\xi x}\mathrm{d} \xi\)，则

\[ \begin{cases} u_t(t,x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R} \hat{u}(\xi ,t)e^{i\xi x}\mathrm{d} \xi\\ u_x(t,x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R} i\xi \hat{u}(\xi ,t)e^{i\xi x}\mathrm{d} \xi \end{cases} \]

例子：Advection 方程

对于 Advection 方程 $$ \begin{cases} u_t+au_x=0\ u(x,0)=\eta(x)\ \end{cases} $$ 由 FT 得 \(\hat{u}_t+a\cdot i\xi \hat{u}=0\)。解 ODE 得 \(\hat{u}(\xi ,t)=e^{-i\xi at}\hat{\eta}(\xi )\) 再用 IFT 得 $$ u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R} \hat{u}(\xi ,t)e^{i\xi x}\mathrm{d}\xi=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R} e^{i\xi (x-at)}\hat{\eta}(\xi )\mathrm{d} \xi=\eta(x-at) $$

例子：热方程

对于热方程 $$ \begin{cases} u_t=\beta u_{xx}\\ u(x,0)=\eta(x) \end{cases} $$ 由 FT 得 \(\hat{u}_t=-\beta \xi^2\hat{u}\)。解 ODE 得 \(\hat{u}(\xi,t)=e^{-\beta \xi^2t}\hat{\eta}(\xi)\).

例子：Dispersive 方程

对于 Dispersive 方程 $$ \begin{cases} u_t=cu_{xxx} \\ u(x,0)=\eta(x) \end{cases} $$ 由 FT 得 \(\hat{u}_t=-i\xi^3 c\hat{u}\)。解 ODE 得 \(\hat{u}(\xi ,t)=e^{-i\xi ^3ct}\hat{\eta}(\xi)\)，进一步 IFT 得： $$ u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_\mathbb{R} e^{i\xi (x-c\xi ^2t)}\hat{\eta}(\xi )\mathrm{d} \xi $$